Polígono

En geometría euclidiana , un polígono (del griego polus , muchos, y gônia , ángulo ) es una figura geométrica plana formada por una línea discontinua (también llamada línea poligonal ) cerrada, es decir, una secuencia cíclica de segmentos consecutivos.

Los segmentos se llaman bordes o lados y los extremos de los lados se llaman vértices o esquinas del polígono.

Se dice que un polígono está cruzado si al menos dos lados no consecutivos se cruzan, y simple si la intersección de dos lados está vacía o reducida a un vértice para dos lados consecutivos. La suma de los ángulos de un polígono simple ( convexo o no) depende solo de su número de vértices.

En el caso de polígonos simples , a menudo confundimos el polígono y su interior llamando a la superficie del polígono delimitada por la línea poligonal cerrada.

La noción de polígono está generalizada:

en una superficie , por figuras cuyos lados son segmentos de un gran círculo (línea de distancia más corta), por ejemplo en la esfera por los polígonos esféricos (cuyos lados son arcos de un gran círculo );
en dimensión 3 por los poliedros y en cualquier dimensión por los politopos .

Vocabulario básico

Un polígono está formado por:

una serie finita de puntos en el plano llamados vértices ;
segmentos que conectan los pares de vértices consecutivos, así como un segmento que conecta el primer y el último punto, todos estos segmentos se denominan lados .

Un polígono generalmente se designa por la yuxtaposición de las letras que designan los vértices, en el orden siguiente.

Por lo tanto, la designación de un polígono en toda generalidad se escribe A 1 A 2 A 3 ··· A n , formado por n vértices y n segmentos [A 1 , A 2 ], [A 2 , A 3 ],…, [ A n –1 , A n ] y [A n , A 1 ].

Cada vértice distinto de sus dos vecinos está asociado con un ángulo interno : es el ángulo entre los dos lados que terminan en el vértice.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

Orden de un polígono

El orden de un polígono es el número de sus lados. Obviamente también es el número de sus vértices o el de sus ángulos.

Elementos opuestos

Si el orden de un polígono es par :
- se dice que los vértices separados por lados están "opuestos" entre sí; ${\ Displaystyle {\ frac {n} {2}}}$
- lo mismo para los ángulos correspondientes;
- también se dice que los lados separados por vértices son "opuestos" entre sí. ${\ Displaystyle {\ frac {n} {2}}}$
Si el orden del polígono es impar , los lados son "opuestos" a los vértices y ángulos (y viceversa); más precisamente, cada vértice (o cada ángulo) es "opuesto" al lado ubicado vértices más lejos. ${\ frac {n-1} 2}$

Lados extendidos y diagonales

Las líneas que llevan los lados de un polígono se denominan lados extendidos de ese polígono.

Una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos, es decir, un segmento que une dos vértices y que no es un lado del polígono.

Por tanto, un polígono con n lados tiene diagonales. ${n \ elija 2} -n = {\ frac {n (n-3)} 2}$

Tipología de polígonos

Hay muchas formas de clasificar los polígonos: según su convexidad , sus simetrías , sus ángulos ... Pero primero los clasificamos según su número de lados.

Clasificación según el número de lados

Los polígonos se pueden clasificar entre sí según su orden .

Los polígonos de orden 1 y 2 se denominan degenerados: corresponden respectivamente a un punto y a un segmento y, por tanto, tienen en particular un área cero.

El polígono no degenerado más básico es el triángulo .

Luego viene el cuadrilátero , de orden 4.

A partir del orden 5, cada nombre de polígono está formado por una raíz griega correspondiente al orden del polígono seguida del sufijo -gone .

Para encontrar la manera de nombrar polígonos, debe recordarse que -kai- significa "y" en griego , y que -conta- significa "diez". Por ejemplo, la palabra triacontakaiheptagon significa tres ( tria- ) decenas ( -conta- ) y ( -kai- ) siete ( -hepta- ) unidades, y por lo tanto corresponde a un polígono de treinta y siete lados, "y" se interpreta aquí como " más ".

Más allá de los 12 lados, la costumbre es hablar de un polígono de n lados .

Sin embargo, existen varios nombres antiguos para números "redondos" como un polígono con veinte lados (icosa-), cien lados (hecto-), mil lados (chilio-) y diez mil lados (myria-).

Denominaciones de polígono

d'Alembert, Le Blond, L'Encyclopédie, 1ª ed. , t. Volumen 12,1751( leer en Wikisource ) , pág. 941-943

La Enciclopedia da el principio, al que debe agregarse la numeración del griego antiguo.

1 lado degenerado: henagon o monogonal
2 lados degenerados: digone o segmento
3 lados: triángulo o trígono
4: cuadrilátero o tetrágono
5: pentágono
6: hexágono
7: heptágono
8: octágono
9: enneagone o nonágono
10: decágono
11: endecágono
12: dodecágono
13: tridecágono o triskaidecágono
14: tetradecágono o tetrakaidecagon o quadridecagon
15: pentadecágono o pentakaidecágono o quidecágono
16: hexadecágono o hexakaidecágono
17: heptadecágono o heptakaidecágono
18: octodecágono o octakaidecagon
19: enneadecágono o enneaakaidecágono
20: icosagon
21: henicosagona o icosikaihenagone
22: doicosagona o icosikaidigona
23: triaicosagona o icosikaitrigona
24: tetraicosagon o icosikaitetragon
25: pentaicosagon o icosikaipentagone
26: hexaicoságono o icosikaihexágono
27: heptaicosagona o icosikaiheptagon
28: octaicosagon o icosikaioctagon
29: ennéaicosagon o icosikaienneagone
30: triacontagon
31: hentriacontagon o triacontakaihenagone
32: dotriacontagona o triacontakaidigona
33: tritriacontagon o triacontakaitrigone
34: tetratriacontagon o triacontakaitetragon
35: pentatriacontagon o triacontakaipentágono
36: hexatriacontagon o triacontakaihexagon
37: heptatriacontagon o triacontakaiheptagon
38: octatriacontagon o triacontakaioctagon
39: ennéatriacontagon o triacontakaiennégone
40: tetracontagon
50: pentacontagon
60: hexacontagon
70: heptacontagon
80: octacontagon
90: eneacontagon
100: hectárea o hecatontagón
200: dihectagón
300: trihectágono
400: tetrahectágono
500: pentahectagón
600: hexahectagón
700: heptahectagón
800: octahectágono
900: ennéahectogone
1000: chiliogone o chiliagone o chiligone
10000: miríagón o myriogone

Los mismos principios se aplican a los poliedros , donde basta con reemplazar el sufijo -gone por el sufijo -èdre .

Clasificación por convexidad

Polígono cruzado

Se dice que un polígono está cruzado si al menos dos de sus lados se cruzan , es decir, si al menos dos de sus lados no consecutivos se cruzan. Este es el caso del pentágono ABCDE opuesto.

Polígono simple

Se dice que un polígono es simple si dos lados no consecutivos no se encuentran y dos lados consecutivos tienen solo uno de sus vértices en común. Un polígono simple siempre se descruza.

Luego forma una curva de Jordan , que delimita una parte delimitada del plano, llamada su interior . El área de un polígono simple se llama área de su interior.

Polígono no convexo

Se dice que un polígono simple no es convexo si su interior no es convexo , es decir, si una de sus diagonales no está completamente en su interior.

Por ejemplo, el pentágono único ACDBE opuesto no es convexo porque las diagonales [B, C] y [C, E] no están dentro del polígono. El segmento abierto ] B, C [está incluso completamente afuera. La existencia de tal "boca" es una propiedad general de los polígonos simples no convexos.

Polígono convexo

Se dice que un polígono es convexo si es simple y si su interior es convexo . Por lo tanto, el hexágono de MNOPQR opuesto es convexo.

Clasificación por simetría

Concepto de elemento de simetría

Las simetrías de un polígono de orden n son las isometrías del plano euclidiano que permutan tanto sus n vértices como sus n aristas. Tal mapa afín fija necesariamente el isobaricentro G de los vértices, por lo tanto, solo puede ser de dos tipos:

una simetría axial cuyo eje pasa por G ;
una rotación con el centro G cuyo ángulo (en radianes ) es un múltiplo de 2 π / n , o de lo contrario: de la forma 2π p / q , donde p / q es una fracción irreducible y q es un divisor de n ( q es el orden de la rotación, que indica cuántas veces aplicar la rotación para volver al punto de partida: por ejemplo, la rotación de orden 2, es decir de ángulo π, es la simetría del centro G ).

El conjunto de simetrías de cualquier figura plana es un subgrupo del grupo de isometrías planas. De hecho, cuando componimos dos de estas simetrías o cuando tomamos la biyección recíproca de una de ellas, el resultado sigue siendo una simetría de la figura.

Las simetrías de un polígono de orden n incluso forman un grupo finito , que es igual, para algún divisor d de n :

o al grupo cíclico C d de d rotaciones de ángulos múltiplos de 2π / d (si d = 1, es el grupo trivial , reducido al mapa de identidad : el polígono no tiene "elemento de simetría");
o al grupo diedro D d formado por estas d rotaciones y d simetrías axiales (si d = 1, el único "elemento de simetría" del polígono es entonces un eje de simetría).

Concepto de polígono regular

Se dice que un polígono de orden n es regular si es equilátero (lados iguales) y equiángulo (ángulos iguales), o si es “lo más simétrico posible”, es decir, si su grupo de simetría es D n . Para ello, basta con que el polígono tenga n ejes de simetría, o bien: una rotación de orden n . Cuando decimos " el polígono regular de orden n ", es el polígono convexo " único " de esta familia (podemos calcular fácilmente su perímetro y su área ).Se dice que los demás están estrellados .

Algunos ejemplos y contraejemplos

cualquier triángulo equilátero o equiángulo es regular;
el cuadrilátero 4 picos distintos:
- los equiángulos son rectángulos ;
- equiláteros son los diamantes ;
- regulares son, por tanto, los cuadrados .

Simetría axial

El grupo de simetría es diedro si y solo si el polígono tiene un eje de simetría. Si el polígono no se cruza , dicho eje pasa necesariamente por un vértice o el punto medio de un lado .

Mas presisamente :

en un polígono de orden impar no cruzado, cualquier eje de simetría biseca el ángulo interno en un vértice y es perpendicular al lado opuesto;
en un polígono no cruzado de orden par, cualquier eje de simetría es bisector de dos ángulos internos opuestos o bisector de dos lados opuestos.

Algunos ejemplos

un triángulo isósceles es simétrico con respecto a su bisectriz principal ;
los cuadriláteros que admiten un eje de simetría son los trapezoides isósceles , las cometas y los antiparalelogramas ;
- los paralelogramos que admiten un eje de simetría son los diamantes y los rectángulos ;
  - el rectángulo , caso particular de un trapezoide isósceles, tiene dos ejes de simetría que son llevados por sus medianas ;
  - el rombo , un caso particular de cometa, tiene dos ejes de simetría que son llevados por sus diagonales;
  - el cuadrado es un cuadrilátero regular por lo que tiene cuatro ejes de simetría: los del rombo y los del rectángulo, del cual es un caso especial.

Simetría central

En un polígono de orden n , para que el isobaricentro sea un centro de simetría, es decir, que el grupo de simetría C d o D d contenga la rotación del ángulo π, es necesario y suficiente que d sea par, entonces n debe ser parejo. Los lados opuestos son entonces paralelos y de la misma longitud.

Los cuadriláteros no cruzados con simetría central son los paralelogramos.

Clasificación por ángulos

Polígono equiangular

Se dice que un polígono es un triángulo cuando todos sus ángulos internos son iguales. En un polígono convexo equiangulado con n lados, cada ángulo interno mide (1 - 2 / n ) × 180 ° (cf. § “Suma de ángulos” a continuación ).

Algunos ejemplos

el único triángulo equiangular es el triángulo equilátero;
los cuadriláteros equiangulados son los rectángulos;
todos los polígonos regulares son equiángulos por definición.

Angulos correctos

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos .

Los cuadriláteros convexos con al menos dos ángulos rectos son los trapezoides rectos y las cometas con dos ángulos rectos ( pulg ) (formados por dos triángulos rectángulos unidos por su hipotenusa).

Los cuadriláteros con al menos tres ángulos rectos son los rectángulos.

Un polígono convexo no puede tener más de cuatro ángulos rectos.

Otras clasificaciones

Polígono escribible (en un círculo)

Se dice que un polígono se puede escribir cuando todos sus vértices están en el mismo círculo , llamado círculo circunscrito al polígono . Sus lados son entonces cadenas de este círculo .

Entre los cuadriláteros escribibles se encuentran los trapezoides isósceles , los antiparalelogramas y las cometas de dos ángulos rectos .

Polígono circunscrito (con un círculo)

Se dice que un polígono está circunscrito cuando todos sus lados son tangentes al mismo círculo, llamado círculo inscrito en el polígono . Anglófonos y hablantes de alemán han bautizado este tipo de polígono como "polígono tangente".

Ejemplos de circunscripción de cuadriláteros

Los paralelogramos circunscribibles son los rombos.
Los únicos cuadriláteros circunscritos con dos lados adyacentes iguales son las cometas .
El teorema de Pitot generaliza estos dos enunciados.

Polígono bicéntrico

Se dice que un polígono que es tanto inscribible como circunscribible es bicéntrico (en) . Los triángulos y los polígonos regulares son bicéntricos.

Ver también: " Gran teorema de Poncelet " y " Cuadrilátero bicéntrico ( pulg ) ".

Suma de ángulos

La suma de los ángulos internos de un polígono simple de orden n no depende de su forma. Vale (en radianes y en grados ):

{\ Displaystyle S = (n-2) \ times \ pi ~ \ mathrm {rad} = (n-2) \ times 180 ^ {\ circ} = n \ times 180 ^ {\ circ} -360 ^ {\ circ }.}

De hecho, esta fórmula, bien conocida para n = 3 , se generaliza dividiendo el polígono en n - 2 triángulos contiguos dos por dos por un lado común, que es una diagonal de este polígono (en el caso particular de un polígono convexo, es basta con considerar todos los segmentos que unen un determinado vértice a todos los demás).

Otra forma de demostrar esta fórmula es observar que (para ángulos adecuadamente orientados ) la suma de los n ángulos externos es igual a 360 ° y los ángulos externos e internos asociados con el mismo vértice tienen la suma de 180 ° .

Polígonos equivalentes (combinatorios)

Se dice que dos polígonos son equivalentes si se pueden obtener mediante rotación o reflexión entre sí.

Así pues, existen polígonos no equivalentes (continuación A000940 de la OEIS ). ${\ Displaystyle n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, \ puntos}$ ${\ Displaystyle 1,2,4,12,39,202, \ dots}$

Entre ellos, algunos son quirales ( polígonos quirales para lados). Por lo tanto, solo vale el número de polígonos no equivalentes por rotación (continuación A000939 de la OEIS ). ${\ Displaystyle 2,15,130, \ dots}$ ${\ Displaystyle n = 6,7,8, \ puntos}$ ${\ Displaystyle 1,2,4,14,54,332, \ dots}$

Notas y referencias

Ver, por ejemplo, el artículo Polygone en el diccionario Larousse.
Es más exactamente una secuencia cíclica, es decir que el primer término es el sucesor del último y que un desplazamiento de los términos de la secuencia describe el mismo polígono.
Varios vértices pueden coincidir en un mismo punto. Por tanto, un vértice es más un término de la secuencia que una imagen en el plano.
Samuel Verdan, " Sistemas de numeración de la antigua Grecia: descripción y perspectiva histórica ", CultureMATH ,20 de marzo de 2007( leer en línea )
Objeto imposible en geometría euclidiana pero en geometría esférica , puede ser representado por un vértice colocado en un círculo grande .
En el 6 º de sus Meditaciones , Descartes utiliza quiliógono y myriogone para mostrar la diferencia entre la imaginación y el diseño puro.
Según el glosario de Math en Jeans , no hay unanimidad sobre la noción, algunos exigen que la reunión sea en un punto que no sea un vértice y otros no.
Glosario de matemáticas en jeans .
(en) Godfried Toussaint (en) , " Polígono antropomórfico " , Amer. Matemáticas. Mensual , vol. 98, n o 1,1991, p. 31-35 ( DOI 10.2307 / 2324033 , leer en línea ), “ Teorema 2 (el teorema de una boca) ” .
Concepto que, al igual que los de politopo estrellado a parte estrellada y porción poligonal estrellada (en) , formaliza el camino a la intuición ondulatoria de "en forma de estrella".
Ambos métodos se dan en COJEREM, situaciones para la geometría enseñar: 1 st / 4 th : conceptos para el estudiante , De Boeck ,1995( ISBN 978-2-8041-2230-0 , leer en línea ) , pág. 163-164y Guía metodológica ( ISBN 978-2-8041-2231-7 , leer en línea ) , p. 134-153para el caso particular de un polígono convexo y en (en) Martin Isaacs (en) , Geometry for College Students , AMS ,2009( leer en línea ) , pág. 13-14 para el caso general.
(en) William H. Press , Recetas numéricas , UPC ,2007, 3 e ed. ( leer en línea ) , pág. 1123, Figura 21.4.4.

Ver también

enlaces externos

" Polígono " , en mathcurve.com
G. Villemin, " Polígonos " , sobre números: curiosidades, teoría y usos