Esfera

En geometría en el espacio , una esfera es una superficie formada por todos los puntos ubicados a la misma distancia de un punto llamado centro . El valor de esta distancia al centro es el radio de la esfera. La geometría esférica es la ciencia que estudia las propiedades de las esferas. La superficie de la Tierra puede, como primera aproximación , modelarse mediante una esfera con un radio de aproximadamente 6.371  km .

Más generalmente en matemáticas, en un espacio métrico , una esfera es el conjunto de puntos ubicados a la misma distancia de un centro. Entonces, su forma puede ser muy diferente de la forma redonda habitual. Una esfera es también un elipsoide degenerado.

Una esfera "llena" es una bola , cuyos puntos tienen una distancia del centro menor o igual que el radio.

Esfera euclidiana (en el espacio tridimensional)

Vocabulario

Durante mucho tiempo, el lenguaje cotidiano utilizó la palabra "esfera" tanto para nombrar la superficie como el sólido que delimita. Hoy en día, la esfera designa exclusivamente la superficie y el sólido, por su parte, lleva el nombre de bola .

Otros términos merecen ser definidos:

• Dos puntos antípodas son dos puntos diametralmente opuestos en la esfera. Este es el caso de los polos en la esfera terrestre;
• Un círculo grande es un círculo dibujado en la esfera y que tiene el mismo radio que la esfera. Un círculo grande siempre pasa por dos puntos antípodas. Los meridianos de la esfera terrestre son grandes círculos. Los paralelos son círculos dibujados en la esfera pero sus rayos son generalmente más pequeños que los de la esfera y luego no son grandes círculos;
• un huso esférico es una figura dibujada en la esfera por dos círculos semi-grandes con los mismos extremos;
• una pestaña esférica es un sólido cortado de una bola por un diedro , como una cuña de naranja.
• un triángulo esférico es una figura dibujada en la esfera formada por tres puntos conectados por arcos de círculos semi-grandes;
• un polígono esférico es una figura dibujada sobre una esfera, formada por varios puntos conectados por arcos de grandes círculos;
• una zona esférica es la porción de una esfera que se encuentra entre dos planos paralelos;
• un casquete esférico es una zona esférica en la que uno de los planos es tangente a la esfera;
• un segmento esférico es el sólido delimitado por dos planos paralelos y la zona esférica que determinan;
• un sector esférico es el sólido delimitado por un casquete esférico y el cono circular generado por las medias líneas originales del centro del círculo y que descansa sobre el casquete esférico.

Ecuaciones

En la geometría cartesiana, el espacio está provisto de un sistema de coordenadas ortonormal , una esfera con centro y radio es el conjunto de puntos tales como: (OX→,Oy→,Oz→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {Ox}}, {\ overrightarrow {Oy}}, {\ overrightarrow {Oz}})}(X0,y0,z0){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}r{\ Displaystyle r}(X,y,z){\ Displaystyle (x, y, z)}

(X-X0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2{\ Displaystyle \ Displaystyle (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2} + (z-z_ {0}) ^ {2} = r ^ {2}}.

Los puntos de la esfera de radio r y centro O se pueden parametrizar mediante:

{X=rporque⁡θporque⁡ϕy=rporque⁡θpecado⁡ϕz=rpecado⁡θ(-π2≤θ≤π2 y -π≤ϕ≤π){\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & = & r \ cos \ theta \; \ cos \ phi \\ y & = & r \ cos \ theta \; \ sin \ phi \\ z & = & r \ sin \ theta \ end {matriz}} \ right. \ qquad \ left ({\ frac {- \ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}} { \ mbox {y}} - \ pi \ leq \ phi \ leq \ pi \ right)}

Podemos verlo como latitud y longitud. (Ver funciones trigonométricas y coordenadas esféricas ). θ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ theta}ϕ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi}

Fórmulas

El área de una esfera de radio es: r{\ Displaystyle r}

A=4πr2{\ Displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}}.

El volumen de la bola que contiene es:

V=4πr33{\ Displaystyle V = {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}}}.

Su "compacidad", es decir su relación área-volumen , es por tanto:

VS=AV=3r{\ Displaystyle C = {\ frac {A} {V}} = {\ frac {3} {r}}}.

El momento de inercia de una bola homogénea de radio , densidad y masa M , con respecto a un eje que pasa por su centro es: r{\ Displaystyle r}ρ{\ Displaystyle \ rho}

I=2METROr25=8πρr515{\ Displaystyle I = {\ frac {2Mr ^ {2}} {5}} = {\ frac {8 \ pi \ rho r ^ {5}} {15}}}.

El momento de inercia de una esfera homogénea de radio y masa M , con respecto a un eje que pasa por su centro es: r{\ Displaystyle r}

I=2METROr23=8πρr59{\ Displaystyle I = {\ frac {2Mr ^ {2}} {3}} = {\ frac {8 \ pi \ rho r ^ {5}} {9}}}.

El elemento de área de la esfera con radio en coordenadas de latitud-longitud ( - ) es . Deducimos que el área de un huso (porción limitada por dos semicírculos que unen los polos y forman un ángulo expresado en radianes ) es . r{\ Displaystyle r}λ{\ Displaystyle \ lambda}φ{\ Displaystyle \ varphi}Dσ=r2porque⁡λDλDφ{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = r ^ {2} \ cos \ lambda \, \ mathrm {d} \ lambda \, d \ varphi}α{\ Displaystyle \ alpha}2αr2{\ Displaystyle 2 \ alpha \, r ^ {2}}

Esto también permite calcular el área de una zona esférica , es decir, de una porción de una esfera limitada por dos planos paralelos que cortan la esfera (o son tangentes a ella). Encontramos donde denota la distancia de los dos planos: el área es la misma que la de un cilindro circular de la misma altura tangente a la esfera (cilindro circunscrito). Arquímedes demuestra este notable resultado en su tratado Sobre la esfera y el cilindro . Según Cicerón , Arquímedes habría pedido que se grabara en su tumba, en memoria de este resultado, una esfera y su cilindro circunscrito. 2πrh{\ Displaystyle 2 \ pi rh}h{\ Displaystyle h}

El cilindro circunscrito a una esfera dada tiene un volumen igual a 1,5 veces el volumen de la esfera.

La esfera tiene el área más pequeña entre las superficies que contienen un volumen dado y contiene el volumen más grande entre las superficies de un área dada. Es la respuesta a la pregunta de isoperimetría para el espacio euclidiano de dimensión 3. Por esta razón, la esfera aparece en la naturaleza, por ejemplo las burbujas y gotas de agua (en ausencia de gravedad ) son esferas porque la tensión superficial intenta minimizar la zona.

Esfera circunscrita a un tetraedro

A través de cuatro puntos no coplanares A, B, C y D (ABCD es un tetraedro sin aplanar ), pasa una sola esfera, llamada su esfera circunscrita .

Los seis planos que median los bordes del tetraedro se cruzan en el centro de la esfera.

Desarrollo

Podemos demostrar que la esfera es una superficie no urbanizable . No hay jefe de la esfera. Sin embargo, en la práctica es posible obtener superficies desarrollables acercándose muy fielmente a la esfera, este es el caso de todos los globos cosidos. Ver: pelota de fútbol ( icosaedro truncado ), pelota de voleibol y pelota de fantasía (ejes de poste a poste).

Tenga en cuenta que la presión interna deforma las superficies y crea lealtad en el enfoque ... Cuanto más se infla, más se acerca la esfera a la perfección.

Esferas euclidianas de dimensiones superiores

Podemos generalizar el concepto de esfera a un espacio de cualquier dimensión completa. Para cada número natural n , una n -esfera de radio r es el conjunto de puntos en el espacio euclidiano con ( n +1) dimensiones que están a una distancia fija r de un punto en este espacio ( r es un positivo estrictamente real). Por ejemplo :

• una esfera-0 es el par de los puntos finales del intervalo [- r , r ] de la recta real;
• una 1-esfera es un círculo de radio r  ;
• una 2-esfera es una esfera ordinaria.

Las esferas de dimensión n > 2 a veces se denominan hiperesferas . La n -esfera de radio 1 se denota S n .

El área de una ( n −1) -esfera de radio r es

2πno/2Γ(no/2)rno-1={(2π)no/2rno-12⋅4⋯(no-2),Si no incluso;2(2π)(no-1)/2rno-11⋅3⋯(no-2),Si no es impar,{\ Displaystyle 2 {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)}} r ^ {n-1} = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n-1}} {2 \ cdot 4 \ cdots (n-2)}}, & {\ text {si}} n {\ text {es par;} } \\\\ estilo de visualización {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdots (n-2)}} , & {\ text {si}} n {\ text {es impar}}, \ end {casos}}}

donde Γ es la función gamma de Euler

y el volumen de una n- bola de radio r es igual al producto de esta área por , por lo tanto a rno{\ Displaystyle {r \ over n}}

{(2π)no/2rno2⋅4⋯no,Si no incluso;2(2π)(no-1)/2rno1⋅3⋯no,Si no es impar.{\ Displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {(2 \ pi) ^ {n / 2} \, r ^ {n}} {2 \ cdot 4 \ cdots n}}, & {\ text { si}} n {\ text {es par;}} \\\\\ displaystyle {\ frac {2 (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} \, r ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots n}}, & {\ text {si}} n {\ text {es impar}}. \ end {casos}}}.

Dependiendo del contexto, en particular en topología , la palabra esfera (o n - esfera si queremos recordar la dimensión) se puede utilizar para denotar cualquier espacio topológico homeomorfo a una n- esfera en el sentido definido en la sección anterior.

La característica de Euler de una n -esfera vale 2 si n es par y 0 si n es impar.

La esfera como primitiva geométrica

En CAD o software de gráficos por computadora (por ejemplo, Blender ), la esfera se usa ampliamente como una primitiva geométrica . Las características de la malla que se utiliza para su representación son especificadas por el usuario (ajuste de la suavidad).

La esfera como variedad

Es una variedad (de dimensión 2, sin bordes).

Algunas propiedades

• La esfera es globalmente invariante por (en particular) una rotación cuyo eje pasa por su centro.
• Sus dos curvaturas principales son iguales y valen .1r{\ Displaystyle {\ frac {1} {r}}}
• Su escalar de Ricci es uniforme: .R=2r2{\ Displaystyle R = {\ frac {2} {r ^ {2}}}}

Notas y referencias

Notas

1. Según el teorema de Pitágoras generalizado en varias dimensiones

Referencias

1. En la enciclopedia de Diderot y d'Alembert, por ejemplo, la esfera es "un cuerpo sólido contenido bajo una sola superficie, y que tiene en el medio un punto llamado centro, por lo tanto, todas las líneas dibujadas en el área son iguales". " (( S: L'Encyclopédie / 1st edition / SPHERE ) y hay una pequeña rima mnemotécnica para calcular el volumen " El volumen de la esfera / es lo que podamos hacer / cuatro tercios de pi R tres / ya sea en hierro o madera ” (Roland Bouchot, L'Amour des mots , página 142 )
2. Obra digitalizada por Marc Szwajcer, Obras de Arquímedes, traducida literalmente, con un comentario, por F. Peyrard, Catedrático de Matemáticas y Astronomía del Lycée Bonaparte .
3. Véase, por ejemplo, la enciclopedia Diderot , artículo Syracuse , en Wikisource .
4. (en) Herbert Seifert y William Threlfall  (de) ( traducción del  alemán), A Textbook of Topology , Nueva York, Academic Press ,1980, 437  p. ( ISBN  978-0-12-634850-7 ) , pág.  53.
5. (in) "  Primitives - Blender Manual  " en docs.blender.org (consultado el 11 de abril de 2020 )

Ver también

Bibliografía

• (en) David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen , Geometry and the Imagination [ detalle de las ediciones ]
• Marcel Berger , Geometry [ detalle de ediciones ]Nathan, 1990, c.  18

Artículos relacionados

• Geoda
• Geometría esférica
• Ortodromía
• Pavimentación de esferas

enlaces externos

• A. Javary, Tratado de geometría descriptiva , Conos y cilindros, esfera y superficies de segundo grado , 1881 (sobre Gallica )
• Matthieu Aubry, El camino más corto de la esfera
• Xavier Hubaut, Matemáticas Secundarias - Cono y Esfera
• Xavier Hubaut, Viajando sobre una esfera

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