Rectángulo

En geometría , un rectángulo es un cuadrilátero cuyos cuatro ángulos son rectos .

Definición y propiedades

Un cuadrilátero es un polígono (por lo tanto, una figura plana ) formado por cuatro puntos (llamados vértices ) y cuatro segmentos (o lados ) que conectan estos vértices de dos en dos para delimitar un contorno cerrado.

Definición  :  un rectángulo es un cuadrilátero que tiene cuatro ángulos rectos.

• Cuadriláteros. Los dos de la parte superior izquierda (verde y marrón) son rectángulos.

• Un rectángulo, sus dos diagonales y un ángulo recto codificado.

Demuestra que un cuadrilátero es un rectángulo

Diferentes propiedades características permiten afirmar que un cuadrilátero es un rectángulo.

Es suficiente que un cuadrilátero tenga tres ángulos rectos para ser un rectángulo.

Cualquier cuadrilátero equiangulado (es decir, cuyos cuatro ángulos son iguales) es un rectángulo.

Si un cuadrilátero es un paralelogramo , entonces es un rectángulo si alguna de las siguientes propiedades es verdadera:

• tiene dos lados perpendiculares consecutivos (en otras palabras: tiene un ángulo recto);
• sus dos diagonales tienen la misma longitud .

Propiedades

Un rectángulo es un caso especial de paralelogramo, entonces:

• sus lados opuestos son paralelos y de la misma longitud;
• sus dos diagonales se cruzan en el medio;
• este punto medio es un centro de simetría del rectángulo.

Tiene propiedades adicionales:

• sus diagonales son de la misma longitud;
• tiene dos ejes de simetría, que son los mediadores de sus lados;
• siendo las diagonales de la misma longitud y secantes en su O central , los cuatro vértices del rectángulo son equidistantes de O , lo que significa que hay un círculo con centro O que pasa por estos cuatro vértices, llamado círculo circunscrito al rectángulo, que es en sí mismo -lo mismo dicho inscrito en este círculo .

Se puede utilizar cualquier rectángulo para constituir una teselación del plano. Esto significa que es posible, con rectángulos idénticos, cubrir todo el plano sin superponer dos rectángulos. Las líneas perpendiculares dividen el plano en áreas rectangulares.

Medidas

Perímetro	2 × ( a  +  b )
Área	a  ×  b
Diagonal	√ a 2 + b 2

Los lados de un rectángulo siendo dos por dos de la misma longitud una y b , se acostumbra a llamar estos dos números dimensiones del rectángulo. Cuanto mayor sea la longitud del rectángulo, menor será su ancho .

Un rectángulo con lados unos y b tiene un área igual a un  ×  b , y un perímetro de 2 × ( un  +  b ). La suma a  +  b a veces se denomina medio perímetro del rectángulo.

La aplicación del teorema de Pitágoras muestra que las diagonales del rectángulo son iguales y midena2+B2.{\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

Estas medidas se resumen en la tabla de al lado.

Dos rectángulos que tienen la misma longitud de una y la misma anchura b son isométrica . Esto significa que son superponibles: uno de los dos puede transformarse en el otro mediante una sucesión de traslaciones , rotaciones o reversiones . El cociente a/Bse llama formato de rectángulo. Todos los rectángulos de igual tamaño son similares  : hay una ampliación (o una reducción) que permite cambiar de uno a otro. En otras palabras, tienen "la misma forma". Debido a que la longitud es mayor o igual que el ancho, el formato es un número mayor o igual que 1. Un formato igual a 1 es característico de un cuadrado . Cuanto más grande sea el formato, más "alargado" será el rectángulo.

Rectángulos notables

Cuadrado

Un cuadrado es un rectángulo particular cuyos cuatro lados tienen la misma longitud .

Rectángulo dorado

Un rectángulo áureo es un rectángulo cuya relación entre el largo y el ancho es igual al número áureo .

Formato de un rectángulo

Consulte el tamaño A4 y varios tamaños de pantalla de TV y computadora .

Una ilustración del concepto de distancia de Hausdorff

Esto es lo que ofrece el rectángulo en el contexto de la geometría elemental:

Sea R un rectángulo de ancho by largo a. Entonces, la distancia de Hausdorff entre R y su borde (topología) es igual a b / 2. Se realiza para todos los KL donde K es un punto de un segmento de longitud ab incluido en la mediana en relación con el ancho y L la proyección ortogonal de K sobre una longitud del rectángulo. Esta distancia es útil para calcular la distancia de Hausdorff entre dos iteraciones sucesivas de la alfombra de Sierpinski asociada con un rectángulo.

1. (en) Michael F.Barnsley, Fractales en todas partes ,1993, 531  p. ( ISBN  978-0-12-079069-2 y 0-12-079069-6 , leer en línea ) , ejercicio 6.8 p.30

Apéndices

• Bibliografía: Patricia Rulence-Easter, Percepción de superficie e inferencia de superficie: el caso de la superficie del rectángulo , EHESS, Université Paris 5, 1996 (tesis doctoral en Psicología)
• Filmografía: Rectangle et rectangles , secuencia de 8:29 min, 1984, de la película canadiense Geometry on the move, jugando con formas y formas / Géométrie en mouvement, jeux et forme , dirigida por Gayle Thomas, René Jodoin y Norman McLaren , Oficina Nacional de Canada Film , 2006 ( DVD )