Poliedro

Un poliedro es una forma geométrica en tres dimensiones (un sólido geométrico ) que tiene caras planas poligonales que se presentan de acuerdo a segmentos rectos llamados aristas .

La palabra poliedro , que significa con varias caras , proviene de las raíces griegas πολύς ( polys ), "mucho" y ἕδρα ( hedra ), "base", "asiento" o "cara". Un poliedro es un sólido cuyas caras son todas polígonos. Los lados de estos polígonos se denominan aristas. Los extremos de las aristas son puntos llamados vértices.

Histórico

Como muchos otros conceptos, los griegos introdujeron formalmente la noción de poliedro . Su estudio ocupa un lugar muy significativo en los Elementos de Euclides y, en lo que concierne a las matemáticas, constituyó una de las preocupaciones importantes de Platón .

Sin embargo, basta con contemplar las pirámides para darse cuenta de que esta noción se ha percibido incluso desde épocas anteriores.

Después de Platón, Euclides y Arquímedes en la antigüedad , el estudio de los poliedros ha ocupado muchas mentes buenas de los tiempos modernos, y en particular las de Kepler , Euler , Poincaré , Hilbert ,  etc.

Definición

La definición dada en la introducción puede parecer bastante clara para la mayoría de nosotros. No es para un matemático . Por extraño que parezca, dado que el concepto de poliedro no se refiere a la dimensión del espacio en el que se encuentra, no existe una definición universalmente aceptada de lo que hace "algo" o un poliedro (el meollo del problema proviene de el hecho de que la noción intuitiva de poliedro no sea exactamente la misma dependiendo de si tenemos una superficie o un volumen en la idea).

Para superar esta dificultad, introducimos la noción de simplex . Puede considerarse equivalente al de un poliedro en dimensión 3 y permite generalizaciones a dimensiones superiores. Un poliedro de dimensión es entonces la unión de un conjunto finito de símplex de dimensión tal que cada una de las -faces ( ) de un simplex es un elemento de , y tal que para cualquier par de símplex la intersección es vacía o una -cara común a y . PAG{\ Displaystyle P}pag{\ Displaystyle p}SI{\ Displaystyle S_ {i}}qI≤pag{\ Displaystyle q_ {i} \ leq p}D{\ Displaystyle d}D≤qI{\ Displaystyle d \ leq q_ {i}}SI{\ Displaystyle S_ {i}}PAG{\ Displaystyle P}(SI,Sj){\ Displaystyle (S_ {i}, S_ {j})}SI∩Sj{\ Displaystyle S_ {i} \ cap S_ {j}}(D-1){\ Displaystyle (d-1)}SI{\ Displaystyle S_ {i}}Sj{\ Displaystyle S_ {j}}

Así, un simplex representa una definición generalizable de la noción intuitiva de poliedro. Es la unión de sus caras, y la intersección de cualesquiera dos caras de un simplex es vacía o una cara de dimensión . Por ejemplo, un triángulo, que es un 2-simplex, es la unión de segmentos y la intersección de dos segmentos adyacentes es un punto que es un vértice del triángulo. D{\ Displaystyle d}D{\ Displaystyle d}D-1{\ Displaystyle d-1}

Por tanto, un poliedro parece estar construido a partir de diferentes tipos de elementos o entidades, presentando un número diferente de dimensiones:

• 3 dimensiones: el cuerpo está limitado por las caras y suele corresponder al volumen incluido en el interior.
• 2 dimensiones: una cara está delimitada por un circuito de aristas y suele ser una región plana llamada polígono . Las caras juntas forman la superficie en bloque.
• 1 dimensión: una arista une un vértice a otro y una cara a otra y suele ser una línea de algún tipo. Los bordes juntos forman el esqueleto poliédrico.
• Dimensión 0: un vértice es un punto de esquina.
• -1 dimensión: la nulidad es una especie de no entidad requerida por las teorías abstractas.

De ello se deduce que el objeto siguiente no es un poliedro en el sentido de esta definición. En efecto, la cara superior de la caja no está limitada por uno sino por dos circuitos de bordes: uno que la limita externamente y otro que la limita internamente.

De manera más general, en matemáticas y otras disciplinas, el término "poliedro" se usa para referirse a una variedad de construcciones relacionadas, algunas geométricas y otras puramente algebraicas o abstractas.

En particular, un politopo es un poliedro convexo y acotado.

En Computational Geometry: An Introduction , Preparata  (en) y Shamos  (en) definen los poliedros mediante un conjunto finito de polígonos planos de manera que cada borde de un polígono es compartido por otro polígono y cualquier otro subconjunto de polígonos no posee esta propiedad. . Esta definición implica restricciones estrictas: por ejemplo, los poliedros no deben exhibir autointersecciones.

Propiedades caracteristicas

Nomenclatura

Los poliedros generalmente se nombran de acuerdo con su número de caras. La nomenclatura se basa en el griego clásico. Así tenemos, por ejemplo: tetraedro (4 caras), pentaedro (5 caras), hexaedro (6 caras), heptaedro (7 caras), triacontaedro (30 caras), etc. Este método de designación tiene su equivalente en la nomenclatura de polígonos.

Bordes

Los bordes tienen dos características importantes (a menos que el poliedro sea complejo ):

• un borde simplemente une dos vértices;
• un borde simplemente une dos caras.

Estas dos características son duales .

Convexidad

Se dice que un poliedro es convexo si cualquier punto de cualquier segmento que une dos puntos cualesquiera del poliedro pertenece al poliedro. En otras palabras, un poliedro es convexo si todas sus diagonales están completamente contenidas dentro de su interior. Es posible dar una definición baricéntrica de tal poliedro: es la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos no coplanares .

Característica de Euler

Sea un poliedro. Si notamos:

• F{\ Displaystyle f} su número de caras,
• a{\ Displaystyle a} su número de aristas,
• s{\ Displaystyle s} su número de vértices,

llamamos a la característica de Euler el número

χ≡F-a+s{\ Displaystyle \ chi \ equiv f-a + s}

Para un poliedro convexo , esta característica es siempre igual a 2. Es la relación de Euler

χ≡F-a+s=2.{\ Displaystyle \ chi \ equiv f-a + s = 2.}

Dualidad

Para cada poliedro, hay un poliedro dual que tiene caras en lugar de los vértices originales y viceversa. En la mayoría de los casos, el dual se puede obtener mediante el proceso de reciprocidad esférica . El dual de un poliedro regular se puede construir uniendo los centros de caras adyacentes.

Poliedros simples

Un poliedro es una forma tridimensional que consta de un número finito de caras poligonales que son partes de planos  ; las caras se encuentran a lo largo de los bordes que son segmentos de la derecha , y los bordes se encuentran en los puntos designados picos. Los cubos , los prismas y las pirámides son ejemplos de poliedros.

Muy a menudo, el poliedro delimita un volumen limitado de espacio tridimensional. En ocasiones, este volumen interior se considera parte del poliedro; otras veces, solo se considera la superficie. Los poliedros tradicionales incluyen los cinco poliedros convexos regulares llamados sólidos platónicos  : el tetraedro (4 caras), el cubo (o hexaedro) (6 caras), el octaedro (8 caras), el dodecaedro regular (12 caras) y el icosaedro (20 caras). ). Los otros poliedros tradicionales son los cuatro poliedros regulares no convexos ( sólidos de Kepler-Poinsot ), los trece sólidos convexos de Arquímedes (cuboctaedro, icosidodecaedro, tetraedro truncado, cubo truncado, octaedro truncado, dodecaedro truncado, icosaedro truncado, icosidodecaedro truncado, icosaedro truncado, icosidodecaedro , cubo blando, dodecaedro blando y rombicosidodecaedro) y los 53 poliedros uniformes restantes.

Poliedro más pequeño

Un poliedro tiene al menos 4 caras, 4 vértices y 6 aristas. El poliedro más pequeño es el tetraedro.

Poliedros simétricos

Podemos definir varias clases de poliedros con simetrías particulares:

• vértice uniforme  : si todos los vértices son iguales, en el sentido de que para dos vértices cualesquiera, existe una simetría del poliedro aplicando el primero isométricamente al segundo;
• borde uniforme  : si todos los bordes son iguales, en el sentido de que para dos bordes cualesquiera, existe una simetría del poliedro aplicando el primero isométricamente al segundo;
• cara uniforme  (en)  : si todas las caras son iguales, en el sentido de que para dos caras cualesquiera, hay una simetría del poliedro aplicando la primera isométricamente a la segunda;
• cuasi regular  : si el poliedro tiene un borde uniforme pero no una cara uniforme ni un vértice uniforme;
• semi-regular  : si el poliedro tiene un vértice uniforme pero no una cara uniforme y cada cara es un polígono regular. (esta es una de las muchas definiciones del término, según el autor, que se superpone a la categoría cuasi regular);
• regular  : si el poliedro tiene un vértice uniforme, un borde uniforme y una cara uniforme. (la uniformidad de los vértices y la uniformidad de las aristas combinadas implica que las caras son regulares);
• uniforme  : si el poliedro tiene un vértice uniforme y cada cara es un polígono regular, es decir, es regular o semi-regular.

Llamamos a un sólido uniforme un sólido con todas las caras regulares y todos los vértices idénticos. También lo son todos los sólidos anteriores regulares y semi-regulares. En total son 75, a los que hay que añadir las dos familias infinitas de prismas y antiprismas .

Por supuesto, es fácil torcer tales poliedros de tal manera que ya no sean simétricos. Pero, cuando se da un nombre de poliedro, como icosidodecaedro , siempre está involucrada la geometría más simétrica, a menos que se indique lo contrario.

Los grupos de simetría poliédricos son todos grupos de puntos e incluyen:

• T - simetría tetraédrica quiral  ; el grupo de rotaciones del tetraedro regular  ; orden 12.
• T d - simetría tetraédrica completa  ; el grupo de simetría del tetraedro regular; orden 24.
• T h - simetría piritoédrica  ; orden 24. La simetría de un piritoedro .
• O - simetría octaédrica quiral  ; el grupo de rotaciones del cubo y el octaedro regular  ; orden 24.
• O h - completa simetría octaédrica  ; el grupo de simetría del cubo y el octaedro regular; orden 48.
• I - simetría icosaédrica quiral  ; el grupo de rotaciones del icosaedro y el dodecaedro regular  ; orden 60.
• I h - simetría icosaédrica completa  ; el grupo de simetría del icosaedro y el dodecaedro regular; orden 120.
• C nv - simetría piramidal con n pliegues
• D nh - n- pliegue simetría prismática
• D nv - simetría antiprismática n- pliegues

Los poliedros simétricos quirales no tienen simetría axial y, por lo tanto, tienen dos formas enantiomórficas que son reflejos entre sí. Los poliedros blandos tienen esta propiedad.

Poliedros regulares

Un poliedro regular tiene caras y vértices regulares. El dual de un poliedro regular también es regular.

Partamos de un vértice y tomemos los puntos ubicados a una distancia determinada en cada una de las aristas. Conectamos estos puntos, obtenemos el polígono del vértice . Si este es regular decimos que el top es regular. Un poliedro es regular si consta de todas las caras idénticas y regulares, y todos sus vértices son idénticos. Son nueve, convencionalmente divididos en dos familias:

• los cinco sólidos platónicos , o poliedros convexos regulares: tetraedro regular , cubo , octaedro , dodecaedro e icosaedro . Platón consideraba que estos sólidos eran la imagen de la perfección. Las matemáticas modernas relacionan estos ejemplos con la noción de grupo .

• Los cinco sólidos de Platón

• los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot , o poliedros estrellados regulares.

Poliedros cuasi-regulares y duales

Los poliedros cuasi regulares son caras regulares de superficie uniforme y borde uniforme . Hay dos convexos:

Los poliedros duales cuasi-regulares tienen un borde uniforme y una cara uniforme  (adentro) . Hay dos convexos, en correspondencia con los dos anteriores:

Poliedros semirregulares y sus duales

El término semi-regular se define de diversas formas. Una definición es "poliedros de vértice uniforme con dos o más tipos de caras poligonales". De hecho, son los poliedros uniformes que no son ni regulares ni cuasi regulares.

Un poliedro es semi-regular si sus caras están formadas por varios tipos de polígonos regulares y todos sus vértices son idénticos. También lo son, por ejemplo , los sólidos de Arquímedes , los prismas regulares y los antiprismas. La terminología no parece estar completamente arreglada. A veces se habla de sólidos semirregulares del primer tipo para designar aquellos de estos sólidos que son convexos , y de sólidos uniformes para el caso general. Los poliedros catalanes son semi-regulares, pero tienen caras idénticas y cimas regulares. A veces se dice que tales poliedros son semi-regulares del segundo tipo .

Los poliedros convexos y sus duales incluyen los conjuntos de:

	Uniforme convexo	Convexo doble	Uniforme estrellado	Estrella dual
Regular	Sólidos platónicos		Sólidos de Kepler-Poinsot
Casi regular	Sólidos de Arquímedes	Sólidos catalanes	(sin nombre especial)	(sin nombre especial)
Semi-regular			(sin nombre especial)	(sin nombre especial)
	Prismas	Diamantes	Prismas de estrella	Diamantes estrella
	Antiprismas	Trapezoedros	Antiprismas de estrellas	Estrella trapezoedro

También hay muchos poliedros uniformes no convexos , incluidos ejemplos de varios tipos de prismas.

Poliedros nobles

Un poliedro noble  (en) es isoédrico  (en) (lados iguales) e isogonal (esquinas iguales). Además de los poliedros regulares, hay muchos otros ejemplos.

El dual de un poliedro noble es también un poliedro noble.

Otros poliedros con caras regulares

Caras iguales regulares

Algunas familias de poliedros, donde cada cara es un polígono del mismo tipo:

• Los deltaedros tienen triángulos equiláteros por caras.
• Respecto a los poliedros cuyas caras son todas cuadrados: solo existe el cubo, si no se permiten caras coplanares , aunque estén desconectadas. De lo contrario, también está el resultado de pegar seis cubos en los lados de uno, los siete del mismo tamaño; tiene 30 caras cuadradas (contando como caras desconectadas en el mismo plano que separadas). Esto se puede extender a una, dos o tres direcciones: podemos considerar la unión de un gran número arbitrario de copias de estas estructuras, obtenidas por traslaciones de (expresado en tamaños cúbicos) (2,0,0), (0,2 , 0) y / o (0,0,2), por lo que cada par adyacente tiene un cubo en común. El resultado puede ser cualquier conjunto de cubos conectados con posiciones ( a , b , c ), con números enteros a , b , co como máximo uno es par.
• No existe un nombre particular para los poliedros que tienen todas las caras en forma de pentágonos o pentagramas equiláteros. Hay un número infinito de ellos, pero solo uno es convexo: el dodecaedro regular. El resto está ensamblado por (collages) combinaciones de poliedros regulares descritos anteriormente: el dodecaedro regular, el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro estrellado y el gran icosaedro .

No existe un poliedro cuyas caras sean todas iguales y que sean polígonos regulares con seis o más lados porque el punto de encuentro de tres hexágonos regulares define un plano. (ver poliedro infinito oblicuo para excepciones).

Deltahedra

Un deltaedro es un poliedro cuyas caras son todos triángulos equiláteros. Hay un número infinito de ellos, pero solo ocho son convexos:

• 3 poliedros convexos regulares (3 de sólidos platónicos)
  • tetraedro
  • octaedro
  • icosaedro
• 5 poliedros convexos no uniformes (5 de sólidos de Johnson)
  • diamante triangular
  • diamante pentagonal
  • difenoide ablandado
  • prisma triangular triaumentado
  • diamante cuadrado giroelongado

Los sólidos de Johnson

Norman Johnson buscó poliedros no uniformes con caras regulares. En 1966 publicó una lista de 92 sólidos convexos, ahora conocidos como sólidos de Johnson , y les dio sus nombres y números. No probó que solo había 92, pero supuso que no había más. Victor Zalgaller  (en) en 1969 demostró que la lista de Johnson estaba completa.

Las otras familias de poliedros

Las pirámides

Las pirámides son autodual.

Stellations y facetas

La estelación de un poliedro es el proceso de expansión de caras (en sus planos), es decir, se encuentran para formar un nuevo poliedro.

Es el inverso exacto del facetado, que es el proceso de eliminar partes de un poliedro sin crear nuevos vértices. El facetado permite obtener, entre otras cosas, muchos nuevos sólidos cóncavos semirregulares. Construimos nuevas caras regulares agrupando las aristas de un poliedro semi-regular. El más simple es un heptaedro construido a partir del octaedro, que consta de tres caras cuadradas y cuatro caras triangulares.

Truncamientos

Es la operación que consiste en cepillar un vértice o una arista. Conserva las simetrías del sólido.

Truncamiento de vértices

Esta operación permite obtener siete de los sólidos de Arquímedes a partir de los sólidos platónicos. En efecto, notamos que al cepillar cada vez más las aristas de un cubo se obtiene sucesivamente el cubo truncado , el cuboctaedro , el octaedro truncado y finalmente el octaedro . También puede seguir esta serie en la otra dirección.

Partiendo del dodecaedro regular, obtenemos el dodecaedro truncado , el icosidodecaedro , el icosaedro truncado (que le da forma al balón de fútbol), luego el octaedro .

El tetraedro da el tetraedro truncado .

Podemos aplicar esta operación al gran dodecaedro o al gran icosaedro y obtener sólidos cóncavos uniformes.

Truncamiento de borde

A partir de un cubo, esta operación da sucesivamente un cuboctaedro , luego un dodecaedro rómbico .

De un dodecaedro regular , obtenemos el icosidodecaedro y luego el triacontaedro rómbico .

Los compuestos

Los compuestos poliédricos se forman como compuestos de dos o más poliedros.

Estos compuestos a menudo comparten los mismos vértices que otros poliedros y a menudo se forman por estelación. Algunos se enumeran en la lista de poliedros modelo Wenninger  (en) .

Zonohedra

Un zonoedro es un poliedro convexo donde cada cara es un polígono con simetría inversa o, equivalentemente, rotaciones de 180 °.

Generalizaciones de poliedros

La palabra "poliedro" se ha utilizado para una variedad de objetos con propiedades estructurales similares a los poliedros tradicionales.

Poliedros complejos

Un poliedro complejo  (en) es un poliedro que se construye en un espacio de tres dimensiones complejas. Este espacio tiene seis dimensiones: tres dimensiones reales correspondientes al espacio ordinario, con una dimensión imaginaria acompañando a cada una.

Poliedros curvos

Algunos campos de estudio permiten que los poliedros tengan caras y aristas curvas.

Poliedros esféricos

La superficie de una esfera se puede dividir por arcos de círculos grandes (regiones delimitadas llamadas polígonos esféricos ) para formar un poliedro esférico . Este punto de vista es muy adecuado para demostrar gran parte de la teoría de los poliedros simétricos.

Los poliedros curvos llenando el espacio

Los dos tipos importantes son:

• Las burbujas en las espumas y la espuma.
• Formas que llenan el espacio utilizado en arquitectura .

Poliedros generales

Más recientemente, los matemáticos han definido un poliedro como un conjunto en un espacio real afín (o euclidiano ) de cualquier dimensión n que tiene lados planos. Se puede definir como la unión de un número finito de poliedros convexos, donde un poliedro convexo es cualquier conjunto que sea la intersección de un número finito de medios espacios . Puede ser acotado o ilimitado. En este sentido, un politopo es un poliedro acotado.

Todos los poliedros tradicionales son poliedros generales, y además, hay ejemplos como:

• Un cuadrante en el plano. Por ejemplo, la región del plano cartesiano que consta de todos los puntos por encima del eje xy a la derecha del eje y: {( x , y ) | x ≥ 0, y ≥ 0}. Sus lados son los dos ejes positivos.
• Un octante en el espacio tridimensional euclidiano, {( x , y , z ) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.
• Un prisma de extensión infinita. Por ejemplo, un prisma cuadrado doblemente infinito en un espacio tridimensional, que consiste en un cuadrado en el plano xy escaneado a lo largo del eje z  : {( x , y , z ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
• Cada celda en un mosaico de Voronoi es un poliedro convexo. En el mosaico de Voronoi de un conjunto S , la celda A correspondiente a un punto c ∈ S está acotada (y por lo tanto es un poliedro tradicional) cuando c se coloca dentro del casco convexo de S , y en caso contrario (cuando c se coloca en el límite del casco convexo de S ) A no tiene límites.

Algunos ejemplos de poliedros en las artes visuales y la arquitectura

• Pirámides de Giza
• Los poliedros regulares dibujados por Leonardo da Vinci , para ilustrar la Divina Proporción, por Luca Pacioli
• Retrato de Luca Pacioli, de Jacopo de 'Barbari , 1495
• Melencolia I de Albrecht Dürer , 1514. Se muestra un poliedro de ocho lados . Cabe señalar que Alberto Durero y Jacopo de 'Barbari se conocían.
• Los "cubos" de Alberto Giacometti , 1934, que hacen referencia al poliedro de Durero
• Estrellas de Maurits Cornelis Escher , 1948
• Muchas pinturas y esculturas de Sol LeWitt representan poliedros.
• Tony Smith , otro artista minimalista, usó estas formas geométricas, por ejemplo, Wandering Rocks, Milwaukee, 1967
• Le Kinémax du Futuroscope , 1987, Denis Laming
• La pirámide del Louvre , 1988, Ieoh Ming Pei
• La serie Melancholia de Anselm Kiefer , comienza en 1988 y se refiere a Durero.
• Maratón de Henk Visch, Rotterdam, 2001. Un poliedro irregular y coloreado.
• Poliedros irregulares denominados Moduloform por el NeoConsortium
• Los muelles - Cité de la Mode et du Design, París, 2008, mueble Jacob + Mac Farlane
• La Caverne du Pont d'Arc , 2015, Vallon-Pont-d'Arc, gabinete Fabre / Speller

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Polyhedron  " ( ver la lista de autores ) .

1. francés escribe poliedro , mientras que el inglés escribe poliedro . En griego antiguo, la aspiración se escribe con la raíz ἕδρα ( hedra ), pero no se puede escribir con la palabra compuesta πολύεδρον ( polyedron ).
2. En un comentario que se cita con frecuencia pero que se aplica raras veces, Grünbaum (1994) observó que:

   “ El pecado original en la teoría de los poliedros se remonta a Euclides, luego a través de Kepler, Poinsot , Cauchy , Hess  (de) , Brückner… [en esto] que en cada etapa… los autores no lograron definir qué“ son ”poliedros“… ”

   . Véase también Grünbaum 2003 .
3. La página "Polígono" contiene una lista de prefijos griegos utilizados para nombrar polígonos. Simplemente reemplace -gone con -èdre.
4. (en) Eric W. Weisstein , "  piritoedro  " en MathWorld .
5. Por ejemplo, ver (en) HSM Coxeter , Regular polytopes Complex , CUP , 1974.
6. Por ejemplo, ver (en) Peter Pearce  (en) , Structure in Nature Is a Strategy for Design , MIT , vista previa de 1978 en Google Books .

Ver también

Bibliografía

• Guy Le Berre, L'Évasion des polyèdres , Mathématières, Quimper, 2006 ( ISBN  2-9526355-0-1 )
• (en) Branko Grünbaum , “Polyhedra with hollow faces” , en T. Bisztriczky, P. McMullen  (en) , R. Schneider y A. Ivić Weiss, Polytopes: Abstract, Convex and Computational , Springer ,1994( DOI  10.1007 / 978-94-011-0924-6_3 ) , pág.  43-70
• (es) Branko Grünbaum, “¿Son sus poliedros los mismos que mis poliedros? » , En B. Aronov  (en) , S. Basu, J. Pach y M. Sharir  (en) , Geometría discreta y computacional - The Goodman  (en) - Pollack  (en) Festschrift , Springer,2003( leer en línea ) , pág.  461-488
• Adrien Javary , Tratado de geometría descriptiva , vol. 1: La línea recta, el plan, los poliedros , 1881, [ presentación en línea ] , [ leer en línea ] (en Gallica )
• Louis Joly, Polyèdres regulares, semi-regulares y compuestos , Blanchard, 1992 ( ISBN  2-85367-049-X )
• Michèle Minguin-Debray, L'Atelier des polyèdres , ACL-les Éditions du Kangourou, 2001 ( ISBN  2-87694-085-X )
• Archivos PLOT, Poliedros en el espacio , APMEP ,Marzo de 1987
• (en) Magnus Wenninger  (en) , Modelos duales , CUP ,2003( 1 st  ed. 1983), 172  p. ( ISBN  978-0-521-54325-5 , leer en línea )

Artículos relacionados

• Espacio poliédrico  ( pulgadas )
• Poliedro oblicuo infinito
• Poliedro proyectivo  ( pulg )
• Poliedro toroidal  ( pulg )
• Politopo
• Politopo abstracto
• Teorema de los cuatro colores

enlaces externos

• (es) Applet de Java para proyectar politopos 4D en el espacio 3D
• (fr) Páginas muy completas, en francés, con subprogramas LiveGraphics3D
• (es) La enciclopedia de los poliedros

Recursos de construcción de modelos físicos

• Modelos de papel poliédrico Red poliedro libre
• Instrucciones sencillas para construir más de 30 poliedros de papel
• Poliedro con laminación : modelos poliédricos construidos sin la ayuda de pegamento.
• Adopte un poliedro : visualización interactiva, redes y datos para fines de impresión 3D para todos los tipos combinatorios de politopos hasta 9 vértices