Polígono estrella regular

En geometría , un polígono en estrella regular (que no debe confundirse con una parte en estrella ) es un polígono regular no convexo . Los polígonos con estrellas no regulares no están definidos formalmente.

Branko Grünbaum identifica dos nociones primarias utilizadas por Kepler , una es el polígono estrella regular con bordes que se cruzan que no generan nuevos vértices, y la otra son polígonos cóncavos simples.

Etimología

Cuando el polígono estrella tiene pocos vértices o lados, su nombre puede combinar un prefijo numérico, como penta- para un número cinco de vértices o lados, con el sufijo griego -gone o -gramme (el nombre del polígono es entonces pentágono , o pentagrama para un pentágono estrella). El prefijo más común proviene del griego, pero nona- por ejemplo proviene del latín, en el nombre " nonagrama " de un polígono con nueve vértices, también llamado " eneagrama ".

Polígono estrella regular

{5/2}

{7/2}

{7/3} ...

Un polígono regular estrellado es un polígono equiangular y equilátero que se auto-interseca, creado conectando un vértice de un polígono regular con p lados a otro vértice no adyacente y continuando el proceso hasta volver al primer vértice. Alternativamente, para los números enteros p y q , se puede considerar como una construcción de conectar todos los q vértices-ésima de un conjunto de p vértices regularmente espaciados y colocados en un círculo. Por ejemplo, en un pentágono regular, se puede obtener una estrella de cinco puntas trazando una línea del primer punto al tercero, luego del tercero al quinto, luego del quinto al segundo, luego del segundo al segundo. cuarto, y finalmente del cuarto al primero. En resumen, se puede obtener un polígono en estrella regular mirando un polígono convexo regular.

Un polinomio regular con estrella se denota por su símbolo de Schläfli { p / q }, donde p y q son coprimos y q ≥ 2.

El grupo de simetría de { n / k } es el grupo diedro D n de orden 2 n independiente de k .

Los polígonos regulares con estrellas fueron primero estudiados sistemáticamente por Thomas Bradwardine y más tarde por Kepler .

Polígono estrella degenerado

Si p y q no son primos entre sí, un generadas resultados de polígonos de coincidir vértices y aristas. Por ejemplo, {6/2} aparecerá como un triángulo, pero se puede denotar con dos conjuntos de vértices 1-6. Este fenómeno no debe verse como dos triángulos superpuestos, sino como un único polígono en bucle sobre sí mismo.

Polígono estrella simple isotoxal

Cuando se eliminan las líneas que se cruzan, los polígonos de estrellas no son regulares, pero pueden verse como isotoxaux cóncavos simples de 2n - gones . Branko Grünbaum representa estas estrellas por | n / a |. Tienen la misma geometría que los polígonos { n / d } con una notación {n α } más general que representa una estrella con n ramas cada una con un ángulo interno de α <180 (1 - 2 / n ) grados. Para | n / d |, los vértices internos tienen un ángulo externo β de 360 ​​( d -1) / n

Ejemplos de polígonos de estrellas simples isotoxales

| n / a | {n α }	{3 30 ° }	{6 30 ° }	| 5/2 | {5 36 ° }	{4 45 ° }	| 8/3 | {8 45 ° }	| 6/2 | {6 60 ° }	{5 72 ° }
α	30 °		36 °	45 °		60 °	72 °
β	150 °	90 °	72 °	135 °	90 °	120 °	144 °
Estrella isotóxica
Polígono asociado   {n / A}	{12/5}		{5/2}	{8/3}		{6/2}	{10/3}

Estos polígonos se observan a menudo en modelos de teselación. El ángulo paramétrico α se puede elegir para que se corresponda con los ángulos internos de los polígonos vecinos en tales modelos.

Ejemplo de teselaciones con polígonos de estrellas isotoxales

Triángulos de estrellas	Cuadrados de estrellas	Hexágonos de estrella		Octágonos estrella
(3,3 * α, 3,3 ** α)	(8.4 * π / 4.8.4 * π / 4)	(6,6 * π / 3,6,6 * π / 3)	(6,6 * π / 3,6,6 * π / 3)	No de borde a borde

Interiores de polígono de estrellas

El interior de un polígono estelar se puede interpretar de varias formas. Tres de estas interpretaciones se ilustran para un pentagrama. Branko Grünbaum y Geoffrey Shephard consideran dos de ellos como polígonos estrellados regulares y 2n -gones isogonales cóncavos .

Éstas incluyen:

• el lado derecho hacia arriba en un lado, un lado se trata como el exterior y el otro como el interior: esta es la interpretación de la izquierda (en rojo) en la ilustración;
• el número de veces que un polígono cubre una región determinada determina su densidad. El exterior recibe densidad cero y cualquier región con densidad distinta de cero se trata en el interior; esta es la interpretación del medio (en amarillo);
• donde se puede trazar una línea entre dos lados, la región donde se ubica se considera que está dentro de la figura. Esta es la interpretación de la derecha (en azul).

Cada uno de los enfoques anteriores conduce a dar al polígono un área diferente.

Polígonos estelares en el arte y la cultura

Los polígonos de estrellas ocupan un lugar destacado en el arte y la cultura. Ya sean regulares o no, siempre son muy simétricos. Podemos citar por ejemplo:

• La estrella pentágono {5/2}, también conocida como pentagrama , pentalfa o pentágono, e históricamente considerada en muchos cultos mágicos y religiosos por tener un significado oculto  ;
• Los polígonos estelares {7/3} y {7/2}, conocidos como heptagramas  y que también comparten un significado oculto, particularmente en la  Cabalá  y la Wicca  ;
• El polígono estelar {8/3}, octagrama, es uno de los patrones geométricos comúnmente utilizados en el arte y la arquitectura del pueblo mongol. Uno se puede encontrar en el escudo de armas de Azerbaiyán  ;
• Se usó un endecagrama , una estrella de once puntas, en la tumba de  Sha-h Ni'matulla-h Wali .

Un octagrama rojo {8/3} integrado en un  octágono  negro regular.

Sello de Salomón (con círculo y puntos).

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Star polygon  " ( ver la lista de autores ) .

1. (en) B. Grünbaum y GC Shephard, Tilings and Patterns , Nueva York, Freeman,1987( ISBN  0-7167-1193-1 ), sección 2.5.
2. (en) HSM Coxeter , Politopos regulares , Dover ,1973, 321  p. ( ISBN  978-0-486-61480-9 , leer en línea ) , pág.  93.
3. (en) Eric W. Weisstein , "  Star Polygon  " en MathWorld .
4. (en) HSM Coxeter, Introducción a la geometría , 2 ª  ed. , cap.  2.8 ("Polígonos en estrella") , pág.  36-38.
5. (en) Branko Grünbaum, "¿Son sus poliedros poliedros mis mismos que él? » , En geometría discreta y computacional ,2003( leer en línea ) , pág.  461-488.
6. (in) HSM Coxeter, "  El densificado de los politopos regulares  " , Proc. Camb. Philos. Soc. , vol.  27,1931, p.  201-211, p.  43  : Parte del texto en inglés que se traducirá al francés

   Texto en inglés para traducir:
   si d es impar, el truncamiento del polígono {p / q} es naturalmente {2n / d}.

   Traducir este texto • Herramientas • (+) .
7. (en) Joseph Myers, "  Mosaico con estrella de polígonos regulares  " , Eureka , vol.  56,2004, p.  20-27 ( leer en línea ).
8. (in) Branko Grünbaum y Geoffrey C. Shephard, "  Tilings by Regular Polygons  " , Revista de matemáticas , vol.  50,1977, p.  227-247 ( leer en línea )y n o  51, 1978 p.  205-206 .