Superficie (geometría analítica)

En geometría analítica , se representan las superficies , es decir, los conjuntos de puntos sobre los que localmente es posible ubicarse utilizando dos coordenadas reales, por relaciones entre las coordenadas de sus puntos, que se denominan ecuaciones de la superficie o por paramétricas. representaciones.

Este artículo estudia las propiedades de las superficies que este enfoque (a menudo llamado extrínseco ) permite describir. Para obtener resultados más detallados, consulte Geometría diferencial de superficies .

Propiedades afines

Se asume a lo largo de este artículo que hemos proporcionado espacio con un sistema de coordenadas , en el que se expresan todas las coordenadas.

Representación paramétrica

Un mantel parametrizado son los datos de tres funciones de dos variables (definidas en un disco abierto, un rectángulo o más generalmente uno abierto de ) R2{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

X=F(tu,v),y=gramo(tu,v)z=h(tu,v){\ Displaystyle x = f (u, v), \, y = g (u, v) \, z = h (u, v)}.

que representan las coordenadas de un punto M con respecto a un sistema de coordenadas(O,I→,j→,k→){\ displaystyle (O, {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}})}

Queremos decir que una superficie es la imagen de un mantel parametrizado. Pero son necesarias algunas precauciones: si tomamos f ( u , v ) = u , g ( u , v ) = h ( u , v ) = 0 tenemos un mantel parametrizado cuya imagen es una línea recta.

En el caso donde es inyectivo, cualquier punto M de S admite un par único ( u , v ) para antecedente. F→=(F,gramo,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}

Un caso particular importante de una capa parametrizada es el del gráfico de una función de dos variables: cuando . Luego obtenemos una superficie representada por la ecuación cartesiana . X=tu,y=v,z=h(tu,v){\ Displaystyle x = u, y = v, z = h (u, v)} z=h(X,y){\ Displaystyle z = h (x, y)}

Ecuación de una superficie

Dada una función H de tres variables, el conjunto de puntos M cuyas coordenadas, en el marco de referencia que nos hemos dado verifican H (x, y, z) = 0 es una superficie. Cuando en la vecindad de un punto de S , la ecuación se puede resolver en z , volvemos, en esta vecindad, a la ecuación cartesiana . Este es el caso cuando . (X0,y0,z0){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}H(X,y,z)=0{\ Displaystyle H (x, y, z) = 0}z=h(X,y){\ Displaystyle z = h (x, y)}∂H∂z(X0,y0,z0)≠0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial H} {\ parcial z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}

Más detalles

Si uno está satisfecho con los puntos de vista que preceden, obtiene ejemplos que sería mejor excluir (cf. el mantel ). Además, pasar de la parametrización a una ecuación o viceversa no es fácil. (tu,v)↦(tu,0,0){\ Displaystyle (u, v) \ mapsto (u, 0,0)}

Un mantel parametrizado es regular si F→=(F,gramo,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}

1. F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}es claseVS1{\ Displaystyle C ^ {1}}
2. los vectores y son linealmente independientes en todas partes.∂F→∂tu{\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ overrightarrow {F}}} {\ parcial u}}}∂F→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ overrightarrow {F}}} {\ parcial v}}}

Ejemplos de

• El mantel parametrizado asociado a una superficie de ecuación cartesiana z = h ( x , y ) es regular (si h es )VS1{\ Displaystyle C ^ {1}}

• Si F es , y si sus derivadas parciales no se cancelan simultáneamente , entonces es localmente un gráfico, de acuerdo con el teorema de la función implícita.VS1{\ Displaystyle C ^ {1}}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}

De hecho, un caso especial del teorema de la función implícita es el siguiente resultado.

Teorema  -  Para una parte, las siguientes dos propiedades son equivalentes: S⊂R3{\ Displaystyle S \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {3}}

• Para todo existe un abierto U de tal manera que es la imagen de un mantel parametrizada regular.METRO∈S{\ Displaystyle M \ in S}R3{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}U∩S{\ Displaystyle U \ cap S}
• Para existe un abierto V de como o bien (después de cambiar las coordenadas si es necesario) la gráfica de una función .METRO∈S{\ Displaystyle M \ in S}R3{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}V∩S{\ Displaystyle V \ cap S}VS1{\ Displaystyle C ^ {1}}

En la práctica, las superficies que se estudian suelen ser reuniones de imágenes de capas regulares. Cuando este no es el caso, lo analizamos caso por caso.

Ejemplos de

• La esfera con centro O y radio 1 tiene la ecuación . También podemos considerar el mantel parametrizadoX2+y2+z2=1{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}

(tu,v)↦(porque⁡tuporque⁡v,pecado⁡tuporque⁡v,pecado⁡v){\ Displaystyle (u, v) \ mapsto (\ cos u \ cos v, \ sin u \ cos v, \ sin v)}

que es regular e inyectiva pero no sobreyectiva. Los números de U y V corresponden a la longitud y latitud de los geógrafos. Pero la regularidad está perdida . En cualquier caso, es imposible realizar toda la esfera con una capa inyectiva regular: tal capa daría un homeomorfismo de la esfera con un plan abierto. [0,2π[×]-π2,π2[{\ Displaystyle [0,2 \ pi [\ times] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} [}v=±π2{\ Displaystyle v = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}

• la ecuación representa el cono de revolución con eje Oz y ángulo .z2=X2+y2{\ Displaystyle z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}π4{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}

Esta es la imagen del mantel parametrizado

(r,θ)↦(rporque⁡θ,rpecado⁡θ,r){\ Displaystyle (r, \ theta) \ mapsto (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, r)}

que es regular sin embargo . r≠0{\ Displaystyle r \ not = 0}

• una superficie de revolución con eje Oz se puede producir mediante una ecuación de la forma (con ) o una hoja parametrizada .F(r,z)=0{\ Displaystyle F (r, z) = 0}r=X2+y2{\ Displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}(r,θ)↦(rporque⁡θ,rpecado⁡θ,F(r)){\ Displaystyle (r, \ theta) \ mapsto \ left (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, f (r) \ right)}

Curvas coordinadas

Sea S la superficie definida por con (constante), esta superficie de ecuación se llama curva de coordenadas . OMETRO→=F→(tu,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v)}v=v0{\ Displaystyle v = v_ {0}}OMETRO→=F→(tu,v0){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v_ {0})}VSv0{\ Displaystyle C_ {v_ {0}}}

Cuando a través de todos los valores aceptables , la reunión de las curvas es la superficie S . v0{\ Displaystyle v_ {0}}v0,v1,v2,...vno{\ Displaystyle v_ {0}, v_ {1}, v_ {2}, ... v_ {n}}VSv0,VSv1,VSv2,...VSvno,{\ Displaystyle C_ {v_ {0}}, C_ {v_ {1}}, C_ {v_ {2}}, ... C_ {v_ {n}},}

El mismo proceso es válido para la definición de las curvas de la ecuación . VStu0{\ Displaystyle C_ {u_ {0}}}OMETRO→=F→(tu0,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u_ {0}, v)}

Curva dibujada en una superficie

Está definido por una aplicación y está formado por todos los puntos M de la ecuación: t↦F(tu,v){\ Displaystyle t \ mapsto f (u, v)}

OMETRO→=F→(tu(t),v(t)){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u (t), v (t))}Contenido en S y dicho dibujado en S .

Tangentes y plano tangente a una superficie

Llamamos tangente a una superficie S en el punto cualquier tangente a una curva dibujada en S que contiene . METRO0{\ Displaystyle M_ {0}}METRO0{\ Displaystyle M_ {0}}

Sea una función y, en la vecindad de , el vector y las derivadas parciales continuas en . F{\ Displaystyle f}(tu,v)↦OMETRO→(tu,v){\ Displaystyle (u, v) \ mapsto {\ overrightarrow {OM}} (u, v)}tu0,v0{\ Displaystyle u_ {0}, v_ {0}}∂METRO→∂tu{\ Displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial u}}}∂METRO→∂v{\ Displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial v}}}tu0,v0{\ Displaystyle u_ {0}, v_ {0}}

Si los vectores y son independientes (no colineales), todos los vectores tangentes a las curvas dibujadas y que pasan por este punto están en el plano que pasa y contiene estos dos vectores. Es por definición el plano tangente al punto . ∂METRO→∂tu{\ Displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial u}}}∂METRO→∂v{\ Displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial v}}}METRO0{\ Displaystyle M_ {0}}S{\ Displaystyle S}METRO0{\ Displaystyle M_ {0}}S{\ Displaystyle S}METRO0{\ Displaystyle M_ {0}}

Sea un plano tangente definido por el punto y dos vectores no colineales: METRO0(X0,y0,z0){\ Displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}

∂METRO→∂tu0=(∂X∂tu0,∂y∂tu0,∂z∂tu0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial u_ {0}}} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial x} {\ parcial u_ {0}}}, {\ frac { \ parcial y} {\ parcial u_ {0}}}, {\ frac {\ parcial z} {\ parcial u_ {0}}} \ derecha)}, y ∂METRO→∂v0=(∂X∂v0,∂y∂v0,∂z∂v0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial v_ {0}}} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial x} {\ parcial v_ {0}}}, {\ frac { \ parcial y} {\ parcial v_ {0}}}, {\ frac {\ parcial z} {\ parcial v_ {0}}} \ derecha)}

Su ecuación es:

|X-X0∂X∂tu0∂X∂v0y-y0∂y∂tu0∂y∂v0z-z0∂z∂tu0∂z∂v0|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} y {\ frac {\ partial x} {\ partial u_ {0}}} y {\ frac {\ partial x} {\ partial v_ {0}} } \\ y-y_ {0} y {\ frac {\ parcial y} {\ parcial u_ {0}}} y {\ frac {\ parcial y} {\ parcial v_ {0}}} \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ parcial z} {\ parcial u_ {0}}} & {\ frac {\ parcial z} {\ parcial v_ {0}}} \ end {vmatrix}} = 0 \,}

Por ejemplo si la ecuación de es de la forma , por plantear y tenemos: S{\ Displaystyle S \,}z=h(X,y){\ Displaystyle z = h (x, y) \,}pag=hX′(X0,y0),{\ Displaystyle p = h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}q=hy′(X0,y0),{\ Displaystyle q = h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}

z-z0=pag(X-X0)+q(y-y0){\ Displaystyle z-z_ {0} = p (x-x_ {0}) + q (y-y_ {0}) \,}

Si la ecuación tiene una forma implícita y si una derivada parcial de f en no es cero, podemos reducir al caso anterior con el teorema de la función implícita. Por ejemplo , si podemos escribir y tenemos S{\ Displaystyle S \,}F(X,y,z)=0{\ Displaystyle f (x, y, z) = 0 \,}(X0,y0,z0){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}Fz′(X0,y0,z0)≠0{\ Displaystyle f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}z=h(X,y){\ Displaystyle z = h (x, y) \,}

hX′(X0,y0)=-FX′(X0,y0,z0)Fz′(X0,y0,z0) mit hy′(X0,y0)=-Fy′(X0,y0,z0)Fz′(X0,y0,z0){\ Displaystyle h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} )} {f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \ \ mathrm {y} \ h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} {f' _ {z} (x_ {0}, y_ {0} , z_ {0})}} \,}.

Luego se escribe la ecuación del plano tangente

(X-X0)FX′(X0,y0,z0)+(y-y0)Fy′(X0,y0,z0)+(z-z0)Fz′(X0,y0,z0)=0{\ Displaystyle (x-x_ {0}) f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (y-y_ {0}) f' _ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (z-z_ {0}) f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = 0},

o, en forma de vector,

METRO0METRO→⋅gramorParaD F(METRO0)=0{\ Displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) = 0}.

Propiedades métricas

Normal a una superficie

El plano tangente a la superficie en el punto es generado por los vectores y . S{\ Displaystyle S \,}METRO0{\ Displaystyle M_ {0} \,}∂METRO→∂tu0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial u_ {0}}}}∂METRO→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial v_ {0}}}}

Se llama normal a la superficie en el punto de la normal al plano tangente: por lo tanto, admite vector director . S{\ Displaystyle S \,}METRO0{\ Displaystyle M_ {0} \,}∂METRO→∂tu0∧∂METRO→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial u_ {0}}} \ wedge {\ frac {\ overrightarrow {\ parcial M}} {\ parcial v_ {0}}}}

Sus ecuaciones son:

X-X0∂(y,z)∂(tu0,v0)=y-y0∂(z,X)∂(tu0,v0)=z-z0∂(X,y)∂(tu0,v0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ partial (y, z)} {\ partial (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ parcial (z, x)} {\ parcial (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ parcial (x, y)} {\ parcial (u_ {0}, v_ {0})}}}},

con, por ejemplo, el jacobiano igual a . ∂(y,z)∂(tu0,v0){\ Displaystyle {\ frac {\ partial (y, z)} {\ partial (u_ {0}, v_ {0})}}}|∂y∂tu0∂y∂v0∂z∂tu0∂z∂v0|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ y parcial} {\ u_ parcial {0}}} y {\ frac {\ y parcial} {\ parcial v_ {0}}} \\ {\ frac { \ parcial z} {\ parcial u_ {0}}} y {\ frac {\ parcial z} {\ parcial v_ {0}}} \ end {vmatrix}}}

En el caso de que la superficie esté definida por una ecuación cartesiana , la ecuación de la normal en el punto está dada por S{\ Displaystyle S \,}z=h(X,y){\ Displaystyle z = h (x, y)}S{\ Displaystyle S \,}METRO0{\ Displaystyle M_ {0} \,}

X-X0pag=y-y0q=z-z0-1{\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {p}} = {\ frac {y-y_ {0}} {q}} = {\ frac {z-z_ {0}} {- 1} } \,}

En el caso donde la superficie está definida por una ecuación implícita , la normal en en el punto tiene para dirigir el vector el gradiente de en , y la ecuación se escribe S{\ Displaystyle S \,}F(X,y,z){\ Displaystyle f (x, y, z)}S{\ Displaystyle S \,}METRO0{\ Displaystyle M_ {0} \,}F{\ Displaystyle f \,}METRO0{\ Displaystyle M_ {0} \,}

(X-X0)FX′(X0,y0,z0)=(y-y0)Fy′(X0,y0,z0)=(z-z0)Fz′(X0,y0,z0){\ displaystyle {\ frac {(x-x_ {0})} {f_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {( y-y_ {0})} {f_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {(z-z_ {0})} {f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \,},

o, en forma vectorial:

METRO0METRO→=ρ⋅gramorParaD F(METRO0),ρ∈R{\ Displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = \ rho \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ rho \ in \ mathbb {R}}.

Intersección de dos superficies

Sea la curva , intersección de superficies y cuyas ecuaciones son: VS{\ Displaystyle C \,}S1{\ Displaystyle S_ {1} \,}S2{\ Displaystyle S_ {2} \,}

S1↦F(X,y,z)=0{\ Displaystyle S_ {1} \ mapsto f (x, y, z) = 0}y .S2↦gramo(X,y,z)=0{\ Displaystyle S_ {2} \ mapsto g (x, y, z) = 0}

Cada una de estas dos superficies admite un plano tangente en , respectivamente, anotado y . METRO0(X0,y0,z0){\ Displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}PAG1{\ Displaystyle P_ {1} \,}PAG2{\ Displaystyle P_ {2} \,}

La recta resultante de la intersección de los planos y es la tangente en . PAG1{\ Displaystyle P_ {1} \,}PAG2{\ Displaystyle P_ {2} \,}METRO0{\ Displaystyle M_ {0}}VS{\ Displaystyle C \,}

Admite como vector rector:

W→=gramorParaD F(METRO0)∧gramorParaD gramo(METRO0){\ Displaystyle {\ overrightarrow {W}} = \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) \ wedge \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0})}

Sea la ecuación:

X-X0∂(F,gramo)∂(y0,z0)=y-y0∂(F,gramo)∂(z0,X0)=z-z0∂(F,gramo)∂(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ partial (f, g)} {\ partial (y_ {0}, z_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ parcial (f, g)} {\ parcial (z_ {0}, x_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ parcial (f, g)} {\ parcial (x_ {0}, y_ {0})}}}}

Se define la ecuación del plano normal a en el plano , VS{\ Displaystyle C \,}METRO0{\ Displaystyle M_ {0} \,}METRO0,gramorParaD F(METRO0),gramorParaD gramo(METRO0){\ Displaystyle M_ {0}, \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0}) \,}

Su ecuación es:

|X-X0∂F∂X(METRO0)∂gramo∂X(METRO0)y-y0∂F∂y(METRO0)∂gramo∂y(METRO0)z-z0∂F∂z(METRO0)∂gramo∂z(METRO0)|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} y {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (M_ {0}) y {\ frac {\ partial g} {\ partial x} } (M_ {0}) \\ y-y_ {0} & {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} (M_ {0}) & {\ frac {\ parcial g} {\ parcial y} } (M_ {0}) \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}} (M_ {0}) & {\ frac {\ parcial g} {\ parcial z} } (M_ {0}) \ end {vmatrix}} = 0 \,}

Ver también

Bibliografía

• Michèle Audin , Geometría (capítulo 8), Belin 2008, ( ISBN  2-7011-2130-2 )

Artículos relacionados

• Superficie de revolución , superficie reglada , superficie desarrollable y superficie mínima
• Derivado de vector
• Propiedades métricas de líneas y planos
• Degradado
• Integral de superficie
• Geometría diferencial de superficies

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">