Bisectriz

En matemáticas , informalmente, una bisectriz es una media línea que corta un ángulo en dos ángulos iguales. Esta noción se puede generalizar nombrando la línea que se superpone a la media línea.

Definición

La bisectriz de un ángulo lo divide en dos sectores angulares superponibles. Es una media línea resultante del vértice del sector angular.

Proposición: el eje de simetría de un sector angular lleva su bisectriz.

Demostración

Si A, B e I son tres puntos no alineados, denotamos por B 'la simétrica de B con respecto a la recta (AI).

Como A está en el eje de simetría, AB = AB '. Por tanto, el triángulo BAB 'es isósceles con vértice A.
Por construcción, (AI) es un eje de simetría del triángulo.
La simetría axial conserva los ángulos: ∠BAI = ∠IAB '. [AI) es, por tanto, la bisectriz del ángulo en A.

Con un golpe de la brújula, siempre podemos hacer que aparezca un triángulo isósceles en un sector angular. El eje de simetría del triángulo isósceles también es el eje de simetría del sector angular. CQFD

Nota: Puede ser conveniente decidir llamar a la bisectriz del eje completo y no solo a la media línea contenida en el sector angular.

El teorema de la bisectriz

El teorema de la bisectriz : cualquier punto de la bisectriz de un ángulo es equidistante de los lados de ese ángulo.

Demostración

Denotamos la bisectriz del ángulo . es un punto de . Sean y los proyectos ortogonales de respectivamente on y on . ${\ Displaystyle [Oz) \,}$ ${\ Displaystyle {\ widehat {xOy}} \,}$ $A\,$ ${\ Displaystyle [Oz) \,}$ $B \,$ $VS \,$ $A\,$ ${\ Displaystyle [Buey) \,}$ ${\ Displaystyle [Oy) \,}$

Sabemos que la distancia de A a es AB; asimismo la distancia de A al este . ${\ Displaystyle [Buey) \,}$ ${\ Displaystyle [Oy) \,}$ ${\ Displaystyle AC \,}$

Hipotéticamente . ${\ displaystyle {\ widehat {xOz}} = {\ widehat {yOz}} = \ alpha \,}$

Las relaciones trigonométricas en los triángulos rectángulos OAC y OAB dan: y por lo tanto . CQFD ${\ Displaystyle AB = OA \ times \ sin (\ alpha) \,}$ ${\ Displaystyle AC = OA \ times \ sin (\ alpha) \,}$ ${\ Displaystyle AB = AC \,}$

Por el contrario, un punto equidistante de los lados del ángulo está en la bisectriz de ese ángulo. por tanto, podemos afirmar:

El teorema de la bisectriz (bis) : la bisectriz de un ángulo es el conjunto de puntos equidistantes de los lados de ese ángulo.

Corolario : La bisectriz [Oz) de un ángulo xOy es el lugar geométrico de los centros de los círculos tangentes a los lados [Ox) y [Oy) de este ángulo.

Prueba del corolario

Sea M un punto de la bisectriz. Construimos el punto H en el lado [Ox) de manera que la línea (MH) sea perpendicular a la media línea [Ox). Construimos de la misma forma el punto H 'del lado [Oy). De acuerdo con el teorema, MH = MH ', por lo tanto, H y H' están en el mismo círculo C del centro M. Además, [Ox) es perpendicular al radio [MH] por lo tanto [Ox) es tangente al círculo C. De manera similar [ Oy) es tangente al círculo C.

A la inversa, suponemos que C es un círculo con centro M, tangente a [Ox) en un punto K y tangente a [Oy) en un punto L. Dado que (MK) es perpendicular a [Ox), MK es la distancia desde M en [Buey). Asimismo, ML es la distancia de M a [Oy). Por hipótesis MK = ML, por tanto, M está en la bisectriz de xOy según el Teorema (bis). CQFD

Aplicaciones :

Construcción de la brújula de la bisectriz
Las bisectrices de un triángulo se encuentran en el centro del círculo inscrito.

Construcción geométrica

Como consecuencia del teorema de la bisectriz, aquí hay un método de construcción con regla y compás de la bisectriz de un ángulo (técnica de balón de fútbol).

Apunta la brújula a la parte superior del ángulo y dibuja un primer arco de círculo. Marque los puntos de intersección de este arco con los dos lados del ángulo.
Apunte la brújula sucesivamente a los puntos de intersección y trace dos arcos de un círculo con el mismo radio (manteniendo la misma distancia entre la brújula entre las dos operaciones). Marque el punto de intersección de estos dos arcos.
Conecte el vértice del ángulo y el punto de intersección de los dos últimos círculos y habrá dibujado la bisectriz del ángulo.

Bisectrices de dos líneas secantes

Las bisectrices de un par de líneas rectas que se cruzan son, por definición, las bisectrices de cuatro sectores angulares definidos por dos rectas. Estrictamente hablando, hay cuatro bisectrices para dos líneas, si nos atenemos a la primera definición de bisectriz. Durante la demostración del siguiente teorema, mostramos que estas cuatro bisectrices están soportadas por dos rectas que llamaremos bisectrices de rectas secantes .

Ecuación de las bisectrices: si en un sistema de coordenadas ortonormal, las ecuaciones de las líneas secantes son respectivamente ax + by + c = 0 y a'x + b'y + c '= 0 entonces, las ecuaciones de sus bisectrices son:

{\ Displaystyle {\ frac {ax + by + c} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} = \ pm {\ frac {a'x + b'y + c '} { \ sqrt {a '^ {2} + b' ^ {2}}}}}

Teorema : las bisectrices de un par de líneas secantes son perpendiculares.

Demostración

Denote por (zx) y (ty) las dos líneas. Se cruzan en un punto O. Llamamos:

[O) la bisectriz de xOy;
[O ') la bisectriz de zOt;
[Ov) la bisectriz de yOz;
[Ov ') la bisectriz de tOx.

Los ángulos xOy y zOt son opuestos en el vértice. Por tanto, son iguales. Por tanto, los ángulos xOu = 1/2 xOy y zOu '= 1/2 zOt también son iguales. Como [Ox) y [Oz) son transportados por la misma línea, lo mismo ocurre con [Ou) y [Ou ') (también usamos el hecho de que [Ou') se dibuja en el sector zOt). Lo mismo ocurre con los otros pares de bisectrices.
Por supuesto, los ángulos zOy y yOx son adicionales: zOy + yOx = 180 °. Entonces uOv = uOy + yOv = 1/2 xOy + 1/2 yOz = 1/2 (xOy + yOz) = 180 ° / 2 = 90 °. CQFD

Bisectrices como ejes de simetría de D y D '. - Si uyv son dos vectores unitarios que dirigen D y D 'respectivamente, entonces u + vy uv dirigen los ejes de simetría de la unión D u D' (dibuje los diamantes) .

Obtenemos así la noción de bisectriz de dos líneas afines secantes sin pasar por el punto de vista ingenuo de los ángulos geométricos. El producto escalar (u + v). (Uv) es cero ya que uyv son unitarios: las dos bisectrices son ortogonales.

Bisectrices de dos líneas y haces armónicos -

Si D y D 'son dos rectas secantes y , son sus bisectrices, entonces D, D' y forman una gavilla armónica . ${\ Displaystyle \ Delta \,}$ ${\ Displaystyle \ Delta '\,}$ ${\ Displaystyle \ Delta \,}$ ${\ Displaystyle \ Delta '\,}$
Si D, D ' y forman un haz armónico y si y son perpendiculares, entonces y son las bisectrices de D y D' ${\ Displaystyle \ Delta \,}$ ${\ Displaystyle \ Delta '\,}$ ${\ Displaystyle \ Delta \,}$ ${\ Displaystyle \ Delta '\,}$ ${\ Displaystyle \ Delta \,}$ ${\ Displaystyle \ Delta '\,}$

Bisectrices de un triángulo

Círculos inscritos y exinscritos en un triángulo - En un triángulo:

Las bisectrices interiores son concurrentes, siendo su punto de intersección el centro del círculo inscrito en el triángulo. Este círculo es tangente a los tres lados del triángulo;
Dos bisectrices exteriores se cruzan con la bisectriz interior restante. Obtenemos así los centros de los tres círculos descritos en el triángulo;
El círculo que pasa por los pies de las bisectrices interiores también pasa por el punto de Feuerbach .

El segmento bisector, dentro del triángulo, que proviene de un vértice ( A por ejemplo ) tiene una longitud de 2 bc cos (A / 2) / (b + c)

El ángulo formado por dos bisectrices interiores BI y CI ( por ejemplo ) es igual a (π + A) / 2

El ángulo formado por las bisectrices externas BI 'y CI' ( por ejemplo ) es igual a (π-A) / 2

Particularidad: En un triángulo ABC, la bisectriz interior de un vértice (C) intersecta la bisectriz perpendicular del segmento opuesto (AB) en un punto S del círculo circunscrito.

El círculo cuyo centro S pasa por A (y B) también pasa por el centro del círculo inscrito en ABC.

Demostración : para el primer punto del teorema, el punto de intersección de dos bisectrices interiores es equidistante de los tres lados del triángulo. Por lo tanto, también se encuentra en la tercera bisectriz interior. Un círculo centrado en el punto de intersección y tangente a un lado será tangente a los otros dos (aplique el corolario del teorema de la bisectriz (bis)).

Teorema - En un triángulo ABC con I sobre [AB], la línea (CI) es la bisectriz interior de C si y solo si . ${\ Displaystyle {\ frac {CA} {CB}} = {\ frac {IA} {IB}}}$

En la página sobre divisiones armónicas se da una demostración del teorema de Tales . El cálculo bidireccional de las áreas de los triángulos CAI y CBI proporciona otra demostración básica.

Luego podemos calcular las longitudes de los segmentos que corta la bisectriz interior de C en el lado opuesto: Obtenemos: y . O de nuevo con las notaciones clásicas: y ${\ Displaystyle {\ frac {IA} {CA}} = {\ frac {IB} {CB}} = {\ frac {IA + IB} {CA + CB}} = {\ frac {AB} {CA + CB }}}$ ${\ Displaystyle IA = {\ frac {AB \ cdot CA} {CA + CB}}}$ ${\ Displaystyle IB = {\ frac {AB \ cdot CB} {CA + CB}}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {cb} {b + a}}}$ ${\ Displaystyle y = {\ frac {ca} {b + a}}}$

Aplicaciones :

La caracterización anterior de la bisectriz se usa ampliamente en el estudio del problema de Apolonio : lugar geométrico de M tal que MA / MB = k.
Con esta caracterización de la bisectriz, encontramos fácilmente la bisectriz de un ángulo MFN, donde M y N son dos puntos en una elipse (más generalmente, cónica propia) con foco F y directriz D y la construcción de la tangente en un punto de una cónica

Caracterización de los dos sectores angulares generados por la bisectriz de un sector angular saliente

La bisectriz D de un sector angular saliente S delimitado por dos medias líneas D 1 y D 2 del mismo origen lo divide en dos sectores angulares que se pueden caracterizar de la siguiente manera:

uno es el conjunto S 1 de puntos de S más cercanos (en sentido amplio) a D 1 que a D 2 ;
el otro es el conjunto S 2 de puntos de S más cercanos (en sentido amplio) a D 2 que a D 1 .

Tenga en cuenta que D es la intersección de S 1 y S 2 .

El centro del círculo inscrito en un triángulo es, por tanto, el punto que alcanza la distancia máxima entre un punto del triángulo y su borde, es decir, el centro del círculo más grande contenido en el triángulo.

Podemos expresar la última observación de la siguiente manera: la distancia de Hausdorff entre el borde de un triángulo y el triángulo mismo es el radio del círculo inscrito en el triángulo. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo con lados a, byc, donde c denota la hipotenusa, vale . Podemos usar la observación anterior para ilustrar la distancia de Hausdorff entre dos iteraciones sucesivas de un triángulo ABC que converge hacia el triángulo de Sierpinski asociado con ABC. ${\ Displaystyle {\ frac {a + bc} {2}}}$

Notas y referencias

Stella Baruk , Matemáticas Dico: universidad y CM2 , París, Seuil,junio 2008, 851 p. ( ISBN 978-2-02-057401-3 ) , pág. 28.
En lo que sigue, los ángulos se considerarán sobresalientes .
Michèle Audin , Geometría , Ciencias EDP ,2006, 3 e ed. ( ISBN 978-2-7598-0180-0 , leer en línea ) , pág. 213.
Ver también " Bisector " , en geogebra.org .
Audin , 2006 , p. 235.
" círculo inscrito "

Ver también

Artículo relacionado

Trissectrix

Bibliografía

Jean-Denis Eiden, geometría analítica clásica , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )