En geometría , un punto es el elemento constituyente más pequeño del espacio geométrico , es decir, un lugar dentro del cual no se puede distinguir ningún otro lugar que no sea él mismo.
El punto, según Euclides , es aquello que no tiene parte . También podemos decir más simplemente que un punto no designa un objeto sino una ubicación. Por lo tanto, no tiene dimensión, longitud, ancho, espesor, volumen o área. Su única característica es su posición. A veces se dice que es "infinitamente pequeño". Todas las figuras en el plano y en el espacio están formadas por un conjunto de puntos.
Siendo el punto considerado como el único elemento común a dos líneas que se cruzan, generalmente lo representamos por una cruz (intersección de dos pequeños segmentos) en lugar del glifo del mismo nombre .
Cuando el plano o espacio está provisto de un sistema de coordenadas cartesianas, cualquier punto puede ser posicionado con respecto a los ejes de este sistema de coordenadas por sus coordenadas cartesianas ; el punto se asocia luego con un par de reales en la dimensión 2 o un triplete de reales en la dimensión 3. Sin embargo, hay otras formas de ubicar los puntos ( coordenadas polares en la dimensión dos, coordenadas esféricas o coordenadas cilíndricas en la dimensión 3)
En un espacio afín E asociado con el espacio vectorial V, los elementos de E se denominan puntos y los elementos de V se denominan vectores. Con cada par de puntos (A, B), asociamos un vector: verificando las siguientes propiedades:
- la relación Chasles : ; - si se adjunta A, hay una correspondencia biyectiva entre los puntos del espacio afín E y los vectores del espacio vectorial V, es la aplicación que, en el punto B, combina el vector .En geometría proyectiva, los puntos del espacio proyectivo E asociados al espacio vectorial V son las líneas vectoriales de V. Cuando el espacio vectorial V es de dimensión n, y se le asocia un espacio afín A, es frecuente asociar con espacio E dos conjuntos de puntos: el conjunto de puntos de un subespacio afín A 'de dimensión n-1 con ecuación x = 1 (por ejemplo) y el conjunto de vectores de líneas rectas del subespacio vectorial V' asociado con A '.
El espacio proyectivo E se asimila entonces a un espacio afín A 'al que agregamos las líneas vectoriales de V'. Luego distinguimos, en E, los puntos de tipo afín (los de A ') y los otros llamados puntos en el infinito .
En particular, si K es un cuerpo , el K - plano proyectivo (el espacio proyectivo asociado a K 2 ) puede asimilarse al cuerpo K al que se le añade un punto en el infinito.
La noción de punto, en matemáticas , tiene hoy un significado muy amplio. Históricamente, los puntos eran los "componentes" fundamentales, los "átomos", de las cuales las líneas , planos y se hicieron espacio , tal como se entiende por los antiguos griegos geómetras . dijimos que una línea recta , un plano o todo el espacio eran conjuntos de puntos.
Desde la creación de la teoría de conjuntos de Georg Cantor a finales del XIX ° siglo y la explosión de las "estructuras matemáticas" que siguieron, el término se utiliza para "punto" para referirse a un componente cualquiera de conjunto que arbitrariamente decide llamar “espacio”: así es como vamos a hablar de un punto en la línea de números reales (mientras que los griegos, obviamente, hizo la distinción entre un “punto” y un “número”), de un punto de un espacio métrico , de un topológica espacio , de un espacio proyectivo , etc.
En suma, basta que un matemático califique tal o cual conjunto como "espacio", en el sentido más general del término y dotado de propiedades particulares regidas por axiomas , para que sus elementos sean calificados inmediatamente como "puntos".
Así, hoy en día, el término "espacio" casi se ha convertido en sinónimo de "conjunto", el término "punto" casi se ha convertido en sinónimo de "elemento". Estos términos "espacio" y "puntos" se utilizan simplemente por su poder sugestivo, incluso si estos términos en cuestión no tienen nada más que ver con la geometría .