Intersección (matemáticas)
En la teoría de conjuntos , la intersección es una operación de conjuntos que tiene el mismo nombre que su resultado, es decir, el conjunto de elementos que pertenecen a ambos operandos al mismo tiempo : la intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto, denotado A ∩ B , dicho , " A cross B " que contiene todos los elementos pertenecientes tanto a A como a B , y solo aquellos.
A y B son disjuntos si y solo si A ∩ B es el conjunto vacío ∅.
A está incluido en B si y sólo si A ∩ B = A .
En análisis real , los puntos de intersección de curvas representativos de dos funciones intervienen en la descripción de su posición relativa .
Ejemplos en geometría
Intersección de dos líneas
En el plan
- En el plano , la intersección de dos rectas no paralelas es un punto : decimos que son secantes.
- Si dos líneas son estrictamente paralelas, no tienen un punto común; su intersección está vacía:
- Si dos líneas se confunden, todos sus puntos son comunes; la intersección es una línea:
En el espacio
- Si dos líneas no son coplanares, entonces no tienen ningún punto en común; su intersección está vacía:
- Dos rectas paralelas o secantes son coplanares.
Otros ejemplos
En el espacio
- la intersección de una línea no paralela y un plano es un punto.
- la intersección de dos planos no paralelos es una línea.
En el plan
- la intersección de una línea y un círculo está formada por cero, uno o dos puntos, dependiendo de si la distancia del centro del círculo a la línea es mayor, igual o menor que el radio del círculo. Si la intersección se reduce a un punto, la línea es tangente al círculo.
- la intersección de dos círculos está formada por dos puntos si la distancia entre sus centros es (estrictamente) menor que la suma de sus radios y mayor que su diferencia, en un punto si esta distancia es igual a la suma o la diferencia de radios (tangente círculos), de lo contrario, vacío.
En geometría analítica
En geometría analítica , la intersección de dos objetos está definida por el sistema de ecuaciones formado por la unión de las ecuaciones asociadas a cada objeto.
En la dimensión 2, la intersección de dos rectas está definida por un sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas, que tiene, en general, una solución única, excepto si su determinante es cero, en cuyo caso tiene cero o un infinito: encuentra los tres casos de geometría.
En la dimensión 3, la intersección de tres planos está definida por un sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas, que generalmente tiene una solución única, a menos que su determinante sea cero.
En álgebra de Boole
En álgebra de Boole , la intersección está asociada con el operador lógico et : si A es el conjunto de elementos de E que posee la propiedad P (o satisface la condición P) y B el conjunto de elementos de E que posee la propiedad Q (o satisface la condición Q), entonces A ∩ B es el conjunto de elementos de E que tienen la propiedad P etQ (o satisfacen tanto la condición P como la condición Q).
Ejemplo 1: si E es el conjunto de números naturales menores que 10, A el conjunto de elementos impares de E y B el conjunto de elementos de E primos, entonces A ∩ B es el conjunto de elementos impares de E y primero:
A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, A ∩ B = {3, 5, 7}.Ejemplo 2: la intersección del conjunto de rectángulos ( cuadriláteros que tienen sus cuatro ángulos rectos) y del conjunto de rombos (cuadriláteros que tienen sus cuatro lados iguales) es el conjunto de cuadrados (cuadriláteros que tienen sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados iguales) .
Definimos de la misma manera la intersección de una clase de conjuntos no especificada (no necesariamente reducida a dos conjuntos, ni finitos, ni siquiera indexados por un conjunto: solo pedimos que no esté vacío).
Propiedades algebraicas
- La intersección es asociativa , es decir, para los conjuntos A , B y C , tenemos:
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ). - La intersección es conmutativa , es decir que para los conjuntos A y B hay, tenemos:
A ∩ B = B ∩ A . - La unión es distributiva sobre la intersección, es decir que para los conjuntos A , B y C cualquiera, tenemos:
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ).
Intersección de una familia determinada
Generalizamos este concepto a una familia de conjuntos ( E i ) i ∈ I (no necesariamente reducido a dos conjuntos, ni siquiera finito). La intersección de E i , denotada ∩ i ∈ I E i , es el conjunto de elementos comunes a todos E i (si I es el conjunto vacío , esta intersección no está definida en absoluto).
Formalmente:
Notas
- Para ser rigurosos, deberíamos decir aquí: "es un singleton "; El abuso "es un punto" se considera aceptable.
- Para demostrarlo, basta con suponer los círculos, centrados en A y B, secantes en M, y escribir las desigualdades triangulares en el triángulo ABM.