Isometría afín

Una isometría afín es una transformación biyectiva de un espacio afín euclidiano en otro que es tanto un mapa afín como una isometría (es decir, una biyección que conserva distancias ).

Si esta isometría también mantiene la orientación , decimos que es un desplazamiento . Si invierte la orientación, es un anti-desplazamiento .

Los desplazamientos son compuestos de traslaciones y rotaciones . Los reflejos son anti-desplazamientos.

Isometrías planas notables

Denotamos por el plano ( es decir , más precisamente, un plano afín euclidiano real). Las siguientes aplicaciones son isometrías de  : PAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}PAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}

• Dado un vector la aplicación que, en cualquier punto , asocia el punto tal que  : es la traslación del vector . Su recíproco es la traducción vectorial . No tiene un punto fijo , excepto si , en cuyo caso es la identidad .tu→{\ Displaystyle {\ vec {u}}}A{\ Displaystyle A}A′{\ Displaystyle A '}AA′→=tu→{\ Displaystyle {\ vec {AA '}} = {\ vec {u}}}tu→{\ Displaystyle {\ vec {u}}}-tu→{\ Displaystyle - {\ vec {u}}}tu→=0→{\ Displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {0}}}
• Dado un punto de y un ángulo orientado , la aplicación que fija y, en un punto distinto de , asocia el único punto tal que y  : es el plano de rotación del centro y el ángulo . Su recíproco es la rotación del centro y el ángulo .A{\ Displaystyle A}PAG{\ Displaystyle {\ mathcal {P}}} θ{\ Displaystyle \ theta}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}A{\ Displaystyle A}B′{\ Displaystyle B '}AB=AB′{\ Displaystyle AB = AB '}(AB→,AB′→^)=θ{\ Displaystyle ({\ widehat {{\ vec {AB}}, {\ vec {AB '}}}}) = \ theta}A{\ Displaystyle A}θ{\ Displaystyle \ theta}A{\ Displaystyle A}-θ{\ Displaystyle - \ theta}
• Dada una línea recta el mapa que, en cualquier punto , asocia el punto tal que , donde está la proyección ortogonal de sobre  : es la simetría axial con respecto a . Podemos definirlo de otra manera: si entonces y si entonces es tal que es la bisectriz perpendicular de . Las simetrías son involutivas .Δ{\ Displaystyle \ Delta}A{\ Displaystyle A}A′{\ Displaystyle A '}AA′→=2AH→{\ Displaystyle {\ vec {AA '}} = 2 {\ vec {AH}}}H{\ Displaystyle H}A{\ Displaystyle A}Δ{\ Displaystyle \ Delta}Δ{\ Displaystyle \ Delta}A∈Δ{\ Displaystyle A \ in \ Delta}A′=A{\ Displaystyle A '= A}A∉Δ{\ Displaystyle A \ notin \ Delta}A′{\ Displaystyle A '}Δ{\ Displaystyle \ Delta}[AA′]{\ displaystyle [AA ']}

Clasificación de isometrías planas que tienen un punto fijo

• Una isometría del plano que tiene tres puntos fijos no alineados es la identidad.
• Una isometría del plano diferente a la identidad que tiene al menos dos puntos fijos A y B es la reflexión de la línea (AB).
• Una isometría del plano que tiene un solo punto fijo A es una rotación del centro A.

Demostración

• Sea una isometría de plano distinta de la identidad. Sea un punto del plano y tal que . Por lo tanto, un punto fijo de control se encuentra en la bisectriz perpendicular de : los puntos fijos, por lo tanto, están alineados. Por contraposición, si tiene tres puntos fijos no alineados, es identidad.F{\ Displaystyle f}METRO{\ Displaystyle M}METRO′=F(METRO){\ Displaystyle M '= f (M)}METRO′≠METRO{\ Displaystyle M '\ neq M}A{\ Displaystyle A}F{\ Displaystyle f}METROA=METRO′A{\ Displaystyle MA = M'A}[METROMETRO′]{\ Displaystyle [MM ']}F{\ Displaystyle f}
• Dejado ser una isometría plano distinto de la identidad tiene al menos dos puntos fijos y y la reflexión con respecto a la línea . Dejemos que un punto no pertenezca . Entonces su imagen por verifica y por lo tanto pertenece a la intersección de dos círculos con sus respectivos centros y . Esta intersección tiene como máximo dos puntos y es diferente de (de lo contrario tendría tres puntos fijos no alineados y sería la identidad, que se excluye por hipótesis) por lo tanto y son los dos puntos respectivos de intersección de estos círculos (recuerde que dos círculos centros separados tienen como máximo dos puntos en común). Como y , y están en la bisectriz perpendicular de ; por definición, por lo tanto tenemos . Like and , tiene tres puntos fijos no alineados (a saber , y ), entonces . Tenemos pues , es decir (porque los reflejos son involutivos. Es por tanto el reflejo con respecto a la línea .F{\ Displaystyle f}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}s{\ Displaystyle s}(AB){\ Displaystyle (AB)}VS{\ Displaystyle C}(AB){\ Displaystyle (AB)}VS′{\ Displaystyle C '}F{\ Displaystyle f}VSA=VS′A{\ displaystyle CA = C'A}VSB=VS′B{\ Displaystyle CB = C'B}VS′{\ Displaystyle C '}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}VS′{\ Displaystyle C '}VS{\ Displaystyle C}F{\ Displaystyle f}VS{\ Displaystyle C}VS′{\ Displaystyle C '}VSA=VS′A{\ displaystyle CA = C'A}VSB=VS′B{\ Displaystyle CB = C'B}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}[VSVS′]{\ Displaystyle [CC ']}s(VS′)=VS{\ Displaystyle s (C ') = C}s(A)=A{\ Displaystyle s (A) = A}s(B)=B{\ Displaystyle s (B) = B}s∘F{\ Displaystyle s \ circ f}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}VS{\ Displaystyle C}s∘F=ID{\ Displaystyle s \ circ f = Id}F=s-1{\ Displaystyle f = s ^ {- 1}}F=s{\ Displaystyle f = s}F{\ Displaystyle f}(AB){\ Displaystyle (AB)}
• Si tiene un solo punto fijo : un punto distinto de y . Entonces tenemos . Sea la bisectriz perpendicular de y la reflexión en relación con la línea . Por un lado ,, por lo tanto y ; por otro lado ,. Por tanto, la aplicación tiene al menos dos puntos fijos: y . es, por tanto, identidad o reflejo. No se puede tener , porque de lo contrario tendríamos una infinidad de puntos fijos (todos los puntos de ). es por tanto un reflejo con respecto a una línea que la atraviesa (coche ). Por tanto, tenemos yf es, por tanto, una rotación porque se compone de dos reflexiones de ejes secantes.F{\ Displaystyle f}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}A{\ Displaystyle A}B′=F(B){\ Displaystyle B '= f (B)}B′≠B{\ Displaystyle B '\ neq B}Δ{\ Displaystyle \ Delta}[BB′]{\ Displaystyle [BB ']}s{\ Displaystyle s}Δ{\ Displaystyle \ Delta}BA=B′A{\ displaystyle BA = B'A}A∈Δ{\ Displaystyle A \ in \ Delta}s(A)=A{\ Displaystyle s (A) = A}s(B′)=B{\ Displaystyle s (B ') = B}s∘F{\ Displaystyle s \ circ f}A{\ Displaystyle A}B{\ Displaystyle B}s∘F{\ Displaystyle s \ circ f}s∘F=ID{\ Displaystyle s \ circ f = Id}F=s-1{\ Displaystyle f = s ^ {- 1}}Δ{\ Displaystyle \ Delta}s∘F{\ Displaystyle s \ circ f}s′{\ Displaystyle s '}A{\ Displaystyle A}s(F(A))=A{\ Displaystyle s (f (A)) = A}F=s∘s′{\ Displaystyle f = s \ circ s '}

En cualquier dimensión

Una aplicación de un espacio euclidiano dentro de sí mismo que preserva las distancias necesariamente preserva la alineación. De acuerdo con el teorema fundamental de la geometría afín , es por lo tanto un mapa afín , y su mapa lineal asociado mantiene la norma, por lo tanto es un automorfismo ortogonal . A la inversa, cualquier mapa afín cuyo mapa lineal asociado sea un automorfismo ortogonal es una isometría afín.

Los automorfismos ortogonales se caracterizan por el hecho de que su matriz en una base ortonormal es una matriz ortogonal .

Entre las isometrías afines se distinguen, así como entre los automorfismos ortogonales, los desplazamientos (isometrías afines directas), que conservan la orientación, y los antidesplazamientos (isometrías afines indirectas), que la invierten. El determinante de la matriz mencionada es respectivamente +1 o –1. Antisplacements también se llaman antirotations o roto-inversiones .

Ejemplos. Las traslaciones son desplazamientos sin un punto fijo . En la dimensión 2 o 3, una rotación afín es un desplazamiento que tiene al menos un punto fijo. En el plano, los antidesplazamientos son los reflejos y los reflejos de planeo .

Para estudiar isometrías afines en cualquier dimensión, nos interesa el automorfismo ortogonal asociado definido de la siguiente manera: si es una isometría afín de , entonces su automorfismo ortogonal asociado es ϕ{\ Displaystyle \ phi}F{\ Displaystyle f}mi{\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}

ϕ:mi→miMETRONO→↦F(METRO)F(NO)→.{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ phi &: & E & \ rightarrow & E \\ && {\ overrightarrow {MN}} & \ mapsto & {\ overrightarrow {f (M) f (N)} }. \ end {matriz}}}

Por tanto, el estudio de los puntos fijos de y permite concluir sobre la naturaleza de . F{\ Displaystyle f}ϕ{\ Displaystyle \ phi}F{\ Displaystyle f}

• Si admite puntos fijos entonces:F{\ Displaystyle f}

si, por ejemplo, es una rotación vectorial, entonces, en la dimensión 2 o 3, será una rotación.ϕ{\ Displaystyle \ phi}F{\ Displaystyle f} en particular, si es la identidad del vector, entonces será la identidad.ϕ{\ Displaystyle \ phi}F{\ Displaystyle f}

• Si no admite puntos fijos entonces se descompone de forma única como compuesto por una isometría afín con puntos fijos (volvemos por tanto al caso anterior) y una traslación de vectores en la dirección de los puntos fijos de la isometría anterior. En particular, en la dimensión 3, si es una rotación vectorial, entonces es un apriete .F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}ϕ{\ Displaystyle \ phi}F{\ Displaystyle f}

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