Longitud de un arco

En geometría , la cuestión de la longitud de un arco es fácil de concebir (intuitiva). La idea de un arco corresponde a la de una línea, o de una trayectoria de un punto en un plano o espacio por ejemplo. Su longitud puede verse como la distancia recorrida por un punto material que sigue este camino o como la longitud de un cable que toma exactamente el lugar de esta línea. La longitud de un arco es un número positivo o infinito.

Un ejemplo antiguo es el semicírculo de radio r , donde r denota un número real positivo. Su longitud es igual a π r . Un ejemplo más simple lo da un segmento , su longitud es igual a la distancia entre sus dos extremos.

Dependiendo del período, se pueden utilizar diferentes métodos para definir y medir la longitud de un conjunto de arcos cada vez más grande. Eudoxo de Cnido , un matemático griego del IV °  siglo  antes de Cristo. AD , luego Arquímedes usa un método, llamado agotamiento para calcular el de un arco de un círculo . La física de finales del XVII °  siglo está desarrollando un nuevo enfoque, basado en los avances en la mecánica apuntan sobre todo gracias cálculo aplicado a la astronomía . La longitud de un arco se ve como el producto del tiempo requerido para que un punto material viaje a través del arco por su velocidad, si se supone que es constante. Esta definición es generalizada por Bernhard Riemann y se convierte en la piedra angular para construir una distancia y nuevas formas de geometrías, sobre objetos ahora llamados variedades de Riemann .

Para el matemático francés Camille Jordan ( 1838 - 1922 ) , estas definiciones son demasiado restrictivas. Le interesan las propiedades de una curva cerrada , es decir, un arco cuyo punto inicial se fusiona con el punto final. La definición anterior, derivada de la física dos siglos antes, asume que el arco es derivable. Esta limitación impide el uso de un vasto arsenal de métodos, aunque esenciales para la resolución de muchas preguntas. Propone una nueva definición, utilizando un límite superior y la longitud de una línea poligonal . Ahora es el más utilizado. Para Hermann Minkowski ( 1864 - 1909 ) , las ideas de Jordan están mal adaptados a sus necesidades. En el contexto de las preguntas que se hace a sí mismo, la longitud que busca definir es sobre todo la del límite de una superficie. Un círculo se define como el conjunto de puntos P de un disco de manera que cualquier vecindad de P contiene un punto del disco y un punto exterior. Define la longitud utilizando la noción intuitiva de tubo , correspondiente al conjunto de puntos ubicados a una distancia menor que r de un punto del arco. Esta definición se presta a muchas generalizaciones, que incluso permiten dar sentido a la longitud de una curva fractal .

Primeros cálculos

Una de las medidas de longitud más famosas y antiguas es la de un arco semicircular de radio 1. Esta longitud, denominada π, se ha calculado durante mucho tiempo. Para los babilonios, su valor se calcula gracias a la relación que conecta el área del círculo con el perímetro del medio arco, encuentran la aproximación 3 + 1/8.

Un avance teórico importante es el trabajo de Arquímedes . Para el físico, un polígono convexo cuyos vértices son puntos del círculo tiene un perímetro más pequeño que el del círculo. De hecho, es más corto, alcanzar dos vértices consecutivos para pasar por el borde (el segmento es el camino más corto entre sus dos puntos finales), lo que da una reducción de π. Por el contrario, el polígono convexo regular del cual cada punto medio de la arista es un punto del círculo tiene un perímetro más grande. Si no puede demostrar esta proposición en general porque no tiene una definición de la longitud de un arco que le permitiría lograr esta hazaña, parece intuitivo a la vista, y resulta (en el caso del círculo) la proporcionalidad entre las áreas de los sectores circulares y los arcos que los subyacen. Usando un polígono regular con 96 lados, muestra que el valor de π está entre 3 + 1/7 y 3 + 10/71. El principio del cálculo se da en el artículo pi .

El método es general para cualquier arco cuya convexidad se ubique siempre en el mismo lado, es decir, cuyo arco esté compuesto únicamente por puntos de borde de la envolvente convexa . Cualquier línea poligonal cuyos vértices se ubiquen en el arco, tiene una longitud menor que la del arco estudiado. Por tanto, tenemos un límite inferior. Entonces podemos construir una serie de líneas poligonales de longitudes crecientes ( p n ) todas más pequeñas que la longitud del arco. Luego construimos una serie de líneas poligonales fuera de la envolvente convexa, cuyos extremos son los de la línea poligonal y que corren cada vez con mayor precisión a lo largo del arco. La secuencia de longitudes ( P n ) se elige para disminuir y cada longitud es mayor que la del arco. Los únicos valores posibles, para la longitud del arco, se encuentran en el segmento [ p n , P n ]. La secuencia se construye de tal manera que la distancia entre p n y P n es cada vez más pequeña hasta tal punto que para cualquier número estrictamente positivo ε, existe un valor n tal que P n - p n es estrictamente menor que ε . La intersección de todos los intervalos [ p n , P n ] se reduce a un punto, que es necesariamente la longitud del arco. Este método se llama agotamiento.

Es utilizado por el matemático chino Liu Hui durante la III ª  siglo , con aproximaciones más eficientes que Arquímedes. Encuentra el valor aproximado de π igual a 3,1416. Este método es eficaz hasta el final de la XVII ª  siglo y permite encontrar otros resultados tales como la longitud de un arco de espiral logarítmica por Torricelli en 1645 o cicloide por Christopher Wren .

Arco clase C 1

Un enfoque cinemático

El XVII °  siglo es el de Galileo . La noción de velocidad instantánea adquiere un significado, e incluso dos. La velocidad es ante todo un vector , el que debe multiplicarse por una duración a para conocer la posición de un punto que se mueve de manera rectilínea uniforme después de un retardo a . También es un escalar, el que indica la distancia recorrida al final de la duración a , en el caso de un desplazamiento uniforme. Hablamos de velocidad curvilínea para diferenciar esta magnitud de la velocidad vectorial. La velocidad curvilínea corresponde a la norma del vector velocidad. A menudo, el término velocidad, utilizado en el lenguaje común, corresponde a la velocidad curvilínea, por ejemplo en la expresión velocidad de 80  km / h , que corresponde a un escalar y no a un vector.

Esta definición permite una nueva forma de entender la longitud de un arco. Para conocer esta longitud, basta con encontrar una hormiga, supuestamente pequeña, siempre moviéndose a una velocidad curvilínea constante f , para hacerla recorrer el arco. Si el tiempo de recorrido del arco es igual a a , entonces su longitud es af . Si esta idea tiene éxito, debe adaptarse. Modelar la trayectoria de un arco a velocidad constante es a menudo una cuestión más difícil que calcular la longitud deseada. Si la rapidez f es constante, la longitud puede verse como el área de un rectángulo de longitud el tiempo a , necesario para recorrer el arco y de altura f . Si la velocidad no es constante, reemplazamos la línea y = f en un sistema de coordenadas cartesianas por la línea de ecuación y  =  f ( t ), donde t varía entre 0 y a . La longitud del arco es igual al área entre las tres líneas x = 0, x = a , y = 0 y la línea y = f ( t ). El área que se muestra en amarillo se puede encontrar en la figura de la derecha.

Este nuevo enfoque toma forma a través del estudio de la parábola semicúbica, con la ecuación cy 2 = x 3 . Alrededor de 1660, este problema fue famoso e interesó a muchos matemáticos. La cuestión de calcular la longitud de un arco, entonces llamada problema de rectificación , se consideró en ese momento muy difícil, si no a menudo imposible. John Wallis publica la solución en 1659 y se la atribuye a Neil. Una de las razones de la celebridad de la prueba es que conduce a un valor constructivo con la regla y el compás , nacimiento de una loca esperanza de resolución de la cuadratura del círculo . Esta solución es reproducida por Van Heuraet el mismo año con un método de rectificación de la parábola utilizando el cálculo de la cuadratura de una hipérbola . El problema de cuadrar una superficie es el de determinar su área. En 1660, Pierre de Fermat generalizó la aproximación a cualquier curva, que en su momento imaginamos como siempre derivable, al menos en pedazos, aunque la noción de derivada aún no estuviera formalizada.

Se dio un gran salto entre 20 y 30 años después, cuando Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron el cálculo infinitesimal y el segundo teorema fundamental del análisis , indicando la relación entre la derivada y la integral . La longitud L de un arco atravesado durante un período a a una velocidad curvilínea igual af ( t ) en el instante t es igual a:

L=∫0aF(t) Dt.{\ Displaystyle L = \ int _ {0} ^ {a} f (t) ~ \ mathrm {d} t.}

Definiciones

Para ser precisos, se deben dar algunas definiciones. Aquí, E denota un espacio euclidiano de dimensión ny ℝ el conjunto de números reales . Para definir una longitud, es útil asociar un significado preciso con la palabra arco parametrizado de clase C p , si p es un entero positivo:

Definición de un arco parametrizado  -  Un arco parametrizado de clase C p es un par ( I , f ) compuesto por un intervalo I de ℝ y una función de I en un espacio euclidiano, p veces diferenciable, cuya derivada p ième es continua y cuyo la primera derivada nunca desaparece.

Pedir a la primera derivada que nunca se cancele nos permite evitar singularidades que no son el tema de este artículo. Esta definición proporciona tanto el arco como una forma de atravesarlo. Sin embargo, geométricamente, atravesar un arco rápida o lentamente, en una dirección u otra, no cambia la naturaleza del arco. Por este motivo, definimos una clase de equivalencia entre los arcos parametrizados:

Arcos Definición de C p -equivalents  -  Let ( I , F ) ( J , g ) dos arcos con parámetros con valores de E . Si existe un difeomorfismo θ de clase C p de I en J tal que g ∘θ es igual af , decimos que los dos arcos parametrizados son C p -equivalentes.

Por ejemplo, atravesar dos veces un círculo por un arco parametrizado nunca equivale a un arco parametrizado que atraviesa el círculo solo una vez. En efecto, en un caso cualquier punto del círculo tiene dos antecedentes y en el otro caso uno único, no puede existir un difeomorfismo. Ahora podemos establecer la definición de un arco geométrico:

Definición de un arco geométrico de clase C p  -  Un arco geométrico es una clase de equivalencia de arcos C p -equivalentes.

Es posible definir rigurosamente la longitud de un arco geométrico:

Definición de la longitud de un arco geométrico de clase C p  -  La longitud de un arco geométrico que tiene por representativo ( I , f ) es el valor L de la siguiente integral, igual a un número positivo o al infinito:

L=∫I‖F′(t)‖ Dt.{\ Displaystyle L = \ int _ {I} \ | f '(t) \ | ~ \ mathrm {d} t.}

La integral no es necesariamente finita porque el intervalo I no es necesariamente un segmento . Por ejemplo, si I es igual a ℝ yf a la función que at asocia exp (i t ) con valores en los números complejos identificados en el plano euclidiano, el arco geométrico atraviesa un número infinito de veces el círculo unitario, su longitud es infinita.

Para que la definición tenga sentido, las longitudes de dos arcos equivalentes C p deben ser iguales. Solo lo comprobamos. Si ( I , f ) y ( J , g ) son dos arcos parametrizados equivalentes C p y si el difeomorfismo θ satisface g ∘θ =  f , entonces la integración por cambio de variable muestra que:

L=∫J‖gramo′(t)‖ Dt=∫J‖DDt(F∘θ)(t)‖ Dt=∫J‖(F′∘θ)(t)‖|θ′(t)| Dt=∫I‖F′(s)‖ Ds.{\ Displaystyle L = \ int _ {J} \ | g '(t) \ | ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {J} \ left \ | {\ frac {d} {dt}} (f \ circ \ theta) (t) \ right \ | ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {J} \ | (f '\ circ \ theta) (t) \ || \ theta' (t) | ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {I} \ | f '(s) \ | ~ \ mathrm {d} s.}

Formulación

Si E denota un plano euclidiano, la función f se puede expresar usando dos funciones de coordenadas, de I a ℝ, denotadas aquí x ( t ) e y ( t ). Si las coordenadas se expresan en forma ortonormal y si] a ,  b [designan el intervalo I , la fórmula anterior se convierte en:

L=∫aB(DXDt)2+(DyDt)2Dt.{\ Displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

De esta forma, la longitud del arco encuentra otra justificación intuitiva que la de la velocidad. Dejar que t y t dos números reales positivos tales que t y t + d t son elementos de Me . Denote por ( x , y ) las coordenadas de la imagen de ty ( x + d x , y + d y ) la de t + d t . Esta situación se ilustra en la figura de la derecha. Si d t es lo suficientemente pequeño, la curva está cerca de su aproximación tangente. Identificar entre estos dos valores del parámetro el arco con su aproximación lineal tangente al punto t reduce localmente el cálculo al de la longitud d s de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, que se calcula con el teorema de Pitágoras  :

Ds≈‖F(t+Dt)-F(t)‖≈‖F′(t)Dt‖=(DXDt)2+(DyDt)2Dt.{\ Displaystyle ds \ approx \ | f (t + \ mathrm {d} t) -f (t) \ | \ approx \ | f '(t) \ mathrm {d} t \ | = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t }} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

Existe un caso particular habitual, aquél donde la curva es la gráfica de una función g de clase C 1 sobre un intervalo I y con valores en ℝ. Para volver a una situación más cercana a la anterior, podemos considerar que la curva está representada por el arco parametrizado ( I , f ) donde f es la función de I en ℝ 2 que at asocia ( t , g ( t )) . Siempre asumiendo que] a , b [denota el intervalo I , obtenemos:

L=∫aB1+gramo′(t)2Dt.{\ Displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1 + g '(t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t.}

A veces es más conveniente usar las coordenadas polares para expresar el arco parametrizado, lo que equivale a usar las siguientes notaciones:

X=r(θ)porque⁡θyy=r(θ)pecado⁡θ.{\ Displaystyle x = r (\ theta) \ cos \ theta \ quad {\ text {y}} \ quad y = r (\ theta) \ sin \ theta.}

Podemos deducir:

DXDθ=r′(θ)porque⁡θ-r(θ)pecado⁡θ,{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} = r '(\ theta) \ cos \ theta -r (\ theta) \ sin \ theta,}

DyDθ=r′(θ)pecado⁡θ+r(θ)porque⁡θ,{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ theta}} = r '(\ theta) \ sin \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta,}

(DXDθ)2+(DyDθ)2=r′(θ)2+r(θ)2,{\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} \ theta}} \ right) ^ {2} = r '(\ theta) ^ {2} + r (\ theta) ^ {2},}

lo que permite establecer la fórmula:

L=∫aBr′(θ)2+r(θ)2Dθ.{\ Displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {r '(\ theta) ^ {2} + r (\ theta) ^ {2}}} \; \ mathrm {d} \ theta .}

En la dimensión 3 y bajo los mismos supuestos, la fórmula toma la forma:

L=∫aB(DXDt)2+(DyDt)2+(DzDt)2Dt.{\ Displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d } t}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

Ejemplos de

En el círculo trigonométrico , la longitud del arco que tiene por extremos el origen de los arcos y el punto del primer cuadrante de ordenadas es: B{\ Displaystyle b}

arcos⁡B=∫0B11-t2Dt{\ Displaystyle \ arcsin b = \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \; \ mathrm {d} t}.

En el XVII °  siglo, el problema de la rectificación de un arco está a la vanguardia de la investigación. Sin las herramientas del cálculo diferencial , estas preguntas requieren una gran imaginación para responder. Se vuelven mucho más fáciles una vez que se conocen la derivada y su relación con la integral. Un ejemplo es el de la cadena , una curva plana que corresponde a la forma que toma un cable cuando está suspendido por sus extremos y sujeto a su propio peso. Fue resuelto en 1691 por Leibniz, Huygens y los hermanos Bernoulli . Si cosh denota el coseno hiperbólico y si a denota un real estrictamente positivo, su ecuación es la siguiente:

y=aaporrear⁡(Xa)=a2(Exp⁡(Xa)+Exp⁡(-Xa)).{\ Displaystyle y = a \ operatorname {cosh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) = {\ frac {a} {2}} \ left (\ exp \ left ({\ frac { x} {a}} \ derecha) + \ exp \ izquierda (- {\ frac {x} {a}} \ derecha) \ derecha).}

La longitud L 0 de la cadena entre el punto de abscisa 0 y el de abscisa x 0 viene dada por la fórmula, si senh designa el seno hiperbólico  :

L0=apecado⁡(X0a).{\ Displaystyle L_ {0} = a \ operatorname {sinh} \ left ({\ frac {x_ {0}} {a}} \ right).}

La longitud de una espiral logarítmica se determina primero sin el uso de cálculo diferencial. Entonces, este uso permite una resolución del problema de una manera muy sencilla, especialmente si la parametrización propuesta es polar si a es un real estrictamente positivo y b es estrictamente mayor que 1:

ρ(θ)=a Bθ.{\ Displaystyle \ rho (\ theta) = a ~ b ^ {\ theta}.}

La longitud L θ de la espiral entre el punto de origen y el del ángulo θ, que puede ser mayor que 2π, viene dada por la siguiente fórmula:

Lθ=1+(en⁡B)-2ρ(θ).{\ Displaystyle L _ {\ theta} = {\ sqrt {1 + (\ ln b) ^ {- 2}}} \ rho (\ theta).}

Otro cálculo es de importancia histórica, el de la parábola de Neil, que corresponde a la curva de la ecuación y  = ± ax 3/2 , si a es un entero estrictamente positivo. Su rectificación se realiza antes del descubrimiento del cálculo diferencial. La novedad aportada radica en que, si L 0 denota la longitud de la parte positiva de la rama situada entre 0 y x 0 , se utiliza el siguiente resultado intermedio:

L0=∫0X01+9a24XDX.{\ displaystyle L_ {0} = \ int _ {0} ^ {x_ {0}} {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}} \; \ mathrm {d } X.}

Una cuestión de rectificación está finalmente ligada a un problema de cuadratura , es decir al cálculo de una superficie, base de la definición utilizada en este párrafo. Finalmente, encontramos:

L0=(4+9a2X0)32-827a2.{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {(4 + 9a ^ {2} x_ {0}) ^ {\ frac {3} {2}} - 8} {27a ^ {2}}}.}

Este enfoque permite resolver el problema de la rectificación de la parábola . Si optamos por la parametrización y = ax 2 , con un real estrictamente positivo, la longitud L 0 de la rama situada entre 0 yx 0 se expresa en forma de cuadratura de hipérbola, que hemos podido conseguir durante más de 20 años:

L0=14a(μμ2+1+en⁡(μ+μ2+1))conμ=2aX0.{\ Displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {4a}} \ left (\ mu {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}} + \ ln (\ mu + {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}}) \ right) \ quad {\ text {con}} \ quad \ mu = 2ax_ {0}.}

Si el enfoque de velocidad resuelve fácilmente la cuestión de la longitud del arco de una cicloide , igual a 8 veces el radio del círculo, un problema aparentemente tan simple como calcular la circunferencia de la elipse en función de los semiejes conduce a integrales eso no se puede explicar más: hablamos de integrales elípticas del segundo tipo.

Los cálculos son similares en la dimensión 3. El artículo "  Loxodromía  " explica un ejemplo.

Detalles del cálculo

• Rectificación del círculo trigonométrico:

Usamos la parametrización por las funciones y definida en  : X{\ Displaystyle x}y{\ Displaystyle y}[0,1]{\ Displaystyle [0,1]}

X(t)=1-t2,y(t)=t{\ Displaystyle x (t) = {\ sqrt {1-t ^ {2}}}, \ quad y (t) = t}

Sus derivados son:

X′(t)=tu1-t2,y′(t)=1{\ Displaystyle x '(t) = {\ frac {u} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}}, \ quad y' (t) = 1}. ‖F′(t)‖=11-t2{\ Displaystyle \ | f '(t) \ | = {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}}}.

De donde :

arcos⁡B=∫0B11-t2Dt.{\ Displaystyle \ arcsin b = \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \; \ mathrm {d} t.}

• Rectificación de la cadena:

Utilizamos aquí la parametrización mediante una función g , definida por g ( x ) = a cosh (x / a). Obtenemos las expresiones:

1+gramo′(X)2=1+pecado⁡(Xa)2=aporrear⁡(Xa).{\ Displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1+ \ operatorname {sinh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ { 2}}} = \ operatorname {cosh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right).}

Podemos deducir:

L0=∫0X0aporrear⁡(Xa)DX=[apecado⁡(Xa)]0X0=apecado⁡(X0a).{\ Displaystyle L_ {0} = \ int _ {0} ^ {x_ {0}} \ operatorname {cosh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \ mathrm {d} x = \ left [a \ operatorname {sinh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \ right] _ {0} ^ {x_ {0}} = a \ operatorname {sinh} \ left ({\ frac {x_ {0}} {a}} \ right).}

• Rectificación de la espiral logarítmica:

Usando las coordenadas polares, obtenemos:

ρ′(μ)2+ρ(μ)2=aen⁡(B)2B2μ+B2μ=a1+en⁡(B)2Bμ.{\ Displaystyle {\ sqrt {\ rho '(\ mu) ^ {2} + \ rho (\ mu) ^ {2}}} = a {\ sqrt {\ ln (b) ^ {2} b ^ {2 \ mu} + b ^ {2 \ mu}}} = a {\ sqrt {1+ \ ln (b) ^ {2}}} b ^ {\ mu}.}

Podemos deducir:

Lθ=a1+en⁡(B)2∫-∞θBμDμ=a1+en⁡(B)2en⁡(B)Bθ=1+en⁡(B)-2ρ(θ).{\ Displaystyle L _ {\ theta} = a {\ sqrt {1+ \ ln (b) ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ theta} b ^ {\ mu} \ mathrm { d} \ mu = a {\ frac {\ sqrt {1+ \ ln (b) ^ {2}}} {\ ln (b)}} b ^ {\ theta} = {\ sqrt {1+ \ ln ( b) ^ {- 2}}} \ rho (\ theta).}

• Corrección de la parábola de Neil:

El arco está parametrizado por la curva y  =  g ( x ), que conduce al cálculo:

1+gramo′(X)2=1+9a24X{\ Displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}}}

luego, usando el cambio de variable u  = 9a 2 x / 4:

L0=∫0X01+9a24XDX=49a2∫09a24X01+tuDtu=827a2[(1+tu)32]09a24X0=(4+9a2X0)32-827a2.{\ Displaystyle L_ {0} = \ int _ {0} ^ {x_ {0}} {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}} \; \ mathrm {d } x = {\ frac {4} {9a ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {{\ frac {9a ^ {2}} {4}} x_ {0}} {\ sqrt {1+ u}} \; \ mathrm {d} u = {\ frac {8} {27a ^ {2}}} \ left [(1 + u) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] _ { 0} ^ {{\ frac {9a ^ {2}} {4}} x_ {0}} = {\ frac {(4 + 9a ^ {2} x_ {0}) ^ {\ frac {3} {2 }} - 8} {27a ^ {2}}}.}

• Rectificación de la parábola:

La rectificación de la parábola es un poco más sutil. Con las notaciones anteriores:

1+gramo′(X)2=1+4a2X2=222+tu2contu=22aX.{\ Displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1 + 4a ^ {2} x ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ sqrt {2 + u ^ {2}}} \ quad {\ text {con}} \ quad u = 2 {\ sqrt {2}} ax.}

Podemos deducir:

L0=14a∫0τ2+tu2Dtuconτ=22aX0.{\ Displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {4a}} \ int _ {0} ^ {\ tau} {\ sqrt {2 + u ^ {2}}} \ mathrm {d} u \ quad {\ text {con}} \ quad \ tau = 2 {\ sqrt {2}} ax_ {0}.}

El área a determinar se muestra en la figura de la derecha. Se encuentra entre las dos líneas de ecuaciones x = 0 y x = τ, luego entre la línea y = 0 y la función cuya ecuación está debajo de la integral. Sin contar con las poderosas herramientas de análisis, es posible calcular esta área. Se divide en tres zonas, amarilla, azul y verde claro.

La zona amarilla corresponde a un medio cuadrado del lado 1, la azul a un medio cuadrado del lado τ. Determinemos el área v f del triángulo verde oscuro. Para ello, basta con calcular la longitud de su diagonal v d  :

vD=2+τ2-τyvF=14(2+τ2-τ)2=12(τ2-τ2+τ2+1).{\ Displaystyle v_ {d} = {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} - \ tau \ quad {\ text {et}} \ quad v_ {f} = {\ frac {1} {4} } \ left ({\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} - \ tau \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} (\ tau ^ {2} - \ tau { \ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} + 1).}

Aún queda por determinar el área de la zona verde claro v c , es igual a la diferencia entre el área de la zona verde v y la zona verde oscuro. La zona verde corresponde al logaritmo de la distancia entre el origen del vértice del triángulo verde oscuro más lejano, encontramos:

v=en⁡(2τ+22vD)=en⁡(τ+2+τ2)-en⁡(2)2.{\ Displaystyle v = \ ln \ left ({\ sqrt {2}} \ tau + {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} v_ {d} \ right) = \ ln \ left (\ tau + {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ ln (2)} {2}}.}

Podemos deducir:

vvs=v-vF=en⁡(τ+2+τ2)-en⁡(2)2-12(τ2-τ2+τ2+1),{\ Displaystyle v_ {c} = v-v_ {f} = \ ln \ left (\ tau + {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ ln (2) } {2}} - {\ frac {1} {2}} (\ tau ^ {2} - \ tau {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} + 1),}

lo que muestra que, si √ 2 μ = τ:

L0=14a(τ2+τ22+en⁡(τ+2+τ2)-en⁡(2)2)=14a(μμ2+1+en⁡(μ+μ2+1)).{\ Displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {4a}} \ left ({\ frac {\ tau {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}}} {2}} + \ ln \ izquierda (\ tau + {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ ln (2)} {2}} \ right) = {\ frac {1} {4a} } \ left (\ mu {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}} + \ ln (\ mu + {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}}) \ right).}

• Rectificación de la cicloide:

Una configuración habitual de la cicloide con radio a es la siguiente:

X(θ)=a(θ-pecado⁡θ)yy(θ)=a(1-porque⁡θ).{\ Displaystyle x (\ theta) = a (\ theta - \ sin \ theta) \ quad {\ text {et}} \ quad y (\ theta) = a (1- \ cos \ theta).}

Esta configuración permite el cálculo de la norma de la derivada:

DXDθ=a(1-porque⁡θ),DyDθ=apecado⁡θy(DXDθ)2+(DyDθ)2=a2(2-2porque⁡(θ))=4a2(1-porque2⁡θ2)=4a2pecado2⁡θ2.{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} = a (1- \ cos \ theta), \; {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ theta}} = a \ sin \ theta \ quad {\ text {et}} \ quad \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} \ derecha) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ theta}} \ right) ^ {2} = a ^ {2} (2-2 \ cos (\ theta)) = 4a ^ {2} \ left (1- \ cos ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} \ right) = 4a ^ {2} \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}}.}

La longitud deseada es:

L=∫02π2a|pecado⁡θ2|Dθ=4a∫0πpecado⁡μDμ=8a.{\ Displaystyle L = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} 2a \ left | \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ right | \ mathrm {d} \ theta = 4a \ int _ { 0} ^ {\ pi} \ sin \ mu \ mathrm {d} \ mu = 8a.}

Geometría diferencial

Principio de Fermat

Pierre de Fermat es uno de los precursores del cálculo diferencial , antes que Leibniz y Newton. Propone una interpretación de las leyes de Snell-Descartes en una carta de 1662 dirigida a Marin Cureau de la Cámara estableciendo un principio muy general: "la naturaleza actúa siempre por los medios más cortos", lo que implica las reglas de propagación de la luz por motivos geométricos. óptica .

La intuición de Fermat es correcta. La velocidad de la luz es más lenta en el agua o el vidrio que en el vacío o el aire. En consecuencia, la trayectoria de la luz es función de la relación de las velocidades de la luz en los dos medios. Es posible ilustrar este principio con el llamado problema del salvavidas , representado en la figura de la izquierda. Un salvavidas, ubicado en el punto A 1, debe evitar ahogarse en A 2 . Para ser lo más rápido posible, el socorrista debe encontrar el punto M en el límite entre la playa y el mar como un recorrido de A 1 a M , luego nadar a M a A 2 , o la ruta más rápida. Como corre más rápido de lo que nada, el punto M está necesariamente más cerca de A 2 como el segmento del punto A 1 A 2 en el borde de la playa y el mar.

Otra forma de modelar esta cuestión es dotar al espacio de una nueva distancia d 2 , asociada a la velocidad de movimiento de la luz o del socorrista. La distancia entre dos puntos viene dada por el tiempo necesario para ir de un punto a otro. Si C es un arco geométrico de parametrización ( I , f ), y n A la relación entre la velocidad del socorrista en la playa y la del punto A , la longitud del arco C se expresa por:

LVS=∫InoF(t)‖DFDt‖Dt.{\ Displaystyle L_ {C} = \ int _ {I} n_ {f (t)} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ ; \ mathrm {d} t.}

Ahora es la longitud de un arco lo que permite definir la distancia d 2  : la distancia entre dos puntos es la longitud más pequeña de un arco que conecta estos dos puntos. La figura de la derecha ilustra la geometría del espacio, visto con las dos distancias. El espacio equipado con la distancia d 2 se muestra arriba. Las trayectorias más cortas para el socorrista son las rectas representadas en verde, y los puntos equidistantes de su posición son los arcos de círculos, en rojo en la playa y en azul en el mar. Esta misma figura se reproduce en la figura de abajo, esta tiempo con la distancia habitual. Como el salvavidas es más lento en el agua, las partes de los círculos en el mar se aplastan . Este asentamiento distorsiona las porciones de líneas verdes que se encuentran en el agua. Los ángulos obtenidos, entre un segmento verde en la playa y su extensión en el agua, siguen las leyes de Descartes.

Principio de mínima acción

La expresión que utiliza Fermat para describir su principio es inteligente. Nada indica, en su formulación, que se limite a la óptica geométrica. El futuro le da la razón. Una cuestión ya abordada por Galileo , sin éxito, en 1638, es encontrar la curva que debe pedir prestados punto material resbaladizo sin fricción para mover tan rápido como sea posible desde un punto A a un punto B . Se supone que el punto B está a una altitud menor o igual que la del punto A para que la pregunta tenga solución. Esta cuestión se llama la braquistocrona problema . Jean Bernoulli volvió a ponerla en el centro de atención en 1696 y supuso un desafío para los lectores del periódico Acta Eruditorum .

Otra solución es aplicar el principio de Fermat. Si la distancia entre dos puntos A y B se mide por el tiempo necesario para pasar del más alto al más bajo, esta vez el espacio se dilata parabólicamente en el eje vertical. De hecho, si llamamos 1 a la longitud recorrida verticalmente en 1 unidad de tiempo, la longitud recorrida verticalmente en 2 unidades de tiempo es 4, entonces la recorrida en 3 es 9, etc. Resolver el problema de la braquistrocrona equivale a encontrar las leyes de paso entre el espacio medido por la velocidad del punto material y el medido de la forma habitual. La respuesta se muestra en la figura de la derecha. Como anteriormente, la figura de arriba representa el espacio medido usando la distancia d 2 , correspondiente a la velocidad del punto material. Consideramos las trayectorias, vistas con la distancia d 2 como medias líneas que vienen del mismo punto, donde la velocidad del punto es inicialmente cero. Estas medias líneas están espaciadas regularmente en un ángulo de π / 8 en la figura. En rojo se indican las posibles posiciones del punto después de un tiempo fijo y regular, 1, 2, 3 y 4 segundos. Las curvas rojas corresponden a lo que se suele llamar semicírculos.

Esta misma figura, vista con la distancia habitual, se ilustra debajo de la primera. Es un poco más difícil de leer que el correspondiente a la geometría anterior. La forma más sencilla es comenzar con la línea verde numerada 1. Corresponde a un desplazamiento horizontal. Como el punto material tiene velocidad inicial cero, su desplazamiento es cero y la línea se transforma en un punto, anotado 1 en la figura inferior. La trayectoria negra corresponde a una curva cuya tangente inicial es vertical. No hay una curva posible, sino un infinito, dos de los cuales se ilustran en la figura inferior, en negro. Estas curvas corresponden a arcos cicloides completos . Cualquier arco cicloide con un punto inicial el de la figura corresponde a una recta de tangente vertical inicial con la distancia d 2 . Esta situación es análoga a la imagen de todas las medias líneas verdes de la figura superior. Así, la media línea numerada 2 corresponde a una porción de cicloide ilustrada en la parte inferior de la figura, y cualquier homotecia de esta porción de cicloide también corresponde a una imagen de la media línea 2.

La técnica utilizada para resolver el problema de la braquistocrona es de la misma naturaleza que la del párrafo anterior en óptica. Buscamos el arco más corto para una distancia bien elegida. El principio de Fermat toma a veces el nombre de principio de mínima acción , que Maupertuis redescubre y afirma así: “La acción es proporcional al producto de la masa por la velocidad y por el espacio. Ahora bien, aquí está este principio, tan sabio, tan digno del Ser Supremo: cuando ocurre cualquier cambio en la Naturaleza, la cantidad de Acción empleada para ese cambio es siempre la más pequeña posible. "

Variedad riemanniana

En el ejemplo del problema de la braquistocrona, el equivalente del índice de refracción corresponde a un factor de compresión espacial, como en el ejemplo de la óptica. Como aquí el espacio tiende más bien a expandirse, el índice está rápidamente entre 0 y 1. Es exactamente igual a (2gh) -1/2 si h es la altitud, contada negativamente. Para resolver la ecuación diferencial de Newton, indicando la trayectoria de los planetas, se aplica el mismo método con un coeficiente esta vez, igual a a / h . Los cálculos son un poco más simples y los arcos de cicloides se convierten en semicírculos.

Si Bernhard Riemann , un estudiante de Gauss , está lo suficientemente interesado en esta cuestión como para convertirla en su tema de tesis, no es para proponer un nuevo método para resolver una famosa ecuación diferencial , sino para comprender mejor la geometría. Si eliminamos los puntos de altitud 0 (un punto de altitud 0 está de hecho a una distancia distinta de cero de sí mismo, lo que no tiene sentido), obtenemos un espacio métrico. Para definir esta métrica partimos de una nueva definición de la longitud L C de un arco C del espacio G que, si está parametrizada por ( I , f ) es válida en el caso particular estudiado:

LVS=∫I‖DFDt‖Dtcon∀pag∈GRAMO,∀tu∈Tpag‖pag‖=nopag‖tu‖{\ Displaystyle L_ {C} = \ int _ {I} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t \ quad {\ text {con}} \ quad \ forall p \ in G, \; \ forall u \ in {\ mathcal {T}} _ {p} \ quad \ | p \ | = n_ {p} \ | u \ |}

Cada punto p de G tiene un espacio tangente T p , dotado de un producto escalar y por tanto de una norma. En el caso particular del párrafo, la norma es la del avión, multiplicada por el factor de compresión n p proporcional a la inversa de la altitud de p . La definición de la longitud de un arco le permite definir la distancia entre dos puntos. Es igual a la longitud del arco más pequeño que conecta estos dos puntos.

Cualitativamente, el espacio que acabamos de definir se parece un poco a la figura de la derecha. El formalismo de Riemann, que consiste en definir primero la longitud de un arco y luego la distancia, es finalmente muy poderoso. Permite definir un gran conjunto de geometrías, en las que se extienden conceptos clásicos como líneas (que toman el nombre de geodésicas ), círculos o curvaturas . Este método permite definir superficies que no existen en la dimensión 3. La considerada en este párrafo tiene una curvatura negativa constante. La curvatura en un punto p corresponde al producto de las dos curvaturas más extremas que pueden tomar los arcos parametrizados mediante una abscisa curvilínea en el punto p . Si los dos círculos osculantes están en un elipsoide , hablamos de curvatura positiva. si están en una silla de montar , se llama curvatura negativa. Ninguna superficie tridimensional tiene una curvatura negativa constante, por lo que la geometría descrita en este párrafo no es exactamente la de la figura de la derecha.

Cálculo de variaciones

Los tres párrafos anteriores tienen un punto en común, para ser operativos requieren la capacidad de encontrar el camino más corto entre dos puntos de una superficie o geometría en particular, lo cual no es, en general, una pregunta fácil.

El método más exitoso es similar al de la geometría diferencial. En dimensión finita, y bajo los supuestos correctos, un punto óptimo tiene una aproximación lineal tangente plana, ilustrada en la figura de la izquierda. En términos matemáticos, esto significa que el gradiente de la función a optimizar es cero en un punto extremo.

Es un método de esta naturaleza que Bernoulli utiliza para resolver el problema de la braquistocrona. Se ilustra en la figura de la derecha, una pequeña variación alrededor de la ruta óptima no cambia su longitud, en el primer orden. Por lo tanto, la ruta casi óptima, que se muestra en verde, es de primer orden, de la misma longitud que la curva óptima, que se muestra en gris. Leonhard Euler refina el método y ofrece una primera demostración de la resolución del problema isoperimétrico que consiste en encontrar el arco cerrado de una longitud dada y encerrar una superficie con la mayor área posible. (La prueba de Euler se da en el artículo El multiplicador de Lagrange .) En 1755, Lagrange escribió una carta a Euler. Se trata del cálculo de la curva tautocrónica , correspondiente a una cuestión análoga al problema de la braquistocrona. Esta correspondencia es el comienzo de un largo trabajo común y permite establecer la ecuación de Euler-Lagrange , un método muy general para encontrar geodésicas.

Si la ecuación de Euler-Lagrange es suficiente para resolver el problema autocrónico, a veces es necesario enriquecerlo, por ejemplo para encontrar la curva de la cadena , es decir, la posición que ocupa en reposo un cable de densidad lineal constante (los físicos usan la expresión lineal densidad ), sometida a la gravedad. El método se enriquece con el del multiplicador de Lagrange .

Las matemáticas de la XVIII ª  siglo son todavía insuficientes para demostrar rigurosamente la relevancia de los cálculos de Euler y Lagrange. Su conocimiento del análisis funcional es todavía demasiado limitado. Estos métodos, que toman el nombre del cálculo de variaciones , se vuelven muy estricta bajo la influencia de Karl Weierstrass en el XIX °  siglo, y especialmente el trabajo de Banach y Sobolev del XX °  siglo.

Espacio Sobolev

Pongamos la pregunta en términos vagos: ¿dos curvas "cercanas" tienen longitudes similares?

He aquí un ejemplo negativo. Tomamos la gráfica de la función constante igual a 0 en [0, 1]. Éste es de longitud 1. Construimos fácilmente una secuencia de funciones continuas sobre [0, 1], rectificable, que converge uniformemente hacia f y cuya longitud no converge hacia 1.

Por ejemplo: f 1 es una función triangular con pendientes 1 sobre [0, 1/2] y –1 sobre [1/2, 1]. Entonces f 2 es una función formada por dos triángulos, con pendientes 1 sobre [0, 1/4], –1 sobre [1/4, 1/2], 1 sobre [1/2, 3/4], - 1 en [3/4, 1], y así sucesivamente (4,8,16 triángulos…). Cada una de las funciones f n tiene una gráfica de longitud √ 2 y, además, existe una convergencia uniforme hacia f .

Por lo tanto, para obtener resultados de continuidad para la aplicación de “longitud”, no es necesario trabajar con el estándar de convergencia uniforme. Más bien, se necesita un estándar del tipo de espacios de Sobolev .

Definición de Jordania

Motivación

Durante 150 años, la definición de la XVII ª  siglo satisface las necesidades de los matemáticos, si es necesario con la generalización de Riemann. Incluso ahora, no es raro que se utilice cuando el tema se limita a la geometría diferencial . Durante la segunda mitad del XIX °  siglo, nuevos problemas requieren un enfoque más general.

Las curvas estudiadas ya no tienen sistemáticamente un origen específicamente mecánico o cinemático , sino que también proceden de otras ramas de las matemáticas. Giuseppe Peano descubre la curva que ahora lleva su nombre y que cubre por completo la superficie de un cuadrado de lado 1. Hermann Minkowski utiliza convexos para resolver cuestiones de teoría algebraica de números . Los límites de estos convexos, si están en un plano euclidiano, a veces se pueden parametrizar como arcos.

Camille Jordan es pionera en el estudio de las curvas del plano euclidiano que tienen un origen distinto al cinemático. Intenta resolver algunas cuestiones aparentemente inofensivas como la del teorema que lleva su nombre , este resultado trata de una curva cerrada y simple. Cerrado significa que la imagen de los extremos del segmento de definición se fusiona y simple que el único punto doble es el final. Tal curva separa el plano en dos partes conectadas , el interior y el exterior de la curva.

Para apoyar tal desarrollo, es necesario no limitarse a arcos geométricos de clase C 1 . Jordan propone una nueva definición de la longitud basado en la máxima aproximación de la de Arquímedes que los analistas XVII °  siglo. Un método intuitivo para comprender su lógica es colocar una cuerda con la mayor precisión posible en el arco que desea medir. Para poder calcular fácilmente la longitud de la cuerda, se requiere seguir un camino poligonal. Las puntas de la cuerda se pellizcan sobre el arco estudiado, de modo que los pines se suceden, como en la figura de la derecha. Al agregar más y más tachuelas, la cuerda se ve obligada a seguir el arco con mayor precisión. Una vez que se colocan un número infinito de tachuelas espaciadas regularmente, se obtiene la longitud deseada. Si este enfoque tiene la ventaja de ser relevante, incluso en el caso de un arco no derivable, dar un significado riguroso a la idea de un número infinito de tachuelas espaciadas regularmente sería un poco complicado. Jordan, en cambio, ofrece el límite superior de las longitudes de las diversas cuerdas imaginables, unidas con un número finito de tachuelas. Este enfoque combina rigor con una generalización de la longitud a arcos que no son necesariamente diferenciables.

Más allá de poder procesar curvas no derivables, se vuelven utilizables nuevos métodos que no estaban con la definición anterior. Se da un ejemplo con el teorema isoperimétrico . Este teorema establece que cualquier superficie tiene un área menor que la del disco con el mismo perímetro. Ciertas demostraciones, presentadas en el artículo sobre esta cuestión, requieren la definición de longitud en el sentido de Jordania.

Enfoque formal

El conjunto de llegada ya no es necesariamente euclidiano, ( E , d ) denota en este párrafo un espacio métrico y I siempre un intervalo de ℝ. El par ( I , f ) es un arco, es decir una función continua de I en E . La lógica seguida para la definición es cercana a la utilizada para la integral de Riemann . Cualquiera de S una secuencia finita de un 0 , ..., un n elementos estrictamente crecientes de I . Secuencia de una de este tipo se llama una subdivisión del rango de [ un 0 , un n ] de I .

A continuación de S podemos asociar la longitud L ( S ), definida por:

L(S)=∑I=1noD(F(aI-1),F(aI)).{\ Displaystyle L (S) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} d \ left (f (a_ {i-1}), f (a_ {i}) \ right).}

El valor L ( S ) se llama aquí la longitud de la línea poligonal de vértices las imágenes de la secuencia S por f . La desigualdad triangular necesario definir la longitud del arco C como superior a la de una línea poligonal asociada con una subdivisión de un intervalo I . La línea recta que sigue la línea poligonal entre dos vértices consecutivos es de hecho el camino más rápido entre estos dos puntos y el paso por la curva C es necesariamente más largo. Por otro lado, si la subdivisión es muy fina, se puede esperar obtener una buena aproximación de la longitud de C , lo que justifica la siguiente definición:

• La longitud del arco C es la variación total de f , es decir, el límite superior del conjunto de las longitudes de poligonales imágenes vértices de línea de una subdivisión de un intervalo I .

Tal definición no requiere que la longitud sea finita. Por ejemplo, una línea tiene una longitud infinita. Contraejemplos menos triviales están dados por la figura de la derecha o la curva de Peano , que es continua pero no derivable en ninguna parte, y cuya imagen del segmento [0,1] es el conjunto de puntos de un cuadrado a un lado 1. Esto da lugar a la siguiente definición:

• Se dice que un arco es rectificable si su longitud es finita.

Propiedades

• La longitud de un arco geométrico es mayor que la distancia entre los extremos, si existen.
  Esta proposición es solo la generalización de la desigualdad triangular . En el espacio euclidiano, el camino más corto entre dos puntos es el segmento de línea. Cualquier soporte de arco geométrico en los extremos de estos dos puntos es necesariamente más largo. Esta proposición sólo es de interés si los dos extremos no se confunden, como en el caso del círculo.
• La longitud de dos soportes de arco geométrico que comparten un extremo es la suma de las longitudes de los dos soportes.
  Esta propuesta sigue siendo muy intuitiva. Seguir una ruta de A a B , y luego continuar a un punto C es la misma longitud que seguir la misma ruta para ir de A a C .
• Si el conjunto de llegada es un espacio afín , dotado de una distancia resultante de una norma , entonces una homotecia de razón k, aplicada a un arco geométrico, aumenta la longitud del arco en una razón k.

Una propiedad final es útil para garantizar la coherencia de la definición de longitud. Aquí E nuevamente designa un espacio euclidiano:

• Let ( I , f ) ser un rectificable clase C 1 arco parametrizada . La integral de la norma de la derivada de f sobre el intervalo I es convergente y la longitud L del arco ( I , f ) en el sentido de Jordan es igual a la definida por la integral de la norma de su derivada.

L=∫I‖DFDt‖Dt.{\ Displaystyle L = \ int _ {I} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t.} Demostraciones

• La integral de la norma de la derivada de f sobre el intervalo I es convergente y la longitud L del arco ( I , f ) en el sentido de Jordan es igual a la definida por la integral de la norma de su derivada:

Sea ε un real estrictamente positivo. El hecho de que el arco sea rectificable da como resultado la existencia de una división de I  : a 0 ,…, a n tal que la longitud de la línea poligonal de las imágenes por f se aproxima a L , la longitud del arco en ε / 3 cerca . Estos supuestos dan como resultado el aumento:

(1)L-∑I=1no‖F(aI-1)-F(aI)‖≤ϵ3.{\ Displaystyle (1) \ quad L- \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left \ | f (a_ {i-1}) - f (a_ {i}) \ right \ | \ leq { \ frac {\ epsilon} {3}}.}

En el segmento [ a 0 , a n ], la derivada de f es una función uniformemente continua . Deducimos que, incluso si eso significa refinar la división elegida:

∀I∈[1,no],∀X∈[aI-1,aI]‖DFDX(aI-1)-DFDX(X)‖ ≤ϵ3(ano-a0).{\ Displaystyle \ forall i \ in [1, n], \; \ forall x \ in [a_ {i-1}, a_ {i}] \ quad \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f } {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) - {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (x) \ right \ | \ \ leq { \ frac {\ epsilon} {3 (a_ {n} -a_ {0})}}.}

Esto muestra que, de acuerdo con la desigualdad de los incrementos finitos para funciones con valores vectoriales  :

∀I∈[1,no-1]‖F(aI)-F(aI-1)-DFDX(aI-1)(aI-aI-1)‖≤ϵ(aI-aI-1)3(ano-a0).{\ Displaystyle \ forall i \ in [1, n-1] \ quad \ | f (a_ {i}) - f (a_ {i-1}) - {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) (a_ {i} -a_ {i-1}) \ | \ leq {\ frac {\ epsilon (a_ {i} -a_ {i-1} )} {3 (a_ {n} -a_ {0})}}.}

Al sumar estos n - 1 aumentos, obtenemos:

(2)|∑I=1no‖F(aI)-F(aI-1)‖-‖DFDX(aI-1)‖(aI-aI-1)|≤∑I=1no‖F(aI)-F(aI-1)-DFDX(aI-1)(aI-aI-1)‖≤ϵ3.{\ Displaystyle (2) \ quad \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ | f (a_ {i}) - f (a_ {i-1}) \ | - \ left \ | { \ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) \ right \ | (a_ {i} -a_ {i-1}) \ right | \ leq \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ left \ | f (a_ {i}) - f (a_ {i-1}) - {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) (a_ {i} -a_ {i-1}) \ right \ | \ leq {\ frac {\ epsilon} {3}}.}

Combinando los recargos (1) y (2) obtenemos:

∑I=1no‖DFDX(aI-1)‖(aI-aI-1)≤L+2ϵ3.{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) \ right \ | (a_ {i} -a_ {i-1}) \ leq L + {\ frac {2 \ epsilon} {3}}.}

El último aumento es cierto para cualquier división suficientemente fina de I. Esto indica que la integral impropia de la norma de la derivada de f entre una y b es convergente. En otras palabras, incluso si eso significa refinar aún más la división, también tenemos el tercer aumento:

(3)|∑I=1no‖DFDt(aI-1)‖(aI-aI-1)-∫I‖DFDt‖Dt|≤ϵ3.{\ Displaystyle (3) \ quad \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} (a_ { i-1}) \ right \ | (a_ {i} -a_ {i-1}) - \ int _ {I} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t \ right | \ leq {\ frac {\ epsilon} {3}}.}

Sumando los tres recargos (1) , (2) y (3) , obtenemos:

|L-∫I‖DFDt‖Dt|≤ϵ.{\ Displaystyle \ left | L- \ int _ {I} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ epsilon.}

Siendo el último aumento cierto para cualquier ε estrictamente positivo, la igualdad entre la longitud del arco y la integral está bien verificada.

Las funciones acotadas de I en E están dotadas de la distancia de continuidad uniforme . Es natural preguntarse por la continuidad de la función que, con un arco, asocia su longitud. La figura de la izquierda muestra que esta función no es continua. Efectivamente, decir que un arco, en rojo en la figura, está cerca de otro, el círculo azul en la figura, significa que el arco está en una especie de tubo , de pequeño ancho. La curva en rojo muestra que es posible construir una curva que oscile lo suficiente como para tener una longitud muy diferente. Por otro lado, si la curva roja está cerca de la azul, su longitud no puede ser mucho menor que la azul. El más corto se muestra a la derecha en verde. Hablamos de semicontinuidad inferior .

• La función de "longitud" (es decir, variación total ), con valores en [0, + ∞] , es semicontinua inferiormente sobre el espacio (provisto de la distancia de convergencia uniforme) de funciones acotadas de I en un espacio métrico E .

De hecho, para cualquier subdivisión σ de un intervalo de I , la función f ↦ V ( f , σ) es continua, por lo tanto, la función de longitud es semicontinua inferior, como el límite superior de V ( f , σ) .

Contenido de Minkowski

Motivación

Minkowski está especialmente interesado en curvas cerradas y simples porque definen un borde de un espacio compacto en el plano euclidiano. Los resultados que establece son particularmente interesantes si puede generalizarlos a dimensiones superiores.

Las herramientas de geometría diferencial no siempre son muy adecuadas para esto. Un ejemplo lo da el teorema isoperimétrico , en el caso general se busca mostrar que un sólido de un espacio euclidiano de dimensión n tiene un volumen menor que el de la bola de la misma superficie. El término bola de radio r designa el conjunto de puntos a una distancia menor que r de un punto dado llamado centro. No es demasiado complejo mostrar que la curvatura media en cada punto de una superficie, borde de un sólido que alcanza el óptimo isoperimétrico, es necesariamente constante. En la dimensión 2, es muy simple mostrar que la única curva simple y cerrada de curvatura media constante es el círculo , una prueba natural es obra de Hurwitz y usa la desigualdad de Wirtinger . En la dimensión 3, la manifestación se conoce, pero es lo suficientemente técnica hasta la fecha sólo el comienzo del XX °  siglo. El caso general aún no está demostrado.

La definición de Jordan para la longitud de una curva tampoco es adecuada porque no se generaliza directamente a dimensiones superiores. La generalización natural consistiría en definir el área de la superficie de una porción de un cilindro como el límite superior de la superficie de un poliedro cuyos vértices se encuentran en el límite del cilindro. El ejemplo de la derecha ilustra la inconsistencia de tal generalización. El poliedro utilizado es una linterna cuyos vértices se ubican en hexágonos paralelos, cada vez desplazados una doceava parte de vuelta. Si los planos de los hexágonos se acercan cada vez más, la superficie del poliedro aumenta hasta el infinito.

Minkowski encuentra una solución para definir la longitud de un arco que resiste el paso a una dimensión superior. Su enfoque intuitivo es diferente a los considerados hasta ahora. Como Jordan, no se basa en la longitud de una línea poligonal, sino directamente en la función de volumen del espacio euclidiano de dimensión n . Esta función está definida generalmente por la medida de Lebesgue . Para un valor suficientemente pequeño ε, considera los puntos a una distancia menor que ε de la curva C que está estudiando. Obtiene un conjunto, ilustrado en rosa sobre un ejemplo en dimensión 2 en la figura de la izquierda, la curva C está representada en azul. Tal conjunto se llama tubo .

Si el valor ε disminuye, el volumen del tubo se aproxima al producto de la longitud del arco por el volumen de la bola de dimensión n - 1 y de radio ε. En el caso de un círculo de radio r y de dimensión 2, el tubo está formado por el área del espacio entre un círculo de radio r + ε y otro con el mismo centro y radio r - ε. Su volumen es exactamente 2π r multiplicado por 2ε. En la dimensión 3, el tubo es un toro, una vez más su volumen es exactamente el producto de 2π r por el área de un disco de radio ε. Esta definición, si es un poco más compleja de implementar, se puede generalizar fácilmente a dimensiones superiores.

Caso del círculo en dimensión 2

Si ε es un número entero menor que r , el área C ε es la que está dentro de un disco de radio r  + ε y fuera del disco abierto de radio r  - ε. La superficie Vol ( C ε ) es igual a:

Vol(VSϵ)=π((r+ϵ)2-(r-ϵ)2)=2πr(2ϵ).{\ Displaystyle Vol (C _ {\ epsilon}) = \ pi \ left ((r + \ epsilon) ^ {2} - (r- \ epsilon) ^ {2} \ right) = 2 \ pi r (2 \ épsilon).}

Sin embargo, 2π r corresponde a la longitud del círculo y en la dimensión 1, la bola de radio ε tiene un volumen igual a 2ε en la dimensión 1. El contenido de Minkowski es de hecho igual a la longitud del círculo.

Formalismo

Minkowski y Hausdorff desarrollan herramientas para comprender mejor el estudio general de los sólidos. El conjunto estudiado es el de compactos no vacíos de un espacio euclidiano E , de dimensión n . Los Minkowski suma combina dos conjuntos A y B sólido A + B se compone de cantidades de elementos de A y B . Este conjunto está equipado con una distancia, llamada distancia de Hausdorff . El tubo estudiado corresponde a la suma de una C compacta , correspondiente a la curva cuya longitud se desea medir y de la bola de radio ε, se indica aquí C ε .

Si la curva C es simple y cerrada y de clase C 2 , entonces el volumen del tubo Vol (C ε ) se expresa en función de la longitud L C del arco C y del volumen Vol ( B n-1 ( ε)) de la bola de un espacio euclidiano de dimensión n - 1 y radio ε, esto con la condición de que ε permanezca suficientemente pequeño:

Vuelo⁡(VSϵ)=LVSVuelo⁡(Bno-1(ϵ)).{\ Displaystyle \ operatorname {Vol} (C _ {\ epsilon}) = L_ {C} \ operatorname {Vol} (B_ {n-1} (\ epsilon)).}

Si la curva no está cerrada, la igualdad permanece verdadera si sumamos el volumen de una bola de radio ε en la dimensión n . Efectivamente, se sumarán dos medias bolas, cada una en uno de los extremos de la curva, obtenemos:

Vuelo⁡(Tϵ)=LVSVuelo⁡(Bno-1(ϵ))+Vuelo⁡(Bno(ϵ)).{\ Displaystyle \ operatorname {Vol} (T _ {\ epsilon}) = L_ {C} \ operatorname {Vol} (B_ {n-1} (\ epsilon)) + \ operatorname {Vol} (B_ {n} ( \ epsilon)).}

Cualquiera que sea la configuración anterior, obtenemos una nueva forma de definir la longitud de un arco:

• El contenido unidimensional de un conjunto C de un espacio euclidiano de dimensión n , denotado M 1 ( C ), es el siguiente límite , cuando existe:

METRO1(VS)=limϵ→0Vuelo⁡(Tϵ)Vuelo⁡(Bno-1(ϵ)).{\ Displaystyle M_ {1} (C) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ operatorname {Vol} (T _ {\ epsilon})} {\ operatorname {Vol} (B_ {n- 1} (\ epsilon))}}.}

Esta definición es de hecho una generalización de la longitud definida anteriormente:

• Si C es el conjunto final de un arco parametrizada compacto de clase C 2 , la longitud de C es igual a su 1- dimensional contenido .

Esta definición es particularmente relevante en el caso del estudio de la longitud de la frontera de una superficie S compacto límite de 2 dimensiones C . Si el borde puede parametrizarse mediante un arco de clase C 2 , tenemos el siguiente teorema, llamado fórmula de Steiner-Minkowski  :

• La longitud L C del arco C es igual al siguiente límite:

LVS=limϵ→0Vuelo⁡(S+B2(ϵ))Vuelo⁡(S).{\ displaystyle L_ {C} = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ operatorname {Vol} (S + B_ {2} (\ epsilon))} {\ operatorname {Vol} (S)} }.}

El contenido de Minkowski permite generalizar esta fórmula a muchas superficies.

Demostración de la equivalencia de definiciones

Fix las notaciones, E es un espacio euclidiano de dimensión n , ([ un , b ], f ) es una curvilínea configuración de clase C 2 un arco geométrica cerrada y simple y cuya imagen es igual a C . Decir que la parametrización es cerrada es como decir que f ( a ) es igual a f ( b ), diciendo que es simple es equivalente a decir que si s y t son dos elementos de] una , b [, entonces f ( s ) es diferente de f ( t ). Finalmente, decir que la parametrización es curvilínea equivale a decir que la norma de la derivada de f ( t ) es siempre igual a 1, si t es un elemento de [ a , b ]. El valor ε designa un real estrictamente positivo, entre 0 y μ, donde μ es un real estrictamente positivo por determinar. H t denota el hiperplano de E ortogonal af ( t ) y B a, μ la bola unitaria cerrada del hiperplano H a y de radio μ. Denotamos por u t Obra la derivada de f en el punto t y v t el vector de la norma 1 colineal con la segunda derivada de f y en la misma dirección. Decir que f es una parametrización curvilínea implica que u t y v t son ortogonales. Finalmente, denotamos por c (t) la curvatura de f en t , la segunda derivada de f en t es igual al producto de c (t) por v t .

La técnica empleada para la prueba consiste en construir una incrustación ψ de [ a , b ] x B a, μ en C μ de clase C 1 . Esta incrustación proporciona el cambio correcto de variable para calcular la integral que da el área de C ε . Para construir ψ, construimos un mapa φ t de clase C 1 de [ a , b ] con valores en las rotaciones de E , de manera que la imagen de u a par φ t sea ​​igual a u t .

• Construcción de φ t  :

Ecuación diferencial : Una solución elegante consiste en construir φ t como la solución de una ecuación diferencial lineal . Para ello, definimos una aplicación de un conjunto χ D en L (E) todo el espacio endomorphism E . Aquí D denota los pares ( u , v ) de vectores de E tal que u y v son de normas igual a 1 y tal que u y v son ortogonales. El endomorfismo χ (u, v) asocia con u el vector v , con v el vector - u y el vector nulo con cualquier vector ortogonal ay para v . Tenga en cuenta que para cualquier vector z de E , el producto escalar de z con su imagen por χ (u, v) es cero. De hecho, es posible escribir z en la forma α. u + β. v + w , donde α y β son dos escalares y w un vector ortogonal a u y v . Tenemos, si <.,.> Designa el producto escalar: ⟨χ(tu,v)(z),z⟩=⟨χ(tu,v)(αtu+βv+w),αtu+βv+w⟩=⟨-βtu+αv|αtu+βv+w⟩=αβ-αβ=0.{\ Displaystyle \ langle \ chi _ {(u, v)} (z), z \ rangle = \ langle \ chi _ {(u, v)} (\ alpha u + \ beta v + w), \ alpha u + \ beta v + w \ rangle = \ langle - \ beta u + \ alpha v | \ alpha u + \ beta v + w \ rangle = \ alpha \ beta - \ alpha \ beta = 0.} Esta aplicación nos permite definir la función ψ, de [ a , b ] en L (E), por:∀t∈[a,B]ψt=vs(t)χ(tut,vt).{\ Displaystyle \ forall t \ in [a, b] \ quad \ psi _ {t} = c (t) \ chi _ {(u_ {t}, v_ {t})}.} El mapa ψ es de hecho continuo, de hecho está compuesto por mapas continuos. Existe una pequeña dificultad si la curvatura c (t) es cero, porque v t no está definida, pero definir ψ como cero en estos puntos es claramente una continuación por continuidad, siendo la norma de ψ t igual ac (t) . La norma elegida aquí para L (E) es la que, con un endomorfismo, asocia el límite superior de la norma de la imagen de la bola unitaria. Consideramos la siguiente ecuación diferencial , en [ a , b ] y con valores en L (E):DXDt=ψt∘XconX0=ID.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} X} {\ mathrm {d} t}} = \ psi _ {t} \ circ X \ quad {\ text {with}} \ quad X_ {0} = Id .} La continuidad de ψ y la compacidad de [ a , b ] muestran que la función, que at asocia la norma de ψ, alcanza su límite superior m . La aplicación a las combinaciones X compuestas por ψ y X es continua y m -lipschitzienne . El teorema de Cauchy-Lipschitz garantiza la existencia de una solución única φ a la ecuación diferencial. Incluso es posible dar una expresión explícita para φ:∀t∈[a,B]φt=Exp⁡(∫atψτDτ)con, simetro∈L(mi)Exp⁡(metro)=∑no=0∞metronono!.{\ Displaystyle \ forall t \ in [a, b] \ quad \ varphi _ {t} = \ exp \ left (\ int _ {a} ^ {t} \ psi _ {\ tau} \ mathrm {d} \ tau \ right) \ quad {\ text {con, si}} \ quad m \ in {\ mathcal {L}} (E) \ quad \ exp (m) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {m ^ {n}} {n!}}.}

Con la excepción de la naturaleza algo inusual de los conjuntos usados ​​aquí, el método propuesto solo usa una ecuación diferencial lineal muy simple. La aplicación φ casi te permite definir un benchmark de Frenet . Bastaría asociar el punto con una base Frenet y la base Frenet estaría, en el punto t, su imagen por image. Este resultado solo es cierto si la curva es birregular , es decir, la segunda derivada de f nunca desaparece. Después del primer punto de inflexión, no hay razón para creer que la imagen de v 0 sea ​​todavía colineal con la segunda derivada de f . Ahora todo lo que tienes que hacer es comprobar que φ es la aplicación que estás buscando.

El mapa φ tiene valores en un conjunto de rotaciones y la imagen de u a por φ t es igual a u t  : Primero demostremos que φ tiene valores en un conjunto de rotaciones. lo que equivale a mostrar que si z es un vector de E , φ t (z) tiene la misma norma que z . Este resultado es trivialmente cierto si t es igual a a porque φ a es la identidad. Basta con mostrar que la derivada de la función, que at asocia el cuadrado de la norma de φ t (z), es cero, para establecer que φ t es una isometría: D⟨φt(z),φt(z)⟩Dt=2⟨DφtDt(z),φt(z)⟩=2⟨ψt(φt(z)),φt(z)⟩=0.{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle \ varphi _ {t} (z), \ varphi _ {t} (z) \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ langle { \ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t}} {\ mathrm {d} t}} (z), \ varphi _ {t} (z) \ rangle = 2 \ langle \ psi _ {t} \ izquierda (\ varphi _ {t} (z) \ right), \ varphi _ {t} (z) \ rangle = 0.} Queda por demostrar que el determinante de φ t es igual a 1. Como φ t es una isometría, su determinante es igual a ± 1. La imagen de la aplicación en t asociados det φ t está relacionada porque la aplicación está en curso. Como en a , el mapa vale 1, vale 1 en todas partes y el determinante de φ t es de hecho igual a 1.Luego mostramos que φ t (u a ) es de hecho igual a u t . Para ello, basta comprobar que los dos arcos, que con t asocia φ t (u a ) por un lado yu t por otro, tienen el mismo valor inicial y satisfacen la misma ecuación diferencial lineal. La unicidad de la solución, garantizada por el teorema de Cauchy-Lipschitz, muestra igualdad. Por construcción φ a es igual a la identidad; por tanto, los dos arcos tienen el mismo valor inicial. Ahora comprobemos que los dos arcos son soluciones de la misma ecuación diferencial:∀t∈[a,B]Dφt(tu0)Dt=DφtDt(tu0)=ψt∘φt(tu0)EntoncesDφt(tu0)Dt=ψt(φt(tu0)).{\ Displaystyle \ forall t \ in [a, b] \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t} (u_ {0})} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t}} {\ mathrm {d} t}} (u_ {0}) = \ psi _ {t} \ circ \ varphi _ {t} (u_ {0}) \ quad {\ text {por lo tanto}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t} (u_ {0})} {\ mathrm {d} t}} = \ psi _ {t} \ left (\ varphi _ {t} (u_ {0}) \ derecha).} De otra parte :∀t∈[a,B]DtutDt=vs(t)vt=vs(t)χ(tut,vt)=ψt(tut)EntoncesDtutDt=ψt(tut).{\ Displaystyle \ forall t \ in [a, b] \ quad {\ frac {\ mathrm {d} u_ {t}} {\ mathrm {d} t}} = c (t) v_ {t} = c ( t) \ chi _ {(u_ {t}, v_ {t})} = \ psi _ {t} (u_ {t}) \ quad {\ text {por lo tanto}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d } u_ {t}} {\ mathrm {d} t}} = \ psi _ {t} (u_ {t}).}

Deducimos que φ t (H a ) es de hecho igual a H t . De hecho, H a es la ortogonal de u a , su imagen por φ t es la ortogonal de φ t (u a ) porque φ t es una rotación. Basta notar que φ t (u a ) es igual a u t para concluir.

• Injetividad de Γ:

Para que el mapa Γ sea una incrustación , es necesario elegir bien el valor μ. Si es demasiado alto, la aplicación Γ no es necesariamente inyectiva. Se da un ejemplo en la figura de la derecha. El radio de curvatura más pequeño viene dado por el punto del círculo osculante púrpura. El valor μ se elige mayor que el radio del círculo osculante, llamado radio de curvatura . El punto rojo es un elemento del hiperplano ortogonal a la tangente del punto del círculo osculante violeta, y está a una distancia igual a este valor de μ. Los puntos a una distancia menor o igual a μ de la curva se muestran en verde. El punto rojo también forma parte del plano ortogonal de otro punto, que se muestra en amarillo. Si se elige μ más pequeño que el radio de curvatura más pequeño alcanzado por los puntos de la curva, esta situación no puede ocurrir. La aplicación Γ se inyecta localmente.

Injetividad local de Γ: La función c (t) en t combina la curvatura del arco en el punto f (t) es continua. Se define en un compacto, alcanza su límite superior. Denote por r m la inversa de este límite, que corresponde al radio de curvatura más pequeño del arco. Suponemos que μ se elige menor que r m / 2. El objetivo es mostrar que Γ es localmente inyectivo, es decir, si t es un elemento de [ a , b ], Γ es inyectivo en el conjunto] t-δ, t + δ [x B a, μ . El valor δ corresponde a un número real estrictamente positivo independiente de ty por determinar. Para simplificar las notaciones, asumimos, incluso si significa trasladar el intervalo [ a , b ], que t es igual a 0. Suponemos además, incluso si significa modificar el sistema de coordenadas, que f (0) es igual a la vector cero. Demostraremos que una imagen del punto p por Γ de un punto (0, p ) de] t-δ, t + δ [x B a, μ no tiene otro antecedente en este conjunto. Decir que p es una imagen de este tipo equivale a decir que su norma es menor que μ, por lo tanto, que r m / 2 y que p es ortogonal a u 0 . Consideramos otro antecedente de la primera coordenada indicada t y mostraremos que t es necesariamente mayor que un valor δ. Decir que t es otro antecedente implica que p está en el plano ortogonal a u t y pasa por f (t). Que muestra la igualdad:⟨pag-F(t),tut⟩=0Entonces⟨pag,tut⟩=⟨F(t),tut⟩.{\ Displaystyle \ langle pf (t), u_ {t} \ rangle = 0 \ quad {\ text {por lo tanto}} \ quad \ langle p, u_ {t} \ rangle = \ langle f (t), u_ {t } \ rangle.} La fórmula de Taylor-Lagrange muestra la existencia de un valor τ 1 , entre 0 y t , tal que:⟨pag,tut⟩=⟨pag,tu0+tvs(τ1)vτ1⟩=tvs(τ1)⟨pag,vτ1⟩≤tvsmetro‖pag‖≤tvsmetro2vsmetro≤t2.{\ Displaystyle \ langle p, u_ {t} \ rangle = \ langle p, u_ {0} + tc (\ tau _ {1}) v _ {\ tau _ {1}} \ rangle = tc (\ tau _ {1}) \ langle p, v _ {\ tau _ {1}} \ rangle \ leq tc_ {m} \ | p \ | \ leq t {\ frac {c_ {m}} {2c_ {m}}} \ leq {\ frac {t} {2}}.} El mismo razonamiento muestra la existencia de dos valores τ 2 y τ 3 , también entre 0 y t , tales como:⟨F(t),tut⟩=⟨ttu0+vs(τ2)t22vτ2,tu0+vs(τ3)tvτ3⟩≥t(1-32tvsmetro-vsmetro22t2).{\ Displaystyle \ langle f (t), u_ {t} \ rangle = \ langle tu_ {0} + {\ frac {c (\ tau 2) t ^ {2}} {2}} v _ {\ tau _ {2}}, u_ {0} + c (\ tau _ {3}) tv _ {\ tau _ {3}} \ rangle \ geq t \ left (1 - {\ frac {3} {2}} tc_ {m} - {\ frac {c_ {m} ^ {2}} {2}} t ^ {2} \ right).}

Si elegimos δ menor que min (1, 1 / c m ) / 6, estamos seguros de que el término < p , u t > es estrictamente menor que el segundo producto escalar, y la inyectividad local en el intervalo l '] t- δ, t + δ [x B a, μ está bien garantizado.

Injetividad global de Γ:

La inyectividad local no implica la inyectividad de Γ. La ilustración de la derecha muestra el motivo. Si la curva está lo suficientemente apretada , un punto de abscisas distante puede estar arbitrariamente cerca del punto estudiado. Entonces es necesario comprobar que una zona roja, como la figura, no existe si μ se elige correctamente. Como por supuesto, el arco no contiene un doble punto, la configuración desagradable sería la de la izquierda, con una infinidad de hebras del arco que se acercan cada vez más al punto crítico. La compacidad del segmento [ a , b ], que implica la del gráfico C, evita la aparición de este fenómeno.

Para convencernos de esto, consideremos la función que at asocia el mínimo de la distancia entre f (t) y la imagen por f de los intervalos [ a , t - δ] y [ t + δ, b ]. Como la función de distancia es continua y la unión de los segmentos [ a , t - δ] y [ t + δ, b ] es compacta, se alcanza este mínimo. A medida que el arco es simple, es decir que no admite un punto múltiple, este mínimo es diferente de 0. La función de [ un , b ] en ℝ que a t asocia el mínimo definido anteriormente es todavía continua. Todavía se define en un compacto, lo que implica que todavía alcanza su mínimo μ 1 que no es cero.Si el valor μ se elige estrictamente menor que μ 1/2 (es necesario dividir por 2 porque la restricción no es que la zona verde no debe coincidir indebidamente con la curva C en azul, sino que la zona verde no se cruza con sí mismo) y que r m / 2, las demostraciones anteriores garantizan la inyectividad de Γ.

Para poder realizar el cambio de variable en el cálculo del volumen, aún es necesario asegurar que el conjunto de llegada de Γ restringido a [ a , b ] x B a, ε , donde ε es un número real estrictamente positivo y menor que μ es de hecho C ε . Es más fácil de verificar.

• Sobrejetividad de Γ restringida a [ a , b ] x B a, ε en C ε :

Sea p un punto de C ε . La función de C en ℝ, que en un punto asocia su distancia ap , es continua. Alcanza su mínimo en un punto f (t), con una distancia menor que ε por supuesto. Si h es un real tal que t + h es un elemento de [ un , b ] la distancia entre p y f (t + h) es mayor que el mínimo anteriormente mencionado. Podemos deducir: ⟨pag-F(t+h),pag-F(t+h)⟩=⟨pag-F(t)+htut+o(h),pag-F(t)+htut+o(h)⟩=‖pag-F(t)‖2+2h⟨pag-F(t),tut⟩+o(h)≥‖pag-F(t)‖2.{\ Displaystyle \ langle pf (t + h), pf (t + h) \ rangle = \ langle pf (t) + hu_ {t} + o (h), pf (t) + hu_ {t} + o ( h) \ rangle = \ | pf (t) \ | ^ {2} + 2h \ langle pf (t), u_ {t} \ rangle + o (h) \ geq \ | pf (t) \ | ^ {2 }.} El límite superior es cierto para los valores positivos y negativos de h , lo que muestra que p - f (t) es ortogonal a u t . Otra forma de decirlo es que p está en la imagen de Γ. Más precisamente, su antecedente es ( t , φ t -1 (p- f (t))).

• Cálculo jacobiano:

Para realizar el cambio de variable, es útil calcular el determinante jacobiano de ψ en un punto ( t , z). Para eso, primero calculemos el diferencial de ψ en este punto. Sea v t, a el antecedente del vector normalizado de u ' t por φ t , si la segunda derivada de f no es cero y un vector de H a de norma 1 y ortogonal a u a si la segunda derivada es cero. Denotamos por K t, a el hiperplano de H a ortogonal av t, a . Denotamos por ( t d , z d ) un pequeño vector de B a, μ tal que la suma del punto ( t , z) y de ( t d , z d ) está en B a, μ . Finalmente, usamos las notaciones: z=ζvt,a+zkyzD=ζDvt,a+zkDconζ,ζD∈R,zk,zkD∈Kt,a.{\ Displaystyle z = \ zeta v_ {t, a} + z_ {k} \ quad {\ text {et}} \ quad z_ {d} = \ zeta _ {d} v_ {t, a} + z_ {kd } \ quad {\ text {con}} \ quad \ zeta, \ zeta _ {d} \ in \ mathbb {R}, \; z_ {k}, z_ {kd} \ in K_ {t, a}.} Se tiene :ψ(t+tD,z+zD)=F(t+tD)+φt+tD(z+zD)=F(t)+φt(z)+tD(tut+Dφt(ζvt,a+zk))+φt(zD)+o(tD)+o(zD).{\ Displaystyle \ psi (t + t_ {d}, z + z_ {d}) = f (t + t_ {d}) + \ varphi _ {t + t_ {d}} (z + z_ {d}) = f (t) + \ varphi _ {t} (z) + t_ {d} \ left (u_ {t} + D \ varphi _ {t} (\ zeta v_ {t, a} + z_ {k}) \ derecha) + \ varphi _ {t} (z_ {d}) + o (t_ {d}) + o (z_ {d}).} Deducimos el diferencial:Dψ(t,z)(tD,zD)=tD(tut-vs(t)ζtut)+ζDvt+φt(zk).{\ Displaystyle D \ psi _ {(t, z)} (t_ {d}, z_ {d}) = t_ {d} (u_ {t} -c (t) \ zeta u_ {t}) + \ zeta _ {d} v_ {t} + \ varphi _ {t} (z_ {k}).} Para el cálculo del determinante, notamos que el diferencial tiene dos espacios estables, el generado por u t y v t , luego K t, a . En el espacio K t, a , el diferencial es una rotación; su determinante es igual a 1; el jacobiano buscado es el del espacio vectorial de dimensión 2 generado por los dos vectores u t y v t . En esta base, la matriz M es igual a:METRO=(1-vs(t)ζ001)ydetDψ(t,z)=1-vs(t)ζ.{\ Displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 1-c (t) \ zeta & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {y}} \ quad \ det D \ psi _ { (t, z)} = 1-c (t) \ zeta.}

El resultado no es sorprendente. Significa que si la curvatura es localmente cero, la aplicación ψ no modifica el volumen. El mismo fenómeno se produce alrededor de la curva C . Por otro lado, si se elige un volumen pequeño con coordenada positiva, es decir, en la concavidad de la curvatura, entonces el volumen disminuye. Iría a 0 si nos acercáramos al radio de curvatura, igual a 1 / c (t), lo que no puede ocurrir con la elección de μ, que nunca supera la mitad del radio de curvatura. Por el contrario, en la dirección opuesta, el volumen aumenta. ζ{\ Displaystyle \ zeta}

• Cálculo del volumen de C ε  :

Ahora podemos aplicar el cambio de variable ψ: Vol(VSϵ)=∫VSϵ1Dσ=∫[a,B]×Bμ,a|detDφt,z|DtDζDzk=(B-a)Vol(Bno-1(ϵ))-∫[a,B]×Bμ,avs(t)ζDtDζDzk.{\ Displaystyle Vol (C _ {\ epsilon}) = \ int _ {C _ {\ epsilon}} 1 \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {[a, b] \ times B _ {\ mu, a}} | \ det D \ varphi _ {t, z} | \; \ mathrm {d} t \ mathrm {d} \ zeta \ mathrm {d} z_ {k} = (ba) Vol (B_ {n- 1} (\ epsilon)) - \ int _ {[a, b] \ times B _ {\ mu, a}} c (t) \ zeta \; \ mathrm {d} t \ mathrm {d} \ zeta \ mathrm {d} z_ {k}.} Ahora el sólido [ a , b ] x B a, μ es simétrico con respecto a K a y el volumen de la superficie cortada en la ordenada ζ es exactamente el mismo que el corte en la ordenada -ζ. La segunda integral es igual a 0. Encontramos:Vol(VSϵ)=(B-a)Vol(Bno-1(ϵ)).{\ displaystyle Vol (C _ {\ epsilon}) = (ba) Vol (B_ {n-1} (\ epsilon)).}

El contenido unidimensional de la curva C es igual ab - a , es decir, a la longitud de la curva, porque su parametrización corresponde a una abscisa curvilínea. En el caso del círculo y en la dimensión 3, encontramos una fórmula conocida, el volumen de un toro . En el caso de una curva que no sea cerrada, la demostración es exactamente la misma, basta con sumar las dos medias bolas en los extremos.

En el caso de una curva de clase C 2 y admitiendo puntos dobles, mostrar que el contenido unidimensional de Minkowski sigue siendo igual a la longitud no es muy complicado, pero la igualdad del producto anterior y del volumen del tubo es ya no está marcado. El resultado sigue siendo cierto para las curvas de clase C 1 , polígonos cerrados no vacíos compactos y convexos o curvas en la dimensión 2, pero las pruebas son diferentes.

Curva fractal

Ya en 1872, Karl Weierstrass demostró que una curva puede tener un comportamiento extraño; construye un ejemplo de arco, por definición continuo, y en ninguna parte diferenciable. Más tarde, Peano construyó su curva , cuya imagen es el conjunto de puntos de un cuadrado de lado 1. En 1904, el matemático sueco von Koch encontró un ejemplo concreto de una curva que cumplía con las especificaciones de Weierstrass, a través de un extraño copo de nieve . Todos estos ejemplos corresponden a lo que ahora se llama fractal .

Esta familia de curvas, inicialmente considerada algo patológica, es fundamental para una mejor comprensión de determinadas ramas de las matemáticas. El estudio de un sistema dinámico como el de Lorenz se relaciona con una ecuación diferencial cuyo comportamiento limitante se ubica dentro de una zona geométrica definida por dicha curva (para ser más precisos, la zona corresponde a la adherencia de dicha curva).

Para el análisis de tales curvas, es necesario un equivalente de la longitud. Sin embargo, para la curva de Peano, la definición diferencial no tiene significado y la de Jordan da infinito. Si el contenido unidimensional de Minkowski también da infinito, no es muy difícil adaptarlo para encontrar una respuesta significativa. Si P denota el conjunto final de la curva de Peano:

METRO2(VS)=limε→0Vol(PAGε)Vol(Bno-2(ε)).{\ Displaystyle M_ {2} (C) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {Vol (P _ {\ varepsilon})} {Vol (B_ {n-2} (\ varepsilon))} }.}

Aquí, P ε denota el conjunto de puntos remotos bajar ε de P . El truco consistía en dividir la proporción, no por el volumen de una bola ( n - 1) dimensional, sino por el volumen ( n - 2) dimensional. Para una mancha de clase C 2 y dimensión 2, el contenido corresponde a la medida de la superficie. Para el atractor de Lorenz o el copo de nieve de Koch, ningún número entero k permite definir un contenido ( n - k ) dimensional que no sea ni 0 ni infinito. Por otro lado, es posible utilizar una definición del volumen de una bola de dimensión que tenga sentido, incluso si ζ no es un número entero: ζ{\ Displaystyle \ zeta}

Vol(Bζ(ε))=2πζ/2ζΓ(ζ/2)εζ.{\ displaystyle Vol (B _ {\ zeta} (\ varepsilon)) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ zeta / 2}} {\ zeta \ Gamma (\ zeta / 2)}} \ varepsilon ^ {\ zeta}.}

Aquí Γ denota la función gamma . Por tanto, el contenido de Minkowski se generaliza a dimensiones no completas . Esta dimensión, que permite dar significado a la longitud de un arco, se denomina dimensión de Hausdorff .

Notas y referencias

1. Tablas de Susa - ver por ejemplo π y √2 entre los babilonios .
2. Arquímedes, De la esfera y del cilindro - De la medida del círculo - Sobre los conoides y los esferoides, tomo 1 Belles Lettres (2003) ( ISBN  2251000240 ) .
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6. Véase, por ejemplo, R. Ferreol y J. Madonnet, "  Parabole semi-cubique  " , en Enciclopedia de formas matemáticas notables ,2003.
7. (La) J. Wallis , Tractatus duo , Opera t. 1 (1659), pág.  551 .
8. Estas pruebas son publicadas por van Schooten en 1659 en la Geometry of Descartes .
9. (La) P. de Fermat , Dissertatio de linearum curvarum cum lineis rectis comparatione , Obras t.1 (1660), p.  211 .
10. Marcel Berger y Bernard Gostiaux , Geometría diferencial: variedades, curvas y superficies [ detalle de ediciones ], pag. 302.
11. Berger y Gostiaux , p.  303.
12. “Es esencial notar que la […] longitud L [de un arco ([ a , b ], f )] nunca es igual a la longitud de la gráfica de f ; este es un elemento del intervalo] L , L + b - a ]. » - Gustave Choquet , Curso de análisis , vol.  II: Topología , pág.  104.
13. Gottfried Wilhelm Leibniz , El nacimiento del cálculo diferencial , reed. Vrin , 2000 ( ISBN  2711609979 ) , pág.  203 .
14. "Carta a C. Fermat Casa Domingo 1 st de enero de 1662" , en Paul Tannery y Charles Henry , Obras de Fermat ( leer on-line ) , p.  458.
15. Para más detalles, véase por ejemplo: JP Pérez y E. Anterrieu, Óptica: Fundamentos y aplicaciones , Dunod ( 7 ª  edición) 2004 ( ISBN  978-210048497-3 ) .
16. Galileo había imaginado que la solución al problema de la brachistrocrona era el círculo: Galileo Galilei Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze Editado por Appresso gli elsevirii (1638)
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19. B. Riemann Sobre las hipótesis subyacentes a la geometría (Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen) publicado por Dedekind en Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen vol. 13, 1867 y disponible en inglés leído
20. Para obtener detalles sobre las variedades riemannianas, consulte (en) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ detalle de la edición ].
21. J. Peiffer, Euler: Variaciones alrededor de una curva , Les cahiers de science et vie, n o  68, 2002, p.  72-79
22. F. Martin-Robine, Historia del principio de acción menor , Vuibert, 2006 ( ISBN  978-2711771516 )
23. En un libro sobre geometría diferencial, la definición anterior es perfectamente suficiente: Berger y Gostiaux , p.  315.
24. G. Peano , En una curva, que llena todo un área plana , en Mathematische Annalen , vol. 36, 1890, pág.  157-160
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27. Esta definición es equivalente a la de Berger y Gostiaux , p.  314.
28. La demostración presentada aquí es un gran clásico; se puede encontrar, por ejemplo, en Jacques Dixmier , Cours de mathics du premier cycle Gauthier-Villars, 1976 ( ISBN  978-2-04-002687-5 ) , cap. 53.
29. Choquet , pág.  138.
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31. (de) H. Liebmann, “  Über die Verbiegung der geschlossenen Flachen positiver Krümm  ”, en Matemáticas. Ana. , Vuelo. 53, 1900, pág.  81-112
32. (en) Robert Osserman , "  La desigualdad isoperimétrica  " , Bull. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol.  84, n o  6,1978, p.  1183-1238 ( leer en línea ) : p.  1188 .
33. Este ejemplo está tomado de Berger y Gostiaux , p.  226.
34. Esta definición se encuentra en Osserman 1978 , p.  1189.
35. La demostración que se presenta aquí está inspirada en la del corolario de Berger y Gostiaux , p.  254.
36. H. von Koch, “Un método geométrico elemental para el estudio de ciertas cuestiones de la teoría de curvas planas”, Acta Math. , N o  30, 1906, p.  145-174 .
37. (en) Edward N. Lorenz , "  Flujo no periódico determinista  " , J. Atmos. Sci. , vol.  20,1963, p.  130-141 ( DOI  10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 , leer en línea ).

enlaces externos

• Distancia en línea recta entre dos puntos de la superficie terrestre
• Perímetro de la representación gráfica de una función f (x) (no confundir con la longitud del arco f )