En matemáticas , la geometría diferencial es la aplicación de las herramientas del cálculo diferencial al estudio de la geometría . Los objetos básicos de estudio son las variedades diferenciales , conjuntos que tienen suficiente regularidad para considerar la noción de derivación, y las funciones definidas en estas variedades.
La geometría diferencial encuentra su principal aplicación física en la teoría de la relatividad general donde permite modelar una curvatura del espacio-tiempo .
Hasta mediados de la XIX XX siglo , la geometría diferencial vio especialmente un "fuera" objeto (vista extrínseca ). Por ejemplo, estudiamos las propiedades de una curva desde un espacio bidimensional (o tridimensional para una curva izquierda , es decir no contenida en un plano) para dar sentido a las nociones de punto de contacto , de tangente , de curvatura. etc.
Sin embargo, también podemos resaltar la curvatura de la Tierra , por ejemplo, sin salir jamás de su superficie, mediante triangulaciones geodésicas, notando que al ser un espacio bidimensional, no se comporta de manera euclidiana (podemos por ejemplo construir allí entre un polo y dos puntos del ecuador que se diferencian en 90 grados de longitud (un triángulo trirrectangular ): la Tierra tiene así una curvatura que se puede resaltar sin referirse a un espacio exterior. Este es el punto de vista intrínseco ).
Como ejemplo más sofisticado, la tira de Möbius tiene una característica topológica (tener solo una cara y no dos) que no requiere dejarla para ser resaltada. Asimismo, la botella de Klein es una superficie (es decir, un colector de dimensión 2) pero para sumergirla en un espacio ambiental debemos elegir ℝ 4 . Asimismo, no es fácil encontrar un espacio que “contenga” el espacio-tiempo curvo. Sin embargo, la flexibilidad ganada se traduce en una mayor abstracción y dificultad para definir nociones geométricas como curvatura o nociones topológicas como conectividad .
La geometría diferencial abarca el análisis y estudio de varios conceptos:
Todos están relacionados con el análisis multivariado , pero para aplicaciones geométricas, es necesario razonar sin favorecer un sistema de coordenadas. Estos conceptos distintos de geometría diferencial pueden considerarse como aquellos que abarcan la naturaleza geométrica de la segunda derivada , es decir, las características de la curvatura.
Una variedad diferencial en un espacio topológico es una colección de homeomorfismos de conjuntos abiertos a una esfera unitaria ℝ n tal que los conjuntos abiertos cubren el espacio y que si f , g son homeomorfismos, entonces la función f -1 ∘ g d 'un subconjunto abierto de la esfera unitaria a la esfera abierta unitaria es infinitamente diferenciable. Decimos que la función de una variedad a ℝ es infinitamente diferenciable si la composición de cada homeomorfismo da como resultado una función infinitamente diferenciable de la unidad de esfera abierta en ℝ.
En cada punto del colector hay un espacio tangente a este punto formado por todas las velocidades posibles (dirección e intensidad) y con el que es posible desviarse de este punto. Para una variedad n-dimensional, el espacio tangente en cualquier punto es un espacio vectorial n-dimensional o, en otras palabras, una copia de ℝ n . El espacio tangente tiene varias definiciones. Una posible definición es el espacio vectorial de los caminos que pasan en este punto, coorientado por la relación de equivalencia que identifica dos caminos que tienen el mismo "vector de velocidad" en este punto (es decir, la misma derivada si los componimos con cualquier tarjeta).
Un campo vectorial es una función de una variedad a la unión disjunta de sus espacios tangentes (la unión en sí es una variedad conocida como paquete tangente ) de tal manera que, en cada punto, el valor obtenido es un elemento del espacio tangente en este punto. Esta relación se llama sección de un paquete . Un campo vectorial es diferenciable si para cada función diferenciable, la aplicación del campo en cada punto produce una función diferenciable. Los campos vectoriales pueden verse como ecuaciones diferenciales independientes del tiempo. Una función diferenciable de los reales a la variedad es una curva sobre la variedad. Esto define una función de los reales hacia los espacios tangentes: la velocidad de la curva en cada uno de los puntos que la constituyen. Una curva es una solución del campo vectorial si, para cada punto, la velocidad de la curva es igual al campo vectorial en ese punto; decimos que la curva es una trayectoria integral del campo vectorial.
A k lineal -form alternativamente es un elemento de la k ésimo de potencia exterior de dual E * de un espacio vectorial E . Una forma k diferencial de una variedad es una elección, en cada punto de la variedad, de dicha forma k alternante donde E es el espacio tangente en este punto. Será diferenciable si el resultado, después de una operación sobre campos de vectores k diferenciables, es una función diferenciable de la variedad hacia los reales.
La geometría de Riemann es el estudio de las métricas de Riemann : dicha métrica es una familia de productos escalares definidos continuamente en una variedad diferencial. Así, en el plano infinitesimal (es decir, en el espacio tangente ), esta estructura adicional le da a la variedad la apariencia de un espacio euclidiano , pero tan pronto como consideramos la variedad desde un punto de vista local, el análisis revela invariantes, en particular la curvatura . También permite dar un significado al cálculo diferencial en todos los órdenes, lo que es imposible con una estructura diferencial simple.
La geometría riemanniana permite generalizar las nociones de longitud de una curva y de medida de Lebesgue, el análisis del gradiente de una función, de la divergencia , etc. Su fuerte desarrollo durante la segunda mitad del XX ° siglo es debido al interés centrado demasiado topógrafos que los analistas o físicos . Además, se puede introducir una métrica riemanniana arbitraria como herramienta computacional para realizar ciertos estudios sobre variedades: este es el caso, por ejemplo, para analizar la topología de una variedad en la teoría Morse .
La geometría de Finsler es una extensión de la geometría de Riemann, que tiene sentido en dimensión infinita (por ejemplo, para el estudio de grupos de difeomorfismo en una variedad). Los principales objetos de estudio son las variedades de Finsler, es decir, las variedades diferenciales dotadas de una métrica de Finsler , una norma de Banach definida en cada espacio tangente.
Las geometrías pseudo-riemannianas analizan variedades equipadas con formas bilineales simétricas que no son necesariamente positivas. Entre ellos, la geometría de Lorentz es particularmente útil para modelar el espacio-tiempo .
La geometría conforme se puede ver como una geometría de Riemann "hasta el factor de escala", la geometría sub-Riemanniana , como una geometría de Riemann "bajo restricción".
La geometría simpléctica es el estudio de las formas simplécticas , es decir, "formas diferenciales cerradas no degeneradas". Estos objetos fueron introducidos desde la perspectiva de una formulación matemática de la mecánica clásica . Si las motivaciones físicas se remontan a Lagrange y Hamilton , la geometría simpléctica se ha formado como un campo de estudio por derecho propio desde la década de 1960 y hoy se ha convertido en un campo activo de investigación. A diferencia de la geometría de Riemann, surgen cuestiones sobre la existencia de estructuras. Los principales motores de búsqueda son la conjetura Arnold , la conjetura Weinstein y la cuantificación .
La geometría de contacto es hermana de la geometría simpléctica en dimensión impar. Esencialmente se trata del estudio de las formas de contacto , es decir de las formas 1 diferenciales α tal que α∧ (dα) n es una forma volumétrica (no se desvanece en ningún punto). Aunque a priori el objeto de estudio parezca diferente, “hermana” es un nombre doblemente justificado. Por un lado porque las geometrías simpléctica y de contacto presentan resultados "elementales" similares. Por otro lado, porque las hipersuperficies que presentan estructuras de contacto son omnipresentes en la geometría simpléctica.