Espacio tangente
El espacio tangente en un punto p de una variedad diferencial M es un espacio vectorial que es intuitivamente el conjunto de todos los vectores - velocidad posible para un "móvil" que se mueve (sin poder salir) en el rango M cuando está en p .
Una forma común en física de describir el espacio tangente es decir que los vectores que contiene representan las diferencias entre ese punto y los puntos de la variedad infinitamente cercanos al primero. Esta forma de interpretar el espacio tangente equivale a considerar que la variedad localmente tiene una estructura cercana a la de un espacio afín .
Definición cuando se sumerge la variedad
Cuando la variedad se sumerge en ℝ n , el espacio tangente en un punto p es simplemente el conjunto de vectores tangentes en p a las curvas (de clase C 1 ) trazadas en la variedad y que contienen p .
Definicion formal
Definición en términos de caminos
Supongamos que M es una variedad diferencial de dimensión n y clase C 1 y p es un punto en M . Sea ( U , φ) un mapa local de M en p . Dos curvas γ 1 , γ 2 :] –1, 1 [→ M , tales que φ∘γ 1 y φ∘γ 2 son diferenciables en 0, se dice que son mutuamente tangentes en p si γ 1 (0) = γ 2 (0) = py (φ∘γ 1 ) '(0) = (φ∘γ 2 )' (0). Esta noción no depende de la carta elegida.
Podemos verificar que la relación así definida es una relación de equivalencia . Una clase de equivalencia V se llama vector tangente a M en p . En el mapa anterior, el vector V está representado por el vector de igual a (φ∘γ) '(0), donde γ es cualquier elemento de la curva de la clase de equivalencia.
El conjunto de clases es el espacio tangente en P a M , denotado T p M . La función γ ↦ (φ∘γ) '(0) induce al pasar al cociente una biyección de T p M en ℝ n que hace del espacio tangente un espacio vectorial. La fórmula para cambiar mapas muestra que la estructura vectorial no depende del mapa local elegido.
Definición en términos de derivación
Con las notaciones anteriores, sea f una función de M con valores reales, de clase . Si tenemos un mapa local ( U , φ) en p tal que (por ejemplo), φ ( p ) = 0, entonces la función es una función de clase , definida en un vecindario que contiene 0 y con valores reales. Si nos damos un vector de , podemos calcular la derivada direccional de F de acuerdo con :
Se comprueba que el resultado no depende del mapa elegido, sino solo de la función f y de la clase de equivalencia V definida en el párrafo anterior, y para la que tenemos en el mapa dado. Lo notamos o . El vector define así una operación de derivación sobre las funciones f , igual a en el mapa anterior. A la inversa, cualquier operación de derivación tiene esta forma y, por lo tanto, define un vector. Este método identifica los vectores tangentes a M en el punto p con derivaciones en el punto p de funciones con valores reales.
