Toro

Un toro es un sólido geométrico que representa un tubo curvo cerrado sobre sí mismo. El término "toro" tiene diferentes significados más específicos según el contexto:

• en ingeniería o geometría elemental, un toro es un sólido de revolución del espacio obtenido de un círculo, o su superficie. Una cámara de aire , una boya , determinados precintos o incluso determinadas rosquillas ( rosquillas norteamericanas) tienen así una forma más o menos tórica  ;
• en arquitectura , un toro corresponde a una moldura semicilíndrica redonda.
• en matemáticas , más particularmente en topología , un toro es un cociente de un espacio vectorial real de dimensión finita por una red, o cualquier espacio topológico que le sea homeomórfico . La superficie del sólido de revolución descrito anteriormente es generalmente homeomorfa a ( R / Z ) × ( R / Z ), excepto en casos degenerados .
• en electrónica , un toro magnético ha sido el elemento básico de las memorias de computadora de segunda generación.
• en astronomía , un toro puede ser un anillo planetario o satélite.

El sólido de la revolución en la geometría euclidiana

Un toro es el volumen del espacio euclidiano R 3 generado por la rotación de un círculo C de radio r alrededor de una línea afín D ubicada en su plano a una distancia R de su centro. En este sentido, algunos autores designan el sólido obtenido como un toro sólido, reservando el término toro para la superficie correspondiente. Con la acción de una isometría afín directa cercana, el toro (lleno) solo está determinado por los dos parámetros reales R y r .

La forma del toro (sólido) depende del signo de  : r-R{\ Displaystyle rR}

• si , el toro se reduce a un punto;r=0=R{\ Displaystyle r = 0 = R}
• si , el toro se reduce a un círculo de radio R  ;r=0<R{\ Displaystyle r = 0 <R}
• sí , se dice que el toro está “abierto” y parece una cámara de aire o incluso una rosquilla ( rosquilla norteamericana). Algunos autores reservan el nombre de toro para este caso (o incluyen el siguiente caso).0<r<R{\ Displaystyle 0 <r <R}
• si , se dice que el toro es "con cuello cero";0<r=R{\ Displaystyle 0 <r = R}
• sí , se dice que el toro está "cruzado" y visualmente se parece a una calabaza  ; el sólido es topológicamente una bola cerrada de espacio tridimensional y su superficie una esfera.0<R<r{\ Displaystyle 0 <R <r}
• si , el toro (sólido) es una bola (sólido obtenido por la rotación de un disco alrededor de uno de sus diámetros) de radio r .R=0<r{\ Displaystyle R = 0 <r}

Ecuaciones del toro

Un toro puede definirse paramétricamente por:

X(tu,v)=(R+rporque⁡v)porque⁡tu{\ Displaystyle x (u, v) = (R + r \ cos {v}) \ cos {u} \,} y(tu,v)=(R+rporque⁡v)pecado⁡tu{\ Displaystyle y (u, v) = (R + r \ cos {v}) \ sin {u} \,} z(tu,v)=rpecado⁡v{\ Displaystyle z (u, v) = r \ sin {v} \,}

o

u , v pertenecen al intervalo [0, 2π [ , R es la distancia entre el centro del tubo y el centro del toro, r es el radio del círculo C.

Sumando los cuadrados

X2+y2+z2=R2+2Rrporque⁡v+r2{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2} + 2Rr \ cos {v} + r ^ {2} \,} Nos aislamos y volvemos a cuadrarporque⁡v{\ Displaystyle \ cos {vb} \,}

(X2+y2+z2-R2-r2)2=(2Rrporque⁡v)2,{\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = (2Rr \ cos {v}) ^ {2 },}

Todo lo que queda es inyectar:

z2=r2pecado2⁡v{\ Displaystyle z ^ {2} = r ^ {2} \ sin ^ {2} {v} \,} Para finalmente obtener:

(X2+y2+z2-R2-r2)2=4R2r2(1-pecado2⁡v) ,{\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} r ^ {2} ( 1- \ sin ^ {2} {v}) \,} (X2+y2+z2-R2-r2)2=4R2(r2-z2) ,{\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} (r ^ {2} -z ^ {2}) \,}

Otra ecuación cartesiana para un toro simétrico con respecto al eje z es

(X2+y2-R)2+z2=r2,{\ Displaystyle \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ right) ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}, \, \!}

Algebraica mediante la eliminación de la raíz cuadrada se obtiene una ecuación de la 4 º  grado.

(X2+y2+z2+R2-r2)2=4R2(X2+y2).{\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} = 4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}). \, \!}

Área y volumen

Para R - r positivo o cero, tenemos:

• Área del toro:A=∫02πRDθ(∫02πrDθ)=4π2rR{\ Displaystyle A = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} R \, {\ text {d}} \ theta \; \ left (\ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} r \, {\ text {d}} \ theta \ right) = 4 \ pi ^ {2} rR}

• Volumen interno del toro:V=∫02πRDθ(∫02π∫0rrDrDθ)=2π2r2R{\ Displaystyle V = \ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} R \, {\ text {d}} \ theta \; \ left (\ int \ limits _ {0} ^ {2 \ pi} \ int \ limits _ {0} ^ {r} r \, \ mathrm {d} r {\ text {d}} \ theta \ right) = 2 \ pi ^ {2} r ^ {2} R}

Los teoremas de Guldin permiten lograr estos resultados, y también determinar las fórmulas para el área y el volumen del toro cruzado (para R < r ).

Grupo de isometrías

Para R > 0, entre las notables isometrías del toro, distinguimos:

• las rotaciones r u del eje (supuestamente orientado) D y del ángulo u  ;
• la inversión a con respecto al plano afín P ortogonal a D pasando por el centro de C  ;
• la inversión b Q con respecto a cualquier plano afín Q que contenga D  ;
• la simetría central s con respecto a la proyección ortogonal O de C sobre D  ;
• las simetrías axiales con respecto a cualquier línea que pase por O y contenida en P  ;
• los compuestos de una rotación r u por la inversión a .

Obviamente, la simetría central y las simetrías axiales se obtienen compuestas por las inversiones descritas. El grupo G de las isometrías del toro es isomorfo al producto directo de Z / 2 Z por el producto semidirecto de S 1 por Z / 2 Z  :

GRAMO=Z/2Z×(R/2πZ⋊Z/2Z){\ Displaystyle G = Z / 2Z \ times (R / 2 \ pi Z \ rtimes Z / 2Z)}.

Un isomorfo natural se describe a continuación:

• r u corresponde a (0, u, 0);
• a corresponde a (1,0,0);
• Para un plano Q fijo arbitrario, b Q corresponde a (0,0,1).

En particular, b r u ( Q ) = r u b Q r - u corresponde a (0, u, 1); s corresponde a (1, π, 0).

Círculos de Villarceau

Los círculos de Villarceau son dos círculos que se obtienen seccionando un toro a lo largo de un plano diagonal bitangente que pasa por el centro del toro. Toman su nombre del astrónomo y matemático francés Yvon Villarceau (1813-1883). Dado un punto del toro, podemos construir sobre el toro cuatro círculos que pasan por este punto: uno en el plano del toro, otro perpendicular a este plano; los otros dos son los círculos de Villarceau.

Colorear un toro

El teorema de los cuatro colores no se aplica a un toro: es posible dividir la superficie de un toro en 7 zonas de diferentes colores (máximo) para que cada una toque a la otra 6. El teorema de Ringel-Youngs muestra que 7 colores siempre son suficientes.

Característica de Euler de un toro

La característica de Euler de un toro es igual a 0: es posible mallar el toro sin introducir una singularidad.

Aplicaciones

• En la investigación nuclear para la producción de energía por fusión , en reactores de tipo tokamak , el plasma está contenido por fuertes campos magnéticos en una cámara de forma tórica. Uno de estos reactores lleva el nombre de Tore Supra . También es la forma de las cámaras de vacío de los aceleradores de partículas de tipo sincrotrón (sin tener en cuenta los canales de entrada y salida).
• En electricidad, la forma ideal del circuito magnético de un transformador es la del toro.

Torus de dimensión n

En topología , el término toro se reserva para designar espacios (o variedades ) topológicos . Hay varias presentaciones, todas equivalentes al homeomorfismo (o difeomorfismo ) cercano. Llamamos a un toro de dimensión n o n -tore, y denotamos por T n , el espacio topológico definido como:

• producto de n copias del círculo unitario S 1  ;
• cociente de R n por Z n  ;
• más generalmente, cociente de un espacio vectorial real E de dimensión finita n por una red G  ;

El toro de dimensión n es una variedad topológica compacta y conectada de dimensión n . Obtenido como un cociente E / G , T n es una variedad diferencial e incluso un grupo de Lie abeliano  ; el atlas máximo correspondiente no depende de la red o del espacio vectorial. Si E es un espacio vectorial euclidiano , el cociente T n = E / G se presenta naturalmente como una variedad plana .

Para construir un círculo, puede unir los extremos de un segmento doblándolo en un plano. De manera similar, para construir un toro 2, podemos unir de dos en dos los lados opuestos de un cuadrado doblándolo en una tercera dimensión y, de manera más general, para construir un toro n , podemos unir dos por dos las caras ( n - 1) - dimensiones opuestas de un hipercubo de dimensión n doblando este hipercubo en una nueva dimensión n + 1. Así, un 3-toro es el pegado de los 3 pares de caras opuestas de un cubo, en una cuarta dimensión.

El grupo fundamental de T n es el grupo abeliano libre con n generadores, es decir, Z n .

Los toros son los únicos grupos de Lie abelianos compactos conectados. La introducción de toros máximos ( subgrupos compactos abelianos conectados máximos ) es de suma importancia en el estudio de grupos de Lie compactos .

Dinámica de un plasma o un fluido en un toro.

Los tanques toroidales o toroidales (en forma de toroide) están presentes en varios modelos de centrales nucleares, incluido el reciente AP 1000 o los reactores de la serie Mark .

En el caso de un gran terremoto con desplazamiento lateral del suelo, una explosión o choque que tenga las mismas consecuencias, el enjuague (olas y olas inducidas y su efecto de chapoteo ) puede ser una fuente de tensiones inusuales y diferenciadas en el toro. Por lo tanto, comprender el lavado es un problema para ciertas tecnologías que utilizan tanques toroidales, así como para los tanques circulares o toroidales en un vehículo en movimiento, incluido un avión, cohete o vehículo espacial .

La física de los plasmas formados en toros también es objeto de numerosos estudios, en el marco del desarrollo de los Tokamaks y la fusión nuclear .

Ver también

Artículos relacionados

• Botella Klein
• Círculos de Villarceau
• Complejo simplicial
• Plano proyectivo
• Toro no conmutativo
• Stanford Torus
• Conjetura de Willmore
• Tube (matemáticas)
• Universo en toro bidimensional .

enlaces externos

• Juegos de Torus Algunos juegos descargables gratuitos, que se ejecutan en Windows y Mac OS X, que detallan la topología del toro.
• [video] Henri Paul de Saint-Gervais, Recubrimiento universal del toro en YouTube

Bibliografía

• (en) Meserole, JS, A. Fortini (1987), "Slosh Dynamics in a Toroidal Tank", Journal Spacecraft, Volumen 24, Número 6, noviembre-diciembre de 1987 ( resumen )
• (es) Hiroki Takahara, Kensuke Hara, Takeshi Ishida. (2012) Oscilación de líquido no lineal en un tanque cilíndrico con un barril de núcleo excéntrico . Journal of Fluids and Structures, Volumen 35, noviembre de 2012, páginas 120-132 ( resumen
• (es) Hiroki Takahara, Koji Kimura. (2012) Respuesta de frecuencia de chapoteo en un tanque cilíndrico anular sometido a excitación de cabeceo . Journal of Sound and Vibration 331: 13, 3199-3212; En línea: 2012-06-01. ( resumen )

Notas y referencias

1. http://www.geom.uiuc.edu/zoo/toptype/torus/standard/eqns.html
2. NASA (1969), Eliminación de Slosh , mayo de 1969, PDF, 36p