En matemáticas , química o física , un sistema dinámico son los datos de un sistema y una ley que describe la evolución de este sistema. Puede ser la evolución de una reacción química a lo largo del tiempo, el movimiento de los planetas en el sistema solar (regido por la ley universal de gravitación de Newton ) o la evolución de la memoria de una computadora bajo la acción de un programa de computadora . Formalmente, se hace una distinción entre sistemas dinámicos de tiempo discreto (como un programa de computadora) y sistemas dinámicos de tiempo continuo (como una reacción química).
Dos aspectos importantes de un sistema dinámico son que es:
Una noción importante es la de un sistema dinámico reversible para el que también se puede describir un estado pasado del sistema a partir de su presente y su futuro. En otras palabras, al invertir la flecha del tiempo, todavía tenemos un sistema dinámico. Matemáticamente, un sistema dinámico reversible es un caso especial de acción grupal (el grupo es el de los enteros relativos Z en el caso discreto y el conjunto de números reales R en el caso continuo).
Debemos prestar atención al significado muy particular que la noción de estado toma para la teoría de sistemas dinámicos. Una paradoja de Zenón puede presentar dificultades. Zenón preguntó: "Seamos una flecha en vuelo. En un momento, ¿está en reposo o en movimiento? Si respondiéramos que ella está en movimiento, él diría: "Pero estar en movimiento es cambiar de posición". En un momento, la flecha tiene una posición, no cambia. Por tanto, no está en movimiento. Si respondiéramos que está en reposo, diría "Pero si está en reposo en este momento, también está en reposo en todos los demás momentos, por lo que siempre está en reposo". Ella nunca está en movimiento. Pero, ¿cómo puede entonces pasar de una posición a otra? Concluyó que no es posible decir la verdad sobre lo que está en movimiento. Todo lo que esté en movimiento sería intrínsecamente falso y no habría verdades sobre la materia, sino solo sobre las grandes ideas, siempre que sean inmutables. El sentido común es exactamente lo contrario. Creemos más comúnmente en la verdad de lo que vemos que en las verdades metafísicas . La teoría de los sistemas dinámicos coincide con el sentido común en este punto.
La noción de estado dinámico proporciona una solución a la paradoja de Zenón: en un momento dado, la flecha se mueve, tiene una posición pero está cambiando de posición, tiene una velocidad instantánea. Los números que miden su posición y velocidad son los valores de sus variables de estado . Las variables de estado son todas las magnitudes físicas que determinan el estado instantáneo del sistema y que no son constantes a priori. También se denominan variables dinámicas. Si hacemos una foto con flash, no vemos que la flecha se está moviendo, pero podemos detectarla por otros medios, por el efecto Doppler por ejemplo, sin tener que medir un cambio de posición. El estado dinámico de un sistema es un estado instantáneo, pero es un estado de movimiento. Está determinada por los valores de todas las variables de estado en ese momento.
El espacio de fase es una estructura que corresponde al conjunto de todos los estados posibles del sistema considerado. Puede ser un espacio vectorial , una variedad diferencial o un paquete vectorial , un espacio medible ...
Para un sistema que tiene n grados de libertad , por ejemplo, el espacio de fase del sistema tiene n dimensiones, de modo que el estado completo del sistema en el tiempo t es generalmente un vector con n componentes.
Un sistema dinámico discreto se define generalmente por un mapa biyectivo del espacio de fase en sí mismo (también estudiamos la dinámica de mapas no necesariamente biyectivos, en particular en la dinámica holomórfica ). Funciona de la siguiente manera: dada una condición inicial del estado del sistema, el siguiente primer estado es:
El segundo estado, que sigue inmediatamente al primero, es:
y así sucesivamente, de modo que el n -ésimo estado viene dado por:
Para retroceder en el tiempo, basta con invertir la función , lo que siempre es posible para una biyección.
Un sistema dinámico es un triplete ( T , M , Φ) donde T es un monoide , denotado aditivamente, M un conjunto y Φ una función
con
, por todo .La función Φ ( t , x ) se denomina función de evolución del sistema dinámico: asocia a cada punto de M una única imagen, dependiendo de la variable t , denominada parámetro de evolución. M se llama espacio de fase o espacio de estados , y la variable x representa el estado inicial del sistema. También escribimos:
Si establecemos una de las variables.
Se llama flujo en x y su trayectoria gráfica con respecto ax . Todas
se llama órbita con respecto ax .
El subconjunto S del espacio de estados M es Φ- invariante si para todo x en S y todo t en T
En particular, de modo que S es Φ- invariante , Es una necesario que I ( x ) = T para todos x en S .
Hay varios tipos principales de dinámica según la naturaleza matemática del espacio de fase:
La función logística es una aplicación del segmento [0, 1] en sí mismo que sirve como recurrencia a la secuencia:
donde n = 0, 1,… denota el tiempo discreto, la variable dinámica única yr un parámetro real entre 0 y 4.
La dinámica de esta aplicación presenta un comportamiento muy diferente en función del valor del parámetro r :
Se obtiene así una sucesión de bifurcaciones de la regularidad hacia el caos cuando el parámetro aumenta, resumido en la figura adjunta.
Aplicación "gato" de Arnold (1968)El nombre de la aplicación " gato " proviene de un juego de palabras en inglés que no se puede traducir al francés: de hecho, " chat " es " gato " en inglés, y Vladimir Arnold usó esta palabra como un acrónimo de: " Automorfismos continuos del toro , literalmente : " automorfismos continuos del toro ".
La aplicación "gato" es una aplicación del cuadrado [0, 1] × [0, 1] en sí mismo definido por:
donde ( mod 1) significa: hasta un número entero. Esta condición significa que el cuadrado [0, 1] × [0, 1] tiene sus bordes pegados de dos en dos para formar el “toro” del título. Es un sistema dinámico conservador, que conserva la medida de Lebesgue d x d y .
Esta aplicación posee interesantes propiedades que permiten ilustrar conceptos fundamentales de la teoría de sistemas dinámicos.
La aplicación de Hénon (1976)El mapa de Michel Hénon es una biyección del cuadrado [0, 1] × [0, 1] en sí mismo definido por:
donde un y b son dos parámetros, los valores típicos de los cuales son y . Con estos valores, la dinámica presenta un extraño atractor de naturaleza fractal, de tipo Cantor.
Hénon obtuvo sus ecuaciones buscando una versión simplificada del sistema dinámico de Lorenz en tiempo continuo introducido en 1963 ( ver más abajo ). El sistema dinámico de Hénon no es conservador , porque el jacobiano de la transformación es constante y vale , que se diferencia de la unidad en casos interesantes.
La aplicación de Hénon también se estudia y generaliza como un sistema dinámico complejo (in ).
Otros ejemplosDesde el trabajo de Isaac Newton ( 1687 ), se acepta la idea de que la evolución temporal de cualquier sistema físico está bien modelada por una ecuación diferencial (o sus generalizaciones a la teoría de campos, ecuaciones diferenciales parciales ). Desde entonces, este modelo diferencial se ha extendido con éxito a otras disciplinas como la química , la biología , la economía, etc.
Normalmente consideramos un sistema diferencial de primer orden del tipo:
donde la función f define el sistema dinámico estudiado (para un sistema con n grados de libertad, es estrictamente hablando un campo de vectores con n dimensiones, es decir, desde un punto de vista prosaico, un conjunto de n funciones escalares) .
Nos hacemos la siguiente pregunta, llamada problema de Cauchy : dada una condición inicial que representa el estado completo del sistema físico en su espacio de fase en un instante inicial , encuentre el estado completo del sistema en su espacio de fase para cualquier instante posterior . La solución a este problema fundamental radica en el teorema de Cauchy-Lipschitz , que asegura (bajo un supuesto bastante amplio) la existencia local y la unicidad de la solución de una ecuación diferencial.
La suposición de que el futuro está determinado por el presente es muy audaz. Su éxito no es obvio a priori. Sin embargo, todas las grandes teorías fundamentales de la física la han adoptado, siguiendo la de Newton.
Determinismo de un sistema conservadorEstaremos de acuerdo en decir que un sistema físico conservador es determinista si y solo si la dinámica del sistema asocia con cada condición inicial un estado final y solo un . Esto implica que existe una biyección del espacio de fase de sí mismo como:
Cuando el tiempo varía, esta biyección genera un flujo encendido , es decir un grupo continuo con un parámetro como:
. |
Esta descripción corresponde, por ejemplo, al flujo hamiltoniano de la mecánica clásica , así como al flujo geodésico .
Caso de un sistema no conservadorCuando el sistema físico considerado no es conservador, el mapa no es biyectivo y generalmente existe uno (o más) atractores en el espacio de fase del sistema, es decir, un subconjunto del espacio de fase invariante bajo el cual el punto representativo del sistema converge cuando el tiempo tiende al infinito, y esto para casi cualquier condición inicial .
El oscilador de van der Pol libre ( es decir, sin excitación externa) es un sistema de un grado de libertad, descrito por la coordenada x (t) , que tiene dos parámetros:
Su ecuación diferencial está escrita:
Este sistema disipativo tiene una dinámica regular cuando está libre, caracterizado por un atractor en forma de ciclo límite representado en la figura de al lado (donde hemos planteado ):
El sistema de Lorenz (1963)En 1963, Edward Lorenz propuso un sistema diferencial que tiene tres grados de libertad, señaló , y , que se escribe:
En estas ecuaciones , y son tres parámetros reales positivos. Para los siguientes valores , y este diferencial tiene un sistema dinámico atractor extraño, que se muestra en la figura contra.
Se distingue entre sistemas dinámicos lineales de sistemas dinámicos no lineales . En el primero, el lado derecho de la ecuación es una función que depende linealmente de x , tal que:
.La suma de dos soluciones de un sistema lineal también es solución ("principio de superposición"). Las soluciones de una ecuación lineal forman un espacio vectorial , lo que permite el uso del álgebra lineal y simplifica enormemente el análisis. Para sistemas de tiempo continuo, la transformada de Laplace transforma las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
Los dos primeros ejemplos dados anteriormente son sistemas no lineales. Su análisis es generalmente muy difícil. Por otro lado, los sistemas no lineales a menudo tienen los llamados comportamientos caóticos , lo que los hace aparentemente impredecibles.
Los sistemas dinámicos no lineales, o simplemente lineales por partes , pueden exhibir comportamientos completamente impredecibles, que incluso pueden parecer aleatorios (aunque son sistemas perfectamente deterministas). Esta imprevisibilidad se llama caos . La rama de los sistemas dinámicos que se enfoca en definir y estudiar claramente el caos se llama teoría del caos .
Esta rama de las matemáticas describe cualitativamente los comportamientos a largo plazo de los sistemas dinámicos. En este marco, el énfasis no está en encontrar soluciones precisas a las ecuaciones del sistema dinámico (que, de todos modos, a menudo no tiene remedio), sino más bien en la respuesta a preguntas como "El sistema convergerá, hacia un equilibrio estable a largo plazo. estado y, de ser así, ¿cuáles son los posibles estados estacionarios? "O" ¿Depende el comportamiento a largo plazo del sistema de las condiciones iniciales? ".
Un objetivo importante es la descripción de los puntos fijos o estados estacionarios del sistema; estos son los valores de la variable para los que ya no cambia con el tiempo. Algunos de estos puntos fijos son atractivos , lo que significa que si el sistema llega a su vecindad, convergerá hacia el punto fijo.
Asimismo, nos interesan los puntos periódicos , los estados del sistema que se repiten después de un cierto número de pasos (su período ). Los puntos periódicos también pueden resultar atractivos. El teorema de Charkovski da una restricción sobre el conjunto de posibles períodos de puntos de una variable real en un sistema dinámico basado en la evolución continua; en particular, si hay un punto del período 3, hay puntos de cualquier período (a menudo resumido en "el período 3 implica caos", según el título de un artículo fundacional).
El comportamiento caótico de los sistemas complejos no es ninguna sorpresa: se sabe desde hace mucho tiempo que la meteorología incluye comportamientos complejos e incluso caóticos. Más bien, la verdadera sorpresa es el descubrimiento del caos en sistemas casi triviales; por tanto, la función logística es un polinomio simple de segundo grado, pero el comportamiento de sus soluciones es caótico.
Teoría de los sistemas dinámicos (artículo más general)