En matemáticas y más precisamente en análisis , el teorema de Cauchy-Lipschitz (o Picard-Lindelöf para angloparlantes) se refiere a las soluciones de una ecuación diferencial . Bajo ciertos supuestos de regularidad de la función que define la ecuación, el teorema garantiza la existencia de una solución que responde a una condición inicial conocida como de Cauchy y la unicidad de una solución máxima .
Ciertas leyes físicas, como el principio fundamental de la dinámica , dan como resultado ecuaciones diferenciales que verifican los supuestos del teorema. Este último asegura entonces el carácter determinista del mecanismo descrito por la ley. Este determinismo no siempre se traduce en una posibilidad de predicción, la teoría del caos muestra la existencia de posibles fenómenos fortuitos.
Según los autores, el teorema de Cauchy-Lipschitz se expresa de forma más o menos contundente. En una forma más elaborada, este teorema asegura que la solución varía continuamente si se modifica la condición inicial, y es lo mismo si la función que define la ecuación depende continuamente de un parámetro. Si la ecuación está definida por una función de clase C p , la solución es de clase C p +1 . Este teorema aún puede generalizarse en el caso en que la ecuación diferencial ya no sea con valores en un espacio vectorial, sino en una variedad diferencial .
Una primera versión se demuestra por Augustin-Louis Cauchy en la primera mitad del XIX ° siglo, utilizando una técnica de aproximación descubierto por Leonhard Euler en el siglo anterior. Rudolf Lipschitz generaliza el enunciado ampliando un poco la clase de ecuaciones que se relacionan con él. No obstante, el teorema sigue siendo sólo un resultado de la existencia local . Es a finales de este siglo cuando las técnicas de demostración , así como el enunciado del teorema, se modifican profundamente. Siguiendo el trabajo de Lazarus Fuchs , los matemáticos Émile Picard , Paul Painlevé y Henri Poincaré desarrollaron una versión moderna del análisis de ecuaciones diferenciales. Esta visión permite dar respuestas a las máximas soluciones, la singularidad y la regularidad de la solución. Ernst Lindelöf publicó una versión relativamente moderna en 1894 . El teorema ahora se demuestra generalmente utilizando un teorema de punto fijo y un enfoque topológico , clásico en el análisis funcional .
Durante el resto del artículo, E denota un espacio de Banach , Ω un abierto de R × E y f una función continua de Ω en E . El objetivo es estudiar la siguiente ecuación diferencial de primer orden:
con la condición de Cauchy C : x ( t 0 ) = x 0 , donde el par ( t 0 , x 0 ) es un elemento de Ω. (Sólo nos interesan las ecuaciones diferenciales de orden 1 porque las de orden n vuelven a ellas ). Inmediatamente nos damos cuenta de que si f es una función de la clase C p , las soluciones son de la clase C p +1 .
Hay varias formas de expresar el teorema de Cauchy-Lipschitz, incluida la siguiente forma:
De este teorema deducimos los siguientes corolarios:
Cuando el Ω abierto es un producto I × E , donde I es un intervalo abierto de R , el teorema global de Cauchy-Lipschitz proporciona un complemento:
La expresión teorema de Cauchy-Lipschitz también se utiliza para designar otros resultados más avanzados. Es posible considerar no solo la función solución s, sino también la función que al par ( x , t ) asocia la imagen de t por la solución igual ax en un instante inicial t 0 . Obtenemos una función llamada flujo . Si la función f es de clase C p , también lo es el flujo. También es posible estudiar la regularidad de las soluciones si la función f depende de un parámetro.
Otros resultados, que no llevan el nombre de teorema de Cauchy-Lipschitz, se presentan en el párrafo: Generalizaciones .
La idea detrás del teorema es la siguiente: algunas ecuaciones diferenciales tienen soluciones estacionarias. Por ejemplo, la ecuación tiene la solución estacionaria para la condición inicial . Para otra condición inicial , la solución estacionaria se alcanza después de un tiempo infinito y la solución es única. Sin embargo, si la solución estacionaria se puede alcanzar en un tiempo finito , se viola la unicidad. Considere, por ejemplo, la ecuación
Para la condición inicial , podemos tener la solución o la solución.
Podemos notar que la función tiene una pendiente infinita y no respeta la condición de continuidad de Lipschitz. La condición de continuidad de Lipschitz elimina este tipo de ecuaciones diferenciales.
Para el matemático Vladimir Arnold , “Las ecuaciones diferenciales son la columna vertebral de la concepción científica del mundo” . En física, las ecuaciones diferenciales verifican de manera muy general los supuestos del teorema del artículo, es así de lo que rige la ley de la gravitación universal o la interacción electromagnética . Estas ecuaciones son inherentemente deterministas y esta es una de las consecuencias del teorema de Cauchy-Lipschitz. Este determinismo, es decir, la capacidad de la física para predecir, por ejemplo, la trayectoria de los planetas, se conocía mucho antes del teorema. La célebre cita de Voltaire atestigua: “Pero viendo el orden, el prodigioso artificio, las leyes mecánicas y geométricas que reinan en el universo […], me embarga la admiración y el respeto. " . Dedujo que "el caos es precisamente lo contrario de todas las leyes de la naturaleza" . Curiosamente, los análisis fino del final del XIX e siglo demuestran la relevancia del carácter determinista de las leyes físicas y reducen sin embargo esta idea de Voltaire al estado de quimera.
De hecho, los trabajos matemáticos de esta época muestran que una trayectoria, siguiendo una ley física de esta naturaleza, es única y está perfectamente determinada. Por otro lado, los estudios de Poincaré sobre la estabilidad del sistema solar destacan la falta de razonamiento. Este matemático especifica:
"Una causa muy pequeña, que se nos escapa, determina un efecto considerable que no podemos dejar de ver, y luego decimos que este efecto se debe al azar". Si supiéramos exactamente las leyes de la naturaleza y la situación del universo en el instante inicial, podríamos predecir exactamente la situación de este mismo universo en un instante posterior. Pero, incluso cuando las leyes naturales no tengan más secretos para nosotros, solo podremos conocer la situación inicial de forma aproximada . Si esto nos permite predecir la situación futura con la misma aproximación , eso es todo lo que necesitamos, decimos que el fenómeno ha sido previsto, que se rige por leyes; pero no siempre es así, puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales generen otras muy grandes en los fenómenos finales; un pequeño error en el primero produciría un gran error en el segundo. La predicción se vuelve imposible y tenemos el fenómeno fortuito. "
El teorema de Cauchy-Lipschitz indica claramente que es posible un pronóstico perfecto, pero solo con la condición de conocer perfectamente la condición inicial. Algunos sistemas dinámicos son rápidamente impredecibles por la razón que indica Poincaré. El término caos ahora se usa para describir esta situación. No ocurre de manera sistemática, el teorema de Poincaré-Bendixson especifica un contexto donde no puede ocurrir, pero las hipótesis son restrictivas y el resultado no muy generalizable.
Varios términos no son necesariamente intuitivos, este párrafo ofrece definiciones.
Parte del vocabulario utilizado para expresar el teorema es genérico para ecuaciones diferenciales o funcionales . El término espacio de Banach designa un espacio vectorial normalizado y completo , es decir que para la métrica asociada a la norma, cualquier secuencia de Cauchy converge . Un ejemplo simple es un espacio vectorial normal real de dimensión finita . Para facilitar la comprensión, el lector puede imaginar que E denota el conjunto de números reales . En el artículo, todos los espacios de Banach considerados son espacios reales.
Existe un caso especial, donde la función f se establece en una E abierta y no en una R × E abierta . Luego se escribe la ecuación (1)
Ω denota una apertura de E y se dice que la ecuación es autónoma .
Otros términos se utilizan más específicamente en el contexto del teorema de Cauchy-Lipschitz. La ecuación diferencial (1) generalmente tiene varias soluciones. Por esta razón, a veces agregamos una condición especial:
Nota: En lugar de la expresión condición de Cauchy , a veces hablamos de una condición inicial . Las dos expresiones son sinónimos.
Resolver el problema de Cauchy es encontrar una solución de la ecuación (1) que satisfaga la condición C de Cauchy . Esta definición es un poco intuitiva. Si la ecuación diferencial modela una corriente que fluye a través de una masa de agua, es decir, en el tiempo t y en el punto x la corriente es igual af ( t , x ), es posible colocar en el agua un tapón en el tiempo t 0 en el punto x 0 , la trayectoria del enchufe es la solución de la ecuación. De hecho, existe una solución para cada par ( t 0 , x 0 ).
Una condición de Cauchy no es suficiente para que la solución sea única. Considere el conjunto S de las soluciones de la ecuación (1) definidas sobre un intervalo. Este conjunto se proporciona con una relación de orden (parcial). Una solución s 1 de S es más pequeña que una solución s 2 de S cuando s 2 es una extensión de s 1 .
Cuando f no cumple las condiciones del teorema de Cauchy-Lipschitz, usando una forma u otra del axioma de elección , mostramos que cualquier solución en S está limitada por una solución máxima (de) . En consecuencia, cualquier problema de Cauchy tiene una solución máxima, y si solo tiene una es máxima (entre las soluciones de este problema). El artículo sobre el teorema de Cauchy-Peano-Arzelà da ejemplos que muestran que esta singularidad generalmente no está garantizada.
Cuando cualquier problema de Cauchy asociado con f tiene una solución local única, se muestra directamente (sin axioma de elección) que tiene una solución máxima. Para eso, basta con que f sea suficientemente regular:
Cuando el Ω abierto es un producto I × V , donde I es un intervalo abierto de R y V un intervalo abierto de E , se dice que una solución de (1) es global si se define sobre I como un todo. Una solución global es obviamente máxima. Una suposición adicional asegura lo recíproco:
En este ejemplo, E es igual al plano real R 2 . La ecuación diferencial es autónoma ; se escribe x ' = f ( x ) donde f es la función constante del valor del vector v de coordenadas (1, 0), en Ω =] –3, 3 [ 2 . Este dominio de f está representado por el cuadrado azul en la figura de la derecha. Una forma de representar la función f es dibujar los vectores f ( x ), donde x es un punto en el dominio, colocando sus orígenes en el punto x .
Buscamos soluciones que satisfagan la condición de Cauchy (0, x 0 ), aquí las coordenadas de x 0 son (–2, 2). Una solución s tiene la forma:
La solución no puede salir del dominio Ω, en consecuencia, la variable t necesariamente toma sus valores en] –1, 5 [. La función f es de hecho continua y k -lipschitziana en x , con en este caso particular k = 0. El teorema de Cauchy-Lipschitz garantiza que solo hay una curva integral que satisface una condición de Cauchy precisa, como aquí la dada por el par (0 , x 0 ). El gráfico de esta solución se muestra en verde en la figura.
Se aplica el teorema global de Cauchy-Lipschitz: un problema de Cauchy asociado con una ecuación diferencial lineal tiene una solución global, cualquier otra solución de la cual es restricción.
El teorema de Cauchy-Lipschitz puede verse como una herramienta que permite el estudio de una curva integral. Ilustremos esto con el ejemplo de una función logística, definida por el siguiente problema de Cauchy:
La ecuación diferencial también se escribe x ' = f ( x ) con f ( x ) = x (1 - x ). La función f es una función polinomial de grado 2 con ceros 0 y 1 y positiva entre sus raíces . El teorema de Cauchy-Lipschitz se aplica porque f es continuamente diferenciable y, por lo tanto, localmente Lipschitziano : para cualquier condición inicial, el problema de Cauchy tiene una solución máxima única. En particular, cualquier solución de la ecuación diferencial que tome el valor 0 o 1 es constantemente igual a este valor en su intervalo de definición.
Sea s la solución máxima del problema de Cauchy anterior y] a , b [su intervalo de definición (con –∞ ≤ a <0 < b ≤ + ∞ ). Según el teorema del valor intermedio , s (] a , b [) es un intervalo. Contiene s (0) = 1/2 por lo que, según la observación anterior, no contiene 0 ni 1, por lo que se incluye en] 0, 1 [.
El hecho de que s tome sus valores entre 0 y 1 muestra que su derivada es estrictamente positiva. Por lo tanto, el mapa s aumenta estrictamente en] a , b [. Por lo tanto, tiene en b un límite izquierdo c ∈ [1/2, 1] y su derivada tiene un límite c (1 - c ), lo que demuestra que b = + ∞ (de lo contrario, podríamos extender s en una solución definida en] a , b ], que contradiría el máximo de s ). Como s está acotado, el único valor límite posible en + ∞ de su derivada es 0, lo que muestra que c = 1. El mismo razonamiento muestra que a = –∞ (el dominio de definición de s es, por tanto, igual a R ) y que el límite de s en –∞ es 0
Finalmente, observamos que la función en t asocia 1 - s (- t ) es una solución del mismo problema de Cauchy, por lo que es igual a s , lo que significa que la función s - 1/2 es impar. La ecuación muestra que el punto de abscisa 0 es el único punto de inflexión de la curva y que la derivada de s en 0 es igual a 1/4, lo que permite establecer su gráfica, representada a la derecha.
En el caso del ejemplo elegido, podemos resolver la ecuación diferencial y utilizar los métodos clásicos para el estudio de la curva integral, pero esto no siempre es posible. Una ecuación diferencial no necesariamente tiene soluciones expresadas en forma de una expresión algebraica construida usando funciones elementales.
El uso del teorema de Cauchy-Lipschitz no se limita a la solución práctica de ecuaciones. También sirve como herramienta teórica, por ejemplo, para comprender mejor el comportamiento cualitativo de una ecuación diferencial. Podemos considerar el caso de una ecuación diferencial autónoma en R 2 que tiene una solución periódica p . La curva integral es un cordón simple , es decir que su gráfica forma un bucle sin doble punto. Sea ahora una condición de Cauchy C correspondiente a un punto dentro del bucle. El teorema de Cauchy-Lipschitz indica que la curva integral máxima s que satisface C nunca podrá cruzar el bucle, si la función f que define la ecuación es localmente Lipschitziana. Por lo tanto, la curva s está acotada y si asumimos que el dominio de f contiene el interior del bucle, la curva s nunca se acerca demasiado al borde del dominio. Esto es suficiente para demostrar que el dominio de definición de s es R en su totalidad.
El teorema de Poincaré-Bendixson nos permite ir más allá. Indica que la curva s es convergente o su comportamiento se acerca cada vez más a una función periódica. Esta configuración prohíbe trayectorias caóticas .
El uso que aquí se hace del teorema permite comprender cualitativamente el comportamiento de una curva integral. Para el estudio de ecuaciones diferenciales más complejas, por ejemplo, ciertos sistemas dinámicos , este enfoque es esencial. De hecho, ya no siempre es posible resolver explícitamente estas ecuaciones, o incluso abordar sus soluciones durante largos períodos de tiempo.
El origen de la pregunta tratada por el teorema es antiguo, inicialmente lleva el nombre de “problema de la tangente inversa” . En cada punto del espacio se asocia una línea, el problema a resolver es encontrar la curva que tenga, como tangente en cada punto, una de estas líneas, que corresponde en términos modernos a una ecuación diferencial autónoma . Kepler es un iniciador de esta cuestión en un estudio sobre la capacidad de un barril de vino en 1615. Si esta pregunta es abordado por los matemáticos como Descartes , Fermat o Roberval , que desarrollan este enfoque en casos particulares durante el XVII ° siglo , el progreso esencial es el trabajo de Newton y Leibniz con el descubrimiento del cálculo . Newton busca sobre todo obtener un resultado mediante una serie , Leibnitz también busca soluciones exactas , en forma de primitivas de funciones conocidas.
El siglo siguiente es objeto de una sistematización del estudio. Inicialmente “Se gastaron tesoros de ingenio para reducir a cuadraturas innumerables ecuaciones diferenciales particulares y como escribe Paul Painlevé : la ola se detuvo cuando se integró todo lo que era integrable en los problemas naturales. " . Euler , en 1768, estudia la forma de abordar una solución. Estudia el caso particular x ' ( t ) = f ( t ) y busca una solución en un intervalo [ a , b ]. Para ello, divide el intervalo utilizando una secuencia a 0 = a , a 1 , ..., a n = b y, si c es un elemento del intervalo [ a i , a i + 1 ], propone el siguiente aproximación:
En el caso más general de la ecuación x ' ( t ) = f ( t , x ( t )), utiliza el mismo método, que da:
Euler no se plantea la cuestión de la convergencia si el corte es cada vez más fino.
Augustin Louis Cauchy ( 1789 - 1857 ) estableció los primeros resultados generales. En un principio, aclaró su método: “En mis lecciones impartidas en la École Polytechnique, como en la mayoría de los trabajos o memorias que he publicado sobre cálculo integral, pensé que tenía que revertir este orden y colocar en primer lugar, la búsqueda, no para integrales generales, sino para particulares; de modo que la determinación de constantes o funciones arbitrarias [para la ecuación diferencial parcial ] ya no estaba separada de la búsqueda de integrales. " Lo que Cauchy describió aquí es el enfoque formalizado por el problema de Cauchy .
Utilizando la formalización del concepto de límite en Bolzano , su planteamiento le permite ir más allá. La pregunta x ' = f ( x ) en el intervalo [ a , b ], si le agregamos la condición de Cauchy x ( a ) = x 0 , cambia su naturaleza. Ya no es la búsqueda de una antiderivada de f , sino el cálculo de una integral. Muestra que, con las notaciones del párrafo anterior, si a i + 1 - a i tiende a 0 y si f es continua, la aproximación converge. Más precisamente, aplica este enfoque a la ecuación x ' ( t ) = f ( t , x ( t )) en el caso donde f , así como su diferencial parcial con respecto a la segunda variable, son continuas y acotadas: con las mismas condiciones, todavía obtenemos una convergencia. Ésta es la primera versión del teorema, demostrada por Cauchy ya en 1820. En 1835, su método se generalizó a funciones holomórficas.
Rudolf Lipschitz ( 1832 - 1903 ) , obviamente sin conocer el contenido de la obra de Cauchy, demuestra un teorema "esencialmente equivalente" al teorema locales de su predecesor, mediante la introducción de la condición que ahora lleva su nombre. Cauchy utilizó esta condición deduciéndola de su hipótesis sobre el diferencial parcial de f , con la ayuda de uno de sus descubrimientos, que le gusta especialmente: el teorema de los incrementos finitos .
El final del XIX ° siglo vio una profunda transformación del teorema, tanto en la forma de demostrar que en el enriquecimiento de su contenido necesario para entender mejor la ecuación diferencial.
Como resultado del trabajo de Fuchs , los objetivos se vuelven más ambiciosos. Paul Painlevé y Émile Picard están interesados en el caso general de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden y, por tanto, en sus singularidades. Los objetivos de Henri Poincaré son aún más generales. Tras un estudio sobre la estabilidad del sistema solar, busca establecer una teoría general que tomará el nombre de sistema dinámico . Ante la imposibilidad de establecer soluciones explícitas, Poincaré sentó las bases de una teoría cualitativa. Los objetivos son, en primer lugar, el estudio de las singularidades, luego el comportamiento asintótico (es decir, el estudio del comportamiento una vez estabilizado el sistema) y la sensibilidad a la condición inicial.
Para lograr estos nuevos objetivos, la formulación por Cauchy o Lipschitz del teorema resulta insuficiente. Uno busca ahora elementos totales de respuesta en las curvas integrales y no solo un resultado local. Las preguntas sobre la regularidad de la solución se vuelven esenciales. Finalmente, buscamos determinar la naturaleza de la modificación de la curva integral en función de una modificación de la condición inicial o de un parámetro de la ecuación. Los métodos para lograr esto difieren radicalmente del enfoque de Cauchy que estudió el comportamiento límite de la función poligonal imaginada por Euler. Están más cerca del análisis funcional , siendo el contexto del estudio ahora un espacio de funciones con propiedades geométricas. El teorema en la fuente de la demostración es el del punto fijo . Su forma inicial es obra de Picard. Este teorema ahora se ve como una propiedad general de espacios vectoriales particulares, formalizado por Stefan Banach . Su aplicación al teorema del artículo es obra del matemático finlandés Ernst Lindelöf en 1894. Por este motivo, el teorema que lleva el nombre de Cauchy y Lipschitz en Francia toma el nombre, en inglés, de teorema de Picard-Lindelöf .
Hay muchas generalizaciones del teorema de Cauchy-Lipschitz. Las técnicas utilizadas para su demostración permiten ir más allá en el análisis de las soluciones de una ecuación diferencial. Un análisis rápido muestra que una solución es continuamente diferenciable, pero nada indica qué sucede si la función f es más regular. La rama de las matemáticas que estudia un sistema dinámico se plantea dos preguntas esenciales: ¿cuál es el comportamiento de una curva integral si t se acerca a los límites del dominio de definición? ¿Y cuál es la sensibilidad a la condición inicial? es decir, ¿qué pasa si x 0 sufre un pequeño cambio?
Finalmente, el artículo asume que el conjunto E es un espacio de Banach , que no es el único caso estudiado. En algunas situaciones, es útil pensar en E como una variedad diferencial . Los teoremas se trasponen fácilmente en este nuevo universo.
Uno de los objetivos del estudio de los sistemas dinámicos es el de la sensibilidad a la condición de Cauchy. El vocabulario y la representación geométrica son un poco diferentes de lo que se ha utilizado hasta ahora. Para comprender su origen, la forma más sencilla es imaginar que Ω es una masa de agua y que R representa el tiempo. La masa de agua es agitada por una corriente, representada por la función f , llamada campo vectorial . En la dimensión 2, representamos este campo vectorial asociando con ciertos puntos x de E una representación gráfica del vector f ( x ) (si el campo vectorial no depende del tiempo t ), como la figura de la derecha. Una curva integral que satisface la condición C de Cauchy se puede imaginar como la trayectoria de un tapón colocado en el agua en el tiempo t 0 en la posición x 0 . Para conocer de una vez todas las soluciones de la ecuación diferencial, basta con conocer el movimiento de la superficie del agua, llamado flujo , flujo o incluso corriente .
Con este concepto, el teorema de Cauchy-Lipschitz adquiere una nueva forma:
Si f es continuo y localmente Lipschitziano con respecto a la segunda variable, el flujo es continuo, diferenciable con respecto a la primera variable y localmente Lipschitziano con respecto a la segunda.
Es posible ir más lejos si f es más regular.
Si f es de clase C p , también lo es el flujo.
Esta forma del teorema es más fuerte que la anterior. Muestra la regularidad de las soluciones bajo la acción de una pequeña modificación de la condición de Cauchy. Esta declaración garantiza la ausencia de alguna forma de caos . Las bifurcaciones son imposibles y, siempre que t no aumente demasiado, las trayectorias permanecen cercanas si la condición de Cauchy se modifica poco. Sin embargo, si el campo vectorial evoluciona con el tiempo o si E tiene una dimensión estrictamente mayor que dos, puede establecerse otra forma de caos.
Las formas precisas de los teoremas y las demostraciones se dan en el artículo detallado.
Al final del XIX ° siglo, Giuseppe Peano , un matemático italiano, preguntó acerca de las posibles generalizaciones del teorema de Cauchy-Lipschitz bajo supuestos débiles: ¿qué sucederá si la función f que define la ecuación (1), permanece constante, pero no es localmente -¿Lipschitzian con respecto a la segunda variable?
Una situación física correspondiente a este caso es una bola rodando sin fricción sobre el borde de un techo en V invertida con ramas de pendiente constante. Sea x la coordenada transversal (perpendicular al borde) y y la coordenada longitudinal (paralela al borde). Aplicando las leyes de la mecánica, obtenemos una ecuación diferencial autónoma de primer orden en R 2 , si consideramos solo las soluciones que se inclinan hacia los valores positivos de x :
Si t 0 denota un real positivo, todas las siguientes soluciones verifican la ecuación anterior, para la misma condición de Cauchy, es decir, que el sólido está en el tiempo 0, en la posición (0,0):
Otros ejemplos se dan en el artículo detallado.
Aquí, notamos que si la unicidad ya no es válida, la existencia sigue siendo verdadera. De manera más general, si la función f de la ecuación (1) es continua y acotada y si E es de dimensión finita, se garantiza la existencia de una solución. Este resultado se denomina teorema de Cauchy-Peano-Arzelà .
Cuando agregamos el criterio de unicidad de Osgood (en) , obtenemos la misma conclusión que Cauchy-Lipschitz, bajo hipótesis más débiles.
La generalización del teorema para ecuaciones diferenciales parciales supone supuestos más sólidos para un resultado más débil. La función f que define la ecuación debe ser analítica, así como las condiciones de contorno que reemplazan a la de Cauchy. No se proporciona información en caso de modificación de las condiciones de contorno o de un parámetro. Este teorema se llama: teorema de Cauchy-Kowalevski .
Para entender el mecanismo de la prueba, tomemos el ejemplo de la ecuación diferencial que define la curva logística , con la condición de Cauchy C :
Definimos una secuencia de funciones polinomiales ( u n ) por inducción:
Durante el intervalo [–5/2, 5/2], la secuencia ( u n ) converge uniformemente . Su límite es un punto fijo de la función φ que a una función continua f de [–5/2, 5/2] en R asocia la función φ f :
Derivando la igualdad φ u = u , comprobamos que u es efectivamente una solución de la ecuación diferencial estudiada y por construcción u (0) = 1/2. Este enfoque es el de la demostración de Lindelöf . Señala que si el intervalo está bien elegido, la función φ satisface la condición de Lipschitz con un coeficiente estrictamente menor que 1, por lo tanto, se contrae, lo que permite utilizar el teorema del punto fijo . Como una solicitud de contratación solo admite un único punto fijo, se demuestra la singularidad de una solución local.
Este método permite encontrar una solución localmente . Por otro lado, para el valor 3, la secuencia ( u n ) diverge. Cependant rien n'empêche de répéter la même démarche avec les deux conditions de Cauchy (5/2, u (5/2)) et (–5/2, u (–5/2)), il devient ainsi possible de prolonger la solución. Incluso si eso significa repetir el proceso un número infinito de veces, terminamos obteniendo una solución máxima.
El interés del enfoque es sobre todo teórico. En el caso particular del ejemplo, es fácil integrar directamente la ecuación diferencial. En el caso general, existen métodos más rápidos para obtener una aproximación de la solución, como el de Euler descrito en el apartado “Fragmentos de la historia” o el de Runge-Kutta . Por otro lado, es posible demostrar en el marco general del teorema del artículo que una función construida de la misma forma que φ se contrae , lo que demuestra la existencia y la unicidad de un punto fijo, solución de la ecuación diferencial . Este enfoque, característico del análisis funcional , permite por tanto demostrar un resultado más fuerte que el demostrado por Cauchy.
El objetivo de este párrafo es explicar el método que permite mostrar que la ecuación (1) admite localmente una solución única que satisface la condición C de Cauchy . Mediante las traducciones, podemos volver fácilmente al caso ( t 0 , x 0 ) = (0, 0). Entonces, la condición C se escribe: x (0) = 0.
Suponemos que f es localmente Lipschitziana con respecto a la segunda variable y continua. Como Ω es abierto, existe un real estrictamente positivo a tal que el producto del segmento [- a , a ] por la bola cerrada B con centro 0 y radio a se incluye en Ω y tal que en este producto, f es k -lipschitzian con respecto a la segunda variable para una determinada k , y de norma aumentada por una m real . Deje b ≤ a ser un verdadero estrictamente positivo, lo suficientemente pequeño como para que bm ≤ una y bk <1. Este verdadero b nos permite definir un espacio F de funciones sobre la que se construye un mapa Φ satisfacer el teorema del punto fijo :
Luego demostramos que la función Φ tiene valores en F , y que es bk -lipschitziana y, por lo tanto, se contrae, ya que bk <1.
Las hipótesis del teorema del punto fijo de ser unidos, podemos deducir que Φ tiene un punto fijo único en F . De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo (ampliado a espacios de Banach), esto significa que el problema de Cauchy tiene en [- b , b ] una única solución con valores en B .
También mostraríamos que para todo ε de [0, b ], existe en [–ε, 0] y en [0, ε], una solución única con valores en B del problema de Cauchy. Finalmente demostrar la izquierda y derecha singularidad local, la mayoría de ella se muestra que la solución de [-ε, 0] o [0, ε] el problema de Cauchy necesariamente con valores en B .
Todo esto se puede resumir en un primer teorema:
Teorema local de Cauchy-Lipschitz - Existe en [- b , b ] una solución del problema de Cauchy que consta de la ecuación (1) y la condición inicial C , y cualquier solución en un subintervalo (que contenga 0) en es una restricción.
Un método práctico para encontrar el punto fijo es construir una secuencia ( u n ) que satisfaga la relación de recurrencia: u n +1 = Φ u n , la secuencia necesariamente converge al punto fijo. Esta técnica es la que se usa en el preámbulo.
Con la excepción de la unicidad de la solución local, el párrafo anterior resume el resultado demostrado en la época de Cauchy. No proporciona ninguna información sobre la existencia o la singularidad de una solución que satisface la condición máxima Cauchy C . Estos resultados, más adelante, son los dos puntos siguientes, que se deducen respectivamente de la existencia y la unicidad del teorema local anterior:
Corolario -
En otras palabras, ( cf. § “Vocabulario específico” ): este problema tiene una solución que no solo es máxima sino también máxima, es decir, de la cual cualquier solución definida en un intervalo es una restricción. Por lo tanto, gracias a la singularidad local, se ha demostrado directamente y de forma económica que cualquier solución tiene una extensión hacia una solución máxima.
Cabe señalar de paso que con la ayuda de un juego de escritura, es posible generalizar el caso particular de ecuaciones autónomas a ecuaciones dependientes del tiempo. Eso es
.Al denotar por y 0 el punto ( t 0 , x 0 ) de Ω, consideramos el siguiente problema de Cauchy:
La función g es localmente Lipschitziana tan pronto como f lo sea. Sin embargo, el teorema general no se deduce inmediatamente de esta observación porque su enunciado no supone que f sea localmente Lipschitziano, sino solo que sea continuo y localmente Lipschitziano con respecto a su segunda variable.
Aquí se supone que el Ω abierto es de la forma I × E , donde I es un intervalo abierto de R . Cualquier solución global (es decir, definida sobre I como un todo) de la ecuación (1) es obviamente máxima, pero la inversa es generalmente falsa, como se muestra en el ejemplo de la ecuación x '= x 2 . Varios teoremas de "escape" o "explosión", a veces unidos al lema de Grönwall , dan condiciones suficientes para tal recíproco, pero el siguiente enunciado, que es suficiente, por ejemplo, en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales , se demuestra directamente:
Teorema global de Cauchy-Lipschitz - Si f (definida en I × E ) es, localmente con respecto a su primera variable, Lipschitz con respecto a la segunda, entonces cualquier solución máxima de (1) es global.