Curva tautocrónica

Una curva tautocrónica es una curva ubicada en un plano vertical, donde el tiempo que toma una partícula deslizándose a lo largo de la curva bajo la influencia uniforme de la gravedad hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida.

El problema tautocrónico , el intento de identificar esta curva, fue resuelto por Huygens en 1659 en el caso donde solo actúa la gravedad. Demostró geométricamente en su Horologium oscillatorium ( 1673 ) que la curva era una cicloide . Esta solución se utilizó posteriormente para abordar el problema de la curva braquistocrónica .

Matemáticos posteriores como Lagrange , d'Alembert y Euler buscaron una solución analítica al problema en el caso general.

La ecuación diferencial que describe la cicloide generada por un círculo de radio R , es:

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2} = {\ frac {2R-y} {y}}}

Para el ejercicio que nos interesa utilizamos una cicloide invertida (cabeza abajo) cuya ecuación diferencial toma la forma:

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2} = {\ frac {y} {2R-y}}}

Colocamos una partícula en la curva en la posición de coordenadas y dejamos actuar la gravedad (constante gravitacional g ). La velocidad en cualquier punto ( x , y ) de la curva es: $(x_ {0}, y_ {0})$

{\ Displaystyle v = {\ sqrt {2g (y_ {0} -y)}}}

El tiempo que tarda la partícula en completar la trayectoria infinitesimal hasta el punto de la curva ( x + dx , y + dy ) es:

{\ Displaystyle dt = {\ frac {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}} {\ sqrt {2g (y_ {0} -y)}}} = {\ sqrt {\ frac {R } {gy (y_ {0} -y)}}} dy}

El tiempo t que tardará la partícula en llegar al fondo de la cicloide es:

{\ Displaystyle t = \ int _ {0} ^ {y_ {0}} {{\ sqrt {\ frac {R} {gy (y_ {0} -y)}}} dy}}

Al cambiar la variable entonces (o directamente ) encontramos: ${\ Displaystyle \ tau = {\ frac {y_ {0} -y} {y_ {0}}}}$ ${\ Displaystyle \ tau = \ sin ^ {2} u}$ ${\ Displaystyle y = y_ {0} \ sin ^ {2} u}$

{\ Displaystyle t = {\ sqrt {\ frac {R} {g}}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {d \ tau} {\ sqrt {\ tau (1- \ tau)} }} = \ pi {\ sqrt {\ frac {R} {g}}}}

Por tanto, resulta que el tiempo de viaje es independiente del punto de partida en la cicloide.

Otra demostración (demostración lagrangiana)

la definición de una cicloide en coordenadas (abscisa curvilínea s , ordenada y )

es: si consideramos una cicloide cuya concavidad se dirige hacia arriba, y si el origen de se toma en el punto más bajo. ${\ Displaystyle s ^ {2} = 8Ry (t)}$ $s$

oro, según el teorema de la energía cinética . ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} + 2gy (t) = {\ rm {cste}}}$

Eliminar la variable y entre estas dos ecuaciones conduce a:

{\ Displaystyle \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {g} {4R}} s ^ {2} = {\ rm {cste}}}

, es

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {4R}} s = 0}

De ahí un movimiento oscilatorio tautocrónico sinusoidal de pulsación ( ), independiente de la amplitud del movimiento. ${\ Displaystyle \ omega = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {g} {R}}}}$ ${\ Displaystyle T = 4 \ pi {\ sqrt {\ frac {R} {g}}}}$

Esta observación establece un vínculo con el problema isócrono del pozo potencial. Está claro que un problema tautocrónico es isócrono. Por otro lado, ¿existen diferentes pozos que admiten oscilaciones isócronas? la respuesta es no: el único pozo simétrico que tiene una oscilación isócrona es la cicloide con, en consecuencia, un movimiento sinusoidal en la abscisa curvilínea (y no el movimiento en la abscisa, que, en proyección sobre el eje del Buey, no es sinusoidal). Tenga en cuenta que en el caso de los "pozos potenciales" (que no es el mismo problema), el movimiento isócrono es el movimiento de Kepler en el pozo de potencial aparente de Leibniz (1693):

{\ displaystyle V _ {\ text {fuerza laboral}} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - GM {\ frac {m} {r}}.}

Todos estos pozos potenciales están conectados entre sí a través de la transformada de Abel .

Ver también

Péndulo cicloidal