Gráfica de una función

La gráfica de una función $f$ de E a F es el subconjunto G de E × F formado por los pares de elementos enlazados por la correspondencia:

G = \ {(x, y) \ in E \ times F \ mid y = f (x) \} = \ {(x, f (x)) \ mid x \ in E \}.

Funciones numéricas

Este conjunto se llama gráfico de $f$ porque permite dar una representación gráfica del mismo en el caso habitual donde E y F son conjuntos de reales : de hecho, a veces podemos representar E y F en dos ejes secantes, cada par de G se puede representar entonces por un punto en el plano, provisto de una marca de referencia definida por los dos ejes. También hablamos de una curva representativa de la función.

Si E es el plano ℝ 2 y F es el conjunto de ℝ reales, la gráfica de la función es una superficie curva en el espacio euclidiano en 3 dimensiones.

Entonces es posible volver a una representación plana considerando las curvas de nivel , es decir, dibujando en el plano de partida un mapa altimétrico del relieve de la superficie izquierda.

En el caso de funciones complejas , E es el plano complejo C y F es también el conjunto de C complejos . La necesidad de 4 dimensiones complica la representación gráfica. Existen varios métodos, ya sea usando dos gráficos tridimensionales (partes reales e imaginarias , módulo y argumento ), o usando un gráfico bidimensional asociado con la coloración de regiones .

Ensayos verticales y horizontales

Prueba de línea vertical Una parte G de E × F es la gráfica de una función de E a F si y solo si para cualquier elemento x de E , G ∩ ({ x } × F ) es un singleton o está vacío . Es la gráfica de un mapa de E a F si y solo si para todo x en E , G ∩ ({ x } × F ) es un singleton. Prueba de línea horizontal Una función de E a F del gráfico G es inyectiva si y solo si para cualquier elemento y de F , G ∩ ( E × { y }) es un singleton o está vacío. Es sobreyectiva si y solo si para todo y en F , G ∩ ( E × { y }) no está vacío.

Una parte G de E × F es, por tanto, la gráfica de una biyección de E a F si y solo si para todo x en E , G ∩ ({ x } × F ) es un singleton y para todo y en F , G ∩ ( E × { y }) es un singleton.

Topología

Cuando E y F son espacios topológicos , F se separó , si la aplicación f es continua entonces su gráfica es cerrado en E × F . Lo contrario es falso, como lo demuestra la aplicación de ℝ en ℝ que ax asocia 0 si x ≤ 0 y 1 / x si x > 0. Sin embargo, es cierto si F es compacto (o incluso sólo cuasi-compacto ). Estas dos implicaciones se generalizan a funciones multivalor .

Ver también

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