En muchas ramas de las matemáticas , uno puede ser llevado a comparar dos "objetos" entre sí mostrando que uno de los "objetos" es un "subobjeto" del otro (a veces mediante una inyección , reemplazando el conjunto de inclusión ). En algunas teorías, principalmente en geometría diferencial , el término incrustación está completamente definido, mientras que en otras solo se menciona en contextos intuitivos y por lo tanto no tiene un significado preciso.
Un mapa f : X → Y entre dos espacios topológicos es una incrustación de X en Y si induce (por corestricción ) un homeomorfismo de X en f ( X ) (dotado de la topología inducida ).
Esta corestricción es sobreyectiva por definición. Es continuo e inyectivo si y solo si f es.
Cualquier inyección continua abierta o cerrada es una incrustación.
En topología diferencial , sean V y W dos variedades de clase C k (posiblemente k infinito), y f : V → W sea una función.
Decimos que f es una incrustación C k si es una incrustación en el sentido topológico y si, además, f es C k y para todo x ∈ V , el mapa lineal tangente T f ( x ) es inyectivo.
Una incrustación es entonces un difeomorfismo C k en su imagen , imagen que es una subvariedad diferencial de W (este último resultado requiere el teorema de funciones implícitas ).
Se diferencia de:
Si V es compacto y si f : V → W es una inmersión inyectiva, entonces f es una incrustación de V en W .
Contraejemplos cuando V no es compactoTeorema de incrustación de Whitney : cualquier variedad de clase C k ( k ≥ 1 ) y de dimensión n admite una incrustación en R 2 n .
En el contexto de los espacios métricos hablamos de incrustar un espacio inmerso en otro. Un parámetro importante es entonces la distorsión ( factor de estiramiento (en) ), es decir una medida de la transformación de distancias durante la operación. Un ejemplo de resultado es el lema de Johnson-Lindenstrauss .
Sean ( P , ≤) y ( Q , ≼) dos órdenes . Entonces f : P → Q es una incrustación de órdenes (in) si para todo p 1 y p 2 de P :
p 1 ≤ p 2 ⇔ f ( p 1 ) ≼ f ( p 2 ) .Tal aplicación es necesariamente inyectiva.
Los ecualizadores a veces se denominan "incrustaciones" .
En una categoría que admite imágenes y coimágenes, una incrustación podría estar relacionada con un monomorfismo que sería un isomorfismo en la imagen (o la coimagen es isomorfa a la imagen).
Una incrustación de grafo (in) , es la operación que consiste en sumergir un grafo en un espacio, según determinadas condiciones. Un ejemplo clásico es el caso de los gráficos planos : gráficos que se pueden dibujar en el plano, sin bordes cruzados.