Límite (topología)

En topología , el borde de un conjunto (también llamado en ocasiones "el borde de un conjunto") está formado por puntos que, intuitivamente, están "ubicados en el borde" de este conjunto, es decir, a los que se puede "acercar". tanto desde el interior como desde el exterior de este conjunto.

Definición

Sea S un subconjunto de un espacio topológico ( E , T ).

Es posible definir el borde de S (a menudo indicado como ∂ S o Fr S ) de varias formas equivalentes:

• la adhesión de S privado de la interior de S  :∂S=S¯∖S∘ ;{\ Displaystyle \ parcial S = {\ overline {S}} \ setminus {\ stackrel {\ circ} {S}} ~;}
• todos los puntos adheridos tanto a S como a su complementario  :∂S=S¯∩mi∖S¯ ;{\ Displaystyle \ parcial S = {\ overline {S}} \ cap {\ overline {E \ setminus S}} ~;}
• el conjunto de todos los “puntos de frontera” de S , es decir los puntos p de E para los que cualquier vecindad de p - o simplemente todas las de una base de vecindades - contiene al menos un punto en S y un punto fuera de S .

Propiedades

• El límite de un conjunto es un cerrado (según la segunda definición, como una intersección de dos cerrados).
• El límite de un conjunto es también el de su complementario (aún de acuerdo con la segunda definición, utilizando la involutividad de la transición a lo complementario).
• La adhesión de un conjunto es la reunión de esta reunión y de su frontera: S = S ∪ ∂ S . En particular, un conjunto se cierra si y solo si contiene su límite.
• El interior de un conjunto es este conjunto desprovisto de su borde. En particular, un conjunto es abierto si y solo si está desarticulado de su límite.
• Los abiertos-cerrados son, por tanto, las partes cuyo borde está vacío .
• El borde de un interior abierto (o cerrado) es vacío. De hecho, si S está abierto, ∂ S = S ∩ ( E \ S ) por lo tanto int (∂ S ) ⊂ S ∩ int ( E \ S ) = ∅.
• En general, el borde de una unión finita está estrictamente incluido en la unión de los bordes, pero si A y B son de adherencias disjuntas, o más generalmente, si A ∩ B = B ∩ A = ∅ - entonces ∂ ( A ∪ B ) = ∂ ( A ) ∪ ∂ ( B ).

Ejemplos de

En el conjunto de números reales con su topología habitual  :

• ∂]0,5[=∂[0,5[=∂]0,5]=∂[0,5]={0,5}{\ Displaystyle \ parcial \ izquierda] 0.5 \ derecha [= \ parcial \ izquierda [0.5 \ derecha [= \ parcial \ izquierda] 0.5 \ derecha] = \ parcial [0.5] = \ {0, 5 \}} ;
• ∂∅=∅{\ Displaystyle \ parcial \ varnothing = \ varnothing} ;
• ∂Q=R{\ Displaystyle \ parcial \ mathbb {Q} = \ mathbb {R}} ;
• ∂(Q∩[0,1])=[0,1]{\ estilo de visualización \ parcial (\ mathbb {Q} \ cap [0,1]) = [0,1]}.

Los dos últimos ejemplos ilustran que el límite de una parte interior vacía es su adhesión.

Borde de un borde

Para cualquier conjunto S, ∂∂S se incluye en ∂S, la igualdad se verifica si y solo si ∂S es interior vacío.

El borde de un conjunto está cerrado, ∂∂∂S = ∂∂S para cualquier conjunto S. El operador de borde, por lo tanto, satisface una forma débil de idempotencia .

Nota

1. En el caso particular de un espacio métrico , las bolas con centro py radio estrictamente positivo forman una base de vecindades de p .