Función de variación limitada

En análisis , se dice que una función tiene variación acotada cuando satisface una determinada condición de regularidad. Esta condición fue introducida en 1881 por el matemático Camille Jordan para ampliar el teorema de Dirichlet sobre la convergencia de las series de Fourier .

Definición

Sea f una función definida en un conjunto T totalmente ordenado y con valores en un espacio métrico ( E , d ).

Para cualquier subdivisión σ = ( x 0 , x 1 ,…, x n ) de cualquier intervalo de T , definimos V ( f , σ) por:

V(F,σ)=∑I=1noD(F(XI-1),F(XI)).{\ Displaystyle V (f, \ sigma) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} re (f (x_ {i-1}), f (x_ {i})).}

Llamamos variación total de f en T al valor V T ( f ) ∈ ℝ definido por:

VT(F)=sorberσV(F,σ).{\ Displaystyle V_ {T} (f) = \ sup _ {\ sigma} V (f, \ sigma).}

Decimos que f tiene una variación acotada si este límite superior V T ( f ) es finito, en otras palabras, si el "arco" (no necesariamente continuo) definido por f es rectificable en el sentido de Jordan .

Interés del concepto

Las funciones monótonas forman una clase importante de funciones en análisis. Sin embargo, tiene el inconveniente de no ser invariante para operaciones algebraicas básicas: la suma de dos funciones monotónicas, por ejemplo, no es necesariamente monótona. Como cualquier función con variaciones acotadas es la suma de dos funciones monotónicas y viceversa , las funciones con variaciones acotadas pueden verse como una generalización de las funciones monotónicas pero con la ventaja de que el conjunto de funciones con variaciones acotadas se proporciona con la adición o con la multiplicación forma un anillo  : la suma y el producto de dos funciones con variaciones limitadas es con variaciones limitadas.

Propiedades

• La variación total (finita o infinita) de una función continua f sobre un segmento real [ a , b ] no es solo el límite superior de V ( f , σ) cuando σ atraviesa las subdivisiones de [ a , b ], sino también su límite, cuando el paso de la subdivisión σ tiende hacia 0. Deducimos que para una función continua con variación acotada f , el mapa t ↦ V [ a , t ] ( f ) es continuo.
• Si φ es una biyección creciente otro conjunto ordenado S a T , la variación total de f ∘φ en S es igual a la de f en T .
• Para vectorial normado espacio E , las funciones de variación acotada forman un subespacio del espacio de las funciones T en E .
• Cualquier función F absolutamente continua (en particular cualquier función Lipschitziana ) tiene variación limitada. En otras palabras: si f es integrable en el sentido de Lebesgue en un intervalo I entonces, para un fijo en I , la función X↦F(X)=∫aXF(t) Dt{\ Displaystyle x \ mapsto F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ \ mathrm {d} t} es variación acotada. En efecto,VaX(F)≤∫aX|F(t)|Dt≤∫I|F(t)| Dt.{\ Displaystyle V_ {a} ^ {x} (F) \ leq \ int _ {a} ^ {x} \ vert f (t) \ vert dt \ leq \ int _ {I} \ vert f (t) \ verde ~ \ mathrm {d} t.}
• Cualquier función de variación acotada es conjunto (es decir límite uniforme de una serie de funciones de escalera ).
• Las funciones con variación acotada de un segmento real en ℝ son exactamente las diferencias de dos funciones crecientes (tal descomposición f = g - h está lejos de ser única; si f es continua, g y h pueden elegirse continuas: por ejemplo h ( t ) = V [ un , t ] ( f ) y g = f + h ). Deducimos que sus dis continuidades son no esenciales y forman un conjunto de los más numerable y que estas funciones son derivables en casi todas partes (en el sentido de la medida de Lebesgue ), desde localmente integrables derivados .
• Hay funciones derivables con variación total infinita, tales como la función f definida en [-1, 1] por f ( x ) = x 2 cos 2 (π / x 2 ) si x ≠ 0 y f (0) = 0 .

Generalización a funciones multivariadas

Se puede hacer una definición extendida a funciones con múltiples variables mediante la variación de Vitali. Propuesto por Vitali, pasó a manos de Lebesgue y Fréchet.

Sea f una función definida en un bloque . Apuntamos : [a1,B1]×⋯×[ano,Bno]⊆Rno{\ Displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Δhk(F,X)=F(X1,X2,⋯,Xk+hk,⋯,Xno)-F(X1,X2,⋯,Xk,⋯,Xno){\ Displaystyle \ Delta _ {h_ {k}} (f, x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k} + h_ {k}, \ cdots, x_ {n} ) -f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k}, \ cdots, x_ {n})}

luego, de forma recursiva,

Δh1,h2,⋯,hk(F,X)=Δhk(Δh1,h2,⋯,hk-1,X).{\ Displaystyle \ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k}} (f, x) = \ Delta _ {h_ {k}} (\ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k-1}}, x).}

Luego nos damos secuencias de puntos en cada dirección , y asociamosπk{\ Displaystyle \ pi _ {k}}ak=tk1<tk2<⋯<tkNOk+1=Bk{\ Displaystyle a_ {k} = t_ {k} ^ {1} <t_ {k} ^ {2} <\ cdots <t_ {k} ^ {N_ {k} +1} = b_ {k}}hkI=tkI+1-tkI.{\ Displaystyle h_ {k} ^ {i} = t_ {k} ^ {i + 1} -t_ {k} ^ {i}.}

La variación en el sentido de f de Vitali viene dada por:

Vno(F)=sorber(π1,...πno)∑k=1no∑Ik=1NOk|Δh1I1,h2I2,⋯,hkIk(F,(X1I1,X2I2,⋯,XkIk))|{\ Displaystyle V ^ {n} (f) = \ sup _ {(\ pi _ {1}, ... \ pi _ {n})} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {N_ {k}} \ left | \ Delta _ {h_ {1} ^ {i_ {1}}, h_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, h_ {k} ^ {i_ {k}}} \ left (f, (x_ {1} ^ {i_ {1}}, x_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, x_ {k} ^ { i_ {k}}) \ derecha) \ derecha |}

Esta definición de variación se puede ampliar mediante la definición de variación de Hardy-Krause:

La variación de Hardy-Krause de f viene dada por:

V(F)=∑Vno(F){\ Displaystyle V (f) = \ sum V ^ {n} (f)}

donde la suma se realiza en todas las caras de todos los subintervalos del bloque de dimensión menor o igual an .[a1,B1]×⋯×[ano,Bno]⊆Rno{\ Displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Notas y referencias

Notas

1. Contraejemplo  : Las funciones f  : x ↦ -x y g  : x ↦ x 3 son ambas monótonas, pero f + g no lo es.

Referencias

1. Godfrey Harold Hardy ( traducida  del Inglés por Alexandre Moreau), "Camille Jordan" , en Matemáticas y matemáticos , Nitens,2018( 1 st  ed. 1922) ( ISBN  9782901122005 ).
2. Gustave Choquet , Curso de Análisis, Volumen II: Topología , p. 99-106.
3. Xavier Gourdon, Matemáticas en mente: Análisis , París, Elipses,2008, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1994), 432  p. ( ISBN  978-2-7298-3759-4 ) , cap.  2 ("Funciones de una variable real").
4. (en) J. Yeh , Análisis real: teoría de la medida y la integración , World Scientific,2006, 2 nd  ed. , 738  p. ( ISBN  978-981-256-653-9 , leer en línea ) , pág.  265 : "  Descomposición de Jordan de funciones de variación limitada  "
5. (it) G. Vitali , "  Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali  " , Atti Accad. Sci. Torino , vol.  43,1908, p.  229-246
6. (De) H. Hahn , Theorie der reellen Funktionen. Erster Band. ,1921

Enlace externo

(en) "Función de variación acotada" , en Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , leer en línea )