Teoría algebraica de números

En matemáticas , la teoría algebraica de números es la rama de la teoría de números que utiliza herramientas derivadas del álgebra . Su origen es el estudio de los números enteros y particularmente las ecuaciones diofánticas . Para resolver algunos de ellos, es útil considerar otros números enteros, llamados algebraicos . Un ejemplo lo da el teorema de los dos cuadrados de Fermat utilizando números enteros de Gauss .

Estos conjuntos están equipados con dos leyes, una suma y una multiplicación, que verifican las mismas propiedades elementales que los números enteros relativos: hablamos de anillos . En particular, algunos de ellos tienen una división euclidiana . También se aplican los resultados clásicos de la aritmética de enteros naturales : el lema de Euclides , la identidad de Bézout o incluso el teorema fundamental de la aritmética . Se utiliza particularmente una estructura, la del anillo cociente ℤ / n ℤ compuesto por congruencias en números enteros . Está en el origen de una rama de la teoría algebraica de números: la aritmética modular .

Todos los conjuntos de esta naturaleza no admiten una división euclidiana. A veces hay varias descomposiciones en factores primos. Esta especificidad conduce a un estudio general de las propiedades de estas estructuras. Si el conjunto elegido no es demasiado grande, es decir, existe un número entero n tal que cada elemento del conjunto es la raíz de un polinomio cuyo grado no excede de n , existe una familia de propiedades que siempre se verifican. Estas estructuras se denominan anillos Dedekind . El estudio de estas estructuras se llama "teoría de números algebraica clásica".

Otra estructura es útil, corresponde al conjunto más pequeño que contiene el de los enteros algebraicos considerados tales que todos los elementos distintos de cero admiten un inverso para la multiplicación. La estructura lleva el nombre de campo conmutativo , se obtiene mediante un enfoque de la misma naturaleza que el que permite construir números racionales , hablamos de campo de fracciones . Estos conjuntos cuyos elementos se denominan números algebraicos son objeto de una teoría llamada Galois .

Las teorías matemáticas avanzadas, como la cohomología de Galois , la teoría de campos de clases , la teoría de representación de grupos finitos y las funciones L , nos permiten estudiar las propiedades finas de estas clases de números. Muchas cuestiones de la teoría de números se estudian módulo p para todos los números primos p (ver campos finitos ). Este proceso se llama localización y conduce a la construcción de números p -ádicos ; el estudio de campos locales emplea las mismas técnicas que las descritas anteriormente para campos numéricos . Incluso, de hecho, es mucho más simple, y los resultados en los campos numéricos a menudo se deducen de los de los campos locales: este es el principio local-global .

Aritmética elemental

Resolver ecuaciones diofánticas , es decir ecuaciones con coeficientes enteros y cuyas soluciones deseadas son enteras, es una cuestión que ha fascinado a la humanidad desde la Antigüedad. Así, los Elementos de Euclides explican cómo construir cuadrados perfectos cuya suma sigue siendo un cuadrado perfecto.

Las propiedades y teoremas utilizados para resolver tales ecuaciones son, en primer lugar, relativamente simples. Todos derivan más o menos directamente de la división euclidiana en el anillo ℤ de enteros relativos . Los primeros resultados son el lema de Euclides , la identidad de Bézout y el teorema fundamental de la aritmética que establece que cualquier entero positivo se descompone de forma única en un producto de números primos.

Estos teoremas nos permiten demostrar una serie de resultados, como el último teorema de Fermat para n igual a 2 o 4, o el pequeño teorema de Fermat o el de Wilson . Para ir más allá, se hace necesario comprender con mayor precisión la relación entre la multiplicación de dos números y el resto del producto por una división euclidiana. Por ejemplo, resolver el teorema de los dos cuadrados de Fermat requiere determinar la lista de números primos p tal que haya un número natural n donde n 2 + 1 es un múltiplo de p . El Pequeño Teorema de Fermat es un resultado que aporta información de esta naturaleza, se utiliza para resolver elementalmente la cuestión de los dos cuadrados o para estudiar la primordialidad de un número entero (es decir para hacer posible saber si un número es primo o no). Encontramos un ejemplo para el estudio de los números de Fermat .

Aritmética modular

Si la ecuación se vuelve más difícil, como encontrar soluciones enteras de la ecuación x 2 + 2 y 2 = p con p un número primo, las técnicas anteriores requieren cálculos cada vez más inteligentes y complejos. En algunos casos, como la ley de reciprocidad cuadrática , no encontrarse una solución a la XVIII ª siglo por los grandes aritméticos que se ocupan de la cuestión: Leonhard Euler , Joseph-Louis Lagrange y Adrien-Marie Legendre .

La técnica que finalmente llega a su fin consiste en estudiar nuevos números y especialmente las propiedades estructurales que poseen sus conjuntos provistos de suma y multiplicación. Uno de estos conjuntos se compone de los restos (números enteros de 0 ap ) de la división euclidiana de un número entero por p , si p es un número primo. Para la multiplicación (cf. el artículo “ Anillo ℤ / nℤ ”), los números enteros de 1 a p - 1 forma un grupo cíclico . El estudio de este grupo permite superar la ley de reciprocidad cuadrática.

Teoría de números algebraica clásica

Entero algebraico

Otra familia de conjuntos es útil, los de la forma de un + ξ b o un y b son números enteros y xi una solución de una ecuación cuadrática. Para algunos valores de ξ como $i$ la unidad imaginaria , $j$ una raíz cúbica primitiva de la unidad en números complejos o (1 + √ 5 ) / 2 , es posible definir una división euclidiana, c 'que es , son anillos euclidianos . El estudio de estos números permite resolver cuestiones como el último teorema de Fermat para n igual a 3 o 5.

Para definir en general estos conjuntos, es útil considerar el conjunto más pequeño K que contiene los números racionales, todas las raíces de un polinomio con coeficientes racionales y estable para la suma y la multiplicación. Esta estructura se denomina cuerpo de descomposición del polinomio. El anillo considerado, a menudo señalado como O K, es el de los elementos de K que también son raíces de un polinomio con coeficientes enteros y cuyo monomio de mayor grado tiene un coeficiente igual a 1. Estos números se denominan “enteros algebraicos”. Estas dos estructuras son algo análogas a los racionales y los números enteros relativos. El segundo conjunto O K tiene elementos que no tienen inverso para la multiplicación, con algunas excepciones como 1 y –1 para números enteros relativos. Estas excepciones forman una estructura multiplicativa llamada grupo de unidades . El campo K puede verse como compuesto por fracciones de números enteros algebraicos y cualquier elemento distinto de cero tiene un inverso para la multiplicación. Un campo cuadrático corresponde a una realización más simple de esta situación, el polinomio es de grado 2. Su cierre algebraico no siempre se parece a ℤ. Dos obstrucciones alejan la nueva estructura de la configuración original.

El conjunto de elementos invertibles de O K puede volverse enorme. Un ejemplo lo da el estudio de números enteros de ℚ ( √ 5 ) cuyo grupo de unidades es infinito. Para todos estos elementos, herramientas como el lema de Euclides, la identidad de Bézout o la factorización prima resultan ineficaces. Dirichlet logra dilucidar la estructura de este grupo a través del teorema conocido como unidades de Dirichlet . Para campos cuadráticos, esta dificultad se traduce en la ecuación de Pell-Fermat .

La segunda obstrucción surge del hecho de que ya no hay suficientes números primos para asegurar una descomposición única. Por ejemplo en el anillo ℤ [ $i$ √ 5 ] de enteros de ℚ ( $i$ √ 5 ) , el número 6 admite dos factorizaciones diferentes:

6 = 2 \ times 3 = (1 + {{\ rm {i}}} {\ sqrt 5}) (1 - {{\ rm {i}}} {\ sqrt 5}).

Sin embargo, ninguno de los cuatro números enteros algebraicos usados contiene divisores que no sean ellos mismos y 1 (excepto por un factor del grupo de unidades). Ernst Kummer imagina una solución alternativa , propone agregar " números ideales (en) " para obtener nuevamente una factorización única. Posteriormente, Richard Dedekind formaliza la noción de ideal generalizando esta idea a todos los anillos. Los cierres algebraicos tienen un conjunto de propiedades formalizadas por los axiomas que definen la noción de anillo de Dedekind . Para tal estructura, con cada número está asociado su ideal, calificado como principal y hay ideales que no están asociados con ningún número. Los ideales tienen una suma y sobre todo una multiplicación. Así como los enteros se generalizan en números racionales, la definición de un ideal se extiende a la de un ideal fraccionario que tiene un inverso si no es cero. Esta generalización confiere una estructura de grupo multiplicativo al conjunto. El grupo de los ideales fraccionarios tiene un grupo específico, las principales ideales fraccionarios, que corresponde a verdaderos números de K . El cociente del grupo por este subgrupo, operación análoga a la utilizada en aritmética modular, permite medir el volumen de los números primos faltantes. El teorema para sortear la segunda obstrucción describe una propiedad de este grupo de cocientes, llamado grupo de clases ideales . Tiene un número finito de elementos.

Teoría clásica de Galois

Otras preguntas, que no se refieren a números enteros, imponen una generalización de la noción de número. La diagonal de un cuadrado de longitud de lado uno está no expresa como una fracción. Conduce al estudio de un nuevo número, inicialmente percibido como una longitud e igual a la raíz cuadrada de dos . De manera más general, el estudio de las ecuaciones polinomiales introduce números como la unidad imaginaria o la raíz enésima de los fundamentos, llamados radicales. Ciertos métodos como los de Cardan o Ferrari permiten la resolución por radical de cualquier ecuación de grado estrictamente inferior a cinco.

Un número algebraico se define como la raíz de un polinomio . Evariste Galois estudia las propiedades de simetría de tales raíces y destaca la existencia de un grupo finito, dijo Galois . En términos modernos, el marco del estudio es el de una extensión finita L de un campo K , es decir de un campo de L que contiene un campo K y de dimensión finita si se considera como un vector espacial de K . El grupo de Galois es el grupo de automorfismos de L que dejan invariante a K. Un ejemplo lo da el campo más pequeño que contiene todas las raíces de un polinomio, así como sus coeficientes. El grupo de Galois permite una expresión general del teorema de Abel dando una condición necesaria y suficiente para que una ecuación se pueda resolver por radicales.

La teoría clásica de Galois se basa en dos teoremas, el del elemento primitivo y el dicho fundamental . La primera supone una propiedad en el polinomio mínimo de un elemento es de L . El polinomio mínimo de una es el polinomio con coeficientes en K de grado más pequeño, unitario y tiene una raíz. La teoría muestra que en una extensión finita, ese polinomio siempre existe. Una configuración frecuente indica que un polinomio mínimo nunca admite una raíz múltiple. Si este es el caso, se dice que la extensión es separable . El teorema del elemento primitivo indica que una extensión finita separable siempre contiene un elemento p , llamado primitivo tal que L es el campo más pequeño que contiene K y p . Si la extensión es separable y si el grupo de Galois contiene tantos elementos como la dimensión de L como un espacio vectorial, se dice que la extensión es Galois . En tal extensión, los subcampos de L que contienen K están en inyección con los subgrupos del grupo de Galois. El análisis de las propiedades de esta biyección es el contenido del teorema fundamental de esta teoría.

Este enfoque estructural, a menudo considerado el origen del álgebra moderna, va más allá del estudio de la resolución de ecuaciones polinómicas. Antes del trabajo de Galois, Carl Friedrich Gauss había entendido ciertos elementos de la teoría, lo que le permitió encontrar un nuevo polígono regular construible con una regla y un compás . Contiene diecisiete vértices (cf. el artículo “ Teorema de Gauss-Wantzel ”). La teoría clásica de los enteros algebraicos utiliza con frecuencia las herramientas de esta teoría. El cálculo de la magnitud como la norma de un número entero o el discriminante de un anillo se puede expresar utilizando el grupo de Galois. Esta propiedad está en el origen de muchas demostraciones, como la del teorema de la unidad de Dirichlet .

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Teoría algebraica de números ” ( ver la lista de autores ) .

Euclide ( transl. Bernard Vitrac), The Elements [ detalle de las ediciones ], Vuelo. 3, Libro X, pág. 171-176 .

Ver también

Bibliografía

Pierre Samuel , Teoría algebraica de números [ detalle de la edición ]
(en) Jürgen Neukirch , Teoría algebraica de números [ detalle de ediciones ]

Enlace externo

(fr) David J. Wright, "MATH 6723: Teoría de números algebraicos" ( Archivo de Internet versión 7 de agosto de 2007 ) , en Oklahoma State University : notas de clase, ejercicios resueltos, sugerencias para estudios adicionales, bibliografía