Leyes de Snell-Descartes

Las leyes de Snell describen el comportamiento de la luz en la interfaz de dos medios. Estas leyes son cuatro, dos para la reflexión y dos para la refracción . Con la propagación rectilínea de la luz en medios homogéneos e isotrópicos, estas leyes son la base de la óptica geométrica . Su nombre se refiere a Willebrord Snell y René Descartes , que al mismo tiempo pero de manera independiente descubrió estas leyes en la XVII ª siglo .

El perfil celerimétrico y las leyes de Snell determinan la trayectoria de los rayos en el agua. Las mismas leyes permiten determinar la curvatura ideal de la córnea de un ojo en la atmósfera o en el medio acuático. Una de estas leyes también explica la simple relación matemática que existe entre el ángulo de incidencia de un rayo de luz y su ángulo refractado por el agua o el fenómeno conocido como ventana de Snell .

Histórico

El descubrimiento de las leyes de la refracción se atribuye a Ibn Sahl (c. 940-1000) en 983. Estas leyes están representadas en la figura opuesta por los dos triángulos en la parte superior izquierda. Ibn Sahl usó estas leyes para diseñar una lente de forma hiperbólica, con un enfoque perfecto (un haz de rayos paralelos luego converge exactamente en el mismo punto: el foco).

Sin embargo, el tratado de Ibn Sahl sigue siendo enigmático, porque la relación aparece sin ningún dato experimental o fundamento teórico. Además, no se define ninguna constante equivalente al índice óptico . Además, es difícil creer que Ibn al-Haytham (Alhazen) no retomó el descubrimiento fundamental de su maestro Ibn Sahl. La relación parece haber sido olvidada. Una posible interpretación es que se trata de un ejercicio de diseño de lentes, considerado en el dominio puramente geométrico, sin que se establezca la ley física.

Posteriormente, la teoría del arco iris se conoce en el mundo musulmán ( Al Farisi ).

Luego, a través de la traducción latina del tratado de óptica de Ibn al-Haytham , la óptica se difunde en Europa: Oxford ( Robert Grosseteste , Roger Bacon ), París, Praga. Se conoce la ley de los ángulos pequeños: Witelo (alias Vitellion ) habría tomado las tablas experimentales de desviación establecidas por Ptolomeo , pero fue entonces Kepler quien, en el Paralipomena a Vitellion , expresó explícitamente la relación entre los (pequeños) ángulos de incidencia y refracción. A Thomas Harriot se le atribuye haber puesto las mesas a través de la ley de los senos (1601) y explicar el arco iris (1606); pero no publica.

Snell desarrolló su trabajo al mismo tiempo que publicó su tabla de senos (1621).
Descartes publicó la ley en 1637 en su tratado La Dioptrique (en el apéndice del Discurso del método ).
Las leyes de Snell se pueden deducir completamente del principio de Fermat y de las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell de la física moderna .

En Europa occidental, la disputa prioritaria: ¿Snell o Descartes? - fue ampliamente debatido; considerando a Ibn Sahl, Harriot, Kepler, es una disputa "vieja" (ver controversias del cartesianismo , dioptrías).

La vieja pelea

En Europa Occidental, el enunciado de la ley de los senos se atribuye tanto a Descartes como a Snell , y este hecho será objeto de una disputa prioritaria tan frecuente en esta época (principios del siglo XVII): la controversia sobre la cuestión de si el propio Descartes descubrió esta ley o simplemente tuvo conocimiento de la establecida poco tiempo antes por Snell, muerto este último sin haberla publicado. Si Leibniz y Huygens consideraron que efectivamente Descartes no podría haber estado sin conocer la ley enunciada por Snell, las opiniones de los historiadores no son tan tajantes. B. Maitte evoca el conocimiento que Descartes habría tenido del manuscrito inédito de Snell (que, según J.-P. Maury, habría sido confiado a Rivet, profesor de teología en relación con Mersenne , quien se correspondería mucho con Descartes) . Pero según P. Costabel no hay prueba en el estado actual de la documentación histórica del hecho de que Descartes tuviera comunicación del resultado de Snell. Otros autores evocan la anterioridad de Harriot, quien habría encontrado dicha ley pero solo habría proporcionado a Kepler las tablas de medidas sin la interpretación.

Los documentos históricos encontrados actualmente no nos permiten conocer el enfoque de Snell. Por lo que respecta a Descartes, algunos indicios llevan a considerar que la idea de senos estaba directamente ligada a la búsqueda de la forma de una lente llamada "perfecta", es decir, capaz de converger exactamente en un punto. un haz de rayos paralelos. El perfil anticipado de la dioptría era el de una hipérbola y es el estudio geométrico de este perfil -calificado como anoclástico- el que confirmó a Descartes en la validez de una ley del seno: la convicción, para no decir la prueba, resultó de una conjunto de consideraciones, experimentales (fabricación en el límite de lo posible de tal lente por Ferrier) y teóricas (demostración de que la forma hiperbólica se correspondía bien con una relación entre los senos de los ángulos del geómetra Mydorge y del matemático Beeckman ). Agreguemos aquí que esta preocupación surgió de la invención del telescopio, un telescopio mejorado por Galileo y transmitido a Kepler quien dio una primera explicación.

Leyes de Snell-Descartes para la reflexión

Se dice que el rayo de luz incide antes de haber encontrado la superficie reflectante, se dice que se refleja después.

El punto de encuentro del rayo incidente y la superficie reflectante se denomina punto de incidencia .

La línea ortogonal a la superficie reflectante en el punto de incidencia se denomina normal (a la superficie reflectante).

El plano que contiene el rayo incidente y la normal a la superficie reflectante en el punto de incidencia se denomina plano de incidencia .

El ángulo orientado θ 1 tomado entre la normal en el punto de incidencia y el rayo incidente se llama ángulo de incidencia .

El ángulo orientado θ 2 tomado entre la normal en el punto de incidencia y el rayo reflejado se llama ángulo de reflexión .

Los ángulos θ 1 y θ 2 son positivos si se orientan en sentido antihorario , negativos en caso contrario. Tenga en cuenta: algunos autores utilizan otras convenciones.

Las leyes de la reflexión se establecen de la siguiente manera:

el rayo reflejado, el rayo incidente y el normal (a la dioptría) están contenidos en el plano de incidencia;
los ángulos incidente y reflejado son iguales en valores absolutos; θ 1 y θ 2 verifican: θ 2 = - θ 1 .

Leyes de Snell-Descartes para la refracción

Las leyes de refracción de Snell-Descartes expresan el cambio de dirección de un haz de luz al atravesar una pared, separando dos medios diferentes. Cada medio se caracteriza por su capacidad de "ralentizar" la luz, modelada por su índice de refracción n que se expresa en la forma:

no=vsv{\ Displaystyle n = {\ frac {c} {v}}} ${\ Displaystyle n = {\ frac {c} {v}}}$ o :

v es la velocidad de la luz en este medio;
que es la velocidad de la luz en el vacío.

Se dice que el rayo de luz incide antes de haber encontrado la superficie de refracción (llamada dioptría), se dice que se refracta después.

El punto de encuentro del rayo incidente y la dioptría se denomina punto de incidencia.

El plano que contiene el rayo incidente y el normal a la dioptría, en el punto de incidencia, se denomina plano de incidencia.

El ángulo orientado θ 1 tomado entre la normal en el punto de incidencia y el rayo incidente se llama ángulo de incidencia.

El ángulo orientado θ 2 tomado entre la normal en el punto de incidencia y el rayo refractado se llama ángulo de refracción.

Los ángulos θ 1 y θ 2 son positivos si se orientan en sentido antihorario, negativos en caso contrario.

Sea n 1 el índice de refracción del medio en el que se propaga el rayo incidente y n 2 el del medio en el que se propaga el rayo refractado.

Las leyes de la refracción se establecen de la siguiente manera:

el rayo refractado, el rayo incidente y el normal (a la dioptría) están en el mismo plano, el plano de incidencia;
la relación que une los índices de refracción n 1 y n 2 de cada uno de los medios y los ángulos de incidencia θ 1 y refractados θ 2 , denominada relación de Snell-Descartes, se escribe:

no1pecado⁡θ1=no2pecado⁡θ2{\ Displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}} ${\ Displaystyle n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2}}$

Para n 1 > n 2 (y respectivamente n 1 < n 2 ) el rayo refractado (o incidente) se aproxima a la dioptría más rápidamente que el rayo incidente (o refractado). Cuando el rayo refractado (o incidente) se encuentra matemáticamente en la dioptría (su límite), entonces hay una reflexión total .

Las leyes empíricas de reflexión y refracción pueden ser interpretadas por diferentes modelos: modelo de onda de Huygens ( principio de Huygens ), modelo de acción mínima de Fermat ( principio de Fermat ), modelo de onda electromagnética de Maxwell.

Las leyes de Snell-Descartes también se utilizan en la reflexión de ultrasonidos.

Leyes de Snell-Descartes y la relatividad de Galileo

Les lois de Snell-Descartes sont en fait une conséquence, directe mais non triviale, du principe de relativité de Galilée , c'est-à-dire de l'invariance des lois de la physique lors d'une translation dans l'espace ou en el tiempo.

Demostración

Sea una onda plana monocromática (escrita en forma compleja ), y la onda transmitida (o reflejada ) a través de un plano infinito P que separa dos medios lineales y homogéneos. Las leyes que prescriben la onda transmitida y la onda reflejada deben ser invariantes durante una traslación temporal ( ) y espacial ( ), donde es paralela a P (de modo que el plano permanece invariante). Luego se multiplica por y por . La invariancia de las leyes físicas durante una traducción espacio-temporal impone que no se modifique, por lo tanto , cualquiera que sea la traducción: ${\ Displaystyle \ psi _ {0} = A_ {0} \ exp \ left [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega _ {0} t) \ right]}$ ${\ Displaystyle \ psi = A \ exp \ left [\ mathrm {i} \, ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t + \ varphi) \ right]}$ ${\ displaystyle t \ rightarrow t- \ tau}$ ${\ Displaystyle {\ vec {r}} \ rightarrow {\ vec {r}} - {\ vec {a}}}$ ${\ vec a}$ ${\ Displaystyle \ psi _ {0}}$ ${\ Displaystyle C_ {0} = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega _ {0} \ tau - {\ vec {k}} _ {0} \ cdot {\ vec {a}})] }$ $\ psi$ ${\ Displaystyle C = \ exp [\ mathrm {i} \, (\ omega \ tau - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {a}})]}$ ${\ displaystyle A / {A_ {0}}}$ $C = C_ {0}$

${\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$ , la transmisión y la reflexión conservan la frecuencia ;
${\ Displaystyle {\ vec {k}} _ {\ paralelo} = {\ vec {k}} _ {0 \ paralelo}}$ (las proyecciones de y sobre el plano), de donde se deduce fácilmente que los planos de refracción y reflexión (definidos por y , la componente de perpendicular al plano) coinciden con el plano de incidencia (definido por y ); ${\ vec k}$ ${\ Displaystyle {\ vec {k}} _ {0}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {k}} _ {\ paralelo}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {k}} _ {\ perp}}$ ${\ vec k}$ ${\ Displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ paralelo}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {k}} _ {0 \ perp}}$
${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta} {c}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {0}} {c_ {0}}}}$ donde y son respectivamente el ángulo de incidencia y la velocidad de las ondas en el primer medio, y y el ángulo de refracción y la velocidad del segundo medio (o el ángulo de reflexión y la velocidad del primer medio); esta relación se sigue de la relación que une y (o y ) : (y por geometría simple ). $\ theta _ {0}$ $c_ {0}$ $\ theta$ $vs$ ${\ Displaystyle \ | {\ vec {k}} \ |}$ $vs$ ${\ Displaystyle \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ $c_ {0}$ ${\ Displaystyle c \ | {\ vec {k}} \ | = \ omega = \ omega _ {0} = c_ {0} \ | {\ vec {k}} _ {0} \ |}$ ${\ Displaystyle \ | {\ vec {k}} \ | \ sin \ theta = \ | {\ vec {k}} _ {\ paralelo} \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0 \ paralelo } \ | = \ | {\ vec {k}} _ {0} \ | \ sin \ theta _ {0}}$

Estas relaciones (y en particular la tercera) siguen siendo válidas cuando existen varias ondas reflejadas y transmitidas (caso de ondas sísmicas ), cuando los medios son anisotrópicos , e incluso cuando la onda transmitida es evanescente ( reflexión “total” , pura imaginación ). ${\ Displaystyle k _ {\ perp}}$

Forma vectorial de las leyes de Snell-Descartes

La forma vectorial permite expresar los vectores de dirección de los rayos reflejados y refractados a partir del vector de dirección del rayo incidente. El resultado es el mismo que para las formas escalares , pero como vectores en lugar de ángulos.

Dado el vector director del rayo incidente (proveniente de una fuente de luz y en la dirección de la dioptría) y el vector normal al plano incidente, tenemos: ${\ Displaystyle {\ vec {I}}}$ ${\ vec {n}}$

{\ Displaystyle \ cos \ theta _ {1} = {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}

{\ Displaystyle \ cos \ theta _ {2} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ right) ^ {2} \ left (1- \ cos ^ {2} \ theta _ {1} \ right)}}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ aguda {e}} fl {\ aguda {e}} chi}} = {\ vec {I}} + \ left (2 \, \ cos \ theta _ {1} \ right) {\ vec {n}}}

{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ aguda {e}} fract {\ aguda {e}}}} = \ izquierda ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ right) {\ vec {I}} + \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} - \ cos \ theta _ {2} \ right) {\ vec {n}}}

Nota: debe ser positivo. De lo contrario, debe utilizar: ${\ Displaystyle {\ vec {n}} \ cdot (- {\ vec {I}})}$

{\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {r {\ aguda {e}} fract {\ aguda {e}}}} = \ izquierda ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2 }}} \ right) {\ vec {I}} + \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} \ right) {\ vec {n}}.}

La reflexión total ocurre cuando el radicando de la fórmula para cos ( θ 2 ) es negativo.

Generalización de las leyes de la reflexión y la refracción.

En octubre 2011, un grupo de investigadores internacionales que trabaja en la Universidad de Harvard en Estados Unidos generalizó las leyes de la reflexión y la refracción. La idea consiste en modificar la interfaz que separa los dos medios para introducir un desfase en el haz de luz que ya no es uniforme pero que depende del espacio. Para ello, decoraron la interfaz con una matriz de antenas plasmónicas de tamaño nanoscópico, que permiten introducir un gradiente de fase constante a lo largo de la interfaz.

Las nuevas leyes de reflexión y refracción se obtienen considerando el principio de Fermat , teniendo en cuenta este gradiente de fase. Dado que el tamaño de las antenas plasmónicas utilizadas es mucho menor que la longitud de onda de la luz, el gradiente de fase se introduce repentinamente al cruzar la interfaz, desacoplando así la fase acumulada durante la propagación y salto de fase introducida por nanoestructuras.

La ley de refracción generalizada se establece de la siguiente manera:

{\ Displaystyle n_ {2} \, \ sin \ theta _ {2} -n_ {1} \, \ sin \ theta _ {1} = {\ frac {\ lambda} {2 \, \ pi}} \; {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

o :

${\ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}$ representa el gradiente de fase introducido repentinamente en la interfaz.

Se establece la ley generalizada de la reflexión:

{\ Displaystyle \ sin \ theta _ {r} - \ sin \ theta _ {i} = {\ frac {\ lambda} {2 \, \ pi \, n_ {i}}} \; {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} x}}}

o :

θ i es el ángulo de incidencia;
θ r es el ángulo de reflexión.

La ley de la reflexión es sorprendente: el ángulo de reflexión ya no es necesariamente igual al ángulo de incidencia.

Visualización de la ley de Snell-Descartes: superficie de lentitud

El vector de lentitud es el vector transportado por la dirección de propagación de la onda y de módulo igual a la inversa de su velocidad de fase en esta dirección. Las superficies de la lentitud son el lugar del extremo de este vector para todas las direcciones de propagación de la onda.

Por definición, la superficie de lentitud es el lugar de los extremos del vector de lentitud , extraído de un punto fijo O, cuando varía la dirección de propagación . ${\ Displaystyle {\ Displaystyle {\ vec {m}}}}$ ${\ Displaystyle {\ Displaystyle {\ vec {n}}}}$

Vector de lentitud:

{\ Displaystyle {\ vec {m}} = {\ frac {\ vec {n}} {V}}}

Las direcciones de propagación de la onda se pueden determinar gráficamente a partir de las superficies de la lentitud. De hecho, las leyes de Snell-Descartes corresponden a la conservación de la proyección en la interfaz de los vectores lentos de todas las ondas (incidente, reflejada (s) y transmitida (s)), como se ilustra en la figura opuesta.

Medio isotrópico

En medios isotrópicos (sólidos o líquidos), siendo la velocidad de una onda la misma en cualquier dirección, las superficies de lentitud son esferas; círculos en el plano de incidencia (uno para ondas longitudinales y otro más grande para ondas transversales ).

Medio anisotrópico

Para un medio anisotrópico, las superficies de lentitud se desvían de la representación puramente esférica relativa a los cuerpos isotrópicos. En la figura opuesta se muestra una sección en un plano de las superficies de la lentitud para un material anisotrópico.

Notas y referencias

(en) A. Kwan, JM Dudley, E. Lantz, "¿Quién realmente descubrió la ley de Snell?", Physics World 15 (2002): 64-84. y Roshdi Rashed , Geometry and Dioptrics in Classical Islam (Londres: al-Furqan, 2005), XIII-1178-VI p., ( ISBN 1 873992 99 8 )
(en) Gorden Videen "cuya ley de la refracción?", Optics and Photonics News, publicado por la OSA http://www.osa-opn.org/print.aspx?path=%2FArchives%2F0508% 2Fdepartamentos% 2Fviewpoint.aspx
R. Rashed, " El modelo de la esfera transparente y la explicación del cielo del arco iris: Ibn al-Haytham - Farisi ," Revista de Historia de la Ciencia y aplicaciones , sin huesos 23-2,1970, p. 109-140 ( leer en línea ).
B. Maitte Historia del arco iris. París: Seuil, Open Science, 2005
J.-P. Maury En el origen de la investigación científica: Mersenne. París: Vuibert, 2003
B. Rochot La correspondencia científica del Padre Mersenne. París: Palacio del Descubrimiento, 1966.
P. Costabel Enfoques originales de los eruditos Descartes. París: Vrin, 1982.
Jean-Pierre Provost y Gérard Vallée, Matemáticas en la física: la física a través del filtro de las matemáticas , París, Éditions Dunod , coll. "Sup Sciences",Marzo de 2004, 1 st ed. , 331 p. ( ISBN 2-10-004652-7 ) , pág. 82-83.
(en) Andrew S. Glassner , Introducción al trazado de rayos , Morgan Kaufmann,1989, 327 p. ( ISBN 0-12-286160-4 , leer en línea )
Nanfang Yu, Patrice Genevet, Mikhail Kats, Francesco Aieta, Jean-Philippe Tetienne, Federico Capasso, Zeno Gaburro, Propagación de luz con discontinuidades de fase: leyes generalizadas de reflexión y refracción , Ciencia, 334, 333, 2011.
" Propagación y pruebas no destructivas en sólidos ACO3 "
" PARVIZ NAVI: Propiedades acústicas de los materiales: Propagación de ondas planas armónicas. "

Ver también

Bibliografía

Para la historia de la óptica:

M. Blay Figuras del arco iris . París: Belin, coll. Para la ciencia, 2005.
V. Ronchi Histoire de la lumière , (repr.), París: Ed. Jacques Gabay, 1996.