Suma de Minkowski

En geometría , la suma de Minkowski es una operación en las partes de un espacio vectorial . A dos partes A y B asocia su conjunto de suma, formado por las sumas de un elemento de A y de un elemento de B :

{\ Displaystyle A + B: = \ {a + b \ mid a \ in A, \; b \ in B \}}

La suma de dos compactos es compacta. Por tanto, es posible restringir el funcionamiento a este conjunto, que puede estar provisto de una distancia denominada de Hausdorff . La suma de Minkowski es entonces una operación continua. Además, respeta el convexo , es decir que la suma de dos convexos sigue siendo convexo. La medida de la suma de dos líneas convexas satisface un margen, llamado desigualdad de Brunn-Minkowski .

La suma de Minkowski está involucrada en muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas. Esta herramienta es la base de numerosas demostraciones de teoremas isoperimétricos , con el objetivo de determinar la parte del espacio con el mayor volumen posible, siendo la restricción el datum de la medida de su borde. En la geometría euclidiana, encontramos esferas de dimensión n . La suma de Minkowski también se usa para contar el número de caras de un poliedro , para resolver problemas de mosaico o para estudiar la geometría de convexos. Se aplican por ejemplo en cristalografía por motivos de embaldosado del espacio, en economía para optimizar las posibles producciones de un grupo de empresas, o para estudiar mezclas.

Preámbulo

Ejemplos de

El conjunto de A a la izquierda es un triángulo cuyas coordenadas de vértice son (0, -1), (0,1) y (1,0). A la derecha se ilustra un triángulo B similar , orientado de manera diferente. Las coordenadas son (0,0), (1, -1) y (1,1). Si los conjuntos A y B son dos tripletes, encontramos:

A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), ( 1, 0), (1, −2)}.

Si A y B son los triángulos que se muestran en rojo, hay un hexágono , que se muestra en la figura de la parte inferior derecha.

En términos generales, la suma de dos polígonos sigue siendo un polígono. Esta propiedad es cierta para un poliedro de cualquier dimensión.

Podemos notar la analogía entre la suma de Minkowski y el producto de convolución . De manera pictórica, podemos obtener la superficie de la suma A + B de dos conjuntos cubriendo B con pintura y haciendo que la superficie A pase por su centro . Por esta razón, la suma de Minkowski a veces se llama convolución de A y B .

Obviamente, la suma de un conjunto A y un singleton { b } corresponde a la traslación de A por el vector b .

Difícilmente es más complejo darse cuenta de que la suma de dos cuadrados sigue siendo un cuadrado. De manera más general, si C es un convexo , simétrico con respecto al origen, la suma C + C es igual al convexo 2 C , aquí 2 C denota la dilatación de la razón 2. La demostración es un poco más sutil, es análoga al lema preliminar utilizado en la demostración del teorema de Minkowski . Para darnos cuenta de esto, podemos notar que cualquier elemento de 2C es un elemento de C + C , a la inversa, sea u + v un elemento de C + C , también se escribe como el doble de 1/2 ( u + v ), o este elemento está en C .

Podemos citar un último ejemplo, que encontramos en el artículo teorema isoperimétrico . Sea C un compacto convexo de un plano euclidiano y P un polígono convexo cuyos vértices están todos en el borde de C y cuyo borde más grande tiene una longitud aumentada en ε. Entonces, la suma de P y el centro del disco y el radio del vector cero ε contienen C convexo compacto . Esta propiedad es un paso para establecer que no hay un área de superficie mayor que el disco con el mismo perímetro.

Primeras propiedades

Esta operación es conmutativa , asociativa , tiene como elemento neutro el singleton {0}. También es distributivo con respecto a la reunión.

A + (B \ taza C) = (A + B) \ taza (A + C)

Desde un punto de vista topológico

la suma de dos partes abiertas está abierta (como una reunión de traducciones de B, por ejemplo)
la suma de dos partes compactas es compacta (por el teorema de Bolzano-Weierstrass en el caso metrizable , o como una imagen continua del producto de dos compactos en cualquier grupo topológico )
la suma de dos partes convexas es convexa
la suma, restringida a conjuntos no vacíos cerrados y acotados, es una operación semicontinua superior (cf. distancia de Hausdorff ) .

Nota : La suma de dos partes cerradas no es necesariamente cerrada: por ejemplo, tomando en el plano la línea de las abscisas y la hipérbola xy = 1, su suma forma el plano privado de una línea. Sin embargo, la suma de un cerrado y un compacto es cerrado.

Fórmula Steiner-Minkowski

Dimensión 2

Se descubrió la fórmula de Steiner para probar el teorema isoperimétrico . En la dimensión 2, establece que si C es una superficie de perímetro p , entonces su área es menor que la del disco de perímetro p . Si el perímetro p no es finito, como para un compacto construido con una curva de Koch , la fórmula sigue siendo exacta, pero ya no tiene ningún interés. El teorema toma la siguiente forma:

{\ Displaystyle p ^ {2} -4 \ pi a \ geq 0}

la igualdad se obtiene sólo en el caso de que el compacto C sea un disco.

Para demostrar esto, un enfoque consiste en estudiar el área de la suma de Minkowski de un convexo compacto C y tB , donde t denota un real positivo y B el disco unitario . Se encuentra la siguiente igualdad, si μ es la función de volumen para C combina su área y C es un conjunto convexo:

{\ Displaystyle \ mu (C + t {\ mathcal {B}}) = a + pt + \ pi t ^ {2}}

La función de volumen μ se define de forma muy general, corresponde a la medida de Lebesgue , que a un cuadrado de lado 1 asocia 1. El perímetro de una curva se define a la manera de Jordan , es decir que es igual hasta el límite superior de las longitudes de las líneas poligonales que se aproximan al borde. De esta forma, demostrar el teorema isoperimétrico equivale a demostrar que el polinomio cuadrático , que asocia μ ( C + tB ) con t , tiene un discriminante positivo, o que el polinomio admite una raíz real.

Esta fórmula también permite obtener una expresión para el perímetro p - siempre si C es convexo - en función de φ:

{\ Displaystyle \ forall t> 0 \ quad \ varphi (t) = \ mu (C + t {\ mathcal {B}}) \ quad {\ text {luego}} \ quad p = {\ frac {\ mathrm { d} \ varphi} {\ mathrm {d} t}} (0)}

Cualquier dimensión

Es tentador generalizar la fórmula, en un espacio euclidiano E de dimensión n . Podemos considerar la medida del volumen sC 1 + tC 2 , donde C 1 y C 2 son dos convexas compactas y s y t dos reales positivos. Obtenemos una expresión polinomial del tipo:

{\ Displaystyle \ mu (sC_ {1} + tC_ {2}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} V_ {k} (C_ {1}, C_ {2}) s ^ {k} t ^ {nk}}

Los coeficientes V k se denominan volúmenes mixtos de C 1 y C 2 .

Tenemos algunas igualdades obvias:

{\ Displaystyle V_ {0} (C_ {1}, C_ {2}) = \ mu (C_ {1}), \ quad V_ {n} (C_ {1}, C_ {2}) = \ mu (C_ {2}), \ quad V_ {k} (r_ {1} C_ {1}, r_ {2} C_ {2}) = r_ {1} ^ {k} r_ {2} ^ {nk} V_ {k } (C_ {1}, C_ {2})}

Otro es un poco más difícil de demostrar en el caso de que C 2 sea igual a B :

V _ {{n-1}} (C_ {1}, B) = \ lim _ {{t \ to 0}} {\ frac {\ mu (C_ {1} + tB)} t} = \ mu _ {{n-1}} (\ C_ parcial {1})

Aquí, n –1 denota el volumen ( n - 1) dimensional. La definición de una medida ( n - 1) dimensional se vuelve sutil. Un primer método consiste en generalizar la técnica utilizada en la dimensión 1, para un arco rectificable . Necesita ser adaptado y es específico para convexos. La medida del área es entonces el límite superior de los convexos poliédricos incluidos en C 1 . La convexidad es esencial, de lo contrario, el contraejemplo de la derecha muestra que la definición no tiene sentido. La superficie que queremos medir es un cilindro, el poliedro utilizado es una linterna cuyos vértices se ubican en hexágonos cada vez desplazados por una doceava parte de vuelta. Si los planos de los hexágonos se acercan cada vez más, la superficie del poliedro aumenta hasta el infinito. Otra técnica consiste en utilizar una forma diferencial y más precisamente una forma de volumen . La dificultad reside entonces en el hecho de que la superficie de un convexo no tiene por qué ser una variedad de clase C 1 . Se hace necesario utilizar espacios comparables a los de Sobolev para definir la superficie. $\ mu$

Los volúmenes mixtos verifican una marca utilizada para demostrar la desigualdad isoperimétrica para dimensiones mayores que 2. Lleva el nombre de desigualdad de Aleksandrov - Fenchel :

{\ Displaystyle \ forall i \ in [1, n-1] \ quad V_ {k} (C_ {1}, C_ {2}) ^ {2} \ leq V_ {k-1} (C_ {1}, C_ {2}) V_ {k + 1} (C_ {1}, C_ {2})}

. Demostraciones

Aquí, E denota un espacio euclidiano de dimensión n .

Si P es un poliedro compacto y convexo de E , la función a la que ( s , t ) asocia la medida μ ( sP + tB ) es un polinomio homogéneo de grado n :

Denote con M esta medida. M es la suma de la medida μ ( sP ) y la corteza sumada por la suma de tB . El término asociado con la medición de μ ( sP ) es una constante multiplicada por s n .

En cada cara encontramos un hipercubo H i 1 de dimensión n , con base la cara en cuestión y altura t de dimensión n - 1 y midiendo el producto de una constante por s n-1 . Cada una de estas caras contribuye al volumen μ ( P + tB ) en forma de expresión lineal en s n-1 . t .

Entre estos hipercubos encontramos los intersticios H j 2 , que tienen la forma de un prisma, de borde la intersección de dos caras, y de dimensión n - 2, cuya medida es el producto de una constante con s n -2 y de lados dos caras de hipercubos H i 1 que tienen un borde de longitud t , el vértice es un compuesto del producto de un disco de radio ty de un hipercubo isomorfo al borde. Estos prismas son, por tanto, partes de un cilindro con un eje de un hipercubo de dimensión n - 2 y de radio r . Cada una de estas porciones de cilindro contribuye al volumen μ ( P + tB ) en forma de expresión en s n-2 . t 2 .

Las aristas de dimensión n - 2 tienen como extremos hipercubos de dimensión n - 3 que dejan espacio para intersticios, dejados vacíos por los sólidos H i 1 y H j 2 . Estos intersticios H k 3 , están llenos de primos, de aristas las intersecciones de las aristas precedentes, son de dimensión n - 3 y miden el producto de una constante y de s n-3 . Estas primas corresponden a porciones del producto de una bola de dimensión 3 y de hipercubos de borde de dimensión n - 3. Su suma corresponde a una expresión en s n-3 . t 3 .

Continuamos de esta manera hasta la dimensión 1, la intersección de los bordes es entonces de dimensión 0 y corresponde a un punto. El intersticio corresponde a una porción de una bola, cuya expresión es el producto de una constante por t n .

El término en s n corresponde a la medida de P , que en s n-1 . t para la medición de la superficie de P . Si s es igual a 0, notamos que el volumen es el de una bola de radio t , la constante es la asociada con el volumen n dimensional de una esfera.

Si C es un convexo compacto, no vacío de E , la función a la que ( s , t ) asocia la medida μ ( sC + tB ) es un polinomio homogéneo de grado n :

O ( C p ) una secuencia decreciente de poliedros convexos cuyo límite el Hausdorff significado es igual a C . El párrafo de conjunto denso del artículo de distancia de Hausdorff muestra que tal secuencia existe. Sea P p ( s , t ) el polinomio homogéneo de grado n al que a ( s , t ) asocia μ ( sC p + tB ), el objetivo es mostrar que la secuencia ( P p ) simplemente converge.

La secuencia ( sC p + tB ) es una secuencia de compactos, decrecientes para su inclusión, es necesariamente convergente en el sentido de Hausdorff, demostremos que el límite es igual a sC + tB . Cualquier conjunto de la secuencia contiene sC + tB , por lo que el límite contiene este conjunto. Por el contrario, si y no es un elemento de sC + tB , existe un número real estrictamente positivo ε tal que la bola con centro y y radio ε tiene una intersección cero con sC + tB porque este conjunto es cerrado. Deducimos que cualquier elemento de sC n está a una distancia mayor que t + ε de y . Si s no es cero, esto también significa que hay una mayor distancia que ( t + ε) / s de C . A partir de cierto N , para cualquier valor de p mayor que N , C p está a una distancia de y estrictamente mayor que t / s , y sC p + tB no puede contener y . Si s es cero, la secuencia sC p + tB es constante igual a tB y es trivialmente convergente.

Como la secuencia ( sC p + tB ) es una secuencia estrictamente decreciente de compactos, con límite sC + tB , y dado que la función μ es semicontinua superior, la secuencia μ ( sC p + tB ) es convergente (ver la sección Funciones continúa del artículo de Hausdorff's Distance ) . Lo que significa exactamente que la secuencia ( P p ) simplemente converge.

Cada polinomio de la secuencia ( P p ) es un polinomio homogéneo de grado n , esta secuencia forma parte del espacio vectorial de polinomios con dos variables de grado menor que ny es de dimensión finita. En este espacio, la topología de convergencia simple es compatible con la suma y la multiplicación externa, lo que significa que estas dos operaciones son continuas. Sin embargo, en un espacio vectorial real de dimensión finita, sólo existe una topología compatible con sus dos operaciones (cf. topología de un espacio vectorial de dimensión finita ) . Esta topología es inducida por cualquier norma , por ejemplo la de convergencia uniforme en el disco de radio r , donde r denota un número real estrictamente positivo. El espacio vectorial de polinomios con dos variables homogéneas de grado n es completo para esta norma, lo que muestra que la secuencia ( P p ) converge a un polinomio homogéneo P de grado n .

Este límite P es, por construcción, la función a la que ( s , t ) asocia μ ( sC + tB ), lo que prueba la proposición.

Desigualdad de Brunn-Minkowski

Demostrado por Hermann Brunn y Hermann Minkowski en el caso donde los dos compactos son convexos y luego en el caso general por Lazar Lyusternik (en) , la desigualdad de Brunn-Minkowski es una reducción del volumen de la suma de dos partes compactas de un espacio euclidiano. :

Sea E un espacio euclidiano de dimensión n , μ la medida de Lebesgue en E y A y B dos E compactos no vacíos . Se verifica la siguiente desigualdad:

\ mu (A + B) ^ {{1 / n}} \ geq \ mu (A) ^ {{1 / n}} + \ mu (B) ^ {{1 / n}}

. Demostración

El espacio E está equipado con una base ortonormal , luego está cuadriculado por una cuadrícula compuesta de hiperplanos cuyas direcciones son ortogonales a uno de los vectores de la base. Estos hiperplanos están espaciados regularmente, con un paso de 1/2 p , donde p es un número entero estrictamente positivo. Esta cuadrícula pavimentó el espacio utilizando pequeños hipercubos de bordes 1/2 p . La medida de Lebesgue elegida es la que asocia un hipercubo de lado de longitud 1 con el valor 1.

Estos hipercubos permiten aproximar un compacto. Por ejemplo, en la figura de la derecha, un pentágono regular se aproxima mediante cuadrados azules . Para refinar la cuadrícula es elegir un valor más alto para p . La figura de la derecha también ilustra una segunda aproximación mediante pequeños cuadrados rojos obtenidos para un incremento de 1 del valor p . El artículo sobre la distancia de Hausdorff muestra que esta técnica permite la construcción de una secuencia ( A n ) de compactos que contienen A y que se aproximan cada vez con mayor precisión a A , en el sentido de la distancia de Hausdorff.

La demostración que aquí se propone se desarrolla en tres etapas. Primero, lo probamos en el caso donde A es un hipercubo de la cuadrícula y B un hipercubo incluido en uno de los de la cuadrícula y cuyos bordes son todos de longitud a = 1/2 p excepto los paralelos al primer vector base que son de longitud λ. a . Aquí, λ denota un número real estrictamente positivo menor que 1.

En el caso de que A y B sean dos hipercubos descritos anteriormente, se verifica el aumento de Brunn-Minkowski:

El caso es lo suficientemente simple como para permitir un cálculo efectivo de las tres medidas.

\ mu (A) ^ {{{\ frac 1n}}} = a = {\ frac 1 {2 ^ {p}}}, \ quad \ mu (B) = \ lambda ^ {{{\ frac 1n}} } a \; {\ text {y}} \ quad \ mu (A + B) ^ {{{\ frac 1n}}} = (1+ \ lambda) ^ {{{\ frac 1n}}} 2 ^ { {{\ frac {n-1} n}}} a \;

Probar el límite superior en el presente caso equivale a mostrar que la función f de en R , donde R denota el conjunto de números reales, es estrictamente positiva, en y cero en 1.

{\ Displaystyle] 0.1]}

] 0,1 [

\ forall t \ in] 0,1] \ quad f (t) = (1+ \ lambda) ^ {{{\ frac 1n}}} 2 ^ {{{{\ frac {n-1} n}}} - \ lambda ^ {{{\ frac 1n}}} - 1 \;

Está claro que la función f es cero en el punto 1, basta con mostrar que es estrictamente decreciente para concluir. La función f es derivable en , basta para mostrar que su derivada es estrictamente negativa, lo cual se verifica fácilmente.

] 0,1 [

\ forall t \ in] 0,1 [\ quad f '(t) = {\ frac 1n} \ left (\ left ({\ frac 2 {1+ \ lambda}} \ right) ^ {{{\ frac { n-1} n}}} - \ left ({\ frac 1 {\ lambda}} \ right) ^ {{{\ frac {n-1} n}}} \ right) = {\ frac 1 {n \ lambda ^ {{{\ frac {n-1} n}}}}} \ left (\ left ({\ frac {2 \ lambda} {1+ \ lambda}} \ right) ^ {{{\ frac {n -1} n}}} - 1 \ right) <0

Ahora asumimos que A y B son dos uniones finitas de interiores de hipercubos de cuadrícula o partes de hipercubos abiertos cuyas coordenadas están entre 1/2 p . (Δ + λ) y 1/2 p . ( Δ + 1). Es decir, los hipercubos son del tipo de la proposición anterior. Los valores de q y r denotan el número de hipercubos cada componente A y B .

En el caso de que A y B sean dos compactos de la forma descrita anteriormente, se verifica el aumento de Brunn-Minkowski:

Razonamos por inducción sobre el número entero s igual a la suma de q y r . Si s es igual a 2, el resultado es una consecuencia directa de la proposición anterior. Asumimos el resultado establecido hasta un valor s 0 y suponemos que la suma de q y r es igual a s 0 + 1. separar el espacio euclidiano E en dos conectados por uno de los hiperplanos H A una ortogonal a l' de los vectores de la base ortonormal que define la cuadrícula. Existe un hiperplano de esta naturaleza que descompone A en dos aberturas separadas A 1 y A 2 de manera que A 2 comprende al menos un hipercubo y de tal manera que A 1 no es el conjunto vacío. A 1 y A 2 se componen entonces como máximo de q - 1 hipercubos. Denotamos por θ el siguiente número real estrictamente positivo:

\ theta = {\ frac {\ mu (A_ {1})} {\ mu (A)}} = {\ frac {\ mu (A_ {1})} {\ mu (A_ {1}) + \ mu (A_ {2})}}

Separamos B en dos conjuntos B 1 y B 2 por un hiperplano H B paralelo al anterior, de tal forma que:

{\ frac {\ mu (B_ {1})} {\ mu (B)}} = {\ frac {\ mu (B_ {1})} {\ mu (B_ {1}) + \ mu (B_ { 2})}} = \ theta

Ni B 1 ni B 2 contienen vectores del hiperplano H B , por lo tanto, B contiene pero no es necesariamente igual a la unión de B 1 y B 2 , pero como un subconjunto incluido en un hiperplano es de medida cero, la igualdad precedente es verificado. Esta vez, nada prueba que B 1 y B 2 contengan menos hipercubos que B , pero es cierto que no contienen más. Las propiedades de la suma de Minkowski muestran que:

{\ Displaystyle A + B \ supset (A_ {1} \ cup A_ {2}) + (B_ {1} \ cup B_ {2}) = (A_ {1} + B_ {1}) \; \ cup \ ; (A_ {1} + B_ {2}) \; \ taza \; (A_ {2} + B_ {1}) \; \ taza \; (A_ {2} + B_ {2})}

Considere el vector de la base ortonormal ortogonal a los dos hiperplanos H A y H B , las coordenadas de este vector de cualquier elemento de A 1 + B 1 son estrictamente menores que las de los vectores de A 2 + B 2 , lo que muestra que los dos conjuntos están separados y:

\ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {1} + B_ {1}) + \ mu (A_ {2} + B_ {2}) \;

Como A 1 y A 2 contienen estrictamente menos de q pequeños hipercubos y como B 1 y B 2 no contienen más de r , es posible aplicar la hipótesis de inducción:

\ mu (A + B) \ geq \ left (\ mu (A_ {1}) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu (B_ {1}) ^ {{{\ frac 1n}}}) \ right) ^ {n} + \ left (\ mu (A_ {2}) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu (B_ {2}) ^ {{{\ frac 1n}}}) \ derecha) ^ {n}

Lo que todavía podemos escribir:

\ mu (A + B) \ geq \ left ((\ theta \ mu (A)) ^ {{{\ frac 1n}}} + (\ theta \ mu (B)) ^ {{{\ frac 1n}} }) \ right) ^ {n} + \ left (((1- \ theta) \ mu (A)) ^ {{{\ frac 1n}}} + ((1- \ theta) \ mu (B)) ^ {{{\ frac 1n}}}) \ right) ^ {n} = (\ theta + 1- \ theta) \ left (\ mu (A) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu ( B) ^ {{{\ frac 1n}}} \ derecha) ^ {n}

Esto muestra el marcado que finaliza la demostración:

\ mu (A + B) \ geq \ left (\ mu (A) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu (B) ^ {{{\ frac 1n}}} \ right) ^ {n}

Ahora es posible probar el margen de beneficio de Brunn-Minkowski en el caso general. Para ello, se utiliza un cruce de límites utilizando la distancia de Hausdorff. Ε es un número real positivo y A y B dos E compactos . El objetivo de la prueba es mostrar que la suma de la medida de A + B y de ε efectivamente mayor al segundo miembro de la desigualdad. Usamos tres propiedades demostradas en el artículo Distancia de Hausdorff .

Si A y B son dos compactos no vacíos, la desigualdad de Brunn-Minkowski se cumple:

Primero, usamos la semicontinuidad superior de la función de medida para la distancia de Hausdorff. Si E H denota el conjunto de los compactos no vacíos de E y d la distancia Hausdorff:

\ existe \ eta> 0 \ quad \ forall C \ in E_ {H} \ quad d (A + B, C) <\ eta \ Rightarrow \ mu (A + B) + \ epsilon> \ mu (C)

El desafío ahora es construir el conjunto C correcto . Usamos la existencia de dos conjuntos compactos A ε y B ε que contienen estrictamente A y B y tales que:

\ mu (A _ {{\ epsilon}}) \ leq \ mu (A) + {\ frac {\ eta} 2} \ quad {\ text {et}} \ quad \ mu (B _ {{\ epsilon} }) \ leq \ mu (B) + {\ frac {\ eta} 2}

Los dos conjuntos A ε y B ε son uniones finitas de hipercubos cerrados de la cuadrícula, para un valor p suficientemente alto. La existencia de tales conjuntos proviene del hecho de que las uniones finitas de hipercubos cerrados tomadas en la cuadrícula forman un conjunto denso si p describe los números enteros positivos. La prueba de la continuidad de la suma de Minkowski para la distancia de Hausdorff (ver el artículo Distancia de Hausdorff ) muestra que:

d \ left (A + B, A _ {{\ epsilon}} + B _ {{{\ epsilon}} \ right) \ leq \ eta \;

Elegimos C igual a la suma de A ε y B ε , lo que muestra que:

\ mu (A + B) + \ epsilon> \ mu \ left (A _ {{\ epsilon}} + B _ {{\ epsilon}} \ right) \;

Eliminamos del conjunto A ε + B ε su intersección con los hiperplanos de la cuadrícula, lo que no modifica su medida. Estamos entonces en las hipótesis de la proposición anterior y:

\ mu (A + B) + \ epsilon> \ mu \ left (A _ {{\ epsilon}} + B _ {{\ epsilon}} \ right) \ geq \ mu \ left (A _ {{o \ epsilon }} + B _ {{o \ epsilon}} \ right) \ geq \ left (\ mu (A _ {{o \ epsilon}}) ^ {{{{\ frac 1n}}} + \ mu (B _ {{o \ epsilon}}) ^ {{{\ frac 1n}}} \ right) ^ {n}

Aquí, A oε y B oε denotan los conjuntos A ε y B ε eliminados de sus intersecciones con los hiperplanos de la cuadrícula. Agregar esta intersección de ninguna manera modifica las medidas, lo que muestra que:

\ mu (A + B) + \ epsilon> \ left (\ mu (A _ {{\ epsilon}}) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu (B _ {{{\ epsilon}}) ^ {{{\ frac 1n}}} \ right) ^ {n}

Por supuesto, los conjuntos A varepsilon y B ε contienen A y B . Su medida es mayor y:

\ mu (A + B) + \ epsilon> \ left (\ mu (A) ^ {{{\ frac 1n}}} + \ mu (B) ^ {{{\ frac 1n}}} \ right) ^ { no}

Este aumento es cierto para cualquier valor estrictamente positivo de ε, que muestra el resultado deseado.

Si los dos compactos A y B son convexos y homotéticos, hay igualdad.

Notas y referencias

B. Teissier , Volúmenes de cuerpos convexos, geometría y álgebra , Instituto de Matemáticas de Jussieu. Lección dada el jueves 7 de octubre de 1999, escrita por C. Reydy, p. 8 .
Este ejemplo está tomado de Marcel Berger y Bernard Gostiaux , Geometría diferencial: variedades, curvas y superficies [ detalle de ediciones ] pag. 226 .
Para obtener más información, consulte (en) Herbert Federer , Teoría de medidas geométricas , Springer-Verlag 1969 ( ISBN 978-3-540-60656-7 ) , 3.2.37, 3.2.39, 3.2.26.
(en) AD Alexandrov, Obras seleccionadas , CRC 2002 ( ISBN 2881249841 ) .
(de) H. Brunn , Über Ovale und Eiflächen , Múnich,1887 (tesis).
(de) Hermann Minkowski , Geometrie der Zahlen , Leipzig, Teubner ,1896.
(De) Lazar A. Lyusternik , “ Die Brunn - Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen ” , CR Acad. Sci. URSS , vol. 8,1935, p. 55-58.
Bernard Maurey , “La desigualdad de Brunn-Minkowski-Lusternik y otras desigualdades geométricas y funcionales ”, Séminaire Bourbaki , t. 46, 2003-2004, pág. 95-114 ( leer en línea ).
(en) Jiri Matousek , Conferencias sobre geometría discreta [ ediciones minoristas ], p. 297 .
Frank Barthe, " La desigualdad de Brunn-Minkowski " , en Imágenes de las matemáticas ,2006.
Se inspira directamente en una generalización en dimensión n de ésta, en dimensión 2: (en) A. Treibergs, Desigualdades que implican la desigualdad isoperimétrica , Universidad de Utah , p. 16 .
Se da una prueba en dimensión n a: (en) RJ Gardner, “ La desigualdad de Brunn-Minkowski ”, en Bull. (Nueva Serie) Amer. Matemáticas. Soc. , Vuelo. 39, n ° 3, 2002, pág. 363 .

(en) Bernard Dacorogna , Introducción al cálculo de variaciones , Imperial College Press , 2004 ( ISBN 1860945082 )

Ver también

Enlace externo

M. Rousset, suma de triángulos de Minkowski , tesis de posgrado, Universidad Joseph Fourier , 1996