Derivado

En matemáticas , la derivada de una función de una variable real mide la magnitud del cambio en el valor de la función (valor de salida) en relación con un pequeño cambio en su argumento (valor de entrada). Los cálculos de derivadas son una herramienta fundamental del cálculo . Por ejemplo, la derivada de la posición de un objeto en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad (instantánea) del objeto.

La derivada de una función es una función que, con cualquier número para el que admite un número derivado, asocia este número derivado. La derivada en un punto de una función de varias variables reales, o con valores vectoriales , se denomina más comúnmente diferencial de la función en este punto y no se trata aquí. F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}

La derivada de una función en generalmente se denota o . F{\ Displaystyle f}X{\ Displaystyle x}F′(X){\ Displaystyle f '(x)}DFDX(X){\ Displaystyle {\ frac {{\ mathrm {d}} f} {{\ mathrm {d}} x}} (x)}

También usamos notaciones específicas, en particular en física , para designar la derivada con respecto al tiempo que se escribe con un punto sobre la letra ( ), la segunda derivada luego se escribe gracias a una diéresis sobre la letra. Esta notación se llama "notación de Newton  ". Con el mismo espíritu, las notaciones prima y segunda se utilizan para señalar la derivada con respecto al espacio. F˙{\ Displaystyle {\ dot {f}}}

En el análisis , el número derivado en un "punto" ( real ) de una función con valores variables y reales es la pendiente de la tangente al gráfico desde el punto . Es el coeficiente director de la aproximación afín de en  ; por lo tanto, este número se define solo si esta tangente, o esta aproximación, existe. La noción de derivada es una noción fundamental en el análisis que permite estudiar las variaciones de una función, construir tangentes a una curva y resolver problemas de optimización. X{\ Displaystyle x}F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}(X,F(X)){\ Displaystyle \ left (x, f (x) \ right)}F{\ Displaystyle f}X{\ Displaystyle x}

En ciencia, cuando una cantidad es función del tiempo , la derivada de esta cantidad da la velocidad instantánea de variación de esta cantidad y la derivada de la derivada da la aceleración . Por ejemplo, la velocidad instantánea de un objeto en movimiento es el valor en este instante de la derivada de su posición con respecto al tiempo, y su aceleración es el valor en este instante de la derivada con respecto al tiempo, de su velocidad.

Generalizamos la noción de derivada extendiéndola al campo complejo y luego hablamos de derivada compleja . Para una función de varias variables reales, hablamos de la derivada parcial con respecto a una de sus variables.

También hay una definición puramente algebraica de la derivada. Encontramos un ejemplo en el artículo polinomio formal .

Historia

Su creación está vinculada a una polémica entre dos matemáticos  : Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz . Sin embargo, encontramos en los matemáticos mayores los inicios de este tipo de cálculo: Pierre de Fermat e Isaac Barrow en particular. La historia del cálculo se remonta incluso a la Antigüedad , con Arquímedes .

La noción de número derivado nació en el XVII e  siglo en los escritos de Leibniz y las de Newton, que los nombres que fluxión y que lo define como "el cociente final de dos incrementos evanescentes". Es Lagrange (final de la XVIII ª  siglo) que es la notación f ( x ) , habitual hoy en día, para designar la derivada de f en x . También es a él a quien debemos el nombre de "derivado" para designar este concepto matemático.

Aproximación desde la pendiente de la tangente

Para acercarnos gráficamente a esta noción, comencemos por darnos una curva representativa de una función continua en un sistema de coordenadas cartesiano , es decir trazada con una sola línea de lápiz, y muy “suave”; diremos allí que la función asociada es diferenciable .

Cualquiera que sea el punto que se elija en la curva, se puede dibujar lo que se llama una tangente , es decir, una línea recta que sigue localmente la dirección de esta curva. Si dibujamos la curva y su tangente y nos acercamos haciendo zoom lo suficiente, será cada vez más difícil distinguir la curva de su tangente. Si la curva "sube" (es decir, si la función asociada es creciente), la tangente también será ascendente; a la inversa, si la función es decreciente, la tangente será descendente.

Si nos damos una abscisa para la que la función es diferenciable, llamamos número derivado de en el coeficiente director de la tangente a la curva en el punto de abscisas . Este real da información valiosa sobre el comportamiento local de una función  : es la medida algebraica de la velocidad a la que esta función cambia cuando cambia su variable. X0{\ Displaystyle x_ {0}}F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}X0{\ Displaystyle x_ {0}}X0{\ Displaystyle x_ {0}}

Por lo tanto, si el número derivado de una función es positivo en un intervalo, esta función aumentará en este mismo intervalo. Por el contrario, si es negativo, disminuirá. Cuando el número derivado es cero en un punto, la curva admite una tangente horizontal en este punto (para más detalles, consulte Función monotónica # Monotonía y signo de la derivada ).

Definicion formal

Sea una función real con valores reales definidos en cualquier unión de intervalos no triviales (es decir, no vacíos ni reducidos a un punto), y pertenecientes al interior del conjunto de definición . F{\ Displaystyle f} X0{\ Displaystyle x_ {0}}DF{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {f}}

Por todo eso , llamamos a la tasa de aumento de en y con un paso de la cantidad: h∈R∗{\ Displaystyle h \ in \ mathbb {R} ^ {*}}[X0,X0+h]⊂DF{\ Displaystyle [x_ {0}, x_ {0} + h] \ subconjunto {\ mathcal {D}} _ {f}}F{\ Displaystyle f}X0{\ Displaystyle x_ {0}}h{\ Displaystyle h}

tX0(h)=F(X0+h)-F(X0)h{\ Displaystyle t_ {x_ {0}} (h) = {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) \ over h}}

Es el coeficiente director de la línea que conecta los puntos de coordenadas y . (X0,F(X0)){\ Displaystyle \ left (x_ {0}, f (x_ {0}) \ right)}(X0+h,F(X0+h)){\ Displaystyle \ left (x_ {0} + h, f (x_ {0} + h) \ right)}

Si admite un límite finito ya que tiende a 0, decimos que es diferenciable en , en cuyo caso el número derivado de en es igual al límite de esta tasa de aumento. Luego notamos: tX0(h){\ Displaystyle t_ {x_ {0}} (h)}h{\ Displaystyle h}F{\ Displaystyle f}X0{\ Displaystyle x_ {0}}F{\ Displaystyle f}X0{\ Displaystyle x_ {0}}

F′(X0)=limh→0h≠0tX0(h)=limh→0h≠0F(X0+h)-F(X0)h{\ Displaystyle f '(x_ {0}) = \ lim _ {h \ to 0 \ sobre h \ neq 0} t_ {x_ {0}} (h) = \ lim _ {h \ to 0 \ sobre h \ neq 0} {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0}) \ over h}}

o equivalente:

F′(X0)=limX→X0X≠X0F(X)-F(X0)X-X0{\ Displaystyle f '(x_ {0}) = \ lim _ {x \ to x_ {0} \ encima de x \ neq x_ {0}} {f (x) -f (x_ {0}) \ over x- x_ {0}}}

Una función para la cual la tasa de aumento en un punto admite un límite finito (que es el número derivado) se dice que es diferenciable en este punto.

Este cálculo de límite equivale gráficamente a encontrar la pendiente de la tangente a la curva en este punto. Así, el número derivado de una función en un punto, si existe, es igual a la pendiente de la tangente a la curva representativa de la función en este punto:

La derivación también se puede definir para funciones de una variable real con valores en conjuntos distintos de . R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

Por ejemplo, una función de una variable real, con valores en , es diferenciable en si y solo si todas sus coordenadas son derivables en  ; y su derivada es la función cuyas coordenadas son las derivadas de las coordenadas de . Es un caso particular de funciones de una variable vectorial y con valores en un espacio vectorial normalizado o métrico . F{\ Displaystyle f}Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}X0{\ Displaystyle x_ {0}}X0{\ Displaystyle x_ {0}}F{\ Displaystyle f}

Derivabilidad y vínculo con continuidad

Normalmente, una función es diferenciable si no presenta “rugosidad”, rotura en pendiente o parte “vertical”.

Una función que no es continua en un punto no se puede diferenciar allí: como la función da un salto, no podemos definir una tangente, el límite de la tasa de cambio es infinito (la pendiente de la curva es vertical). Este es el caso, por ejemplo, de la función de signo en 0: sgn⁡(X){\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (x)}

• izquierdo 0, es decir ,  ;X<0{\ Displaystyle x <0}sgn⁡(X)=-1{\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = - 1}
• en 0  :;sgn⁡(0)=0{\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (0) = 0}
• a la derecha de 0, es decir ,  ;X>0{\ Displaystyle x> 0}sgn⁡(X)=+1{\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = + 1}

la tasa de cambio para un ancho es por lo tanto h{\ Displaystyle h}

(1-(-1))h{\ Displaystyle {\ frac {(1 - (- 1))} {h}}}

y tiende hacia cuando tiende hacia 0. Por otro lado, podemos definir una derivada en la izquierda - derivada en todas partes cero (tangente horizontal) en - y una derivada en la derecha - derivada también cero en . +∞{\ Displaystyle + \ infty}h{\ Displaystyle h}]-∞,0[{\ Displaystyle] - \ infty, 0 [}]0,+∞[{\ Displaystyle] 0, + \ infty [}

Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en este punto, pero lo contrario es falso.

Por ejemplo: la función de valor absolutoX↦|X|{\ Displaystyle x \ mapsto | x |} es continua pero no diferenciable en 0:

• a la izquierda de 0, es decir , la pendiente es  ;X<0{\ Displaystyle x <0}-1{\ Displaystyle -1}
• a la derecha de 0, es decir , la pendiente es .X>0{\ Displaystyle x> 0}+1{\ displaystyle +1}

Hay una tangente izquierda y una tangente derecha diferentes, la pendiente en 0 no está definida; la tasa de cambio no tiene un límite definido. Este es el caso general de las curvas con un punto angular.

Lo mismo ocurre con la función raíz cúbica, que tiene una tangente vertical en  : la tasa de cambio tiene un límite infinito. X=0{\ Displaystyle x = 0}

Función derivada

La derivabilidad es a priori una noción local (derivabilidad en un punto), pero con cualquier función podemos asociar su función derivada (pronunciada "  f prima"), dada por F:DF→R{\ Displaystyle f: {\ mathcal {D}} _ {f} \ to \ mathbb {R}} F′{\ Displaystyle f '}

F′:DF′→R,X↦F′(X){\ Displaystyle f '\ colon {\ mathcal {D}} _ {f'} \ rightarrow \ mathbb {R}, \ quad x \ mapsto f '(x)}

donde es el dominio de derivabilidad de (el subconjunto de formado por los puntos en los que es diferenciable). DF′{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {f '}}F{\ Displaystyle f}DF{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {f}}F{\ Displaystyle f}

Las funciones derivadas se utilizan en particular en el estudio de funciones reales y sus variaciones .

La única función (hasta una constante multiplicativa) igual a su derivada, es decir, la solución de la ecuación diferencial , es la función exponencial base . Algunas obras Toma esta propiedad, con la condición , como una definición de la exponencial. F′=F{\ Displaystyle f '= f}mi{\ Displaystyle \ mathrm {e}}F(0)=1{\ Displaystyle f (0) = 1}

Notaciones

Existen diferentes notaciones para expresar el valor de la derivada de una función en un punto . Nos distinguimos : F{\ Displaystyle f}a{\ Displaystyle a}

• notación Lagrange  :  ;F′(a){\ Displaystyle f '\ left (a \ right)}
• la notación de Leibniz  : o . En física, a veces nos damos cuenta . Esta última notación no es rigurosa porque es un número constante, que puede verse como una función constante  : rigurosamente, así se tiene  ;DFDX(a){\ Displaystyle {\ frac {{\ mathrm {d}} f} {{\ mathrm {d}} x}} (a)}DFDX|X=a{\ Displaystyle \ left. {\ frac {{\ mathrm {d}} f} {{\ mathrm {d}} x}} \ right | _ {x = a}}D(F(a))DX{\ Displaystyle {\ frac {{\ mathrm {d}} \ left (f (a) \ right)} {{\ mathrm {d}} x}}}F(a){\ Displaystyle f (a)}gramo:X↦gramo(X)=F(a){\ Displaystyle g: X \ mapsto g (X) = f (a)}D(F(a))DX=0{\ Displaystyle {\ frac {{\ mathrm {d}} \ left (f (a) \ right)} {{\ mathrm {d}} x}} = 0}
• Notación de Newton  : que se usa más bien en física para denotar una derivada con respecto al tiempo (se habla entonces de cálculo de fluxiones );F˙(a){\ Displaystyle {\ dot {f}} (a)}
• calificación de Euler  : .DXF(a){\ Displaystyle D_ {x} f (a)}

Estas notaciones también permiten escribir derivadas iteradas , esto se hace multiplicando el primo o el punto en la notación (por ejemplo , se puede escribir una segunda derivada o ). F″(a){\ Displaystyle f '' (a)}F¨(a){\ Displaystyle {\ ddot {f}} (a)}

Derivados habituales y reglas de derivación

F′{\ Displaystyle f '}a menudo se puede calcular directamente a partir de una expresión de , cuando se trata de una función "simple", utilizando la tabla de derivadas habitual . Para las funciones que se expresan como una combinación lineal de funciones simples, como un producto, cociente o compuesto, usamos un pequeño número de reglas algebraicas deducidas de la definición dada arriba. Las reglas más utilizadas son: F{\ Displaystyle f}

apellido	Regla	Términos y condiciones
Linealidad	(aF+gramo)′=aF′+gramo′{\ Displaystyle (af + g) ^ {\ prime} = af '+ g'}	Cualesquiera que sean las funciones reales a y derivables y . F{\ Displaystyle f}gramo{\ Displaystyle g}
Producto	(Fgramo)′=F′gramo+Fgramo′{\ Displaystyle (fg) ^ {\ prime} = f'g + fg '}	Cualesquiera que sean las funciones derivables y . F{\ Displaystyle f}gramo{\ Displaystyle g}
Contrarrestar	(1gramo)′=-gramo′gramo2{\ Displaystyle \ left ({1 \ over g} \ right) '= {- g' \ over g ^ {2}}}	Cualquiera que sea la función derivable que no cancela gramo{\ Displaystyle g} (caso especial de la siguiente línea) F:X↦1{\ Displaystyle f: x \ mapsto 1}
Cociente	(Fgramo)′=F′gramo-Fgramo′gramo2{\ Displaystyle \ left ({f \ over g} \ right) '= {f'g-fg' \ over g ^ {2}}}	Cualquiera que sea la función derivable y la función derivable que no se cancelan entre sí F{\ Displaystyle f}gramo{\ Displaystyle g}
Compuesto	(gramo∘F)′=(gramo′∘F)⋅F′{\ Displaystyle (g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ cdot f '}	Cualesquiera que sean las funciones derivables (y componibles) yF{\ Displaystyle f}gramo{\ Displaystyle g}
Recíproco	(F-1)′=1F′∘F-1{\ displaystyle (f ^ {- 1}) '= {\ frac {1} {f' \ circ f ^ {- 1}}}}	Cualquiera que sea la función biyectiva de recíproco , derivable de derivada que no se cancela en ningún punto F{\ Displaystyle f}F-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}

En particular, aquí están las reglas comunes deducidas de la derivada de compuestos:

apellido	Regla	Términos y condiciones
Potencia	(Fα)′=αFα-1F′{\ Displaystyle (f ^ {\ alpha}) ^ {\ prime} = \ alpha f ^ {\ alpha -1} f '}	Lo que sea , e incluso lo que sea siα∈Z{\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z}}α∈R{\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}F>0{\ Displaystyle f> 0}
Raíz	(F)′=F′2F{\ Displaystyle \ left ({\ sqrt {f}} \ right) '= {f' \ over 2 {\ sqrt {f}}}}	Cualquiera que sea la función diferenciable estrictamente positiva F{\ Displaystyle f} (caso especial de la línea anterior) α=1/2{\ Displaystyle \ alpha = 1/2}
Exponencial	(miF)′=miF⋅F′{\ displaystyle ({\ mbox {e}} ^ {f}) ^ {\ prime} = {\ mbox {e}} ^ {f} \ cdot f '}	Cualquier derivable F{\ Displaystyle f}
Logaritmo	(Iniciar sesiónB⁡F)′=F′F⋅en⁡B{\ Displaystyle (\ log _ {b} f) ^ {\ prime} = {f '\ over f \ cdot \ ln b}}	Cualquiera que sea la función diferenciable estrictamente positiva F{\ Displaystyle f}
Logaritmo natural	(en⁡F)′=F′F{\ Displaystyle (\ ln f) ^ {\ prime} = {f '\ over f}}	Cualquiera que sea la función diferenciable estrictamente positiva (caso de la línea anterior) F{\ Displaystyle f}B=mi{\ Displaystyle b = \ mathrm {e}}

Derivación digital

En el caso de una curva experimental, no tenemos una función analítica para describirla, sino una serie de valores ( x i  , y i ) . Por tanto, recurrimos a una derivación numérica, que simplemente consiste en aproximar el valor de la derivada en un punto i por la tasa de variación entre los puntos anterior y siguiente:

F′(XI)≃yI+1-yI-1XI+1-XI-1{\ Displaystyle f '(x_ {i}) \ simeq {\ frac {y_ {i + 1} -y_ {i-1}} {x_ {i + 1} -x_ {i-1}}}}

Gráficamente, esto equivale a reemplazar la tangente con el acorde. Esto se puede justificar con el teorema de los incrementos finitos  : sabemos que existe un punto del intervalo [ x i –1 , x i +1 ] para el cual la derivada es la pendiente de la cuerda, y si el intervalo es pequeño, entonces este punto está cerca del punto medio x i  . Este método se puede automatizar en calculadoras y computadoras programables.

Sin embargo, debe plantearse la cuestión de la exactitud de los resultados. Una informatización “ingenua” del método de cálculo puede dar lugar a resultados de poca precisión en determinados casos.

En una computadora, la precisión de los números está limitada por el modo de representación. Si se usa doble precisión de acuerdo con el estándar IEEE 754 , los números tienen aproximadamente 16 dígitos significativos. Por tanto, tenemos una precisión relativa del orden de 10 −16 (2 −52 exactamente). Denote por r este valor. Las calculadoras de bolsillo suelen admitir 10 dígitos significativos, es decir, r = 10 −10 .

Suponga que la diferencia y i + 1 - y i - 1 es menor que r , entonces la calculadora cometerá un gran error en el cálculo y el resultado será pobre; incluso, si la diferencia es muy pequeña, no "verá" ninguna diferencia entre los dos valores, y el resultado será 0. Si por ejemplo queremos tener la derivada alrededor de 2 de la función f ( x ) = x 2 , tomando una diferencia de 10 −13 entre los puntos:

x 1 = 1,999 999 999 999 9; x 2 = 2; x 3 = 2,000,000,000,000 1 δ = y 3 - y 1 = x 3 2 - x 1 2 ≈ 8 × 10 −13

Vemos que la diferencia entre los números, 8 × 10 −13 , está cerca de r . Por tanto, tendremos un error de redondeo . De hecho, el cálculo nos da en una computadora

f ' (2) ≈ 3.997

mientras que el resultado exacto es

f ' (2) = 2 × 2 1 = 4

o un error del 0,3%. En una calculadora, el resultado es ... F′(2)≈0{\ Displaystyle f '(2) \ approx 0}

El punto crítico es la elección de la diferencia h entre los valores de x . Un valor del orden de √ r es adecuado en muchos casos. Todavía nos faltan algunos elementos para este estudio; el problema se analiza en la sección Precisión de la derivada numérica a continuación.

Entonces :

• para una computadora que calcula con doble precisión, se puede tomar una diferencia de −8 entre los puntos;
• para una calculadora con 10 dígitos significativos, podemos tomar una diferencia de 10 −5 entre los puntos.

Precisión de la derivada numérica

Podemos acercarnos a la función mediante un polinomio llamado expansión limitada  : F{\ Displaystyle f}

F(X+h)=F(X)+F′(X)⋅h+F″(X)2⋅h2+O(h2){\ Displaystyle f (x + h) = f (x) + f '(x) \ cdot h + {\ frac {f' '(x)} {2}} \ cdot h ^ {2} + \ mathrm { O} (h ^ {2})}

Esto da como resultado una aproximación de la derivada en el orden 2:

F′(X)≃F(X+h)-F(X)h-F″(X)2⋅h≃F(X+h)-F(X)h{\ Displaystyle f '(x) \ simeq {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} - {\ frac {f' '(x)} {2}} \ cdot h \ simeq {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}.

Al hacerlo, cometemos un error de truncamiento de segundo orden.

mit=|F″(X)2|h{\ Displaystyle \ mathrm {E_ {t}} = \ left | {\ frac {f '' (x)} {2}} \ right | h}.

Además, la computadora comete un error de redondeo: la precisión relativa es r , la precisión absoluta en f ( x ) es | f ( x ) | r , y por lo tanto el error inducido en la derivada

mia=|F(X)|rh{\ Displaystyle \ mathrm {E_ {a}} = {\ frac {| f (x) | r} {h}}}.

Por tanto, el error total es

mi=mit+mia=|F″(X)2|h+|F(X)|rh{\ Displaystyle \ mathrm {E} = \ mathrm {E_ {t}} + \ mathrm {E_ {a}} = \ left | {\ frac {f '' (x)} {2}} \ right | h + {\ frac {| f (x) | r} {h}}}.

Esta función es convexa y admite un mínimo en

h¯=2r|F(X)||F″(X)|{\ Displaystyle {\ bar {h}} = {\ sqrt {\ frac {2r | f (x) |} {| f '' (x) |}}}}.

Por tanto, depende de la relación entre el valor de f y la curvatura f '' . Para las zonas donde la función f es "moderada" - es decir que f / f '' es del orden de la unidad -, podemos retener

h¯≃r{\ Displaystyle {\ bar {h}} \ simeq {\ sqrt {r}}}.

El error cometido en el primer término ("error de método") es de hecho mucho menor, ya que el método del párrafo anterior equivale a aproximar f ' ( x ) por  ; El mismo desarrollo limitado (tomado esta vez en el orden 3) muestra que luego cometemos un error del orden deF(X+h)-F(X-h)2h{\ Displaystyle {\ frac {f (x + h) -f (xh)} {2h}}}f '' ' ( x )/6 h 2 . Como resultado, el principal inconveniente de estos métodos de aproximación numérica proviene de los errores de redondeo.

Derivación gráfica

También es posible realizar una derivación gráfica, sin utilizar un cálculo. Nos acercamos a las tangentes por las cadenas como en el método numérico. Luego, dibujamos paralelos a estas líneas que pasan por un punto llamado polo P. Consideramos la intersección de estas líneas con la vertical que pasa por O, siendo el segmento [OP] horizontal. La altura v i de los segmentos así delimitados es proporcional a la pendiente a i  :

vI=OPAG×aI{\ Displaystyle v_ {i} = \ mathrm {OP} \ times a_ {i}}

por lo tanto, podemos informar esta altura en el gráfico y obtener una aproximación de la curva derivada. Por tanto, la escala del eje y es OP: 1.

Derivada de orden n

La segunda derivada, indicada , es la derivada de la derivada de , cuando existe: F″{\ displaystyle f ''}F{\ Displaystyle f}

F″=(F′)′{\ displaystyle f '' = (f ')'}

y la tercera derivada es la derivada de la segunda derivada, cuando existe:

F‴=(F″)′{\ displaystyle f '' '= (f' ')'}.

En general, definimos la derivada de orden n para una función n veces diferenciable por inducción  :

Dno+1FDXno+1=DDXDnoFDXno{\ Displaystyle {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {n + 1} f} {{\ mathrm {d}} x ^ {n + 1}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {n} f} {{\ mathrm {d}} x ^ {n}}}}

DnoFDXno{\ Displaystyle {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {n} f} {{\ mathrm {d}} x ^ {n}}}}también se observa . F(no){\ Displaystyle f ^ {(n)}}

Fórmula de Leibniz

Si f y g son funciones n veces diferenciables, entonces, mediante la aplicación de la regla del producto  :

(Fgramo)(no)=∑k=0no(nok)F(k)gramo(no-k){\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ elige k} f ^ {(k)} g ^ {(nk)}}.

En particular para n = 2 ,

(Fgramo)″=F″gramo+2F′gramo′+Fgramo″{\ displaystyle (fg) '' = f''g + 2f'g '+ fg' '}

Note la analogía con la fórmula binomial de Newton . Esto surge de la bilinealidad del operador de derivación de un producto.

Propiedades de funciones derivables

Teorema de rolle

Deje una y ayb dos números reales tales que un < b . Si f es continua en [ a , b ] , diferenciable en ] a , b [ , y si f ( a ) = f ( b ) , entonces existe (al menos) un número real c en ] a , b [ tal que :

F′(vs)=0{\ Displaystyle f '(c) = 0} .

Teorema de incrementos finitos

Estados Si una función f es continua en [ a , b ] , con a ≠ b , y derivable en ] a , b [ , entonces existe un punto c de ] a , b [ tal que el número derivado de f en este punto es la velocidad de cambio entre una y b F′(vs)=F(B)-F(a)B-a{\ Displaystyle f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}}.

En particular, si f ( a ) = f ( b ) , encontramos el teorema de Rolle, que también sirve para demostrar el resultado más general (ver el artículo detallado ), por lo que a menudo lo encontramos con el nombre de lema de Rolle.

Esta propiedad se utiliza en cinemática para determinar una aproximación del vector de velocidad a partir de una lectura puntual .

Teorema de darboux

Si f es derivable, su función derivada f ' no es necesariamente continua. Sin embargo, f ' tiene la propiedad de valores intermedios. Esto constituye el teorema de Darboux, que se puede formular de dos formas equivalentes:

si f diferenciable se define sobre un intervalo real I , entonces f ' ( I ) es un intervalo; si f ' ( a ) < f' ( b ) entonces, para todo t en [ f ' ( a ), f' ( b )] , existe c tal que f ' ( c ) = t .

Derivadas de funciones relacionadas

Muchos problemas involucran varias variables que están interrelacionadas y que varían con el tiempo.

La variación de una de estas variables dará una variación correspondiente de las otras variables.

La relación entre estas variaciones dependerá de las relaciones que existan entre las variables.

Ejemplo:

Un hombre se aleja de una torre de 60  m de altura a una velocidad de 8  km / ho aproximadamente 2,2  m / s .

¿Qué tan rápido se aleja de la parte superior de la torre cuando está a 80  m del pie de la torre?

Sabemos por relación pitagórica que la distancia entre el peatón y la cumbre es entonces de 100  m .

Con y y x , las distancias del peatón a la cima de la torre y al pie de la misma son funciones del tiempo unidas por la relación pitagórica:

y2=X2+602{\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {2} + 60 ^ {2}} involucrado y2(t)=X2(t)+602{\ Displaystyle y ^ {2} (t) = x ^ {2} (t) + 60 ^ {2}}

Derivando los dos miembros de esta igualdad, obtenemos:

2yDyDt=2XDXDt{\ Displaystyle 2y {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = 2x {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}implica  :DyDt=XyDXDt{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {x} {y}} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d } t}}}

la velocidad relativa a la parte superior de la torre es la relación entre la distancia en el suelo entre el peatón y el pie de la torre y la distancia entre el peatón y la parte superior de la torre multiplicada por la velocidad del peatón.

Cuando el peatón está a 80  m del pie de la torre:

DyDt=80100DXDt=810DXDt{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {80} {100}} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d } t}} = {\ frac {8} {10}} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}},

lo que equivale a decir que vale la pena la velocidad relativa a la cima de la torre . 810⋅8kmetroh=6,4kmetroh{\ Displaystyle {\ tfrac {8} {10}} \ cdot 8 \; {\ rm {{\ tfrac {km} {h}} = 6 {,} 4 \; {\ tfrac {km} {h}} }}}

La expresión anterior también permite expresar la velocidad medida en la parte superior de la torre en función del tiempo: si denotamos v ( t ) esto yv la velocidad constante de desplazamiento horizontal expresada en m / s, tenemos igualdad

X(t)=vt, y(t)=602+v2t2 y v(t)=vt602+v2t2v{\ Displaystyle x (t) = vt, \ y (t) = {\ sqrt {60 ^ {2} + v ^ {2} t ^ {2}}} \ {\ textrm {y}} \ v (t ) = {\ frac {vt} {\ sqrt {60 ^ {2} + v ^ {2} t ^ {2}}}} v}.

Análisis de una función derivada

Al encontrar los valores de x para los cuales la derivada es 0 o no existe, encontramos los números críticos de la función. Los números críticos de f permiten encontrar implícitamente sus máximos y mínimos. Al realizar la prueba de la primera derivada , construimos una tabla de variación  ; si el signo de la función derivada pasa de mayor a menor frente a un número crítico, tenemos un máximo y si el signo de la función derivada pasa de menor a mayor frente al número crítico, tenemos un mínimo.

Además, cuando el signo de la primera derivada es positivo, la función aumenta; si es negativo, está disminuyendo. No se concluye nada si en el punto crítico la función derivada no cambia de signo. Derivando la primera derivada, tenemos la segunda derivada . Al realizar la prueba de la segunda derivada , encontramos los números críticos de la primera derivada para colocarlos en la misma matriz; cuando observamos un cambio de signo de la segunda derivada frente a este o estos números críticos, decimos que tenemos uno (o más) puntos de inflexión . Los puntos de inflexión marcan un cambio en la concavidad de la función. Un signo positivo de la segunda derivada significa que la función es convexa y un signo negativo de la segunda derivada significa que la función es cóncava . Conociendo los cambios de concavidad y los extremos de la función, podemos luego dibujar un boceto de su representación gráfica.

Derivado y optimización

Método para optimizar el rendimiento mediante cálculo diferencial:

1. Matematización
   • Definiciones y dibujo: definimos las variables desconocidas y las representamos en un diagrama.
   • Escriba la función objetivo de dos variables y especifique si está buscando un máximo o un mínimo en la situación dada.
   • Encuentra la relación entre las dos variables.
   • Escribe la función objetivo en una variable y especifica el dominio de la función.
2. Análisis
   • Deriva la función para obtener la primera derivada.
   • Encuentre los números críticos de la función, donde la primera derivada es cero o no existe en los intervalos del dominio.
   • Realice la prueba de la primera derivada o la prueba de la segunda derivada para determinar el máximo o mínimo deseado de la situación.
3. La respuesta es concisa en relación con la pregunta.

Derivada algebraica

Los algebristas dan un significado ligeramente diferente al término derivado . Lo aplican a una estructura B llamada A- álgebra asociativa unitaria y conmutativa. Un mapa D , de B a B se llama derivación si:

• El mapa D es A - lineal .
• b 1 y b 2 son dos elementos de B , la derivada de b 1 . b 2 es igual a la suma del producto de la derivada de b 1 y de b 2 y del producto de b 1 con la derivada de b 2  :D(B1⋅B2)=D(B1)⋅B2+B1⋅D(B2){\ Displaystyle D (b_ {1} \ cdot b_ {2}) = D (b_ {1}) \ cdot b_ {2} + b_ {1} \ cdot D (b_ {2})}(en particular, la derivada del elemento neutro 1 B de B para la multiplicación es cero).

Un ejemplo de una derivación definida de esta manera se da en el polinomio formal del artículo .

Derivado fraccional

Otra generalización parte de la noción de derivada n -ésima para construir, usando la transformación de Laplace , una nueva función, la derivada t -eme, donde t es cualquier número real, y que coincide con la derivada iterada si t es un número entero y si el La función de arranque es suficientemente regular.

Derivación como aplicación lineal

La derivación es un mapa lineal , desde el espacio vectorial de las funciones diferenciables sobre un intervalo abierto no vacío I de ℝ y con valores reales, al de cualquier función de I en ℝ. Su núcleo está formado por funciones constantes y, de manera más general, cualquier λ real es un valor propio , con un subespacio propio asociado con la línea de todas las funciones de la forma con . X↦amiλX{\ Displaystyle x \ mapsto a \ mathrm {e} ^ {\ lambda x}}a∈R{\ Displaystyle a \ in \ mathbb {R}}

La derivación como endomorfismo espacial no admite una raíz cuadrada , es decir, si denotamos el operador de derivación, entonces no existe un mapa lineal tal que .mi=VS∞(I,VS){\ Displaystyle E = {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (I, \ mathbb {C})}D:mi→mi{\ Displaystyle D: E \ a E}T:mi→mi{\ Displaystyle T: E \ a E}T∘T=D{\ Displaystyle T \ circ T = D}

Notas y referencias

1. (en) Florian Cajori , A History of Mathematical Notations [ ediciones minoristas ], sección 575, vista previa en Google Books .
2. Cajori , sección 567, vista previa en Google Books .
3. (en) Michael Baudin, "  Scilab no es ingenuo  " en Scilab .org .
4. Este mapa no es sobreyectivo  : su imagen (el conjunto de funciones que admiten un primitivo ) no contiene, por ejemplo, funciones que presenten una discontinuidad del primer tipo , debido al teorema de Darboux ( ver arriba ).
5. Serge Francinou, Hervé Gianella y Serge Nicolas, Oraux X-ENS: Ejercicios matemáticos Álgebra 1 , t.  1, París, Cassini,2007, 372  p. ( ISBN  978-2-84225-132-1 ) , pág.  311.
6. Sin embargo, es posible, en un sentido amplio, definir una noción de derivada fraccionaria  ; para esta definición, la derivación de orden 1/2 es efectivamente una raíz cuadrada de la derivación habitual.
7. De hecho, si la línea y el plano son entonces estables por T , tendríamos y , o las dos ecuaciones y son incompatibles.ker⁡D≅VS0[X]{\ Displaystyle \ ker D \ cong \ mathbb {C} _ {0} [X]} ker⁡(D2)≅VS1[X]{\ Displaystyle \ ker (D ^ {2}) \ cong \ mathbb {C} _ {1} [X]}T(1)=a{\ Displaystyle T (1) = a}T(X)=BX+vs{\ Displaystyle T (X) = bX + c}0=T2(1)=a2{\ Displaystyle 0 = T ^ {2} (1) = a ^ {2}}1=T2(X)=B2X+vs(a+B){\ Displaystyle 1 = T ^ {2} (X) = b ^ {2} X + c (a + b)}

Ver también

Artículos relacionados

• Cualquier función continua con derivada cero excepto en un conjunto contable es constante, de acuerdo con el lema de Cousin o la desigualdad de incrementos finitos.
• Toda función absolutamente continua tiene derivada cero en casi todas partes también, de nuevo según el lema de Cousin
• Notaciones delta en la ciencia
• Función de derivada baja
• Subdiferencial de una función convexa
• Derivada de Radon-Nikodym de una medición a otra
• Cálculo infinitesimal
• Derivación 

Enlace externo

(en) Eric W. Weisstein , "  Derivative  " , en MathWorld

Bibliografía

Claude Wagschal, Derivación, integración. Con ejercicios corregidos , Hermann , 2012