Raíz cuadrada de dos

La raíz cuadrada de dos , denotada √ 2 (oa veces 2 1/2 ), se define como el único número real positivo que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número 2 , en otras palabras √2 × √2 = 2 . Es un número irracional , cuyo valor aproximado a 10 –9 es:

.

Calcular un valor aproximado de √2 ha sido un problema matemático durante siglos. Esta investigación ha permitido mejorar los algoritmos para el cálculo de la extracción de raíces cuadradas. En informática, esta investigación continuó con el fin de optimizar estos algoritmos reduciendo los tiempos de cálculo y el consumo de memoria.

Geométricamente, √2 es la relación de la diagonal de un cuadrado a su lado, también conocida como la relación de la hipotenusa de un isósceles derecho triángulo a uno de los lados del ángulo derecho, que es un caso especial del teorema de Pitágoras .

El número √2 se conoce desde hace mucho tiempo: en Mesopotamia , los escribas ya sabían calcular un valor aproximado muy preciso, en el primer tercio del segundo milenio antes de Cristo .

Es de suponer que a la V ª  siglo  aC. BC , los matemáticos griegos demostraron que la diagonal de un cuadrado y su lado eran inconmensurables , lo que equivale a decir que √2 es irracional . El estudio de la inconmensurabilidad jugó un papel importante en el desarrollo de las matemáticas griegas. Para los griegos, ni las fracciones ni los irracionales son números. Este paso lo dan los matemáticos árabes en el origen del álgebra .

Este número se utiliza en aplicaciones cotidianas:

Denominación

La expresión "  raíz cuadrada  " proviene de la notación geométrica europea que prevaleció antes de la notación algebraica , y más particularmente de una de las construcciones de √2 que se presentará en la sección dedicada a la historia  ; de hecho, los problemas matemáticos se han presentado a menudo en forma geométrica antes de reducirse a expresiones algebraicas. También se utilizó el término "radical de dos".

√2 a veces se denomina constante pitagórica , posiblemente debido a una leyenda que atribuye el descubrimiento de la irracionalidad de √2 a la escuela pitagórica .

√2 en la vida cotidiana

Tamaño de papel

Los tamaños de papel A, B y C de la norma ISO 216 , de uso común fuera de Norteamérica , fueron diseñados para verificar una propiedad notable: una hoja cortada en dos partes iguales por el ancho, produce dos hojas, similar al original; es decir con la misma relación largo / ancho. El área se reduce en un factor de 2 , esto solo es posible si esta relación es igual a √2; en la práctica, las dimensiones se redondean.

A continuación se muestran los valores aproximados de los tamaños A0 a A5 en función de √2.

Valores aproximados de las dimensiones de los formatos A0 a A5 expresados ​​en función de √2. En la práctica, las dimensiones se redondean.
formato longitud (m) ancho (m) área (m 2 )
A0 √√2 √√2 ⁄ √2 1
A1 √√2 ⁄ √2 √√2 ⁄ 2 1 ⁄ 2
A2 √√2 ⁄ 2 √√2 ⁄ (2√2) 1 ⁄ 4
A3 √√2 ⁄ (2√2) √√2 ⁄ 4 1 ⁄ 8
A4 √√2 ⁄ 4 √√2 ⁄ (4√2) 1 ⁄ 16

Las series B y C difieren de la serie A respectivamente en un factor de √√2 (~ 1,19) y √√√2 (~ 1,09).

Los factores de ampliación de 200%, 141%, 71%, 50% que ofrecen las fotocopiadoras son aproximaciones de (√2) n que permiten el cambio a tamaños de papel más grandes o más pequeños, ya sea físicamente o imprimiendo 2 n páginas por hoja.

Tenga en cuenta que en matemáticas, denotamos más fácilmente y .

Música

La escala de temperamento igual se construye de la siguiente manera: la relación de frecuencia entre las notas extremas de la octava es 2; y la escala se divide en doce semitonos de proporciones de frecuencia iguales ƒ. La relación de frecuencia entre la nota más alta y la más baja es, por tanto, ƒ  12 , que es igual, como se indicó anteriormente, a 2. El semitono tiene, por tanto, una relación ƒ = 2 1/12 .

Relaciones de frecuencia de las notas de la escala templada a la nota más baja.
hacer hacer ♯ re d ♯ medio fa fa ♯ suelo tierra ♯ la el ♯ Si hacer
1 2 1/12 2 1/6 2 1/4 2 1/3 2 5/12 √2 2 7/12 2 2/3 2 3/4 2 5/6 2 11/12 2

En este sistema, la cuarta aumentada ( C - F ♯) y la quinta disminuida (C-G ♭) son iguales y valen seis semitonos; tienen una relación de frecuencia de √2. El canto gregoriano utiliza este intervalo, el tritono , pero a finales de la Edad Media se evita sistemáticamente por considerarse demasiado disonante. Luego recibió el apodo de "  Diabolus in Musica ".

Electricidad

En electricidad , la tensión efectiva U eff de una corriente alterna sinusoidal monofásica , por ejemplo, 110  V o 220  V de la corriente doméstica, está vinculada a la amplitud de la tensión U max por

U max = U eff √2, también indicado Û = U√2,

o, en las aplicaciones más comunes:

U ef = 0,7 U máx .

Esto es más generalmente válido para el valor rms de las cantidades lineales de una onda sinusoidal. También notaremos que

20 log (U / √2) = 20 log U - 20 log √2 = 20 log U - log ((√2) 20 ) = 20 log U - log 1024 ≃ 20 log U - 3 .

Estamos hablando de ancho de banda a −3 decibeles.

Fotografía

Las aperturas de las cámaras siguen la secuencia estándar f / 1.4, f / 2 f / 2.8 f / 4 f / 5.6 f / 8 f / 11 f / 16 f / 22, f / 32,  etc. La relación entre dos aberturas consecutivas es un valor cercano a √2, que se ha elegido de modo que la relación de flujo luminoso sea ​​de 2 (flujo = diámetro²). Al reducir la apertura en una "muesca", el tiempo de exposición requerido se duplica o la sensibilidad de la película requerida se reduce en un factor de 2 .

En la práctica, la apertura indicada es un redondeo; la apertura real puede pegarse a la más cercana . Hay subdivisiones en los dispositivos modernos, a menudo en informes o .

Vínculo entre la apertura, el diámetro del diafragma y el flujo luminoso recibido en la exposición y sensibilidades fijas.
Apertura f / 1.4 f / 2 f / 2.8 f / 4 f / 5,6 f / 8 f / 11 F 16 f / 22 f / 32
Diámetro D d / √2 d / 2 d / 2√2 d / 4 d / 4√2 d / 8 d / 8√2 d / 16 d / 16√2
Flujo I I / 2 I / 4 I / 8 I / 16 I / 32 I / 64 I / 128 Yo / 256 I / 512

Duplicar un cuadrado

La cuestión de duplicar un cuadrado corresponde a la construcción de un cuadrado con un área doble que la de un cuadrado dado. Supongamos que tenemos un cuadrado de área 1 y tratamos de construir un cuadrado de área 2. Por definición, el cuadrado de área 1 tiene un lado de longitud 1 y el cuadrado de área 2 tiene la misma área que el de dos cuadrados. del área 1.

Hay dos formas sencillas de averiguarlo. Lo más directo es estudiar la figura de la izquierda. El cuadrado con el lado 1 está formado por dos triángulos, el que tiene el lado señalado como √2 está formado por exactamente cuatro triángulos del mismo tipo, por lo que tiene un área doble. Otra forma de darse cuenta de la razón dos entre las áreas de los cuadrados de la figura es el uso del teorema de Pitágoras . Un isósceles derecho triángulo de lado corto de longitud 1 tiene una hipotenusa de cuadrados igual a 1 + 1 = 2. Este hipotenusa es la diagonal de un cuadrado de lado de longitud 1.

El área de un cuadrado se obtiene multiplicando la longitud del lado por sí mismo. Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado del área 2 multiplicada por sí mismo es igual a 2. Por definición de √2, la longitud de este lado es √2.

También es posible, utilizando un círculo, duplicar el cuadrado sin cambiar su orientación. En la figura opuesta, el cuadrado grande tiene un área doble del cuadrado pequeño. Para convencerse de esto, basta con girar el cuadrado pequeño un octavo de vuelta. Por lo tanto, la razón de los lados de los dos cuadrados es √2. La figura de la izquierda ilustrará, para futuros matemáticos, la presencia de la raíz cuadrada de dos en el seno y el coseno del octavo de turno.

cos (45 °) = sin (45 °) = 1 / √2 = √2 / 2

Posteriormente, este trazado sedujo a muchos arquitectos como Andrea Palladio en su Villa Rotonda o en la Iglesia Redonda de Preslav . Se encuentra en el claustro de la catedral de Cahors donde la superficie del patio interior es igual a la superficie de la galería que lo rodea o en los cuadernos de Villard de Honnecourt .

Evidencia de irracionalidad

Estas son algunas de las muchas pruebas de que √ 2 es irracional . Varios de ellos solo usan conocimientos aritméticos mínimos, otros se generalizan reemplazando √ 2 por √ n donde el número natural n no es un cuadrado perfecto (ver el artículo "  Cuadrático irracional  "). Algunas son reformulaciones, con lenguaje y conceptos matemáticos actuales, de pruebas antiguas o supuestas ( cf. § Historia ).

A menudo proceden del absurdo , suponiendo que √ 2 es, por el contrario, racional , es decir que puede escribirse en la forma p / q para ciertos enteros q > 0 yp , luego deduciendo una contradicción de esta hipótesis √ 2 = p / q , que también se escribe p 2 = 2 q 2 .

Por paridad

Sea p el menor entero estrictamente positivo tal que p 2 sea ​​el doble de un cuadrado, y sea q el entero positivo tal que p 2 = 2 q 2 . Entonces, p > q (ya que p 2 > q 2 ) yp es par (ya que su cuadrado es) . Al señalar p = 2 r y simplificar por 2, la ecuación se reescribe q 2 = 2 r 2 , con 0 < q < p , lo que contradice la mínimaidad en la elección de p .

Una variante consiste en practicar un descenso infinito desde una solución (hipotética) p 2 = 2 q 2  : construimos r como arriba, luego s , t ,  etc. tal que p 2 = 2 q 2 , q 2 = 2 r 2 , r 2 = 2 s 2 … y p > q > r > s >… , lo cual es absurdo ya que no hay una secuencia infinita estrictamente decreciente de enteros positivos.

Por resta recíproca

Deje de nuevo p y q números enteros> 0 tal que p / q = √ 2 con pq tan pequeño como sea posible o, lo que equivale a lo mismo, q tan pequeño como sea posible. Deducimos de p 2 = 2 q 2 que p ( p - q ) = p 2 - pq = 2 q 2 - pq = (2 q - p ) q , por lo tanto , estableciendo

r = p - q y s = 2 q - p  :

p / q = s / r , lo que contradice la minimidad de q , ya que 0 < r < q .

En resumen: sea q el número entero más pequeño> 0 tal que q √ 2 es un número entero, entonces q √ 2 - q sigue siendo un número entero que es estrictamente menor que q , por lo tanto, una contradicción.

(Podemos, como antes, transformar este razonamiento en un descenso infinito).

Por un argumento geométrico

Probar la irracionalidad de √2 equivale a demostrar que, para una unidad dada, no existe un triángulo isósceles recto cuyos lados midan cada uno un número entero de unidades.

Si tal triángulo existe, entonces necesariamente existe uno más pequeño cuyos lados también son de longitud completa (su construcción se da en el dibujo opuesto y se detalla a continuación). Sin embargo, si tal triángulo existe, necesariamente existe un mínimo que tiene esta propiedad (aquel cuyo lado del ángulo recto, por ejemplo, es mínimo ) de donde una contradicción.

Sea ABC un triángulo isósceles recto en B con lados enteros. Entonces, el círculo centrado en A con un radio de la longitud del lado corto AB interseca la hipotenusa [AC] en un punto B 'tal que B'C todavía es de longitud completa, ya que AC y AB' lo son. La perpendicular que conduce en B 'a la hipotenusa [AC] interseca el lado [BC] en A'. El triángulo A'B'C es isósceles recto en B ', ya que el ángulo en B es recto y el ángulo en C es el del triángulo original. Las rectas (A'B) y (A'B ') son las tangentes de A' al círculo con centro A y radio AB = AB ', y por lo tanto A'B = A'B', por lo tanto A'B = A 'B' = B'C, y A'C es de longitud completa. También se puede interpretar la construcción como el plegado del triángulo ABC en el que se devuelve el lado [AB] de la hipotenusa.

Podemos, al explicar los cálculos de los lados del triángulo, dar una versión puramente aritmética de esta demostración que es entonces la del párrafo anterior (tome p = AC yq = AB = BC).

Por lema gaussiano

Sea q el número entero más pequeño> 0 tal que el número p  : = q √ 2 es un número entero, entonces q es primo con p , o divide p 2 . Por lo tanto, es igual a 1 y p 2 = 2, lo cual es imposible. Es, particularizado a 2, un argumento general que muestra que la raíz cuadrada de un número entero que no es un cuadrado perfecto es irracional.

Por el teorema fundamental de la aritmética

El par ( p , q ) tal que p 2 = 2 q 2 siendo esta vez arbitrario (es decir, q no necesariamente mínimo), la contradicción proviene del hecho de que en la descomposición en producto de factores primos , p 2 tiene un número par de factores y 2 q 2 un número impar. Una variación es contar solo los factores iguales a 2. Este argumento, nuevamente, se ajusta inmediatamente a la raíz cuadrada de un número entero que no es un cuadrado perfecto.

Por congruencias

Con p y q prime el uno al otro que el anterior, por lo tanto, no tanto divisible por 3, p 2 - 2 q 2 no puede ser cero desde modulo 3, es congruente con 0 2 - 2 × (± 1) 2 o (± 1) 2 - 2 × 0 2 o (± 1) 2 - 2 × (± 1) 2 , es decir , ± 1. (Usando la noción de inverso modular , podemos, en este método, reemplazar 3 por cualquier número primo P de manera que 2 no sea un cuadrado de módulo P , es decir , P congruente con 3 o 5 módulo 8 ).

Construcciones geométricas

Construcción de √2 con regla y compás

Como todas las raíces cuadradas de números enteros, √2 se puede construir con una regla y un compás  ; a la inversa , este no es el caso con la raíz cúbica de 2, por ejemplo.

Dado un segmento AB de longitud unitaria, estos son los diferentes pasos para construir un segmento de longitud √2 con una regla sin clasificar y un compás  :

  1. Dibuja el B ′ simétrico de B con respecto a A
    • Dibuja el círculo C 1 con centro A y radio AB, interseca la media línea ] BA) en B ′
  2. Dibuja la bisectriz perpendicular (AH) de [BB ′]
    • Dibuja el círculo C 2 con centro B y radio r > AB
    • Dibuja el círculo C 3 con centro B ′ y radio r , corta C 2 en dos puntos, H y H ′
    • Dibuja el segmento [AH] que interseca a C 1 en un punto C.

En esta etapa se construye el segmento [BC] de longitud √2.

Construcción de √2 solo con brújula

Como cualquier número que se puede construir con una regla y una brújula, √2 se puede construir solo con una brújula . Las etapas de una posible construcción son:

  1. Dibuja cuatro vértices consecutivos B, G, H, I del hexágono regular con centro A y vértice B; esto permite construir √3, siendo la unidad la longitud AB.
    • Dibuja el círculo C 1 con centro A y radio AB;
    • Dibuja el círculo C 2 con centro B y radio AB, corta C 1 en dos puntos, sea G uno de ellos;
    • Dibuja el círculo C 3 con centro G y radio AB, corta C 1 en B y H;
    • Dibuja el círculo C 4 con centro H y radio AB, corta C 1 en G e I;
  2. Construya un triángulo rectángulo ABC de hipotenusa BC = √3 (AB = 1); C es uno de los dos puntos tales que IC = IG y BC = BH (sabiendo que IG = BH = √3> IB / 2 = 1).
    • Dibuja el círculo C 5 con centro I y radio IG;
    • Dibuja el círculo C 6 con centro B y radio BH (= IG), corta C 5 en C.

En esta etapa se construye el segmento [AC] de longitud √2.

Elementos de prueba: IC = IG = √3, porque según el teorema de Pitágoras , las alturas en I y G de los triángulos equiláteros del lado 1, IHA y HAG, que están soportados por la bisectriz perpendicular de (H, A), tienen la longitud √3 / 2. Por construcción (A y C en la bisectriz perpendicular de BI) (AC) es perpendicular a (AI) y el teorema de Pitágoras en IAC da AC² = 2 .

Historia

El período paleobabilónico

La cultura matemática del período paleobabilónico es ante todo algorítmica. Tiene un sistema de numeración con notación posicional . Algunas tablillas, como la anotada en BM 13901 , muestran un buen conocimiento de las preguntas cuadráticas , probablemente tratadas con métodos geométricos simples, copiando y pegando áreas rectangulares. Además de tener métodos de resolución, los babilonios saben cómo calcular aproximaciones de raíces cuadradas. La tablilla YBC 7289 , escrita en el primer tercio del segundo milenio antes de Cristo, da una aproximación de √2, interpretada como la relación entre la diagonal del cuadrado y el lado, en la siguiente forma:

1  204  501  10

Esta escritura corresponde a la mejor aproximación posible de √2 con cuatro cifras significativas en numeración babilónica ( base 60). La aproximación es precisa a la millonésima. Denota conocimiento de un algoritmo de aproximación de raíz cuadrada, pero no se sabe cuál. Podría ser del método Heron , que sigue siendo uno de los más eficaces en la actualidad.

India védica

Los Śulba-Sūtras , textos rituales indios del período védico, establecen reglas geométricas para la construcción de altares de sacrificio. la fecha de su composición es difícil de determinar, la más antigua podría haber sido compuesta entre el 800 y el 500 a. C. AD . Dan un enunciado de lo que ahora llamamos el Teorema de Pitágoras , incluido el caso especial de la diagonal del cuadrado, que permite duplicar su área. También proporcionan una regla para calcular la longitud de esta diagonal en función del lado, que es equivalente a una aproximación racional notablemente precisa de √2:

,

o alrededor de 1,4142157 , un valor con una precisión de poco más de 2 millonésimas. Uno de los Śulba-sūtra, el de Kātyāyana, especifica que este es solo un valor aproximado. Los tratados no dan ninguna indicación de cómo se derivó esta fórmula, aunque los historiadores han propuesto varios métodos.

Grecia antigua

Los matemáticos de la antigua Grecia han descubierto y demostrado la irracionalidad de √2 en un momento en que es difícil de determinar, a más tardar, en las primeras décadas de la IV ª  siglo  aC. AD , y probablemente no antes de la V ª  siglo  aC. AD . No lo expresaron así: para ellos no se trata de un número √2, sino de una relación (en el sentido de una relación) entre la diagonal y el lado del cuadrado, y muestran que esos - estos son inconmensurables , es decir que no se puede encontrar un segmento unitario, por pequeño que sea, con el que medir exactamente estas dos longitudes.

El descubrimiento de la irracionalidad, su fecha, las circunstancias que la condujeron, sus consecuencias, la naturaleza de las primeras manifestaciones ... todo ello ha dado lugar a una gran cantidad de trabajo entre los historiadores, sin que, sin embargo, estos lleguen a una conclusión. consenso.

No tenemos evidencias arqueológicas similares a las tablillas de arcilla de los babilonios, para las matemáticas de la antigua Grecia , sino textos transmitidos por tradición, por copia y copia. El primero nos han llegado datan del IV °  siglo  antes de Cristo. AD , en obras donde las matemáticas no son el objetivo primordial, los escritos de Platón , luego los de Aristóteles .

Platón y Aristóteles

En un conocido pasaje del Menón , Platón representa Sócrates hacer un joven esclavo descubrir la duplicación de la plaza , mediante la construcción de una plaza en la diagonal. Sócrates quiere convencer a Meno de que el joven esclavo redescubre un conocimiento que ya está en él. Pero, para David Fowler, que fecha el texto del 385 a. C. AD , también es el primer testimonio directo sustancial de la práctica de las matemáticas griegas.

La primera mención conocida de inconmensurabilidad también se debe a Platón, en una obra posterior, El Theaetetus , donde describe a Teodoro de Cirene exponiendo lo que corresponde a la irracionalidad de las raíces cuadradas de los números del 3 al 17 que no son cuadrados perfectos. Deducimos de este pasaje que la irracionalidad de √2 es bien conocido en el momento cuando Platón escribió, incluso uno donde Theodore se supone que enseñar, ser las primeras décadas de la IV ª  siglo  aC. AD .

En el Organon , Aristóteles toma como ejemplo de razonamiento por contradicción lo que conduce a la inconmensurabilidad de la diagonal, y especifica (en dos lugares) que la hipótesis de conmensurabilidad lleva a que un número par sea igual a uno. La indicación es imprecisa, pero es la más antigua que tenemos de una demostración. Aristóteles también toma regularmente como ejemplo en sus obras la inconmensurabilidad de la diagonal lateral.

Euclides

En los Elementos de Euclides , el primer tratado matemático que ha sobrevivido, escrito alrededor de -300, el tratamiento de la inconmensurabilidad ya está muy desarrollado. La inconmensurabilidad se define y trata en el Libro X , y la Proposición 2 da una caracterización de la misma mediante un proceso de sustracciones alternas, antiféresis , análogo a lo que ahora llamamos el algoritmo de Euclides en aritmética (una división puede verse como una serie de sustracciones) y continuó. fracción para números reales (las cantidades son inconmensurables si siempre hay un resto, el proceso continúa indefinidamente). La proposición 9 permite la relación con las propiedades aritméticas tratadas en el libro VII y el libro VIII . Ciertas ediciones antiguas del libro X añaden una proposición (a veces numerada 117) que trata directamente con la irracionalidad de √2 (la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado y su lado) mediante un argumento de paridad y un descenso infinito. Pero éste no encaja con el resto del texto, podría haber sido agregado por su interés histórico, y muy posiblemente después de Euclides. Ella parece estar detrás de otra manifestación, siempre basado en un argumento de paridad dada en el comentario de uno de los pasajes de Aristóteles citado arriba por Alejandro de Afrodisia en II °  siglo ( AD. DC. ), La más antigua completa y verdaderamente fechable que ha llegado hasta nosotros (por la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado y su lado).

Hipótesis y reconstrucciones

Lo que se pueda saber sobre el descubrimiento de la irracionalidad depende, además de estos elementos, de fragmentos de textos antiguos de autores posteriores, en particular los de una historia (perdida) de un alumno de Aristóteles, Eudemo de Rodas y, más en general, de textos históricos tardíos, cuya fiabilidad no es obvia.

Existen también varias tesis tanto para el contexto y las causas del descubrimiento de la inconmensurabilidad, como para sus primeras demostraciones, reduciéndose los historiadores a reconstituirlas, de manera coherente con el conocimiento (asumido) de la época. Estos reconstrucción especulativa desarrollado a finales del XIX °  siglo y el XX °  siglo, están lejos de ser convergente y sigue siendo objeto de debate.

El par y el impar

Muy a menudo, √2 (la diagonal del cuadrado) toma el primer papel, en particular porque una prueba por paridad (el principio es el de la primera prueba de irracionalidad anterior) requiere como único conocimiento aritmético la dicotomía entre números pares e impares, y puede recuperar a partir del conocimiento aritmético que los historiadores creen que puede ser las de los matemáticos griegos de la V ª  siglo  aC. AD . Entonces sería a esto a lo que alude Aristóteles.

Anféresis

Otra posibilidad es confiar en la proposición X, 2 de Euclides (citada anteriormente) que podría dar testimonio de antiguas demostraciones particulares de irracionalidad por anféresis (sustracciones alternativas como el algoritmo de Euclides). Sin embargo, tales demostraciones no aparecen en Euclides, ni en ningún texto griego antiguo que nos haya llegado. Matemáticamente el principio es el expuesto anteriormente en la segunda (versión aritmética) y la tercera demostración (versión geométrica) . El hecho de encontrar la misma figura en la versión geométrica, muestra que el proceso de sustracciones recíprocas por lo tanto continúa indefinidamente para concluir por la proposición X, 2. Sin embargo, debe admitirse que un segmento es divisible en el infinito, y para eso Euclides basa su la proposición X, 2 sobre la proposición X, 1 (que trata de la dicotomía ), y usa el “  axioma de Arquímedes  ”, atribuido a Eudoxo y presente en los Elementos. Tal repetición ocurre para cualquier cuadrático irracional , corresponde al desarrollo periódico de su fracción continua . Esta periodicidad hace operativa la caracterización euclidiana de las razones correspondientes a estos números. En el caso de √2 es inmediato, en un solo paso, y se ilustra fácilmente geométricamente. Este es también el caso de la proporción en razón extrema y media (nuestra proporción áurea ), que es la proporción entre una diagonal y el lado del pentágono , lo que ha llevado a algunos historiadores a considerar que esta proporción, en lugar de √ 2, condujo al descubrimiento de la irracionalidad.

Estas posibilidades no son necesariamente contradictorias, habiéndose hecho el descubrimiento de la irracionalidad con respecto a la diagonal del cuadrado y / o la del pentágono por un proceso similar a la antiféresis y la (s) primera (s) demostración (es) proceden por par y por impar.

Hacia el número √2

La historia de la raíz de dos luego se fusiona con la de la raíz cuadrada y más en general de los irracionales, en unas pocas líneas:

  • los griegos, con el Libro V de los Elementos , conciben lo que llamamos racionales o reales como proporciones, y no números, una teoría "sutil pero no directamente operativa";
  • mientras que la tradición aritmética-algebraica de Diofanto de al-Khwarizmi a principios IX ª  siglo , está restringida a los números racionales positivos , los matemáticos del mundo árabe-musulmán como Abu Kamil de la X ª  siglo , a continuación, al-Karaji y Al-Samaw' al , desarrollar un álgebra y un cálculo que incluya números irracionales, este último y Al-Kashi usan aproximaciones decimales en el caso de irracionales;
  • Omar Khayyam desarrolla XI º  siglo una teoría de las proporciones en que estos son números, aunque inconmensurable también son llamados no aptos, obras que se extiende Nasir al-Din Tusi en el XIII º  siglo  ;
  • Europa va a asimilar estos conceptos tardíamente, el trabajo de los matemáticos del mundo árabe-musulmán, especialmente los de al-Tusi, son conocidos en Europa en el XVI °  siglo , un periodo de controversia sobre si irracional merecen el estatus de número, es por lo esta vez que se difunda el uso del símbolo √;
  • aunque el debate continúa XVII º  siglo , que finalmente asiente con el desarrollo de álgebra y cálculo , marco teórico será sin embargo se define en la segunda mitad del XIX XX  siglo , al mismo tiempo por varios matemáticos, Dedekind , Weierstrass , Cantor y Meray (ver construcción de números reales ).

Dedekind pudo así afirmar en 1872 cuando publicó su tratado sobre la construcción de reales, que hasta entonces, la igualdad √2 × √3 = √6 nunca se había demostrado rigurosamente.

Otras propiedades

Normalidad

La normalidad es un concepto basado en la distribución de dígitos de desarrollo decimal de un número irracional, es decir, si todos los dígitos del 0 al 9 aparecen en este desarrollo y con la misma frecuencia. Respecto a √2, no se sabe si es normal en el sistema decimal o en cualquier otra base de numeración .

Grado algebraico y grado de irracionalidad

√ 2 es un número algebraico de grado 2, llamado entero cuadrático , porque solución de la ecuación polinomial de segundo grado con coeficientes enteros x ² - 2 = 0 y del monomio dominante con coeficiente igual a 1, pero ninguno de grado 1 debido irracionalidad. Por tanto, sabemos que es difícil aproximarse mediante una secuencia racional p n / q n  ; el error es en el mejor de los casos en

Como con cualquier número algebraico irracional , su medida de irracionalidad es 2.

Expansión de fracción continua

La parte entera de √2 es 1 y su parte decimal es por lo tanto √2 - 1 , o nuevamente1/1 + √2. Podemos escribir este resultado en la forma:

Reemplazando √2 en el lado derecho con 1 +1/1 + √2, obtenemos sucesivamente

Esto proporciona la expansión de fracción continua periódica de √2

así como algunos valores aproximados de este número: 3/2, 7/5, 17/12

√2 está relacionado con un cierto número de expansiones en fracciones continuas periódicas, por propiedad de los números enteros cuadráticos .

Para a , b enteros estrictamente positivos tales que a 2 - 2 b 2 = –1, tenemos la siguiente expansión

Este desarrollo se observa comúnmente de manera más concisa:

b √ 2 = [ a  ; 2 a , 2 a , 2 a …].

Obtenemos los siguientes valores de √ 2  :

√ 2 = 1/5 × [7; 14, 14, 14…], √ 2 = 1/29 × [41; 82, 82, 82…].

De manera más general, para a , b enteros estrictamente positivos tales que a 2 - 2 b 2 = k , tenemos la siguiente fracción continua generalizada :

que notamos de una forma más concisa

b √ 2 = [ a  ; - k , 2 a  ; - k , 2 a  ; - k , 2 a  ;…]

De ello deducimos los siguientes desarrollos de √2:

√ 2 = 1/2 × [3; −1, 6; −1, 6; −1, 6;…] √ 2 = 1/12 × [17; -1, 34; -1, 34; −1, 34;…] √ 2 = 1/70 × [90; -1, 180; -1, 180; −1, 180;…]

Elementos de prueba: sea la secuencia ( u n ) definida por la relación de recurrencia u n +1 = - k / (2 a + u n ) y sea ε n = | U n - ( b √ 2 - una ) |. Entonces podemos demostrar que ε n +1 < Kε n , con 1 / | 1 + 2 a / ( b √ 2 - a ) | < K <1 si u n está lo suficientemente cerca de b √ 2 - a .

Desarrollos en serie y producto sin fin

Productos infinitos

La identidad cos (π / 4) = sin (π / 4) = 1 / √2 y la representación como un producto infinito del seno y el coseno conducen a los siguientes desarrollos

El último producto se puede escribir de forma equivalente:

Serie

El número también se puede evaluar como una serie usando la expansión de Taylor de una función trigonométrica en  :

También podemos usar la función √ 1 + x en 1:

La convergencia de la última serie se puede acelerar mediante una transformación de Euler para dar:

Métodos de aproximación numérica

√ 2 es aproximadamente 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737. Para obtener más decimales, consulte la continuación A002193 de la OEIS .

Calcular un valor aproximado de √ 2 ha sido un problema matemático durante siglos. Esta investigación ha permitido mejorar los algoritmos para el cálculo de la extracción de raíces cuadradas. En informática, esta investigación continuó con el fin de optimizar estos algoritmos reduciendo los tiempos de cálculo y el consumo de memoria.

Con la excepción del algoritmo de raíz , los métodos de aproximación numérica que se presentan a continuación están pensados ​​para el cálculo de un gran número de decimales. Generalmente se basan en una secuencia convergente de números racionales  ; por lo tanto, la iteración se libera del costo de cálculo en números de coma flotante, cuya precisión también debe conocerse a priori . Las mejores aproximaciones por una secuencia racional p n / q n dan un error en 1 / q n ², una propiedad de la aproximación diofántica de números enteros cuadráticos .

Métodos de convergencia lineal

Algoritmo de tallo

Este método antiguo (que se encuentra en China en los nueve capítulos en el arte matemático en III ª  siglo y la India en el Aryabhatiya la V ª  siglo) determina a entregar los dígitos sucesivos de una raíz cuadrada, pero las divisiones que se lleva a cabo con rapidez aumentar en tamaño. A continuación, el algoritmo de horca para calcular los primeros 5 lugares decimales de √ 2 .

2 1.41421
- 1 1 × 1 = 1
1 0 0  
- 9 6 2 4 × 4 = 96.
4 0 0  
- 2 8 1 28 1 × 1 = 281.
1 1 9 0 0  
- 1 1 2 9 6 282 4 × 4 = 11296.
6 0 4 0 0  
- 5 6 5 6 4 2828 2 × 2 = 56564
3 8 3 6 0 0  
- 2 8 2 8 4 1 28284 1 × 1 = 282841
1 0 0 7 5 9  
Método de Theon de Esmirna

Le debemos a Theon de Esmirna estas dos secuencias ( p n ) y ( q n ) definidas por inducción:

p n + 1 = p n + 2 q n , p 0 = 1; q n + 1 = p n + q n , q 0 = 1.

Estas secuencias tienen un valor entero estrictamente positivo, por lo tanto aumentan estrictamente por inducción, y verifican

p n ² - 2 q n ² = (−1) n ( p 0 ² - 2 q 0 ²)

de modo que p n / q n tiende a √2.

No se sabe si la intención de Theon of Smyrna era calcular un valor aproximado de √2.

Soluciones de la ecuación diofántica a ²− 2 b ² = k

Las soluciones enteras de la ecuación a ² - 2 b ² = k se generan por inducción

una m + 1 = 3 una m + 4 b m b m + 1 = 2 a m + 3 b m

a partir de los valores iniciales ( a 0 , b 0 ) = (1, 1) para k = −1 y (3, 2) para k = 1.

Este método se deduce del de Théon: cada iteración del actual corresponde a dos iteraciones de aquél. Por lo tanto, a n / b n tiende linealmente hacia √2.

Las primeras soluciones son:

  • k = −1: (1, 1), (7, 5), (41, 29), (239, 169), (1393,985),
  • k = 1: (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378).
Método Theon generalizado

Nos damos ( a , b ), obtenido por el método de Theon, que es por tanto la solución de una de las dos ecuaciones diofánticas precedentes 2b 2 = a 2 - k = K, con k = ± 1 y K> 1. Entonces podemos escribir

√2 = ( a / b ) √ K / (K + k )

Las secuencias p n y q n definidas por

p n + 1 = (2K + k ) p n + 2K q n , p 0 = 1; q n + 1 = (2k + 2 k ) p n + (2K + k ) q n , q 0 = 1.

cheque

(K + k ) p n + 1 2 - K q n + 1 2 = (K + k ) p n 2 - K q n 2 =… = k ,

y por lo tanto, de la misma manera que arriba, la secuencia p n / q n converge a √ K / (K + k ) = ( b / a ) √ 2 . Además, si k = 1, esta secuencia es creciente por lo tanto se acerca a este valor por defecto, y si k = –1, es decreciente, por lo tanto se acerca a este valor en exceso.

Podemos usar esta relación para estimar el error:

ε n + 1 ≃ ε n (4K + 3 k ) −2

y es un aumento si k = 1. La convergencia es, por tanto, lineal  : ahorra un número aproximadamente constante de decimales en cada iteración.

Este método corresponde a una generalización del método del párrafo anterior al radical √ K / (K + k ) . Para K más grande, la secuencia ( q n ) crece más rápido, por lo que la convergencia se acelera.

Primeras aproximaciones de √2 = 17/12 √ (288/289) por aproximación lineal de √ (288/289). Los parámetros son a = 17, b = 12, K = 288, k = 1. Tenemos
ε n + 1 <7.5 × 10 -7 ε n (antes de la aproximación decimal de los cocientes).
iteración valor fraccionario decimales exactos
0 1 1
1 19 601/13 860 1.414 213 56
2 22 619 537/15 994 428 1.414 213562 373 09
3 26102926097/18 457556052 1.414 213562 373095048 80
4 30 122 754096 401/21 300 003 689580 1.414 213562 373095048801688 72
Expansión de fracción continua

Otro método consiste en aproximar b √2 - a por su fracción continua generalizada para ( a , b ) solución de la ecuación diofántica 2 b 2 = a 2 - k , con k = ± 1:

b √2 - a = [0; - k , 2 a ; - k , 2 a ; - k , 2 a …] se aproxima usando la secuencia ( p n / q n ) determinada por la relación de recurrencia p n + 1 = q n q n + 1 = 2 aq n + kp n

El error se comprueba asintóticamente

ε n + 1 <| b √2 - a | / (2 a - 1) ε n Primeras aproximaciones de √2 por aproximación lineal de 169√2 - 239. Los parámetros son b = 169, a = 239, k = 1, ε n + 1 ~ 4 × 10 −6 ε n .
iteración valor fraccionario decimales exactos
0 1 1
1 114 243/80 782 1.414 213.562
2 54 608 393/38 613 965 1.414 213562 373 09
3 26102926097/18 457556052 1.414 213562 373095048 80
4 12 477 253282 759/8 822 750 406 821 1.414 213562373095048801688 7
Desarrollo de serie completa

Nos damos ( a , b ) solución de la ecuación diofántica 2b 2 = a 2 - k = K, con k = ± 1. Entonces podemos escribir √ K / (K + k ) como la suma de una serie a través de la expansión de la serie entera de (1+ z ) -½ (o la fórmula binomial generalizada , variante simple de exposición).

y use √2 = ( a / b ) √ K / (K + k ) .

Con a = 7, b = 5 (es decir, K = 50, k = -1) y por lo tanto √2 = (7/5) √ 50/49 , los primeros términos de la serie son particularmente simples, como señaló Leonhard Euler en 1755  :

Aproximación √2 = (239/169) √ 57122/57121 por la expansión en serie entera del radical fraccionario. Los parámetros son b = 239, a = 169, K = 57122, k = –1.
iteración valor fraccionario decimales exactos
0 1 1
1 239/169 1.414 2
2 6 238 763 163 557/4 411 471 739 168 1.414 213562 373 09
3 712, 741, 258, 857, 407, 103/503, 984, 177, 369, 508, 992 1.414 213 562 373095048
4 325 705 649 507 622 500 000 000/230 308 673 437 608 750 000 000 1.414 213562373095048801688
Dicotomía

Es posible aproximarse a √2 por bisección . Este método es de convergencia lineal lenta: uno gana tres lugares decimales por cada diez iteraciones.

Método de convergencia cuadrática

El método de Newton aplicado a la función raíz cuadrada calcula un valor aproximado de √2 de forma iterativa con una convergencia cuadrática, es decir, duplicando el número de decimales en cada iteración. La recurrencia tiene la forma

u n + 1 = u n / 2 + 1 / u n

Este algoritmo se llama método de Heron o método babilónico porque parece ser el que usaban los babilonios para encontrar valores aproximados de raíces cuadradas.

Si nos interesan las fracciones sucesivas a partir de un valor inicial p 0 y q 0 , la recurrencia en el numerador y el denominador son

p n + 1 = p n ² + 2 q n ² q n + 1 = 2 p n q n Primeras aproximaciones de √2 dadas por el método de Newton .
iteración valor fraccionario decimales exactos
0 1 1
1 3/2 1
2 17/12 1,41
3 577/408 1.414 21
4 665 857/470 832 1.414 213 562 37
5 88673108897/627 013 566048 1.414 213562373095048801 68

Métodos cúbicos

Método Halley

El método de Halley es un ejemplo de método cúbico. Busca el cero de ƒ ( x  ) = x ² - 2 utilizando las dos primeras derivadas . La solución iterativa es

x n + 1 = x n × ( x n ² + 6) / (3 x n ² + 2)

o estableciendo x n = p n / q n  :

p n + 1 = p n ( p n ² + 6 q n ²) q n + 1 = q n (3 p n ² + 2 q n ²)

Este método es de convergencia cúbica: el número de decimales exactos se triplica en cada iteración.

Primeras aproximaciones de √2 dadas por el método cúbico .
iteración valor fraccionario decimales exactos
0 1 1
1 7/5 1.4
2 1393/985 1,414,213
3 10812 186 007/7 645 370 045 1.414 213 562 373095048
4 - 1.414 213 562 373095 048
801 688 724 209 698 100,000
6718753 769 480 731 000 000
Método de cabeza de familia

La iteración Householder aplicada a ƒ ( x  ) = 1 / x  ² - 1 / √2 da una secuencia que converge a 1 / √2:

x n + 1 = x n + x n / 8 × (2 x n ² - 1) (6 x n ² - 7)

Métodos de orden superior

Usamos un método de Newton modificado para encontrar el cero de ƒ ( x  ) = 1 / x  ² - 1/2. Esto da la secuencia recurrente:

x n + 1 = x n + x n / 16 × (8 h norte + 6 h n ² + 5 h n ³)

con

h n = 1 - x n ² / 2

Este método es de convergencia cuártica , es decir de orden 4: el número de dígitos significativos correctos se cuadruplica (asintóticamente) en cada iteración.

Primeras aproximaciones de √2 dadas por el método cuártico .
iteración valor fraccionario decimales exactos
0 3/2 1
1 23 169/2 14 1.414
2 57367 317 4781810000000000000000000000/2 105 1.414 213562 373 09
3 - 1414 213 562 373 09
5 048 801 688 724 209
6 980 785 696 718 753
76 948 073 176 679 737

Hay métodos de orden superior, especialmente entre los métodos de Householder.

Notas y referencias

  1. Ver (en) Eric W. Weisstein , "  La constante de Pitágoras  " en MathWorld .
  2. Sin embargo, podemos notar que para el formato A4, y si el lado pequeño mide exactamente 21 cm, el lado grande (29,7 cm) difiere en 21 √2 cm solo en 15 micrones .
  3. (en) Matthew Cole, "  A Tedious Explanation of the f / stop  " ,2005.
  4. (en) "  ƒ / Calc Manual  " .
  5. Esta demostración es propuesta por Sócrates en Platón, Méno 82.
  6. Guillaume Reuiller, L'aire de RIEN , Palais de la Découverte, medida verificable en un mapa de 1841 .
  7. "De esta manera hacemos un claustro, dando tanto a los caminos como al jardín" en Dominique Raynaud , "  El esquema, operador del diseño arquitectónico  ", Arquitetura Revista , vol.  1,2008, p.  15-32 ( leer en línea ), p.  23 .
  8. (en) Alexander Bogomolny, "  La raíz cuadrada de 2 es irracional  " , en el corte del nudo en las listas 27.
  9. Gardner , 2001 , p.  16. A. Bogomolny, en Cut The Knot (Prueba 8), también señala la nota, de la edición de 1920, de (en) ET Whittaker y GN Watson , A Course of Modern Analysis , CUP ,1996, 608  p. ( ISBN  978-0-521-58807-2 , leer en línea ) , pág.  5.
  10. Gardner , 2001 , p.  18, presenta esta reformulación para la variante 2 r / s (igual a 2 / √ 2 = √ 2 y cuyo denominador s satisface r < s < q ).
  11. Esta demostración, tomada de Apostol 2000 , está inspirada según él en una prueba geométrica del período griego clásico. Se encuentra en una forma similar en un libro de texto de geometría ruso por AP Kiselev en 1892 y ampliamente utilizado según Alexander Bogomolny - Cut the Knot . Se da una variación en Gardner 2001 , p.  12.
  12. La demostración por plegado, realizada a partir de un cuadrado, es propuesta por JH Conway y RK Guy, The Book of Numbers , Copernicus,1996 pag.  183-184 .
  13. (en) A. Bogomolny, "raíz cuadrada de 2 es irracional", en cortar el nudo , la prueba 14'.
  14. Ver Duplicación del cubo .
  15. Christine Proust , "  Matemáticas en Mesopotamia  ", CultureMath , editor = ENS Ulm / DGESCO,2006( leer en línea ).
  16. Esta conclusión es de Jens Høyrup . Los elementos de la traducción de la tablilla están disponibles en: Laought algebrique , 12 e Colloque Inter- IREM , 1998.
  17. Fowler y Robson 1998 .
  18. Benoît Rittaud, “¡  A un matemático desconocido!  » , Sobre Bibnum .
  19. Plofker , 2009 , p.  17-18.
  20. Plofker , 2009 , p.  20-21.
  21. Plofker , 2009 , p.  20-21.
  22. Plofker , 2009 , p.  21.
  23. Plofker , 2009 , p.  28.
  24. Plofker , 2009 , p.  28 que da referencias para algunos de ellos, nota a pie de página 16 en la misma página. Véase también una de estas reconstrucciones en el informe sobre investigación educativa de la federación Valonia-Bruselas de 2004 “  Por una cultura matemática accesible para todos  ”, capítulo 20 La Diagonale du carré , p.549-551.
  25. Caveing 1998 , p.  75
  26. Berggren 1984
  27. Fowler 1999 , p.  7-8, una traducción francesa del XIX °  siglo es accesible en línea , ver p.  173-191 .
  28. Fowler 1999 , p.  359, una edición bilingüe del XIX °  siglo es accesible en línea , ver las líneas 50, 51.
  29. Caveing ​​1998 , p.  133.
  30. Fowler 1999 , p.  302 advierte que Aristóteles, aunque a menudo cita este ejemplo de la inconmensurabilidad de la diagonal hacia el lado, nunca especifica de qué polígono es.
  31. Aristóteles, Analytiques posterior , I, 23.41 a 26-32 y I, 44.50 a 36-38 citado de Caveing ​​1998 , p.  132, una edición bilingüe del XIX °  siglo es accesible en línea I 23 e I-44 .
  32. Por ejemplo en Metafísica , A, 2, Metafísica, Libros A a E , trad. Bernard Sichère, París, Pocket, 2007, pág.  35  : "[los hombres] están asombrados [...] de que no se pueda medir la diagonal del cuadrado, ya que les parece bastante maravilloso a todos aquellos que aún no han considerado la razón por la cual 'una cosa no se puede medir por la unidad más pequeña. " Pero esta traducción añade necesariamente una aclaración al original, cf. la nota citada anteriormente, y la nota 18 de la traducción de Pierron y Zevort , véase también la traducción más literal de Victor Cousin del mismo pasaje que no menciona un cuadrado.
  33. Caveing ​​1998 , p.  219-223, consulte también la entrada de fracción continua en el índice.
  34. Caveing ​​1998 , p.  245-253, sección 3.2 ¿Hay alguna prueba general en los libros de aritmética? .
  35. Knorr 1975 , p.  22 y nota 15 p.  52 . La propuesta es rechazada como apéndice de la edición de Heilberg, la edición de referencia de los Elementos, y por lo tanto ausente del libro X, en las traducciones realizadas a partir de él.
  36. Ver Fowler 1999 , p.  294-295 y Knorr 1975 VII.3 para el detalle de la argumentación: la demostración de Alejandro de Aphrodise usa los Elementos, sin embargo, aunque se basa en el mismo principio, es diferente de la proposición X, 117.
  37. Knorr 1975 , p.  52 nota 15.
  38. Fowler 1999 , p.  294-295.
  39. Saito 2004 , p.  189
  40. Saito 2004 , p.  187-189 para una historia muy sintética, ver también Berggren 1984 y Caveing ​​1998 .
  41. Tal reconstrucción fue dada por Oskar Becker , descrita por Caveing ​​1998 , p.  134-135, que se basa en una representación geométrica de los números, en este caso las rejillas o puntos dispuestos en un cuadrado, aritmética de los números figurados atribuidos a los pitagóricos, que luego hay que admitir es practicada por los matemáticos griegos la V ª  siglo  aC. AD , pitagóricos u otros, cf. Cueva.
  42. Caveing ​​1998 , p.  111-112.
  43. Knorr 1975 , p.  31.
  44. A diferencia de la figura anterior, los historiadores muestran explícitamente los cuadrados, por ejemplo Caveing ​​1998 , p.  124.
  45. Caveing ​​1998 , p.  229.
  46. Caveing ​​1998 , p.  230 y p.  157-164 .
  47. Kurt von Fritz confía en esta hipótesis y en autores tardíos como Jamblique y en la figura del pentagrama , en un artículo publicado en 1945, El descubrimiento de la irracionalidad por Hippasus de Metapontum . El artículo fue un hito, aunque sus hallazgos desde entonces han sido cuestionados Saito 2004 , p.  189, ver para discusiones sobre este tema Knorr 1975 , p.  29-36, Caveing ​​1998 , pág.  99-119.
  48. Caveing ​​1998 , p.  145.
  49. Para tener una idea de los conceptos que usaban los griegos, consulte Knorr 1975 , p.  14-17 (Introducción, §III. Definiciones indispensables ) en particular p.  15 .
  50. DahanPeiffer , pág.  101.
  51. DahanPeiffer , pág.  102.
  52. DahanPeiffer , pág.  102-103.
  53. DahanPeiffer , pág.  103.
  54. el signo √ es introducido, de forma similar, por Christoff Rudolff en 1525: DahanPeiffer , p.  104.
  55. DahanPeiffer , pág.  103-104.
  56. En (de) Richard Dedekind , Stetigkeit und irrationale Zahlen ,1872( leer en línea ) pag.  27 , ver Fowler 1992 .
  57. La mayor parte del software matemático, en computadoras o en máquinas de calcular, usa aproximaciones preestablecidas de esta constante, al menos hasta cierto rango.
  58. Karine Chemla y Guo Shuchun , Los nueve capítulos: El clásico matemático de la antigua China y sus comentarios [ detalle de la edición ], p.  322-329
  59. WE Clark, Aryabatha, Aryabhatiya de Aryabhata , p.  24 y siguientes, lea en línea
  60. (La) Euler , Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum , vol.  II ( leer en línea ) , cap.  4 (“De conversione functionum en serie”) , pág.  292.
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Bibliografía

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Matemáticas indias

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Matemáticas griegas

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Ver también

Artículos relacionados

enlaces externos

Bibliografía

Ludmila Duchêne y Agnès Leblanc, Rationnel mon Q , Hermann ,2009( presentación en línea ) (demostraciones de la irracionalidad de la raíz de 2)