En matemáticas , el lema de Euclides es el resultado de la aritmética elemental sobre divisibilidad que corresponde a la Proposición 32 del Libro VII de los Elementos de Euclides . Dice lo siguiente:
Lema euclidiana : sean b y c dos números enteros . Si un número primo p divide el producto bc , entonces p divide b o c .
Una generalización es:
Gaussiano lema - Deje un , b y c ser tres enteros. Si a divide el producto bc y si a es primo con b , entonces a divide c .
Formalmente: si un | bc y MCD ( a , b ) = 1, luego a | c .
En el tratado de Gauss, Disquisitiones arithmeticae , el enunciado del lema de Euclides constituye la Proposición 14 (sección 2), que usa para probar la unicidad de la descomposición en el producto de factores primos de un número entero (teorema 16), admitiendo la existencia como " obvio " . De esta existencia y singularidad , deduce luego “su” lema (artículo 19).
Los nombres de estas dos proposiciones a veces se confunden . Tenga en cuenta también que el lema "Gauss" ya aparece en los nuevos elementos matemáticos de Jean Prestet la XVII ª siglo.
El lema de Gauss se generaliza a cualquier anillo (conmutativo, unitario) que se integra con GCD , en particular a cualquier anillo principal como el de los polinomios sobre un campo .
Esta prueba es esencialmente la de Gauss, que razones por el absurdo , suponiendo la existencia de un número primo p y números enteros naturales una y b no es divisible por p tales que p divide ab . La primera vez que elija, para p y una fija, entre todas las posibilidades del b el más pequeño; entonces 0 < b < p , porque de lo contrario podríamos reemplazar b por su resto módulo p , y además b ≠ 1 porque a no es divisible por p . Entonces denotamos por r el resto de la división euclidiana de p entre b , que no es cero porque p es primo y b ≠ 1. Por lo tanto, p = mb + r , por lo tanto, ar = ap - mab es múltiplo de p , porque ab es un múltiplo de p por hipótesis. Pero desde 0 < r < b < p , ar no puede ser múltiplo de p debido a la minimalidad de b , lo que conduce a una contradicción y permite concluir que la hipótesis de una y b no es divisible por p es falso.
Deje un , b y c ser tres números enteros, con GCD ( un , b ) = 1 y un | bc . Dado que a divide tanto ac como bc , divide su MCD , o MCD ( ac , bc ) = MCD ( a , b ) × c = 1 × c = c .
La demostración para cualquier anillo integrado con GCD es idéntica. La demostración clásica para el anillo de números enteros usa el teorema de Bézout y, por lo tanto, se extiende solo a los anillos de Bézout .
Los números primos y sus opuestos constituyen los elementos irreductibles del anillo ℤ de números enteros. El enunciado del lema de Euclides en cualquier anillo es, por tanto: todo irreducible es primo (es decir, divide uno de los dos factores tan pronto como divide un producto). Se verifica en cuanto se verifica el lema de Gauss.
En cualquier anillo (conmutativo, unitario e integral) que satisfaga el lema de Gauss:
Un elemento es primo con un producto si (y solo si) es primo con cada factor.
En cualquier anillo Un lema gaussiano satisfactorio, el mínimo común múltiplo de dos elementos primos es su producto. Más generalmente :
Para cualquier familia finita de elementos de A primo entre ellos de dos en dos, su PPCM es su producto.
Por el contrario, si A satisface esta afirmación, entonces satisface el lema de Gauss:
DemostraciónDeje un , b y c sea distinto de cero de tal manera que PPCM ( un , b ) = ab y unas divisiones bc . Entonces, ab divide a bc entonces a divide c .
Cualquier número racional se puede escribir como una fracción irreducible . El lema de Gauss muestra que tal escritura es única:
Para cualquier racional r , la escritura de r en la forma r = p / q , con p y q primo entre ellos y q estrictamente positivo, es único.
DemostraciónSea r un racional y p 1 , p 2 , q 1 , q 2 enteros, con q 1 , q 2 > 0, tal que r = p 1 / q 1 = p 2 / q 2 y MCD ( p 1 , q 1 ) = MCD ( p 2 , q 2 ) = 1.
Por tanto, tenemos q 2 | p 1 q 2 = p 2 q 1 . Sin embargo, q 2 es primo con p 2 . El lema de Gauss muestra que q 2 | q 1 .
De manera similar (invirtiendo los índices) q 1 | q 2 .
Por tanto, q 1 = q 2 , porque q 1 y q 2 son positivos.
Entonces p 1 = rq 1 = rq 2 = p 2 .
La forma irreductible de un racional es, por tanto, única.
De la misma forma, para cualquier elemento del campo de las fracciones de un anillo integral con GCD, se asegura la existencia de una forma irreductible y su unicidad (excepto producto por un invertible) se deduce del lema de Gauss.
De la consecuencia anterior sobre la primalidad con un producto (y la existencia de una forma irreducible para un anillo GCD) deducimos:
Cualquier anillo integrado en PGCD está completamente cerrado.
Sea a distinto de cero yb , dos elementos de un anillo integral. Si, para cualquier elemento c , a divide a bc implica que a divide a c , entonces a y b son coprimos.
De hecho, dejar d tienen un divisor común a una y b : podemos escribir un cd = y B = ed . Por hipótesis, dado que a divide a bc , tenemos que a divide a c, por lo tanto, d es invertible.