Numero positivo

Un número positivo es un número mayor que cero , como 3 o e .

Uso común

Fuera de los textos matemáticos, cuando se habla de números positivos o negativos, generalmente se excluye el número cero . Así, el diccionario Lexis especifica: "Los números negativos, los números positivos y el cero forman el conjunto de números relativos" . La Academia Francesa , en la novena edición de su diccionario, especifica que un número positivo es un número "mayor que cero y que puede ir precedido del signo +" .

Matemáticas

Cero

En francés, el número cero a veces se considera tanto positivo como negativo, a veces ni positivo ni negativo. Los párrafos siguientes resumen la situación por país.

Pero el uso en otros idiomas generalmente se adhiere a la segunda convención. De este modo, Inglés positivo y alemán positiv excluyen cero, mientras que no negativa y nichtnegativ incluyen cero.

Francia

En matemáticas, el adjetivo superior se entiende ampliamente: cualquier número ( real ) es mayor (y también menor) que él mismo. En particular, cero es positivo. Nicolas Bourbaki subraya: “Se notará que es el único elemento que es a la vez positivo y negativo ; cualquier elemento como (resp. ) se dice que es estrictamente positivo (resp. estrictamente negativo ). " ${\ displaystyle 0}$ $X$ ${\ Displaystyle 0 <x}$ $x <0$ .

Este uso es relativamente reciente. Así, en la obra francesa de educación superior Leçons d'Algèbre Moderne (1964) de Lentin y Rivaud, leemos en la página 70: "El elemento 0 no es ni positivo ni negativo" .

Los programas Terminale C de 1962 todavía hablan de "exponentes cero, negativos, totalmente positivos" . Los libros de texto escritos para el programa Terminale C de 1966, que entró en vigor en 1967, también parecen seguir la vieja convención ( Estructuras fundamentales , Doneddu, p. 139; Algèbre et analyse , Lebossé y Hémery, p. 75). Pero la transición a la nueva convención comenzó con el programa Terminale de 1971 que entró en vigor en 1972, que habla de "real estrictamente positivo" , incluso si también habla de derivado "positivo o cero" .

Dada la coexistencia de dos convenciones contradictorias en francés, las expresiones número positivo o cero y número estrictamente positivo permiten evitar cualquier ambigüedad.

Bélgica

El manual de secundaria 6 del CQFD (6 períodos por semana, 2019) de los autores Annove, Gilon, Van Eerdenbrugghe y Wilemme se adhiere a la nueva terminología vigente en Francia al hablar de “real estrictamente positivo” , por ejemplo en la página 54.

suizo

En la Suiza francófona, el número cero generalmente no se considera ni positivo ni negativo.

Este es el caso, por ejemplo, de la obra universitaria Cálculo diferencial e integral de Douchet y Zwahlen, publicada en 1990 por las Presses polytechniques et universitaire romandes (página 2). Lo mismo ocurre en Linear Algebra (1991) de Cairoli (página 1).

Canadá

En el Canadá de habla francesa, el número cero se considera con mayor frecuencia que no es ni positivo ni negativo.

Este es el caso, por ejemplo, de Calcul diferencial (2013) de Charron y Parent (página 3), y Logique arithmétique (2010) de Gauthier (página 76).

Sin embargo, existe una cierta fluctuación en el uso en los niveles universitarios superiores.

Clasificación

" X es positivo" (uso francés) o " x es positivo o cero" (de uso general) se escribe en notación matemática: . " X es positivo" (práctica francés) o " x es positivo" (uso general) se escribe: . ${\ Displaystyle x \ geqslant 0}$
$x> 0$

Conjuntos de números positivos

Ciertos conjuntos habituales de números positivos (uso francés) se designan con un símbolo que les es específico.

Los números naturales son todos positivos.
todos los números enteros positivos generalmente se anotan , o más a menudo . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {+}}$ ${\ mathbf {Z}} _ {+}$ $\ mathbb {N}$
el conjunto de números enteros positivos suele anotarse , o más a menudo . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {+} ^ {*}}$ ${\ mathbf {Z}} _ {+} ^ {*}$ $\ mathbb {N} ^ {*}$
el conjunto de números racionales positivos generalmente se denota por o . $\ mathbb {Q} _ {+}$ ${\ mathbf {Q}} _ {+}$
el conjunto de números racionales estrictamente positivos generalmente se denota por o . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*}}$ ${\ mathbf {Q}} _ {+} ^ {*}$
el conjunto de números reales positivos generalmente se denota por o . $\ R_ +$ ${\ mathbf {R}} _ {+}$
el conjunto de números reales estrictamente positivos generalmente se denota por o . $\ R _ + ^ *$ ${\ mathbf {R}} _ {+} ^ {*}$

Todos estos son subconjuntos del conjunto de números reales. Los números complejos no reales no son ni positivos ni negativos, porque no existe una relación de orden habitual que se compare con cero. $\ mathbb {R}$

Propiedades

La suma de dos números positivos es un número positivo,
la suma de un número positivo y otro estrictamente positivo es un número estrictamente positivo.

La diferencia de dos números positivos puede ser positiva o negativa. Por ejemplo 2-3 = −1 y 5-2 = 3.

El producto de dos números positivos es un número positivo.
El producto de dos números estrictamente positivos es estrictamente positivo.

El producto de un número positivo y un número estrictamente positivo no es necesariamente estrictamente positivo, ya que el primer número puede ser cero.

El inverso de un número estrictamente positivo es un número estrictamente positivo,
El cociente de un número positivo y un número estrictamente positivo es positivo,
El cociente de dos números estrictamente positivos es estrictamente positivo.
Un número es menor (o igual) a otro si y solo si la diferencia del segundo y el primero es positiva,
Un número es estrictamente menor que otro si y solo si la diferencia entre el segundo y el primero es estrictamente positiva,
Al multiplicar los miembros de una desigualdad por un número estrictamente positivo, el significado de la desigualdad no cambia.

Notas y referencias

Larousse Publishing , 1975.
N. Bourbaki, Elementos de las matemáticas : Álgebra , p. A VI.4.