El axioma de Arquímedes es una antigua formulación de los llamados axiomas de continuidad . Está presente en los Elementos de Euclides . Por tanto, este axioma entra primero en el marco de la geometría sintética ; sin embargo, supera con creces a este. En el sentido moderno, el nombre de Arquímedes se da a las estructuras cuyos elementos satisfacen una propiedad similar al axioma de Arquímedes.
El axioma de Arquímedes es una propiedad utilizada desde la Antigüedad. Se aplica a magnitudes que tienen una razón entre ellas, lo que, según el Libro V de los Elementos de Euclides , significa:
Se dice que las magnitudes tienen una razón entre ellas cuando estas magnitudes, al multiplicarse, pueden superarse entre sí.
De hecho, Arquímedes atribuye este axioma a Eudoxo de Cnido . El axioma se aplica a longitudes , áreas , volúmenes , ángulos de líneas. Esta propiedad se utiliza en el libro V de los Elementos para definir la noción de proporción entre cantidades. Permite probar la proposición 1 del libro X de los Elementos , que se utiliza frecuentemente en el método de agotamiento :
Se proponen dos tamaños desiguales, si restamos de la parte mayor mayor que su mitad, si restamos del resto una parte mayor que su mitad, y si siempre hacemos lo mismo, quedará un cierto tamaño que será menor que el más pequeño de los tamaños propuestos.
David Hilbert da, en sus fundamentos de la geometría , una formulación moderna del axioma de Arquímedes, que es el primer axioma de continuidad (axioma V.1):
Son dos segmentos [AB] y [CD], con C distinto de D . Entonces existe un número entero n , y n puntos A 1 , ..., A n de la línea que contiene el segmento [AB], tal que:Hilbert agrega un segundo axioma de continuidad, que es la integridad de la geometría.
Geometry non Archimedean (en)