Ecuación diofántica

Una ecuación diofántica , en matemáticas , es una ecuación polinomial con una o más incógnitas cuyas soluciones se buscan entre números enteros , posiblemente racionales , siendo los coeficientes ellos mismos también enteros. La rama de las matemáticas que está interesada en resolver tales ecuaciones se ha llamado durante mucho tiempo análisis indeterminado antes de fusionarse con la aritmética o la teoría de números .

Si la expresión del problema planteado es a veces simple, los métodos de resolución pueden volverse complejos. Carl Friedrich Gauss , el XIX ° siglo , escribió acerca de la teoría de números que "su encanto proviene de la simplicidad de los estados unidos a la dificultad de las pruebas. "

Algunas ecuaciones diofánticas han requerido para su resolución los esfuerzos combinados de muchos matemáticos durante varios siglos. Gauss se quejó “de los desmedidos esfuerzos que le costó determinar un signo de radical en la teoría de números; muchas otras cosas no lo detuvieron durante tantos días como esta pregunta lo retuvo durante años. " El último teorema de Fermat es un ejemplo arquetípico; es conjeturado por Pierre de Fermat y demostrado en 1994 por Andrew Wiles , después de 357 años de esfuerzos por parte de muchos matemáticos.

El interés por resolver cuestiones de esta naturaleza rara vez radica en establecer un teorema clave para las matemáticas, la física o las aplicaciones industriales, incluso si existen contraejemplos como la criptología , que hace un gran uso del pequeño teorema de Fermat . Su análisis conduce al desarrollo de poderosas herramientas matemáticas cuyo uso va más allá de la aritmética. Las formas cuadráticas a este respecto son ejemplares. La riqueza y la belleza formal de las técnicas resultantes de la resolución de ecuaciones diofánticas hacen de la aritmética la rama “reina de las matemáticas” para David Hilbert .

Este tipo de ecuación se denomina Diofanto , matemático griego del III ° siglo , autor de la aritmética , que trata de los problemas de esta naturaleza.

Aritmética elemental

Si las preguntas diofánticas se vuelven difíciles rápidamente, existen ciertas excepciones que pueden resolverse con un mínimo de herramientas teóricas y una demostración breve y sencilla.

Identidad de Bézout

Algunas técnicas elementales permiten resolver una primera familia de ecuaciones diofánticas. Un ejemplo lo da la ecuación lineal de primer grado con dos indeterminados $x, y$ y tres parámetros enteros $a, b, c$ :

ax + por = c.

Esta ecuación lleva el nombre de identidad de Bézout , del nombre del matemático que generalizó este resultado a polinomios . Su resolución solo utiliza la división euclidiana y el algoritmo euclidiano . Esta identidad tiene un doble estatus. Corresponde a una ecuación diofántica y representa uno de los pilares que sustentan el edificio de la aritmética elemental. El lema de Euclides se demuestra usando esta identidad y el teorema fundamental de la aritmética usando el lema de Euclides. El teorema fundamental nos permite determinar las propiedades de los operadores máximo común divisor y mínimo común múltiplo así como las de los números primos entre ellos .

Teorema de Wilson

Un ejemplo de una ecuación diofántica que utiliza estas herramientas para su solución es el teorema de Wilson. Corresponde a la solución de la siguiente ecuación, ¡el signo! que denota la función factorial :

(x-1)! + 1 = yx.

Los únicos enteros $x > 1 que$ satisfacen esta ecuación son los números primos .

Triplete pitagórico

El lema de Euclides nos permite superar la búsqueda de triples pitagóricos, es decir, triples $( x , y , z )$ de enteros que satisfacen la ecuación:

x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}.

Estas mismas técnicas permiten demostrar que la siguiente ecuación, correspondiente al último teorema de Fermat para $n = 4$ , no tiene más soluciones que las que verifican $xyz$ = 0. Esta ecuación diofántica corresponde a:

x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {4}.

El pequeño teorema de Fermat

Pierre de Fermat dedica gran parte de su investigación matemática a resolver cuestiones diofánticas. Descubre el pequeño teorema de Fermat, que expresa así: "Todo número primo mide infaliblemente una de las potencias –1 de cualquier progresión, y el exponente de dicha potencia es un submúltiplo del número primo dado - 1” . En términos diofánticos, ofrece una respuesta parcial a la siguiente ecuación, donde $a$ denota un número entero $yp$ un número primo:

a ^ {x} -1 = yp.

El pequeño teorema de Fermat indica que $p$ - 1 es un valor posible para $x$ . Este resultado tiene muchas aplicaciones. Se permite la construcción de grandes números primos, al igual que los de Mersenne , que corresponde a la siguiente ecuación, donde $Y$ se busca entre los números primos:

2 ^ {x} -1 = y.

Podemos demostrar que $x$ es entonces también un número primo. Esta pregunta diofántica nos permite encontrar los números primos más grandes conocidos en 2013. Fermat está interesado en una ecuación análoga, lo que permite construir otros números primos que ahora llevan su nombre . Aquí $hay$ todavía es buscado en los números primos:

2 ^ {{2 ^ {x}}} + 1 = y.

En esta ocasión, Fermat le hace la única falsa conjetura que conoce. Se imagina que cualquier número de Fermat es primo: “Si una vez puedo sostener la razón fundamental de que 3, 5, 17, etc. son números primos, me parece que encontraré cosas muy bonitas en este asunto, porque ya he encontrado cosas maravillosas que compartiré con ustedes ” . Casi un siglo pasó antes de Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) presentó un divisor del quinto número de Fermat. No reveló la construcción de su prueba hasta quince años después. Corresponde exactamente al trabajo de Fermat, habiendo permitido demostrar en 1640 la no primitividad de dos números de Mersenne.

El interés del pequeño teorema de Fermat no se limita al estudio de la primacía de los enteros. También te permite resolver algunas ecuaciones, el siguiente es un ejemplo donde $p$ denota un número primo:

x ^ {2} -py + 1 = 0.

Corresponde a un paso para resolver la siguiente ecuación:

x ^ {2} + y ^ {2} = pág.

Si esta ecuación se resuelve para $p$ primo, resulta relativamente fácil resolverla para $p$ cualquier entero positivo. La solución de esta ecuación se basa en un resultado llamado teorema de los dos cuadrados de Fermat , cuya primera demostración conocida es el trabajo de Euler. Este matemático generaliza el pequeño teorema proporcionando una respuesta de la misma naturaleza que la de Fermat a la siguiente ecuación, aquí $a$ y $b$ denota dos números enteros primos entre ellos:

a ^ {x} -1 = yb.

Este resultado se conoce como teorema de Euler .

Otras tecnicas

Joseph-Louis Lagrange busca generalizar las ecuaciones diofánticas ya tratadas en casos particulares. La ecuación del teorema de los dos cuadrados se convierte, si $n$ denota un número entero sin un factor al cuadrado $yp$ un número primo:

(1) \ quad x ^ {2} + ny ^ {2} = p.

Para ello, estudia las formas cuadráticas con dos variables, es decir las funciones φ, en función de tres parámetros enteros $a , b , c$ , que a un par $( x , y )$ asocian:

\ varphi (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}.

Busca saber qué forma cuadrática es "equivalente" a qué otra. "Equivalente" significa, en términos modernos, que un cambio de base en ℤ 2 (ℤ denota el conjunto de números enteros) permite cambiar de una forma a otra. Este enfoque le permite resolver la ecuación (1) en el caso de que $n$ sea igual a 1, 2, 3 o 5. El caso general queda fuera de alcance.

Otra generalización de esta ecuación se resuelve con este método, consiste en encontrar el menor número de cuadrados necesarios para encontrar al menos una solución para cualquier entero positivo. La respuesta es 4, corresponde a la siguiente ecuación:

x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + t ^ {2} = n \ quad {\ text {con}} \ quad n \ in \ mathbb {N}.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange dice que para todos los valores de $n$ , esta ecuación tiene solución. Edward Waring ( 1736 - 1798 ) generaliza la cuestión bajo el nombre de problema de Waring, que se expresa de la siguiente manera. ¿Cuántos términos se necesitan en una suma de potencias k -ésimas para obtener todos los números enteros positivos?

La ecuación (1), para un valor dado de $n$ , requiere resolver para el mismo valor del parámetro $n$ y para $p$ cualquier número primo, la ecuación:

(2) \ quad x ^ {2} -py + n = 0.

Para cada valor de $n$ , a menudo es relativamente sencillo encontrar la lista de números primos que admiten una solución para la ecuación (2). La expresión de la solución general se conjetura por Euler, pero su demostración escapa aritméticos del XVIII ° siglo .

A Lagrange le interesa otra cuestión, ya planteada por Fermat 150 años antes y por Diofanto en la Antigüedad. Corresponde a la ecuación de Pell-Fermat . Si $n$ es un número entero sin un factor cuadrado, se escribe:

(3) \ quad x ^ {2} -ny ^ {2} = m.

Esta pregunta es objeto de estudio de los matemáticos indios si $m$ es igual a 1. El método chakravala permite encontrar soluciones con gran eficacia. Bhāskara II ( 1114 - 1,185 ) lo utiliza para $n$ igual a 61 y encuentra la solución $x$ = 1 766 319 049 y $y$ = 226 153 980. Fermat redescubre este método y lo demuestra de acuerdo con los criterios rigurosos de la época. Lagrange encuentra otro método, basado en fracciones continuas . También permite encontrar una infinidad de soluciones para todos los valores de $n$ ; finalmente se demuestra el hecho de que efectivamente se alcanzan todas las soluciones para $m$ = ± 1 ; no obstante, el caso general permanece fuera de alcance.

Aritmética modular

Si algunos casos particulares se tratan con métodos elementales, por otro lado, las soluciones generales siguen siendo inasequibles. Ninguno de los tres casos de ecuaciones diofánticas cuadráticas con dos indeterminados se trata en el caso general. Corresponden a una elipse con la ecuación (1) del párrafo anterior, a una parábola con la ecuación (2) oa una hipérbola con la ecuación (3). Los métodos de la aritmética elemental no son lo suficientemente poderosos.

En 1801 , Gauss propuso el uso de un nuevo enfoque que ahora se llama aritmética modular . Consiste, en términos modernos, en utilizar un enfoque estructural. Los conjuntos se proporcionan con operaciones, una suma y, a veces, una multiplicación. Las estructuras, es decir el conjunto y sus operaciones se estudian en un marco general, permitiendo obtener teoremas con un amplio campo de aplicación. Este enfoque permite simplificar las soluciones de ecuaciones diofánticas ya conocidas, resolver nuevos casos particulares e incluso establecer soluciones generales, por ejemplo para la ecuación (2).

Grupo abeliano finito

Es posible considerar el cociente del anillo ℤ por n ℤ ; el elemento genérico de esta estructura es la clase de todos los enteros que tienen el mismo resto por la división euclidiana por $n$ . Los elementos de esta estructura se suman y se multiplican. El estudio del cociente proporciona una formulación más simple de ciertas ecuaciones diofánticas. El pequeño teorema de Fermat está escrito, si $p$ es un número primo y $tiene$ un número entero distinto de cero:

a ^ {{p-1}} \ equiv 1 \ mod p.

Si $n$ es un número primo, entonces el conjunto de elementos distintos de cero forma un grupo abeliano no solo finito, sino también cíclico . La igualdad precedente se convierte en una consecuencia directa del teorema de Lagrange sobre grupos . Si $n$ no es primo, el conjunto (ℤ / $n$ ℤ) * de los elementos invertibles de ℤ / $n$ ℤ nuevamente forma un grupo abeliano finito, ofreciendo así una prueba simple de la generalización de Euler del pequeño teorema de Fermat. La estructura general de un grupo abeliano finito, aclarada por el teorema de Kronecker , no se demostró hasta mucho más tarde, en 1870 . Este formalismo también simplifica la demostración del teorema de Wilson.

Resolver la ecuación (2) se reduce al siguiente problema, excepto por el signo:

x ^ {2} \ equiv n \ mod p.

Esta ecuación admite una solución distinta de cero si y solo si $n$ es un elemento del subgrupo de cuadrados de (ℤ / $p$ ℤ) *. El estudio de los morfismos de este grupo en el de las raíces de la unidad de números complejos permite a Gauss resolver la ecuación (2) en toda su generalidad. Este resultado se conoce como ley de reciprocidad cuadrática . Es la primera familia de ecuaciones cuadráticas totalmente resuelta, corresponde al caso parabólico.

Anillo euclidiano

Otra estructura, que permite resolver ecuaciones diofánticas, está en el corazón de la aritmética modular: la del anillo euclidiano. Un anillo es un conjunto provisto de una suma y una multiplicación compatibles entre sí. A veces es posible definir una división euclidiana. Tal anillo tiene todos los teoremas de la aritmética elemental: la identidad de Bézout, el lema de Euclides y el teorema fundamental de la aritmética todavía se aplican.

Gauss estudia el conjunto de números de la forma $a + i b$ , donde $un$ y $b$ denotan dos enteros y $i$ es una de las dos raíces cuadradas complejas de -1 . El conjunto forma un anillo euclidiano cuyos elementos llevan el nombre completo de Gauss . Trabajar en este anillo simplifica la solución de algunas ecuaciones diofánticas como la de los dos cuadrados. Hay otros anillos euclidianos de esta naturaleza. Gotthold Eisenstein estudia los de la forma $de un + j b$ donde $un$ y $b$ denotan dos enteros más y $j$ la raíz cúbica de la unidad cuyo componente imaginaria es estrictamente positivo. Este número se llama entero de Eisenstein . Este anillo es el marco de una solución de la ecuación (1) para $n$ igual a tres.

También permite resolver el último teorema de Fermat para $n$ igual a tres. Esta resolución toma el esquema general de un intento de Euler de resolver esta cuestión. En contraste, el matemático usó el anillo de números de la forma $a + i \sqrt 3 b$ . Supuso que el anillo considerado es euclidiano, lo que no es el caso e invalida su demostración. De hecho, el número cuatro tiene dos descomposiciones en factores irreducibles, lo que es imposible en un anillo euclidiano:

4 = 2 \ times 2 = (1 + {{\ rm {i}}} {\ sqrt 3}) \ times (1 - {{\ rm {i}}} {\ sqrt 3}).

El anillo de números enteros de ℚ ( √ 5 ) también es euclidiano. Puede usarse para una demostración del gran teorema de Fermat para $n$ igual a 5.

Teorema de progresión aritmética

Una ecuación diofántica plantea una pregunta cuya respuesta ya han conjeturado Gauss y Legendre. Si $un$ y $b$ son dos números enteros primos entre sí, se necesita una de las dos formas siguientes, ambos de los cuales son equivalentes:

x = ay + b \ quad {\ text {o}} \ quad x \ equiv b \ mod a.

Las soluciones buscadas son aquellas donde $x$ es un número primo. La conjetura establece que hay infinitos valores de $x que$ satisfacen la ecuación.

Dirichlet logró demostrar este resultado en 1837 . La demostración utiliza aritmética modular a través del estudio de morfismos del grupo multiplicativo de ℤ / $a$ ℤ en ℂ. Generaliza el análisis armónico en un grupo abeliano finito iniciado por Gauss con las sumas y períodos de Gauss que solo tratan el caso donde $a$ es un número primo. Dirichlet está inspirada en los descubrimientos de Joseph Fourier ( 1768 - 1830 ) en su serie . Charles Gustave Jacob Jacobi ( 1804 - 1851 ) dijo de él: "Al aplicar las series de Fourier a la teoría de números, Dirichlet encontró recientemente resultados que alcanzaron las alturas de la percepción humana" .

Su demostración es notable en el sentido de que no se limita al simple uso de técnicas algebraicas. Retoma el trabajo de Euler sobre un producto infinito , encontrado tras el estudio del problema de Mengoli y que establece el siguiente resultado, si $P$ denota el conjunto de números primos:

\ prod _ {{p \ \ in P}} {\ frac 1 {1-p ^ {{- 2}}}} \ = \ \ sum _ {{n = 1}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac 1 {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} 6}.

La demostración abre la puerta a una nueva aritmética, también haciendo uso del análisis y ahora llamada teoría analítica de números .

Teoría algebraica de números

Catorce años más tarde, el éxito de Dirichlet es seguido por un intento exitoso por Gabriel Lamé ( 1795 - 1870 ) para resolver el caso $n$ igual a 7 del último teorema de Fermat. Una vez más, las técnicas modulares están en funcionamiento, la estructura clave es nuevamente un anillo euclidiano. Pero la complejidad de la prueba muestra que el enfoque no se puede generalizar.

Por tanto, la aritmética modular permite avances reales, pero la resolución general de una familia de ecuaciones permanece en general fuera de alcance. Esta observación es válida tanto para el último teorema de Fermat como para las ecuaciones cuadráticas. De hecho, si es posible encontrar un número infinito de soluciones a la ecuación (3), nadie puede demostrar si el conjunto de soluciones es exhaustivo o no. Finalmente, la ecuación (1) permanece inaccesible en el caso general. Una familia de anillos representa buenos candidatos para ir más allá; están formados por números enteros algebraicos .

Entero algebraico

En este artículo ya se han observado varios ejemplos de anillos de enteros algebraicos: los enteros de Gauss, Eisenstein o el de enteros de ℚ ( √ 5 ). Un enfoque más general consiste en estudiar un campo cuadrático , es decir el subcampo más pequeño del campo ℂ de los números complejos que contienen las raíces de un polinomio de grado 2. Un número entero cuadrático es un elemento de este campo que es el raíz de un polinomio unitario (el monomio de grado 2 tiene coeficiente 1) y con coeficientes en ℤ. Los enteros cuadráticos forman un anillo incluido en el campo cuadrático.

En algunos aspectos, los ejemplos utilizados son excepcionales. En el caso general, dos obstrucciones requieren adaptar los resultados de la aritmética modular para permitir la resolución de ecuaciones diofánticas. Una vez que se comprende la estructura de estas obstrucciones, se pueden procesar las ecuaciones de tipo (1) y (3) .

El primero lo actualiza Dirichlet. Para enteros cuadráticos, solo concierne a los casos donde los elementos están todos incluidos en el conjunto de números reales , hablamos de un campo cuadrático totalmente real . El grupo de unidades es el conjunto de elementos invertibles del anillo. Se vuelve infinito en un campo cuadrático totalmente real. La ecuación (3) equivale a encontrar todos los elementos del grupo de unidades del anillo. El teorema de las unidades de Dirichlet le da a la estructura tal grupo, sin limitarse a extensiones asociadas a polinomios de grado 2. En el caso de un cuerpo cuadrático totalmente real, es isomorfo al grupo aditivo ℤ / 2ℤ × ℤ. Gráficamente, la ilustración de la izquierda muestra que los elementos se encuentran en cuatro ramas de hipérbolas. Cualquier solución de la ecuación de Pell-Fermat corresponde a un par de raíces inversas entre sí. Las fracciones continuas permiten determinar una raíz primitiva del grupo de unidades, es decir que esta raíz genera todas las demás. La comprensión de la estructura de esta obstrucción muestra que el método de Lagrange efectivamente permite encontrar todas las soluciones de la ecuación (3) y cierra la pregunta.

La segunda obstrucción se refiere a la factorización prima de un entero algebraico. Es único en el caso de anillos euclidianos, principales o factoriales . Esta propiedad, expresada por el teorema fundamental de la aritmética, es uno de los fundamentos de la aritmética elemental o modular. Ya no se verifica en el caso de un anillo de números enteros algebraicos. Ernst Kummer interpreta esta realidad como una falta de números primos, es porque falta que desaparece la unicidad de la descomposición. Tiene la idea de enriquecer el anillo con números ideales para reemplazar los números primos que faltan. Richard Dedekind le da a esta teoría su formalismo moderno. Muestra en 1876 que los números ideales de Kummer se formalizan simplemente usando el concepto de ideal , un subgrupo del anillo estable por multiplicación por cualquier elemento. En esta ocasión, utiliza el vocabulario de Kummer, mientras modifica el formalismo. Los números primos ideales en realidad corresponden a ideales primos no principales . Gracias a la noción de ideal fraccionario , encuentra un equivalente del teorema fundamental: todo ideal se descompone de manera única en un producto de ideales primos. Entonces queda por determinar la estructura de los ideales primordiales y no los principales. Considerando el cociente monoide conmutativo de los ideales por los ideales principales, demuestra el teorema clave, a saber, que este cociente es un grupo finito , llamado grupo de clases de ideales . En casos simples, como el de anillos de enteros cuadráticos, este resultado permite determinar los ideales primos no principales y al mismo tiempo resolver la ecuación (3) en el caso general.

Cuerpo ciclotómico

Si el formalismo moderno derrotar a la segunda obstrucción es la obra de Dedekind y la fecha del final del XIX ° siglo, una parte importante del trabajo matemático proviene de Kummer obra de mediados de siglo. Su interés es la generalización de la ley de reciprocidad cuadrática, así como el último teorema de Fermat.

La prueba del caso de Lamé $n$ = 7 todavía se basa en el anillo de números enteros algebraicos de un campo cuadrático. La imposibilidad de una respuesta general basada en el estudio de números enteros cuadráticos llevó a Lamé y Kummer a estudiar otros campos numéricos , es decir, el subcampo más pequeño de ℂ que contiene todas las raíces de un polinomio. Ambos eligen los polinomios ciclotómicos , es decir los polinomios unitarios de grado mínimo que tienen por raíz una raíz de la unidad . El campo numérico asociado se denomina "cuerpo ciclotómico". Estos cuerpos tienen múltiples "buenas propiedades". El polinomio ciclotómico tiene coeficientes en ℤ, por lo que una raíz de unidad es siempre un número entero algebraico. Un campo ciclotómico permanece principal por más tiempo y, de ser así, el anillo de números enteros satisface el teorema fundamental de la aritmética. Así, los anillos de números enteros algebraicos de campos ciclotómicos de índice 5, 7, 11, 13, 17 y 19 son principales. Esta observación lleva a Lamé a presentar una solución que cree que es general para el gran teorema de Fermat en 1847 . Kummer es más cuidadoso; ya había demostrado tres años antes que para el índice 23, el anillo no es principal.

El formalismo utilizado en este artículo es el vigente en la actualidad y difiere del de Kummer, sin embargo el contenido matemático es el mismo. La dificultad a resolver es comprender cómo encajan los ideales primos no principales. Este problema, aunque resuelto antes, es en última instancia más complejo que el de los anillos enteros cuadráticos. El polinomio en el origen del campo numérico es de cualquier grado y ya no es igual a 2. La teoría de Galois es de gran ayuda. Dans le cas d'un corps cyclotomique $K$ , l'extension est dite galoisienne , c'est-à-dire qu'il existe autant d' automorphismes de $K$ que l'ensemble possède de dimensions s'il est considéré comme un ℚ - espacio vectorial. Estos automorfismos forman un grupo finito G , llamado grupo de Galois . La imagen de un ideal primario por un automorfismo es también un ideal primario. Esta observación ayuda a comprender la estructura de los ideales principales mediante la ramificación . Cada ideal primo contiene un número primo único $p$ . La técnica consiste entonces en descomponer el ideal principal $pK$ en ideales primos. El grupo G actúa transitivamente sobre los ideales primos descomponiendo $pK$ , lo que permite determinar la descomposición de los ideales primos en las extensiones de Galois .

Además, $K$ es una extensión abeliana e incluso cíclica, es decir, el grupo de Galois es cíclico. Una consecuencia es que el grupo de clases también es cíclico. El grupo de clases se vuelve relativamente fácil de determinar y, si $p$ es un número primo regular , entonces no divide el orden del grupo de clases. Esta propiedad permite obtener una demostración relativamente fácil de este caso particular del último teorema de Fermat. Las únicas excepciones menores a 100 son 37, 59 y 67.

Geometría algebraica

El enfoque basado en el análisis fino de un conjunto de números tiene límites. Para una ecuación polinomial diofántica no homogénea, es decir, si el grado de los diferentes monomios no es el mismo, las herramientas imponen acrobacias que limitan en gran medida el alcance del método. Incluso en los casos más simples, como el de la extensión ciclotómica, la estructura de los ideales primos es a veces compleja, tal es el caso de los ideales asociados con números primos no regulares.

Por otro lado, las herramientas desarrolladas en este contexto se generalizan a otras ramas de las matemáticas. La teoría de los anillos, y particularmente de los anillos de Dedekind con sus ideales primarios o fraccionarios, también se aplica a la geometría algebraica. Una variedad algebraica se define como el conjunto de raíces comunes de un ideal de polinomios. La teoría de Galois también es operativa en este campo. Finalmente, hay otras herramientas disponibles, un polinomio deriva mientras que un número entero no, una superficie tiene muchas propiedades topológicas como el género , fuente de nuevos teoremas.

Una ecuación polinomial diofántica también se puede interpretar como la intersección de una variedad algebraica y una red igual a ℤ n . Este enfoque permite métodos de soluciones simples de ecuaciones diofánticas como la búsqueda de triples pitagóricas. Estas diferentes razones por las que los matemáticos del XX ° siglo para estudiar las ecuaciones diofánticas con este eje.

El décimo problema Hilbert

Estos problemas tradicionales se han planteado y, a menudo, no se han resuelto durante siglos. Además, los matemáticos están llegando gradualmente a comprenderlos en profundidad (en algunos casos), en lugar de tratarlos como rompecabezas . En 1900, Hilbert propuso la solución de todos los problemas diofánticos como el décimo de sus famosos problemas . En 1970, un nuevo resultado en lógica matemática conocido como teorema de Matiyasevich lo resolvió negativamente: en general, los problemas diofantinos no son solubles, en el sentido de que se pueden construir explícitamente problemas para los cuales la existencia de una solución es indecidible (en el sistema axiomático en que nos hemos colocado; construimos un polinomio preciso a partir de la lista de axiomas). Como resultado, la visión de la geometría diofántica , que es una aplicación de las técnicas de la geometría algebraica en este campo, ha continuado desarrollándose; Dado que tratar con ecuaciones arbitrarias conduce a un callejón sin salida, la atención se centra en las ecuaciones que también tienen un significado geométrico.

Investigación moderna

Uno de los enfoques generales es a través del principio de Hasse . El descenso infinito es el método tradicional y se ha llevado muy lejos.

La profundidad del estudio de las ecuaciones diofánticas generales se muestra mediante la caracterización de los conjuntos diofánticos como recursivamente enumerables .

El dominio de la aproximación diofántica tiene que ver con los casos de desigualdades diofánticas : siempre se asume que las variables son números enteros, pero algunos coeficientes pueden ser números irracionales, y el signo de la igualdad se reemplaza por límites superior e inferior.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Ecuación diofántica " ( ver la lista de autores ) .

C. Goldstein , " Fermat y su teorema ", Orsay Info 57 , 1999.
David Hilbert , “Teoría de los campos de números algebraicos: Prefacio”, Anales de la Faculté des Sciences de Toulouse , 3 rd serie, t. 3, 1911, pág. VI leer
" Elemental " se toma aquí en el sentido de que la sofisticación de las herramientas es limitada. Hay una segunda definición de "prueba elemental" en aritmética, lo que significa que la prueba no utiliza ni números ni técnicas trascendentes. Según esta segunda definición, la prueba de Wiles del teorema de Fermat es "elemental", pero es difícil y utiliza muchas herramientas técnicas y difíciles.
La resolución de esta ecuación es anterior, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac presenta una solución en su libro Problemas agradables y deliciosos que se hacen por números , publicado en 1624.
Extracto de una carta dirigida a Bernard Frénicle de Bessy y fechada el 18 de octubre de 1640.
El número primo más alto conocido en 2013 es 2 57 885 161 - 1: (en) " The Great Internet Prime Search " .
El artículo Número de Fermat da un ejemplo del uso del pequeño teorema de Fermat para establecer la no primordialidad de un entero.
Pierre de Fermat, Correspondencia , Marin de Mersenne, carta XLV, 25 de diciembre de 1640.
(La) Leonhard Euler, "Observaciones del teorema quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus", comentario. acad. científico Petropol. , Vuelo. 6, 1738, pág. 102-103, 1732.
(La) Leonhard Euler, "Theoremata circa divisors numerorum", comentario de Novi. acad. científico Petropol. , Vuelo. 1, 1750, pág. 20-48, 1747/48.
(en) N. Lippi, "Biografías de matemáticos-Marin Mersenne" (versión del 9 de mayo de 2008 en Internet Archive ) , de la Universidad de St Andrews .
Una resolución elemental de esta cuestión se presenta en la demostración de Euler del teorema de los dos cuadrados de Fermat .
Encontramos un rastro de ello en su correspondencia con Christian Goldbach : Correspondencia de Euler con Goldbach .
Joseph-Louis Lagrange, " Investigación en aritmética , segunda parte", Nuevas memorias de la Real Academia de Ciencias y Belles Letters de Berlín , 1775 - Obras , vol. III, pág. 759-795 . El teorema se demuestra con el nombre de Lema VII , p. 782-783 .
Su demostración para el caso $n = 1$ se presenta en el artículo sobre el teorema de los dos cuadrados de Fermat .
(La) Leonhard Euler, " Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos ", Opuscula analytica , vol. 1, 1783, pág. 64-84.
Adrien-Marie Legendre presenta prueba. Sin embargo, supone resolver otra ecuación diofántica, tratada por el teorema de progresión aritmética , más difícil que esta ecuación: Ensayo sobre la teoría de números , Duprat, París, 1798.
(in) TS Bhanu Murthy, Una introducción moderna a las matemáticas indias antiguas , New Age International, Nueva Delhi, 1992, p. 108-121 , vista previa en Google Books .
(en) John J. O'Connor y Edmund F. Robertson , "Ecuación de Pell" en el archivo MacTutor History of Mathematics , Universidad de St Andrews ( leer en línea ).
Carl Friedrich Gauss , Investigación aritmética , trad. française des Disquisitiones arithmeticae de A.-C.-M. Poullet-Delisle, 1801 leer
Esta notación se explica en el artículo Congruencia en números enteros .
(De) Leopold Kronecker , " Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen " , Monatsber. K. Preuss. Akad. Wiss , Berlín,1870, p. 881–889
Una prueba está presente en el artículo Análisis armónico en un grupo abeliano finito, el caso particular para $n$ = –1 o 2 se trata en el artículo Ley de reciprocidad cuadrática , una prueba para $n$ = 3 está presente en la prueba del caso $n$ = 3 del teorema de los dos cuadrados de Fermat .
Gauss es el autor de la primera demostración en 1796 . Más tarde califica su demostración como laboriosa : Gauss, Eisenstein y la tercera prueba del Teorema de reciprocidad cuadrática.
El artículo Teorema de los dos cuadrados de Fermat ofrece una prueba de Dedekind usando este anillo.
Una resolución de esta naturaleza se propone en el artículo Teorema de los dos cuadrados de Fermat
Se da una demostración en el artículo Demostraciones del último teorema de Fermat .
(en) HM Edwards , último teorema de Fermat: Una Introducción a la genética Teoría Algebraica de Números , Springer, 3 ª ed. 2000 ( ISBN 0387950028 )
(de) Dirichlet , “ Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression ” , Ber. K. Preuss. Akad. Wiss. ,1837, p. 108-110, pág. 307-312
(De) W. Ahrens (de) , “Briefwechsel zwischen CGJ Jacobi und MH Jacobi”, The Mathematical Gazette , vol. 4, n.o 71, 1908, pág. 269-270
Leonhard Euler, "Demostración de la suma de esta secuencia 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc", Diario encendido. de Alemania, Suiza y el Norte , vol. 2, 1743, pág. 115-127
Se puede encontrar una descripción de la demostración en el sitio web del último teorema de Fermat
Una prueba se da en el artículo Entero cuadrático .
Ernst Kummer, "Sobre la teoría de los números complejos" , CRAS , 1847 .
Richard Dedekind, Tratado de teoría de números , trans. C. Duverney, Tricorne, Ginebra, 2006 ( ISBN 2829302893 ) .
(De) Richard Dedekind, "Zur Theorie der Ideale", Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen , 1894.
El artículo Quadratic Integer muestra cómo resolver el caso general de la ecuación (3) mediante el ejemplo $n = 5$ .
Esta propiedad se demuestra en el artículo Polinomio ciclotómico
Gabriel Lamé , " Demostración general del teorema de Fermat, sobre la imposibilidad, en números enteros, de la ecuación x n + y n = z n ", CRAS , vol. 24, 1847, pág. 310-315 Sigue leyendo Gallica
(en) HM Edwards, "El trasfondo de la prueba de Kummer del último teorema de Fermat para las primas regulares", Arch. Historia Exact Sci. , Vuelo. 14 de 1975
(de) Ernst Kummer, “Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von x λ + y λ = z λ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ”, Monatsber. Akad. Wiss. Berlín , 1847, pág. 132-139, 140-141 y 305-319

Ver también

enlaces externos

(en) Eric W. Weisstein , " Ecuación diofántica " , en MathWorld
(en) " Ecuación diofántica " , en PlanetMath

Bibliografía

M. Guinot, Aritmética para aficionados. Vuelo. 1. Pitágoras, Euclides y toda la camarilla de Aléas Lyon, 1992 ( ISBN 2908016214 ) Esta serie de cinco volúmenes está destinada a aficionados ilustrados (es decir, que hayan realizado uno o dos años de estudios matemáticos después del bachillerato) . Contiene los conceptos básicos de la aritmética, así como el estudio de las triples pitagóricas .
M. Guinot, Aritmética para aficionados. Vuelo. 2. Les resveries de Fermat Aléas Lyon, 1993 ( ISBN 2908016273 ) La tercera parte se refiere a las sumas de dos cuadrados.
M. Guinot, Aritmética para aficionados. Vuelo. 3. Este diablo del hombre de Euler Aléas Lyon, 1994 ( ISBN 2908016397 ) Este libro trata el teorema de los dos cuadrados con las herramientas de Lagrange y Jacobi, así como la ecuación diofántica en general.
M. Guinot, Aritmética para aficionados. Vuelo. 5. GAUSS “ princeps mathematicum ” Aléas Lyon, 1997 ( ISBN 2843010446 ) Este libro trata de los enteros gaussianos y la clasificación de formas cuadráticas.
Pierre Samuel , Teoría algebraica de números [ detalle de la edición ]