Raíz cuadrada

En las matemáticas , la raíz cúbica de un número real es el número real sólo cuyo cubo (es decir, el poder de 3 rd ) vale la pena ; en otras palabras . Se anota la raíz cúbica de . $y$ $X$ $y$ $y = x ^ {3} = x \ veces x \ veces x$ $y$ ${\ sqrt [{3}] {y}}$

También podemos hablar de raíces cúbicas de un número complejo .

Definición

En general, llamamos a la raíz cúbica de un número (real o complejo) cualquier solución numérica de la ecuación : $y$ $X$

$x ^ {3} = y.$

Si real, esta ecuación en R una solución única, llamada la raíz cúbica de lo real : . $y$ $y$ $x = {\ sqrt [{3}] {y}}$

En C , esta ecuación tiene tres soluciones distintas, que son las raíces cúbicas del complejo . Cuando este complejo es un verdadero, tres soluciones son: , y donde es la raíz cúbica de bienes y $1$ , $j$ y $j$ son las tres raíces cúbicas de la unidad en C . $y$ $y$ ${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {y}}}$ ${\ Displaystyle {\ rm {j}} {\ sqrt [{3}] {y}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ rm {j}}} {\ sqrt [{3}] {y}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {y}}}$ $y$

Raíz cúbica de un número real

Ejemplos de

La raíz cúbica de 8 es 2 porque 2 × 2 × 2 = 8. La raíz cúbica toma su nombre del cubo : la raíz cúbica es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen está dado . Tenemos un volumen de 8 y una arista de 2; escribimos :

{\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {8}} = 2}

La raíz cúbica de –27 es –3 porque (–3) × (–3) × (–3) = –27.

{\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {- 27}} = - 3}

Función raíz cúbica

En R , la función raíz cúbica, denotada , es la que asocia su raíz cúbica real única con un número real. ${\ sqrt [{3}] {~}}$

En el conjunto de reales estrictamente positivos, la función raíz cúbica es igual a la función de potencia de un tercio:

{\ Displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad {\ sqrt [{3}] {y}} = y ^ {1 \ over 3}}

Propiedades

La raíz cúbica es asociativa con exponentes, distributiva con multiplicación y división, pero no con suma y / o resta.
Según el teorema de Wantzel , la raíz cúbica de un número racional no se puede construir con una regla y un compás , excepto, por supuesto, si es racional. Por eso el problema de duplicar el cubo no tiene solución.

Raíces cúbicas de un número complejo

Cualquier número complejo distinto de cero tiene tres raíces cúbicas complejas distintas de suma cero . Si Z es uno de ellos, los otros dos son $j$ Z y $j 2$ Z , donde

$1, \ quad {{\ rm {j}}} = {\ frac {-1 + {{\ rm {i}}} {\ sqrt 3}} 2} = {{\ rm {e}}} ^ { {{{\ rm {i}}} {\ frac {2 \ pi} 3}}} \ quad {{\ rm {y}}} \ quad {{\ rm {j}}} ^ {2} = \ overline {{\ rm {j}}} = {\ frac {-1 - {{\ rm {i}}} {\ sqrt 3}} 2} = {{\ rm {e}}} ^ {{- { {\ rm {i}}} {\ frac {2 \ pi} 3}}}$

son las tres raíces cúbicas de la unidad .

Símbolo Unicode

U + 221B ∛ raíz cúbica ( HTML : ∛)

Nota

Como cualquier función de potencia definida como una función real, la función de potencia 1/3 solo se define en R + *: para cualquier y real > 0, y 1/3 es la base exponencial y del 1/3 real.

Ver también