Un poliedro uniforme es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares , y que es isogonal , es decir que para cualquier par de vértices existe una isometría que aplica un vértice al otro. De ello se deduce que todos los vértices son congruentes y que el poliedro tiene un alto grado de simetría por reflexión y rotación . La noción de poliedro uniforme se generaliza, para cualquier número de dimensiones, por la de politopo uniforme (in) .
Los poliedros uniformes pueden ser regulares , cuasi-regulares o semi-regulares . Las caras no necesitan ser convexas , por lo que muchos poliedros uniformes están estrellados .
Excluyendo los dos conjuntos infinitos de prismas y antiprismas uniformes (incluidos los convexos y estrellados), hay 75 poliedros uniformes (o 76 si se permite que los bordes coincidan):
También se pueden agrupar por grupo de simetría , que se hace a continuación.
Hay cuatro esfuerzos principales de indexación publicados a partir del trabajo anterior. Para distinguirlos, están dados por diferentes letras índice, C para la primera enumeración de sólidos de Coxeter en 1954, W para el libro de 1974 sobre patrones de poliedros de Wenninger, K para la solución de Kaleido de 1993 y U para la solución de Maeder utilizada por Mathematica y reproducido extensamente en otros lugares.
Las operaciones de construcción de Wythoff pueden nombrar poliedros uniformes convexos en un formulario principal.
Nota : los dihedra (en) son parte de un conjunto infinito de poliedros de dos lados (2 polígonos idénticos) que genera los prismas como formas truncadas.
Cada una de estas formas convexas define un conjunto de vértices que se pueden identificar para las formas no convexas en la siguiente sección.
Padre | Truncado | Rectificado | Bitronqué (doble truncado) |
Bidireccional (dual) |
Biselado | Omni -truncado ( rectificado-truncado ) |
Ablandado | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Símbolo de Schläfli extendido |
||||||||
t 0 {p, q} | t 0,1 {p, q} | t 1 {p, q} | t 1,2 {p, q} | t 2 {p, q} | t 0.2 {p, q} | t 0,1,2 {p, q} | s {p, q} | |
Símbolo de Wythoff p-q-2 |
q | p 2 | 2 q | pag | 2 | pq | 2 p | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pk 2 |
Diagrama de Coxeter-Dynkin (variaciones) | ||||||||
(o) -poqo | (o) -p- (o) -qo | op- (o) -qo | op- (o) -q- (o) | opoq- (o) | (o) -poq- (o) | (o) -p- (o) -q- (o) | () -p- () -q- () | |
xPoQo | xPxQo | oPxQo | oPxQx | oPoQx | xPoQx | xPxQx | sPsQs | |
[p, q]: 001 | [p, q]: 011 | [p, q]: 010 | [p, q]: 110 | [p, q]: 100 | [p, q]: 101 | [p, q]: 111 | [p, q]: 111 s | |
Configuración superior (en) | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (pág.2q.2q) | q p | (p.4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p.3.q) |
Tetraédrico 3-3-2 |
{3.3} |
(3.6.6) |
(3.3.3.3) |
(3.6.6) |
{3.3} |
(3.4.3.4) |
(4.6.6) |
(3.3.3.3.3) |
octaédrica 4-3-2 |
{4.3} |
(3.8.8) |
(3.4.3.4) |
(4.6.6) |
{3,4} |
(3.4.4.4) |
(4.6.8) |
(3.3.3.3.4) |
5-3-2 icosaédrico |
{5.3} |
(3.10.10) |
(3.5.3.5) |
(5.6.6) |
{3.5} |
(3.4.5.4) |
(4.6.10) |
(3.3.3.3.5) |
Diédrico p-2-2 Ejemplo p = 5 |
{5.2} | 2.10.10 | 2.5.2.5 |
4.4.5 |
{2.5} | 2.4.5.4 |
4.4.10 |
3.3.3.5 |
Cirugía | Símbolos de Schläfli extendidos |
Diagrama de Coxeter- Dynkin |
Descripción | |
---|---|---|---|---|
Padre | t 0 {p, q} | Cualquier poliedro o pavimento regular | ||
Rectificado | t 1 {p, q} | Los bordes están completamente truncados en puntos individuales. El poliedro ahora tiene las caras combinadas del padre y el dual. | ||
Dual bidireccional |
t 2 {p, q} | El birectificado (dual) es un truncamiento más, es decir que las caras originales se reducen a puntos. Se forman nuevas caras debajo de cada vértice del padre. El número de aristas no cambia y se gira 90 grados. El dual de un poliedro regular {p, q} también es un poliedro regular {q, p}. | ||
Truncado | t 0,1 {p, q} | Se recorta cada vértice original, con caras nuevas que llenan el agujero. El truncamiento tiene un grado de libertad, que tiene una solución que crea un poliedro uniforme truncado. El poliedro tiene sus caras originales dobladas por lados y contiene las caras del dual. |
||
Bitronqué | t 1,2 {p, q} | Idéntico al dual truncado. | ||
Biselado (o rombo) ( desarrollado ) |
t 0.2 {p, q} | Además del truncamiento de los vértices, cada borde original se cepilla revelando en lugar de nuevas caras rectangulares. El bisel uniforme está a medio camino entre la forma principal y la doble. |
||
Omnitroncature (o rectificación-truncamiento) |
t 0,1,2 {p, q} | Las operaciones de truncar y rectificar se aplican juntas, creando una forma omnitronizada que tiene las caras del padre dobladas en los lados, las caras del dual dobladas en los lados y los cuadrados donde existían los bordes originales. | ||
Ablandado | s {p, q} | El ablandamiento toma la forma omnitronizada y rectifica los vértices alternativamente (esta operación solo es posible para poliedros con todas las caras en lados pares). Todas las caras originales terminan con la mitad de los lados y el cuadrado degenera en bordes. Dado que las formas omnitronadas tienen 3 caras / vértice, se forman nuevos triángulos. |
Todos los poliedros uniformes se enumeran a continuación por sus grupos de simetría y subgrupos por sus disposiciones de vértice (configuraciones de vértice).
Los poliedros regulares están marcados por sus símbolos Schläfli . Los otros poliedros uniformes no regulares se enumeran por sus configuraciones de vértice (en) o por sus índices del poliedro uniforme U (1-80).
Nota : Para formas no convexas , se utiliza un descriptor adicional, " no uniforme ", cuando la envolvente convexa de la disposición de vértices tiene la misma topología que una de ellas, pero tiene caras no regulares. Por ejemplo, una forma de bisel no uniforme puede tener rectángulos creados en lugar de bordes en lugar de cuadrados .
Hay dos poliedros convexos uniformes, el tetraedro y el tetraedro truncado , y una forma no convexa, el tetrahemihexaedro, que tiene simetría tetraedro (en) . El tetraedro es un poliedro autodual .
Además, el octaedro , truncada octaedro , cuboctaedro y icosaedro Tienes tetraédrica simetría así como una mayor simetría. Se agregan para completar a continuación, aunque sus formas no convexas con simetría octaédrica no se incluyen aquí.
Grupo cumbre | Convexo | No convexo | |
---|---|---|---|
(Tetraedro) |
{3.3} |
||
Truncado (*) |
(3.6.6) |
||
Rectificado (*) |
{3,4} |
(4,3 / 2,4,3) |
|
Biselado (*) |
(3.4.3.4) |
||
Omnidireccional (*) |
(4.6.6) |
||
Suavizado (*) |
{3.5} |
Hay 8 formas convexas y 10 formas no convexas con simetría octaédrica .
Grupo cumbre | Convexo | No convexo | ||
---|---|---|---|---|
(Octaédrico) |
{3,4} |
|||
Truncado (*) |
(4.6.6) |
|||
Rectificado (*) |
(3.4.3.4) |
(6.4 / 3.6.4) |
(6.3 / 2.6.3) |
|
Doble truncado (*) |
(3.8.8) |
(4.8 / 3.4 / 3.8 / 5) |
(8 / 3.3.8 / 3.4) |
(4,3 / 2,4,4) |
Doble (*) |
{4.3} |
|||
Biselado (*) |
(3.4.4.4) |
(4.8.4 / 3.8) |
(8,3 / 2,8,4) |
(8 / 3.8 / 3.3) |
Omnidireccional (*) |
(4.6.8) |
|||
Omisión no uniforme (*) | (4.6.8) |
(8 / 3.4.6) |
(8 / 3.6.8) |
|
Suavizado (*) |
(3.3.3.3.4) |
Hay 8 formas convexas y 46 formas no convexas que tienen simetría icosaédrica (o 47 formas no convexas si se incluye el poliedro de Skilling). Algunas formas suaves no convexas tienen simetría quiral no uniforme y algunas tienen simetría aquiral.
Hay muchas formas no uniformes de diversos grados de truncamiento y bisel.
Grupo cumbre | Convexo | No convexo | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(Icosaédrico) |
{3.5} |
{5 / 2.5} |
{5.5 / 2} |
{3.5 / 2} |
|||||
Truncado (*) |
(5.6.6) |
||||||||
Truncado no uniforme (*) | (5.6.6) |
U32 |
U37 |
U61 |
U38 |
U44 |
U56 |
U67 |
U73 |
Rectificado (*) |
(3.5.3.5) |
U49 |
U51 |
U54 |
U70 |
U71 |
U36 |
U62 |
U65 |
Doble truncado (*) |
(3.10.10) |
U42 |
U48 |
U63 |
|||||
No uniforme truncado doble (*) | (3.10.10) |
U68 |
U72 |
U45 |
|||||
Doble (*) |
{5.3} |
{5 / 2.3} |
U30 |
U41 |
U47 |
||||
Biselado (*) |
(3.4.5.4) |
U33 |
U39 |
||||||
Bisel no uniforme (*) | (3.4.5.4) |
U31 |
U43 |
U50 |
U55 |
U58 |
U75 |
U64 |
U66 |
Omnidireccional (*) |
(4.6.10) |
||||||||
Omisión no uniforme (*) | (4.6.10) |
U59 |
|||||||
Suavizado (*) |
(3.3.3.3.5) |
||||||||
Suavizado no uniforme (*) | (3.3.3.3.5) |
U40 |
U46 |
U57 |
U69 |
U60 |
U74 |
Hay un poliedro no convexo adicional llamado dirhombidodecaedro grande desafecto , también conocido como poliedro Skilling. Hay vértices uniformes, pero los pares de aristas coinciden en el espacio de modo que cuatro caras se encuentran en algunos vértices. A veces, pero no siempre, se cuenta como un poliedro uniforme. Tiene I h simetría .
Hay dos conjuntos infinitos de poliedros uniformes con simetría diedro :
Si p / q es un número entero , es decir, si q = 1, el prisma o el antiprisma es convexo (siempre se supone que la fracción es irreducible).
La diferencia entre los grupos de simetría prismática y antiprismática radica en el hecho de que D p h tiene un plano de reflexión paralelo al polígono {p / q}, mientras que D p d no.
Un antiprisma con p / q <2 se cruzó ; su figura superior se asemeja a una pajarita. Si p / q ≤ 3/2, no puede existir antiprisma, ya que su figura de vértice violaría la desigualdad triangular .
Nota : el tetraedro , el cubo y el octaedro se enumeran aquí con simetría diedro (como antiprisma digonal , prisma tetragonal y antiprisma trigonal, respectivamente); aunque de color uniforme, el primero también tiene simetría tetraédrica y los otros dos tienen simetría octaédrica.
Simetría de grupo |
Convexo | No convexo | |||
---|---|---|---|---|---|
d 2d |
3.3.3 |
||||
d 3h |
3.3.4 |
||||
d 3d |
3.3.3.3 |
||||
d 4h |
4.4.4 |
||||
d 4d |
3.3.3.4 |
||||
d 5h |
4.4.5 |
4.4.5 / 2 |
3.3.3.5/2 |
||
d 5d |
3.3.3.5 |
3.3.3.5/3 (en) |
|||
d 6h |
4.4.6 |
||||
d 6d |
3.3.3.6 |
||||
d 7h |
4.4.7 ( pulgadas ) |
4.4.7 / 2 ( pulgadas ) |
4.4.7 / 3 ( pulgadas ) |
3.3.3.7/2 ( pulgadas ) |
3.3.3.7/4 (en) |
d 7d |
3.3.3.7 ( pulgadas ) |
3.3.3.7/3 (en) |
|||
d 8h |
4.4.8 |
4.4.8 / 3 ( pulgadas ) |
|||
d 8d |
3.3.3.8 |
3.3.3.8/3 (en) |
3.3.3.8/5 ( pulgadas ) |
||
d 9h |
4.4.9 ( pulgadas ) |
4.4.9 / 2 y 4.4.9 / 4 ( pulgadas ) |
3.3.3.9/2 y 3.3.3.9/4 (en) |
||
d 9d |
3.3.3.9 ( pulgadas ) |
3.3.3.9/5 | |||
d 10h |
4.4.10 |
4.4.10 / 3 | |||
d 10d |
3.3.3.10 |
3.3.3.10/3 | |||
d 11h |
4.4.11 |
4.4.11 / 2 4.4.11 / 3 4.4.11 / 4 4.4.11 / 5 |
3.3.3.11/2 3.3.3.11/4 3.3.3.11/6 |
||
d 11d | 3.3.3.11 | 3.3.3.11/3 3.3.3.11/5 3.3.3.11/7 |
|||
d 12h |
4.4.12 |
4.4.12 / 5 | 3.3.3.12/7 | ||
d 12d |
3.3.3.12 |
3.3.3.12/5 | |||
... |