Tetraedro

Los tetraedros (del griego tetra : cuatro) son poliedros de la familia de las pirámides , compuestos por cuatro caras triangulares , seis aristas y cuatro vértices .

Propiedades combinatorias

El 3- simplex es la representación abstracta del tetraedro; en este modelo, las aristas se identifican con los 6 subconjuntos con 2 elementos del conjunto de los cuatro vértices, y las caras con los 4 subconjuntos con 3 elementos.

Cada vértice de un tetraedro está conectado a todos los demás por un borde. Esta característica es rara: solo se han descubierto dos poliedros que lo poseen, el otro es el poliedro de Császár , que es homeomorfo al toro , tiene 7 vértices de orden 6 , 14 caras triangulares y 21 aristas.

El esqueleto en 1 de un tetraedro, el conjunto de sus vértices conectados por sus bordes, forma un gráfico completo llamado gráfico tetraédrico y anotado . $K_ {4}$

Puntos a destacar

Muchos puntos notables del triángulo tienen análogos del tetraedro, con la notable excepción del ortocentro . Este es en particular el caso del centro de la esfera circunscrita (intersección de los planos mediadores de los bordes), de los centros de las esferas inscritas y exinscritas (intersecciones de los planos bisectores) o del centro de gravedad . Se dice que un tetraedro es "ortocéntrico" cuando sus cuatro alturas son concurrentes; el punto de intersección es entonces el ortocentro del tetraedro. Una generalización del ortocentro, que coincide con él para tetraedros ortocéntricos pero siempre está definida, es el punto de Monge , intersección de planos ortogonales a un borde y que pasa por el medio del borde opuesto.

Propiedades métricas

Construcción

Los datos de las 6 longitudes de las aristas permiten la construcción del tetraedro si y solo si estas longitudes satisfacen (estrictamente) la desigualdad triangular . Si especificamos el orden de los bordes, hay (hasta la isometría ) solo dos soluciones, imágenes especulares una de la otra; una realización concreta (utilizando barras rígidas, por ejemplo) es necesariamente sin ningún grado de libertad y, por tanto, no deformable.

Tetraedro de garza

Un tetraedro en el que todos los bordes, todas las áreas de la cara y el volumen son números enteros se llama tetraedro Heron ; este es, por ejemplo, el caso del tetraedro que tiene para los bordes 896, 990 (para el borde opuesto) y 1073 (para los otros cuatro).

Volumen de tetraedro

Como para cualquier pirámide , la fórmula para calcular el volumen de cualquier tetraedro es:

{\ Displaystyle V = {\ frac {Bh} {3}}}

si $B$ es el área de una base del tetraedro $yh es$ la altura del tetraedro que descansa sobre esta base.

Para un tetraedro construido sobre A, B, C y D ,

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {6}} \ left | \ det ({\ overrightarrow {AB}}, {\ overrightarrow {AC}}, {\ overrightarrow {AD}}) \ right |.}

Fórmulas similares a la fórmula de Heron permiten determinar el volumen a partir de las longitudes de los seis lados; uno de ellos, el determinante Cayley-Menger (en) :

{\ displaystyle 288 \ cdot V ^ {2} = {\ begin {vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_ {12} ^ {2} & d_ {13} ^ {2} & d_ {14} ^ {2} \\ 1 & d_ {12} ^ {2} & 0 & d_ {23} ^ {2} & d_ {24} ^ {2} \\ 1 & d_ {13} ^ {2} & d_ {23} ^ {2} & 0 & d_ {34} ^ {2} \\ 1 & d_ {14} ^ {2} & d_ {24} ^ {2} & d_ {34} ^ {2} & 0 \ end {vmatrix}}}

(donde es la distancia entre los vértices i y j ), se obtuvo (en una forma más pesado) por Piero della Francesca , pero a menudo se conoce como el " Tartaglia fórmula ". $d _ {{ij}}$

Distancias entre bordes

Dos aristas opuestas y de un tetraedro ( ABCD ) son llevadas por dos líneas no coplanares ; su distancia se define como la distancia entre estas dos rectas , es decir, a esta distancia medida en su perpendicular común. Presentación ( unidad vector colineal con el producto vectorial de los dos bordes, ya esto lo tanto ortogonal), se obtiene finalmente la fórmula para la distancia entre AB y CD : . ${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ overrightarrow {AB}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {b} = \ mathbf {d} - \ mathbf {c} = {\ overrightarrow {CD}} = {\ overrightarrow {AD}} - {\ overrightarrow {AC}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {n} = {\ frac {\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}} {| \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} |}}}$ ${\ Displaystyle d = | \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {c} |}$

Deducimos otra fórmula para el volumen:

{\ Displaystyle V = {\ frac {d | (\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}) |} {6}}}

Anglos

Además de los 12 ángulos de las cuatro caras (calculables mediante las fórmulas clásicas de trigonometría del triángulo ), hay 6 ángulos diedros correspondientes a las seis aristas y 4 ángulos sólidos correspondientes a los cuatro vértices. Observando ( P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) los cuatro vértices de un tetraedro, denotamos θ ij el ángulo diedro entre las dos caras adyacentes a la arista P i P j , Ω i el ángulo sólido en P i y Δ i el área de la cara opuesta al vértice P i

Las herramientas de cálculo de vectores ( producto escalar y producto vectorial ) permiten un cálculo sencillo de estos ángulos; tenemos, por ejemplo, ortogonal a la cara ( ABC ), y por lo tanto al establecer y , vemos eso . La fórmula Girard da entonces muy simplemente el ángulo sólido: . ${\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ overrightarrow {AB}} \ wedge {\ overrightarrow {AC}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {n} _ {1} = {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {2}}} \ wedge {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {3}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {n} _ {2} = {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {2}}} \ wedge {\ overrightarrow {P_ {1} P_ {4}}}}$ ${\ Displaystyle \ cos \ theta _ {12} = {\ frac {\ mathbb {n} _ {1}. \ mathbb {n} _ {2}} {| \ mathbb {n} _ {1} || \ mathbb {n} _ {2} |}}}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {1} = \ theta _ {12} + \ theta _ {13} + \ theta _ {14} - \ pi}$

Numerosas fórmulas de trigonometría del triángulo se generalizan al tetraedro (algunas de ellas se encuentran en el artículo trigonometría esférica , y un conjunto completo en el artículo trigonometría del tetraedro ); tenemos por ejemplo una " ley de los cosenos " (análoga al resultado de este nombre para triángulos) que conecta las áreas de las caras con los ángulos diedros:

{\ Displaystyle \ Delta _ {i} ^ {2} = \ Delta _ {j} ^ {2} + \ Delta _ {k} ^ {2} + \ Delta _ {l} ^ {2} -2 (\ Delta _ {j} \ Delta _ {k} \ cos \ theta _ {il} + \ Delta _ {j} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ik} + \ Delta _ {k} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ij})}

También existe una relación entre los ángulos diedros relacionados con la determinación de Cayley-Menger ( pulg ) :

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} -1 & \ cos {(\ theta _ {12})} & \ cos {(\ theta _ {13})} & \ cos {(\ theta _ {14})} \ \\ cos {(\ theta _ {12})} & - 1 & \ cos {(\ theta _ {23})} & \ cos {(\ theta _ {24})} \\\ cos {(\ theta _ {13})} & \ cos {(\ theta _ {23})} & - 1 & \ cos {(\ theta _ {34})} \\\ cos {(\ theta _ {14})} & \ cos {(\ theta _ {24})} & \ cos {(\ theta _ {34})} & - 1 \\\ end {vmatrix}} = 0 \,}

Tetraedro regular

El tetraedro regular es uno de los cinco sólidos de Platón .

Todos los puntos notables habituales del tetraedro regular se fusionan en un solo punto, llamado centro del tetraedro (aunque no es un centro de simetría ).

Para un tetraedro regular inscrito en una esfera de radio r:

Edge . ${\ Displaystyle a = r {\ sqrt {8/3}}}$

Radio h de la esfera inscrita en el tetraedro = . ${\ Displaystyle {\ frac {r} {3}}}$

Möbius tetrahedra

La configuración de Möbius está formada por dos tetraedros, cada uno de los cuales está "inscrito" en el otro (no hay equivalente para los triángulos): podemos construir dos tetraedros llamados tetraedros de Möbius , ya que los vértices de cada d 'entre ellos pertenecen al ( respectivos) planos de los lados opuestos del otro. La figura adjunta muestra un ejemplo.

Muro atlántico

Los tetraedros de hormigón se utilizaron durante la Segunda Guerra Mundial como obstáculos para el desembarco de barcazas en las playas defendidas por el Muro Atlántico .

Notas y referencias

Gaspard Monge , Geometría descriptiva .
Punto de Monge de un tetraedro .
(en) " Número 930 " , Crux Mathematicorum , vol. 11, n o 5,Mayo de 1985, p. 162–166 ( leer en línea )
(in) "Volúmenes simplex y el determinante de Cayley-Menger" , MathPages.com
(en) Eric W. Weisstein , " Distancia línea-línea " en MathWorld
(en) Jung Rye Lee , " La ley de los cosenos en un tetraedro " , J. Korea Soc. Matemáticas. Educ. Ser. B: Aplicación pura. Matemáticas. ,Junio de 1997
Daniel Audet , “ Determinantes esféricos e hiperbólicos de Cayley-Menger ” , Boletín AMQ,Mayo de 2011