Pirámide

Conjunto de pirámides

Caras	n triángulos , 1 n-desaparecido
Bordes	2n
Vértices	n + 1
Grupo de simetría	C nv
Poliedro doble	Auto-dual
Propiedades	convexo

Una pirámide de n lados (del griego antiguo πυραμίς / puramís ) es un poliedro formado al conectar una base poligonal de n lados a un punto, llamado vértice , por n caras triangulares ( n ≥ 3). Es decir, es un sólido cónico de base poligonal.

Cuando no se especifica, se supone que la base es cuadrada. Para una pirámide triangular, cada cara puede servir como base, con el vértice opuesto para el vértice. El tetraedro regular , uno de los sólidos platónicos , es una pirámide triangular. Las pirámides cuadradas y pentagonales también se pueden construir con todas las caras regulares y, por lo tanto, ser sólidos de Johnson . Todas las pirámides son autoduales .

Las pirámides son una subclase de prismatoides .

Origen del nombre

La palabra "pirámide" proviene del griego antiguo πυραμίς, -δος / puramís, -dos transmitido al latín en la forma pyramis, -idis pero su origen es incierto. Algunos lo relacionan con la noción de fuego (raíz griega pyr ) y citan a Platón que vio en el tetraedro regular (en forma de pirámide) el símbolo del fuego. Otros lo ven como una palabra derivada del griego " puros " que significa " trigo " recordando que era la forma de los graneros reales. Otros todavía lo ven como una deformación del egipcio, ya sea de la palabra " haram (o rem) " que está escrito hrm en egipcio y que es su nombre en egipcio, o de la palabra " pr-m-ous " que designa en Egipcia una línea determinante de la pirámide. Finalmente, otros señalan que esta palabra " pyramis " en griego significaba una torta de miel y harina.

Volumen

El volumen de un cono y en particular de una pirámide es

V = {\ frac 13} Ah

donde A es el área de la base y h es la altura desde la base hasta el ápice, es decir, la distancia perpendicular desde el plano que contiene la base.

En particular, el volumen de una pirámide de base cuadrada con un vértice de altura igual a la mitad de la base puede verse como un sexto de un cubo formado por seis de tales pirámides (en pares opuestos) a través del centro. Entonces, "base por altura" corresponde a la mitad del volumen del cubo y, por lo tanto, tres veces el volumen de la pirámide, lo que da el factor un tercio.

El volumen de una pirámide con una base cuadrada y compuesta de triángulos equiláteros es el doble que el de un tetraedro en el mismo lado, lo que se demuestra por medio de la disección .

Área de superficie

El área de la superficie de una pirámide regular, es decir, una pirámide cuyas caras son triángulos isósceles idénticos, es

A = A_ {b} + {\ frac {ps} 2}

donde $A b$ es el área de la base, p el perímetro de la base ys la altura de la pendiente a lo largo de la bisectriz de una cara (es decir, la longitud desde el punto medio de cualquier borde de la base hasta 'en el vértice) .

Pirámides con caras poligonales

Si todas las caras son polígonos regulares, la base de la pirámide puede ser un polígono regular de 3, 4 o 5 lados:

apellido	Tetraedro	Pirámide cuadrada	Pirámide pentagonal

Clase	Sólido platónico	Johnson sólido (J1)	Johnson sólido (J2)
Basado	Triángulo equilátero	Cuadrado	Pentágono regular
Simetría de grupo	T d	C 4v	C 5v

El centro geométrico de una pirámide cuadrada se ubica en el eje de simetría, un cuarto de la base hacia el vértice.

Simetría

Si la base es regular y el vértice está por encima del centro, el grupo de simetría de una pirámide de n lados es C nv de orden 2 n , excepto en el caso de un tetraedro regular, que tiene el grupo de simetría mayor T d de orden 24, que tiene cuatro versiones de C 3v para subgrupos.

El grupo de rotación es C n de orden n , excepto en el caso de un tetraedro regular, que tiene el grupo de rotación más grande T de orden 12, que tiene cuatro versiones de C 3 para subgrupos.

Generalización a dimensiones superiores

Una pirámide es un objeto geométrico que tiene como base cualquier polígono, al cual todos sus vértices están conectados a un solo punto. Por abuso de lenguaje decimos que es regular si todas sus caras son polígonos regulares.

Generalizando, una hiperpirámide de dimensión 4 es un policoro que tiene por base un poliedro al que se conectan todos sus vértices en un solo punto. El pentacoro es el ejemplo más simple.

Y así, una hiperpirámide n- dimensional es un politopo n- dimensional, que se basa en un politopo n-1- dimensional, y todos cuyos vértices están conectados a un solo punto. Una hiperpirámide puede considerarse como el conjunto de todos los "estados" tomados por su base durante su estrechamiento progresivo hasta el vértice a lo largo de una mediana central (que conecta el centro de gravedad de la base con el vértice); todos estos "estados" de la base son de hecho la intersección de la hiperpirámide con hiperplanos paralelos a la base.
El hipervolumen de una hiperpirámide de dimensión n viene dado por la fórmula:

V_ {n} = {\ frac {B _ {{n-1}} \ veces h} n},

donde $B n -1$ es el hipervolumen de la base y h es la altura.

Las primeras hiperpirámides

apellido	Punto	Segmento	Triángulo	Pirámide	4-hiperpirámide	5-hiperpirámide
Explicación	nada (d = -1) está conectado a un punto (d = 0)	un punto (d = 0) está conectado a un punto (d = 0)	un segmento (d = 1) está conectado a un punto (d = 0)	un polígono (d = 2) está conectado a un punto (d = 0)	un poliedro (d = 3) está conectado a un punto (d = 0)	un policoro (d = 4) está conectado a un punto (d = 0)
Dimensión	0	1	2	3	4	5
Imagen