En geometría , un sólido de Johnson es un poliedro estrictamente convexo , cada cara de la cual es un polígono regular y que no es isogonal (que por lo tanto no es un sólido platónico , ni un sólido de Arquímedes , ni un prisma ni un antiprisma ). No es necesario que cada cara sea un polígono idéntico o que los mismos polígonos se encuentren alrededor de cada vértice. Un ejemplo de un sólido de Johnson es la cuadrada basado pirámide con forma de triángulo equilátero lados ( J 1 ); tiene una cara cuadrada y cuatro caras triangulares.
Dado que en un sólido estrictamente convexo al menos tres caras se encuentran en cada vértice, el total de sus ángulos es inferior a 360 grados. Dado que un polígono regular tiene ángulos superiores a 60 grados, deducimos que como máximo cinco caras se encuentran en cualquier vértice. La pirámide pentagonal ( J 2 ) es un ejemplo que tiene un vértice de grado 5.
Aunque no existe una restricción obvia de que cualquier polígono regular dado pueda ser un sólido de Johnson, resulta que las caras de los sólidos de Johnson siempre tienen 3, 4, 5, 6, 8 o 10 lados.
En 1966 , Norman Johnson publicó una lista que incluía los 92 sólidos y les dio sus nombres y números. No probó que solo hubiera 92, pero conjeturó que no había más. Victor Zalgaller (en) demostró en 1969 que la lista de Johnson estaba completa. Usamos los nombres y el orden dado por Johnson, y los escribimos J xx .
De los sólidos de Johnson, la gyrobicupla octogonal alargada ( J 37 ) es la única que tiene un vértice uniforme: hay cuatro caras en cada vértice, y su disposición es siempre la misma: tres cuadrados y un triángulo.
Los nombres se enumeran a continuación y son más descriptivos de lo que se escucha. Muchos de estos sólidos se pueden construir agregando pirámides , cúpulas y rotondas a caras de sólidos platónicos , sólidos de Arquímedes , prismas o antiprismas .
Las últimas tres operaciones (aumento, disminución y giro) se pueden realizar más de una vez en un sólido suficientemente grande. Añadimos bi al nombre de la operación para indicar que se ha realizado dos veces. (Un bigyr sólido tiene dos de sus cúpulas que han sufrido una rotación). Añadimos tri- indicar que esto se ha realizado en tres ocasiones. (A una tridimininina sólida se le han quitado tres de sus pirámides o cúpulas).
A veces, bi- all alone no es lo suficientemente preciso. Necesitamos distinguir entre un sólido que tiene dos caras paralelas desgastadas y uno que tiene dos caras oblicuas desgastadas. Cuando dos caras alteradas son paralelas, agregamos para- al nombre de la operación. (Un sólido aumentado con parabia tiene dos caras aumentadas paralelas). Cuando no lo son, agregamos meta al nombre de la operación. (Un sólido metabiaumentado tiene dos caras aumentadas oblicuas).
S: número de vértices,
A: número de aristas,
F: número total de caras, incluyendo:
F 3 triángulos ,
F 4 cuadrados ,
F 5 pentágonos ,
F 6 hexágonos ,
F 8 octágonos ,
F 10 decágonos .
Jn | Nombre sólido | Imagen | Tipo | S | A | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | Simetría |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | pirámide cuadrada | pirámide | 5 | 8 | 5 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | C 4v | |
2 | pirámide pentagonal | pirámide | 6 | 10 | 6 | 5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
3 | cúpula hexagonal | cúpula | 9 | 15 | 8 | 4 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | C 3v | |
4 | cúpula octogonal | cúpula | 12 | 20 | 10 | 4 | 5 | 0 | 0 | 1 | 0 | C 4v | |
5 | cúpula decagonal | cúpula | 15 | 25 | 12 | 5 | 5 | 1 | 0 | 0 | 1 | C 5v | |
6 | rotonda decagonal | rotonda | 20 | 35 | 17 | 10 | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | C 5v |
Jn | Nombre sólido | Imagen | Tipo | S | A | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | Simetría |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7 | pirámide triangular alargada | pirámide alargada ( pulgadas ) | 7 | 12 | 7 | 4 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | C 3v | |
8 | pirámide cuadrada alargada | pirámide alargada | 9 | dieciséis | 9 | 4 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | C 4v | |
9 | pirámide pentagonal alargada | pirámide alargada | 11 | 20 | 11 | 5 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
10 | pirámide cuadrada giroscópica alargada | pyramid gyroallongée (en) | 9 | 20 | 13 | 12 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | C 4v | |
11 | pirámide pentagonal giroscópica alargada | pirámide giroscópica | 11 | 25 | dieciséis | 15 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
12 | diamante triangular | Bipirámide (o diamante) | 5 | 9 | 6 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 3h | |
13 | diamante pentagonal | Bipirámide (o diamante) | 7 | 15 | 10 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 5h | |
14 | diamante triangular alargado | Bipirámide alargada (o diamante alargado) | 8 | 15 | 9 | 6 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 3h | |
15 | diamante cuadrado alargado | Bipirámide alargada (o diamante alargado) | 10 | 20 | 12 | 8 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 4h | |
dieciséis | diamante pentagonal alargado | Bipirámide alargada (o diamante alargado) | 12 | 25 | 15 | 10 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 5h | |
17 | diamante cuadrado giroelongado | Bipirámide alargada (o diamante alargado) | 10 | 24 | dieciséis | dieciséis | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 4d |
Jn | Nombre sólido | Imagen | Tipo | S | A | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | Simetría |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
18 | cúpula hexagonal alargada | cúpula alargada | 15 | 27 | 14 | 4 | 9 | 0 | 1 | 0 | 0 | C 3v | |
19 | cúpula octogonal alargada | cúpula alargada | 20 | 36 | 18 | 4 | 13 | 0 | 0 | 1 | 0 | C 4v | |
20 | cúpula alargada decagonal | cúpula alargada | 25 | 45 | 22 | 5 | 15 | 1 | 0 | 0 | 1 | C 5v | |
21 | rotonda alargada decagonal | rotonda alargada | 30 | 55 | 27 | 10 | 10 | 6 | 0 | 0 | 1 | C 5v | |
22 | cúpula hexagonal alargada | cúpula giroscópica alargada | 15 | 33 | 20 | dieciséis | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | C 3v | |
23 | cúpula octogonal giroelongada | cúpula giroscópica alargada | 20 | 44 | 26 | 20 | 5 | 0 | 0 | 1 | 0 | C 4v | |
24 | cúpula decagonal giroelongada | cúpula giroscópica alargada | 25 | 55 | 32 | 25 | 5 | 1 | 0 | 0 | 1 | C 5v | |
25 | rotonda decagonal giroelongada | rotonda giroelongada | 30 | sesenta y cinco | 37 | 30 | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | C 5v | |
26 | girobiprisismo triangular | bicupolar | 8 | 14 | 8 | 4 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 2d | |
27 | ortobicupla hexagonal | bicupolar | 12 | 24 | 14 | 8 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 3h | |
28 | ortobicupla octogonal | bicupolar | dieciséis | 32 | 18 | 8 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 4h | |
29 | girobicupla octogonal | bicupolar | dieciséis | 32 | 18 | 8 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 4d | |
30 | ortobicupla decagonal | bicupolar | 20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | 0 | 0 | 0 | D 5h | |
31 | girobicupla decagonal | bicupolar | 20 | 40 | 22 | 10 | 10 | 2 | 0 | 0 | 0 | D 5d | |
32 | ortocupola-rotonda decagonal | domo-rotonda | 25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
33 | girocupola-rotonda decagonal | domo-rotonda | 25 | 50 | 27 | 15 | 5 | 7 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
34 | ortobirotonda decagonal | birotonde | 30 | 60 | 32 | 20 | 0 | 12 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
35 | ortobicúpula hexagonal alargada | bicupolar alargado | 18 | 36 | 20 | 8 | 12 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 3h | |
36 | girobicúpula hexagonal alargada | bicupolar alargado | 18 | 36 | 20 | 8 | 12 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 3d | |
37 | girobicupla octogonal alargada | bicupolar alargado | 24 | 48 | 26 | 8 | 18 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 4h | |
38 | ortobicúpula decagonal alargada | bicupolar alargado | 30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | 0 | 0 | 0 | D 5h | |
39 | girobicúpula decagonal alargada | bicupolar alargado | 30 | 60 | 32 | 10 | 20 | 2 | 0 | 0 | 0 | D 5v | |
40 | ortocupola-rotonda decagonal alargada | cúpula-rotonda alargada | 35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
41 | Gyrocupola-rotonda decagonal alargada | cúpula-rotonda alargada | 35 | 70 | 37 | 15 | 15 | 7 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
42 | ortobirotonda decagonal alargada | birotunda alargada | 40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | 0 | 0 | 0 | D 5h | |
43 | Gyrobirotonde alargado decagonal | birotunda alargada | 40 | 80 | 42 | 20 | 10 | 12 | 0 | 0 | 0 | D 5v | |
44 | bicúpula hexagonal giroelongada | giro-cúpula alargada | 18 | 42 | 26 | 20 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 3v | |
45 | bicupolar octogonal giroelongado | giro-cúpula alargada | 24 | 56 | 34 | 24 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 4v | |
46 | bicupola decagonal giroelongada | giro-cúpula alargada | 30 | 70 | 42 | 30 | 10 | 2 | 0 | 0 | 0 | D 5v | |
47 | cúpula-rotonda decagonal giroscópica alargada | cúpula-rotonda giroelongada | 35 | 80 | 47 | 35 | 5 | 7 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
48 | Birotunda decagonal giroelongada | birotunda giroelongada | 40 | 90 | 52 | 40 | 0 | 12 | 0 | 0 | 0 | C 5v |
Jn | Nombre sólido | Imagen | Tipo | S | A | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | Simetría |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
49 | prisma triangular aumentado | prisma aumentado | 7 | 13 | 8 | 6 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | C 2v | |
50 | prisma triangular biaumentado | prisma aumentado | 8 | 17 | 11 | 10 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | C 2v | |
51 | prisma triangular triaumentado | prisma aumentado | 9 | 21 | 14 | 14 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 3h | |
52 | prisma pentagonal aumentado | prisma aumentado | 11 | 19 | 10 | 4 | 4 | 2 | 0 | 0 | 0 | C 2v | |
53 | prisma pentagonal biaumentado | prisma aumentado | 12 | 23 | 13 | 8 | 3 | 2 | 0 | 0 | 0 | C s | |
54 | prisma hexagonal aumentado | prisma aumentado | 13 | 22 | 11 | 4 | 5 | 0 | 2 | 0 | 0 | C 2h | |
55 | prisma hexagonal aumentado parabios | prisma aumentado | 14 | 26 | 14 | 8 | 4 | 0 | 2 | 0 | 0 | D 2h | |
56 | prisma hexagonal metabiaumentado | prisma aumentado | 14 | 26 | 14 | 8 | 4 | 0 | 2 | 0 | 0 | C 2v | |
57 | prisma hexagonal triaumentado | prisma aumentado | 15 | 30 | 17 | 12 | 3 | 0 | 2 | 0 | 0 | D 3h |
Jn | Nombre sólido | Imagen | Tipo | S | A | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | Simetría |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
58 | dodecaedro aumentado | dodecaedro aumentado | 21 | 35 | dieciséis | 5 | 0 | 11 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
59 | dodecaedro aumentado parabios | dodecaedro aumentado | 22 | 40 | 20 | 10 | 0 | 10 | 0 | 0 | 0 | D 5v | |
60 | dodecaedro metabiaumentado | dodecaedro aumentado | 22 | 40 | 20 | 10 | 0 | 10 | 0 | 0 | 0 | C 2v | |
61 | dodecaedro triaumentado | dodecaedro aumentado | 23 | 45 | 24 | 15 | 0 | 9 | 0 | 0 | 0 | C 3v | |
62 | icosaedro metabidiminado | icosaedro disminuido | 10 | 20 | 12 | 10 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | C 2v | |
63 | icosaedro tridiminato | icosaedro disminuido | 9 | 15 | 8 | 5 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | C 3v | |
64 | icosaedro tridiminado aumentado | icosaedro disminuido | 10 | 18 | 10 | 7 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | C 3v |
Jn | Nombre sólido | Imagen | Tipo | S | A | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | Simetría |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
sesenta y cinco | tetraedro truncado aumentado | tetraedro truncado aumentado | 15 | 27 | 14 | 8 | 3 | 0 | 3 | 0 | 0 | C 3v | |
66 | cubo truncado aumentado | cubo truncado aumentado | 28 | 48 | 22 | 12 | 5 | 0 | 0 | 5 | 0 | C 4v | |
67 | cubo truncado biaumentado | cubo truncado aumentado | 32 | 60 | 30 | dieciséis | 10 | 0 | 0 | 4 | 0 | D 4h | |
68 | dodecaedro truncado aumentado | dodecaedro truncado aumentado | sesenta y cinco | 105 | 42 | 25 | 5 | 1 | 0 | 0 | 11 | C 5v | |
69 | dodecaedro truncado aumentado parabia | dodecaedro truncado aumentado | 70 | 120 | 52 | 30 | 10 | 2 | 0 | 0 | 10 | D 5v | |
70 | dodecaedro truncado metabiaumentado | dodecaedro truncado aumentado | 70 | 120 | 52 | 30 | 10 | 2 | 0 | 0 | 10 | C 2v | |
71 | dodecaedro truncado triaumentado | dodecaedro truncado aumentado | 75 | 135 | 62 | 35 | 15 | 3 | 0 | 0 | 9 | C 3v | |
72 | giro-rombicosidodecaedro | rombicosidodecaedro girado | 60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | 0 | 0 | 0 | C 5v | |
73 | parabigiro-rombicosidodecaedro | rombicosidodecaedro girado | 60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | 0 | 0 | 0 | D 5v | |
74 | metabigiro-rombicosidodecaedro | rombicosidodecaedro girado | 60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | 0 | 0 | 0 | C 2v | |
75 | trigiro-rombicosidodecaedro | rombicosidodecaedro girado | 60 | 120 | 62 | 20 | 30 | 12 | 0 | 0 | 0 | C 3v | |
76 | disminución del rombicosidodecaedro | disminución del rombicosidodecaedro | 55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 0 | 0 | 1 | C 5v | |
77 | rombicosidodecaedro paragyrodiminado | disminución del rombicosidodecaedro | 55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 0 | 0 | 1 | C 5v | |
78 | metagyrodecaedro rombicosidodecaedro | disminución del rombicosidodecaedro | 55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 0 | 0 | 1 | C s | |
79 | bigyrodecaedro rombicosidodecaedro | disminución del rombicosidodecaedro | 55 | 105 | 52 | 15 | 25 | 11 | 0 | 0 | 1 | C s | |
80 | rombicosidodecaedro parabidiminado | disminución del rombicosidodecaedro | 50 | 90 | 42 | 10 | 20 | 10 | 0 | 0 | 2 | D 5v | |
81 | rombicosidodecaedro metabidiminado | disminución del rombicosidodecaedro | 50 | 90 | 42 | 10 | 20 | 10 | 0 | 0 | 2 | C 2v | |
82 | rombicosidodecaedro girobidiminado | disminución del rombicosidodecaedro | 50 | 90 | 42 | 10 | 20 | 10 | 0 | 0 | 2 | C s | |
83 | rombicosidodecaedro tridiminado | disminución del rombicosidodecaedro | 45 | 75 | 32 | 5 | 15 | 9 | 0 | 0 | 3 | C 3v |
Jn | Nombre sólido | Imagen | Tipo | S | A | F | F3 | F4 | F5 | F6 | F8 | F10 | Simetría |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
84 | Disfenoides ablandado | - | 8 | 18 | 12 | 12 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 2v | |
85 | antiprisma cuadrado ablandado | - | dieciséis | 40 | 26 | 24 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 4v | |
86 | esfeno-corona | - | 10 | 22 | 14 | 12 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | C 2v | |
87 | aumento de esfenocrona | - | 11 | 26 | 17 | dieciséis | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | C s | |
88 | corona-esfenomega | - | 12 | 28 | 18 | dieciséis | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | C 2v | |
89 | hebesphenomega-corona | - | 14 | 33 | 21 | 18 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | C 2v | |
90 | dispheno-cinturón | - | dieciséis | 38 | 24 | 20 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | D 2v | |
91 | birotunda bilunar | - | 14 | 26 | 14 | 8 | 2 | 4 | 0 | 0 | 0 | D 2h | |
92 | hebesfeno-rotonda triangular | - | 18 | 36 | 20 | 13 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | C 3v |