En matemáticas, las representaciones del grupo simétrico son un ejemplo de aplicación de la teoría de las representaciones de un grupo finito . El análisis de estas representaciones es una ilustración de conceptos como el teorema de Maschke , los personajes , la representación regular , las representaciones inducidas y la reciprocidad de Frobenius .
La historia de las representaciones del grupo simétrico y del grupo alterno asociado juega un papel particular para la teoría de los personajes.Abril 1896es el mes de nacimiento generalmente considerado de esta teoría. Inspirado por una intensa correspondencia con Dedekind que había calculado las representaciones de S 3 y del grupo de cuaterniones , Frobenius analiza las representaciones de los grupos S 4 y S 5 y presenta los fundamentos que desarrolla durante los años venideros.
Si los métodos son diferentes de los que se utilizan ahora - Frobenius de hecho adopta como herramienta esencial la idea de Dedekind de los determinantes de los grupos (en) que ahora han caído en desuso - se esbozan las bases de la teoría. Crece rápidamente; Heinrich Maschke demuestra el teorema que ahora lleva su nombre tres años después. En 1911 , William Burnside publicó la segunda edición del libro de referencia fija que contiene todas las técnicas utilizadas en este artículo.
Las representaciones de un grupo finito G (en un espacio vectorial complejo de dimensión finita ) tienen una propiedad que simplifica enormemente su análisis, todas son sumas directas de representaciones irreductibles. Además, esta descomposición de una representación se "lee" en su carácter, que es la aplicación que asocia con cualquier elemento de G la traza de su imagen por la representación. En efecto :
En resumen :
Finalmente, las representaciones irreductibles son todas isomorfas a las representaciones regulares del grupo simétrico en un subespacio de su álgebra .
En el caso particular del grupo simétrico S n , existen varios métodos que permiten construir las representaciones irreductibles. Uno de ellos asocia biyectivamente cada representación irreductible con una matriz de Young de n elementos.
Una matriz de Young se obtiene dividiendo los números enteros de 1 an en filas de longitud decreciente. Rellenamos estas líneas con los números enteros del 1 al n , en orden. Esto equivale a realizar una partición del entero n , notando su descomposición en forma decreciente. Así, la tabla opuesta corresponde a una partición del entero 10 en la forma 5 + 4 + 1. Se designará bajo la forma [[1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9 ], [10]]. También corresponde a la elección de la clase de conjugación en el grupo simétrico S 10 formado por las permutaciones que tienen una duración de ciclo respectivamente 5, 4 y 1. De hecho, dos permutaciones se conjugan si y solo si sus ciclos con soportes disjuntos tienen la misma longitud. .
Dado que hay tantas representaciones irreducibles de S n como clases de conjugación, y tantas clases de conjugación como matrices de Young de longitud n , hay tantas representaciones irreductibles como matrices de Young. La correspondencia es la siguiente:
Nos damos una matriz de Young de longitud n . Se ubica en el álgebra de grupos y considerando la representación regular de S n que, en cualquier permutación s, asocia endomorfismo . Asociamos con la mesa de Young:
Luego mostramos que:
Finalmente, mostramos que las representaciones irreductibles asociadas con diferentes tablas de Young no son equivalentes . Obtenemos así todas las representaciones irreductibles del grupo simétrico S n .
Para cualquier número entero n mayor o igual a 2, tenemos cuatro representaciones irreducibles de S n fáciles de describir:
Está asociado con la matriz de Young formada por una sola fila [[1, 2, 3, ..., n ]]. En este caso, :
Está asociado a la tabla de Young formada por una sola columna [[1], [2], [3], ..., [ n ]]. En este caso, :
Está asociado con la matriz de Young [[1, 2, ..., n -1], [ n ]]. Comprobamos que se trata de una representación del grado n - 1, adicional at en la acción natural ρ de S n on . Más precisamente, observando ( e i ), para i variando de 1 an , la base canónica de :
La imagen de S n en la representación φ 1 puede verse como el grupo de isometrías que dejan globalmente invariante un símplex regular en un espacio euclidiano de dimensión n , el grupo permuta los vértices de este símplex.
Es el producto de φ 1 por la firma σ, también de grado n –1. Está asociado con la matriz de Young [[1, 2], [3], ..., [ n ]]. En general, cuando una representación irreducible se asocia con una tabla de Young, el producto de esta representación por la firma es la representación irreductible asociada con la tabla de Young obtenida al invertir los roles de las filas y columnas en la tabla de Young inicial.
Hay tres matrices de Young que tienen 3 elementos, a saber [[1, 2, 3]], [[1, 2], [3]] y [[1], [2], [3]]. Por tanto, hay tres representaciones irreductibles del grupo S 3 .
También podemos decir que hay tres clases de conjugaciones, a saber: 1 (identidad), ( ab ) (transposición), ( abc ) ( 3 ciclos ).
Las cuatro representaciones anteriores agotan la lista de las tres representaciones irreductibles de S 3 , y φ 2 es necesariamente equivalente a φ 1 .
Las dos representaciones t (trivial) y σ (firma) son de grado 1, por lo que el carácter es igual a la representación; la imagen de las tres clases anteriores es (1, 1, 1) para t y (1, –1, 1) para σ.
El carácter de φ 1 , aplicado a una permutación s , se obtiene restando 1 del número de puntos fijos de s .
La tabla de caracteres irreductibles (en) de S 3 es por tanto:
Porque. irr. | 1 | ( ab ) | ( abc ) |
---|---|---|---|
t | 1 | 1 | 1 |
σ | 1 | –1 | 1 |
φ 1 | 2 | 0 | –1 |
Podemos encontrar la representación compleja φ 1 (por extensión de los escalares ) a partir de la representación real que realiza S 3 como el grupo diedro D 3 de las isometrías del triángulo equilátero: la identidad es de traza 2, las tres simetrías axiales son de traza cero, y las dos rotaciones de ángulos ± 2π / 3 tienen como traza –1.
La representación irreducible φ 2 , producto de φ 1 por la función escalar σ, tiene por carácter el producto por σ del carácter de φ 1 . Así se puede verificar en esta tabla la equivalencia de φ 1 y φ 2 .
También podemos verificar que estos tres caracteres sí forman una familia ortonormal (en particular son de norma 1, lo que confirma su irreductibilidad), que los grados de las representaciones asociadas son divisores del orden del grupo , y que la representación regular , cuyo carácter es (6, 0, 0), contiene tantas copias de una representación irreducible dada como grado de esta representación irreducible: (6, 0, 0) = (1, 1, 1) + (1, –1 , 1) +2 (2, 0, –1).
Observamos además que todos los valores de la tabla son enteros (por tanto, todos los caracteres del grupo son con valores enteros). Es una propiedad general de los grupos simétricos.
Hay cinco matrices de Young de longitud 4, a saber [[1, 2, 3, 4]], [[1, 2, 3], [4]], [[1, 2], [3, 4]], [[1, 2], [3], [4]] y [[1], [2], [3], [4]]. Por lo tanto, hay cinco representaciones irreductibles del grupo S 4 , cuatro de las cuales ya se han dado anteriormente . Esta es la representación trivial t , la representación σ correspondiente a la firma , las dos representaciones φ 1 y φ 2 , que son de grado 3, y la representación θ asociada a la tabla de Young [[1, 2], [3, 4] ] que resulta ser de grado 2. Cada representación se obtiene de otra por producto tensorial con la representación correspondiente a la firma. Mediante esta operación, θ vuelve a dar una representación equivalente a sí mismo.
φ 1 corresponde a isometrías que dejan un tetraedro invariante , φ 2 corresponde a rotaciones lineales que dejan un cubo invariante.
En el caso de S 4 , la descomposición en ciclos disjuntos de una permutación puede ser de la forma: 1, ( ab ), ( abc ), ( ab ) ( cd ) (producto de dos transposiciones disjuntas) o ( abcd ) (4 -ciclo). Por lo tanto, los 24 elementos del grupo se dividen en cinco clases de conjugación, que siempre tomaremos en el siguiente orden arbitrario:
Descomposición | 1 | ( ab ) | ( abc ) | ( ab ) ( cd ) | ( abcd ) |
---|---|---|---|---|---|
Cardenal de clase | 1 | 6 | 8 | 3 | 6 |
El cálculo de los caracteres de t , σ, φ 1 y φ 2 (por el mismo método que para S 3 ) da aquí: (1, 1, 1, 1, 1), (1, –1, 1, 1, - 1), (3, 1, 0, –1, –1) y (3, –1, 0, –1, 1).
Las cuatro representaciones irreductibles ya identificadas tienen caracteres distintos y, por lo tanto, no son equivalentes. Completamos esta familia ortonormal por la función central única de la norma 1 que es ortogonal a ellos y cuyo valor en 1 es positivo: (2, 0, –1, 2, 0). Es el carácter de la quinta representación irreductible, θ, que por lo tanto es de grado 2. (Como era de esperar, es invariante por producto por σ). La tabla de caracteres es finalmente:
Porque. irr. | 1 | ( ab ) | ( abc ) | ( ab ) ( cd ) | ( abcd ) |
---|---|---|---|---|---|
t | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
σ | 1 | –1 | 1 | 1 | –1 |
θ | 2 | 0 | –1 | 2 | 0 |
φ 1 | 3 | 1 | 0 | –1 | –1 |
φ 2 | 3 | –1 | 0 | –1 | 1 |
La descomposición del carácter de la representación regular (que también podría haberse utilizado para calcular el carácter de θ) está aquí:
(24, 0, 0, 0, 0) = (1, 1, 1, 1, 1) + (1, –1, 1, 1, –1) +2 (2, 0, –1, 2, 0 ) +3 (3, 1, 0, –1, –1) +3 (3, –1, 0, –1, 1).Podemos especificar e interpretar las tres representaciones φ 1 , φ 2 y θ. El grupo simétrico es generado por las transposiciones, por lo tanto, es necesario determinar las representaciones solo para ellas. Además, notamos que las transposiciones (12) , (23) , (34) generan todas las transposiciones de S 4 , por lo tanto, todo el grupo. En los párrafos que siguen (a excepción de φ 2 donde se elegirán otros generadores), las representaciones se expresan solo en estos tres elementos. Su valor para el resto del grupo se deduce de este subproducto.
Considere la representación estándar φ 1 . Una base del hiperplano de la ecuación x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 es:
Sobre esta base, φ 1 se describe mediante:
Las imágenes por φ 1 de las permutaciones de S 4 son entonces las matrices ortogonales dejando globalmente invariante el tetraedro regular con vértices M 1 = (–1, –1, –1), M 2 = (–1,1,1), M 3 = (1, –1,1) y M 4 = (1,1, –1), y permutando estos cuatro vértices.
Las transposiciones (ab) corresponden a reflexiones con respecto al plano mediador del segmento [ a , b ], las permutaciones (ab) (cd) a medias vueltas del eje que pasan por los puntos medios de dos lados opuestos del tetraedro, el permutaciones (abc) en tercios de un eje que pasa por el vértice invariante y el centro de la cara opuesta, y permutaciones (abcd) en compuesto por un cuarto de vuelta del eje que pasa por los puntos medios de dos lados opuestos y una reflexión con respecto al plano ortogonal a este eje.
Para obtener la representación φ 2 , basta con multiplicar la representación matricial de φ 1 por el carácter σ. Puede describirse en los siguientes generadores:
Reconocemos tres rotaciones dejando el invariante cubo , la primera a lo largo de la x eje , el segundo a lo largo del y eje y la tercera a lo largo de la z eje . La figura de la izquierda ilustra la interpretación geométrica de estas tres rotaciones: la imagen de (1324) es la representada por la flecha roja, la de (1234) por el azul y la de (1342) por el verde.
Las rotaciones del cubo luego intercambian las cuatro diagonales del cubo o, de manera equivalente, los cuatro pares de vértices opuestos. Las permutaciones (abcd) (los tres generadores de arriba y sus inversas) corresponden a cuartos de vuelta de ejes que pasan por los centros de las caras, las permutaciones (ab) (cd) , que son sus cuadrados, a medias vueltas de la misma ejes, transposiciones (ab) a medias vueltas de ejes que unen los puntos medios de dos aristas opuestas, y permutaciones (abc) a tercios de vueltas de ejes que unen dos vértices opuestos.
También podemos visualizar este grupo de rotaciones como el del cuboctaedro , ya que es el cubo rectificado (in) : los puntos medios de las aristas del cubo se convierten en los vértices del cuboctaedro, las ocho esquinas del cubo se cortan y se reemplazan por caras triangulares, y las rotaciones intercambian los cuatro pares de triángulos opuestos.
Dado su carácter, la representación θ es de grado 2 y su núcleo está incluido en el subconjunto H formado por la identidad y las tres involuciones de la forma ( ab ) ( cd ). Esta inclusión es de hecho una igualdad, ya que en el plano, la única involución lineal de la traza 2 es la identidad. Deducimos que H es un subgrupo normal de S 4 y que θ = θ 2 ∘ s , donde s: S 4 → S 4 / H es la canónica surjection y θ 2 es una representación de la grupo cociente S 4 / H . Ahora bien, este cociente es isomorfo a S 3 (podemos ver este isomorfismo, por ejemplo, al realizar S 4 como el grupo de rotaciones del cubo - ver más abajo - y al considerar su acción en los tres pares de caras opuestas). Por tanto, a través de esta identificación, therefore 2 está enteramente determinado: es la representación irreductible del grado 2 de S 3 . Esto determina completamente θ:
No es fiel y cada isometría del triángulo tiene cuatro antecedentes. La figura de la derecha ilustra esta representación. Nombramos los tres vértices del triángulo usando las tres etiquetas 1x2 + 3x4, 2x3 + 1x4 y 1x3 + 2x4. Una permutación de S 4 actúa directamente sobre los dígitos de cada etiqueta. Así, la transposición (12) deja invariante el vértice 1x2 + 3x4 pero permuta los dos vértices 2x3 + 1x4 y 1x3 + 2x4. Podemos comprobar que la acción de esta transposición es idéntica a la de la transposición (34) o la de las permutaciones circulares (1324) o (1423) . Tal acción del grupo S 4 se utiliza para resolver las ecuaciones de cuarto grado .
Hay siete arreglos de Young de longitud 5. Por lo tanto, hay siete representaciones irreductibles del grupo S 5 . Además de la representación trivial t , la representación σ correspondiente a la firma , las dos representaciones φ 1 y φ 2 , que son de grado 4, dadas anteriormente , hay dos representaciones de grado 5 y una representación de grado 6.
En S 5 , las clases de conjugación son del tipo: 1, ( ab ), ( ab ) ( cd ), ( abc ), ( abc ) ( de ), ( abcd ) o ( abcde ). El número de permutaciones según la clase de conjugación viene dado por la siguiente tabla:
Descomposición | 1 | ( ab ) | ( ab ) ( cd ) | ( abc ) | ( abc ) ( de ) | ( abcd ) | ( abcde ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cardenal de clase | 1 | 10 | 15 | 20 | 20 | 30 | 24 |
Podemos construir la tabla de caracteres de S 5 a partir de las representaciones habituales: el cuadrado alterno de la representación estándar da una representación de grado 6 llamada θ que es irreducible (lo comprobamos calculando la norma de su carácter), y comprobamos que el El cuadrado simétrico de la representación estándar contiene una vez la representación trivial y una vez la representación estándar, y que la tercera representación que incluye es irreducible (lo llamamos ψ 1 ). Entonces podemos construir ψ 2 como el producto de ψ 1 y la firma. Encontramos la siguiente tabla:
Porque. irr. | 1 | ( ab ) | ( ab ) ( cd ) | ( abc ) | ( abc ) ( de ) | ( abcd ) | ( abcde ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
t | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
σ | 1 | –1 | 1 | 1 | –1 | –1 | 1 |
φ 1 | 4 | 2 | 0 | 1 | –1 | 0 | –1 |
ψ 1 | 5 | 1 | 1 | –1 | 1 | –1 | 0 |
θ | 6 | 0 | –2 | 0 | 0 | 0 | 1 |
ψ 2 | 5 | –1 | 1 | –1 | –1 | 1 | 0 |
φ 2 | 4 | –2 | 0 | 1 | 1 | 0 | –1 |