Infinito

La palabra “ infinito ” ( -e, -s ; del latín in- , prefijo negativo y finitus , “limitado”) es un adjetivo que se usa para calificar algo que no tiene límite en número o tamaño.

La noción de infinito ha influido fuertemente en el pensamiento occidental desde el XVII ° siglo: Alexandre Koyré dice que "la sustitución de un infinito y el universo homogéneo el cosmos más y ordenados jerárquicamente del pensamiento antiguo y medieval implica y requiere la consolidación de los principios primero de razón filosófica y científica ”.

Histórico

Infinito en las culturas orientales

Religión egipcia

En la antigua religión egipcia , Nun era el nombre del dios de un océano infinito que existía antes de la creación del mundo.

porcelana

Una teoría del infinito fue desarrollada por la escuela de filosofía Moist de c. 300 a. C. J. - C. La teoría fue publicada en el texto Mo Zi .

Matemáticas indias

El Yajur-Veda documenta el uso más antiguo conocido de números de hasta cien mil billones ( parārdha en sánscrito ). También usa el concepto de infinito numérico ( pūrṇa ), afirmando que si restamos pūrṇa de pūrṇa , siempre permanece pūrṇa .

judaísmo

La Biblia se refiere al infinito en tres lugares del texto: en el Libro de Job , capítulo 22, versículo 5, en el Salmo 147: 5 y en el libro de Nahum , capítulo 3, versículo 9.

Infinito y los presocráticos

Los filósofos presocráticos fueron de hecho los primeros físicos (phusikoi) . En efecto, siendo los primeros en atreverse a estudiar la naturaleza por sí misma, llegaron a establecer un método de análisis, investigación y reflexión que luego se convertiría en el de los científicos y filósofos. Con este fin, gran parte de la jerga científica que todavía se usa en la actualidad fue introducida por estos pensadores y originalmente sirvió para expresar los conceptos esenciales para avanzar en el estudio de la naturaleza. Universo (kosmos) , principio (arche) , razón (logos) , naturaleza (phusis) son herramientas avanzadas para penetrar en el corazón de las cosas y descubrir su mecanismo; las funciones tradicionales de las divinidades, hasta entonces concebidas como intervenciones externas, quedan así naturalizadas. Por tanto, estos pensadores tenían como objetivo interiorizar los principios que rigen el funcionamiento del mundo, y así encontrar explicaciones inherentes a la propia naturaleza. A través de esta lente, utilizarán directa o indirectamente el concepto de infinito ( apeiron ) .

Aceptaciones generales del concepto de infinito entre los presocráticos

Solo quedan algunos fragmentos de sus escritos, lo que dificulta la investigación. Por eso, para saber qué dicen los presocráticos sobre el concepto de infinito, es necesario consultar a Aristóteles, quien fue el primero en enumerar sus tesis. Sobre el infinito, es en el libro III de su Física donde enumera los puntos en común entre los pensamientos de sus predecesores y las razones que les llevaron a creer en la existencia del infinito:

Algunos puntos de acuerdo sobre el infinito Los presocráticos hacen del infinito un principio.

No creen que el infinito exista en vano, ni que tenga otro valor que el del principio. Para ellos, todo es un principio o proviene de un principio, pero el infinito no proviene de un principio por el mismo hecho de ser uno.

El infinito no se genera ni se corrompe como principio.

El infinito es el principio de todas las cosas, las dirige todas. Es que todo proviene de un principio o es en sí mismo un principio. Por un lado, el infinito como principio en sí mismo no tiene un principio que lo genere, su límite es el de no tener ninguno y por lo tanto no se genera. Por otro lado, cada generación tiene un final y toda corrupción tiene un final. Sin embargo, no engendrado, el infinito no tiene fin y, por tanto, es incorruptible.

Inmortal e imperecedero, el infinito parece ser divinidad. Cinco razones que llevaron a creer en el infinito Primero, el infinito está en la división de magnitudes.

Los matemáticos también usan el infinito, por división. Por ejemplo, la fórmula para el área del círculo π.r 2 se corrobora dividiendo el círculo en un número infinito de triángulos.

En segundo lugar, existe una infinidad de fuentes.

En efecto, la destrucción y la generación no se agotan, solo puede ser gracias a la infinidad de la fuente de donde se genera todo.

En tercer lugar, el tiempo es infinito.

Cada generación recibe un fin, pero la fuente no tiene un principio que lo engendre y, por lo tanto, tampoco tiene fin. Así, el movimiento de generación y corrupción se da en el tiempo y se debe a una fuente incorruptible y no generada. Es decir, el tiempo en sí mismo es infinito.

Cuarto, no hay límite per se.

Lo que está limitado está limitado solo por otra cosa, de modo que nada será limitado ya que la limitación siempre está entre dos términos. El infinito es esta ausencia de límite en sí mismo.

Quinto, la representación del infinito no lo agota.

Aristóteles da como ejemplo las magnitudes matemáticas y lo que está fuera del cielo. Las cantidades y extensiones no pueden circunscribir el infinito por representación. En otras palabras, no podemos definir el infinito como un todo, porque el infinito es siempre mayor de lo que habremos rodeado.

Sin embargo, es posible, a partir de los fragmentos y los comentarios, distinguir el pensamiento de cada uno de los presocráticos y comprenderlo por sí mismo.

Infinito a través de algunas teorías presocráticas Anaximandro

El concepto de infinito (apeiron) fue introducido por primera vez en el pensamiento del filósofo Anaximandro (alrededor de -610 Mileto - alrededor de -546), alumno de Tales . Bajo su influencia, quiso mirar la base del universo, por lo que llegó a postular el infinito como un principio y como un sustrato de las cosas que existen. En efecto, el papel de sustrato no puede asignarse a uno de los cuatro elementos (agua para Tales , aire para Anaxímenes , fuego para Heráclito ), porque son cambiantes, dependen el uno del otro y ninguno de ellos puede ser privilegiado. Entonces, más allá de los elementos, se necesita otra naturaleza que actúe como sustrato a partir del cual se generan todos los mundos. Este sustrato es el infinito, el principio que genera el universo bajo la influencia de un movimiento eterno. El movimiento eterno está en constante producción, es en este sentido un "retorno genérico". Este retorno necesita un principio material que debe ser inagotable para producir todo eternamente. Es el del apeiron y es en este sentido que el infinito es también movimiento eterno en Anaximandro .

La escuela pitagórica

Entre sus doctrinas, la escuela avanza la del eterno retorno: las cosas volverán a ser iguales. Si para otros filósofos, como Anaximandro o Heráclito, se observa un retorno genérico, con ciertos pitagóricos hay un retorno individual que se puede reproducir ad infinitum. De hecho, si hay 1) un número finito de eventos posibles, 2) si cada evento tiene una causa y 3) la misma causa debe producir siempre un efecto similar, se sigue que dentro de un tiempo infinito los eventos necesariamente regresan.

Heráclito

Para Heráclito (segunda mitad de VI e .. Siglo a. C. a 544-541 a. C. Éfeso), el fuego es el principio del universo, todo es convertible en fuego y el fuego todo. Por un lado, el infinito se encuentra allí a través de la generación porque para él todo pasa por el conflicto y la necesidad (todo se mueve hacia su contrario). Pero el fuego, como unidad fundamental de esta pluralidad contradictoria, nunca se agota por estas tensiones dinámicas, por estas transformaciones. Por otro lado, el infinito caracteriza el tiempo porque para Heráclito el universo no tiene principio ni fin. El cosmos fue, es y siempre será fuego eterno.

Parménides

En cuanto a Parménides (final del VI º siglo aC Elea -. V mediados correo . Siglo BC C), el concepto de infinito inherente a su pensamiento se encuentra en la explicación de la inmovilidad y la eternidad del ser, y esto a diferencia de Heráclito. De hecho, Parménides considera que el ser no puede cambiar, de lo contrario no sería. Entonces, debe estar quieto. Además, la generación y la corrupción también son formas de cambio, y por eso el ser debe ser eterno, es decir, sin género e imperecedero. Por tanto, el infinito es necesario para la existencia de un ser eternamente idéntico.

Melissos

Mélissos , alumno de Parménides , considera que lo que existe, o más bien lo que es, debe ser único: hay una sola cosa. Basado en las palabras de su maestro, afirma que una cosa que existe, siempre existe, pero agrega que también debe ser siempre infinita en tamaño. El argumento toma como punto de partida la imposibilidad de un vacío. Por ejemplo, si no hay nada entre el piso y el techo, significa que el piso y el techo son contiguos y que no habría separación entre estos dos términos. El vacío así expulsado, si hay ser, solo hay ser. Entonces, todo debe estar en un espacio y solo hay un espacio, y este último está totalmente ocupado por el ser y por un ser único. En efecto, nadie puede decir del ser que es y que no es, ni se puede decir que un ser está en ciertos lugares y no en otros. Por eso el ser es infinito en magnitud, es decir, no hay límite para el ser.

Demócrito

En cuanto a Demócrito (460 aC. Abdera - 370), la naturaleza está formada por pequeñas sustancias ilimitadas en número que se encuentran en un lugar que él llama infinito. Esta infinidad de pequeñas sustancias que nadan en un vacío infinito y eterno a veces se aglomeran y forman cuerpos visibles a través de su movimiento. El infinito se encuentra, por tanto, en una división de cuerpos en una infinidad de sustancias, lo que constituye la primera teoría atomista.

Otros pensadores presocráticos también utilizaron el concepto de infinito en su investigación, como Anaximenes , Alcméon de Croton , Xenophanes y Zeno de Elea .

Las paradojas de Zenón

Zenón es un filósofo griego antiguo (alrededor del 400 a. C.). Habitante de Elea, tuvo como maestro a Parménides, quien defendió que la realidad es inmutable. Zenón no se ocupa directamente del tema del infinito. Más bien, utiliza la noción de infinito para mostrar que la forma de describir un problema puede llevar a la imposibilidad de tratarlo. El método de Zenón consistía en utilizar premisas aceptadas por todos y deducir de ellas conclusiones absurdas o contrarias. Así demostró no que el movimiento es solo una ilusión, que nadie podría sostener, sino que describirlo sin precaución conduce a contradicciones. Le debemos muchas paradojas a Zenón (al menos cuarenta), pero solo se conocen unas pocas, a través de los escritos de Aristóteles. De las cuatro paradojas del movimiento citadas por Aristóteles, dos utilizan el infinito para probar que las premisas que afirman la posibilidad del movimiento terminan en el absurdo.

En las dos paradojas que siguen, Zenón utiliza la premisa de que el espacio puede ser infinitamente divisible para mostrar que si este fuera el caso, ciertas formas de describirlo prohibirían explorarlo. El significado filosófico de Zenón es indiscutible; según Aristóteles, habría sido el inventor de la dialéctica .

La dicotomía

Si existe movimiento, un cuerpo en movimiento debe moverse una cierta distancia en un tiempo finito; pero antes de haber recorrido toda la distancia, el cuerpo debe haber recorrido la mitad; y antes de haber caminado la mitad, debe haber caminado la mitad de esa mitad. Dado que cualquier distancia es divisible en mitades, y ésta hasta el infinito, y dado que es imposible cubrir un número infinito de posiciones en un tiempo finito, el movimiento no existe.

Aquiles y la tortuga

Aquiles , héroe de la mitología griega , no puede alcanzar a la tortuga que está persiguiendo; de hecho, antes de alcanzarlo, primero debe llegar al punto desde el que partió al inicio de la carrera. Pero durante este tiempo, la tortuga continúa avanzando una cierta distancia; aunque esta distancia sea menor que la recorrida por Aquiles (porque la tortuga es más lenta), avanza igual, no está inmóvil. Así, durante el tiempo que le toma a Aquiles recorrer esta segunda distancia, la tortuga ha viajado una cierta distancia nuevamente. Entonces, incluso si esta distancia disminuye con cada paso, la tortuga nunca será alcanzada por Aquiles.

Los neoplatónicos

Plotino (205-270 d. C.) dice: "No debemos temer lo ilimitado de lo inteligible" ( Enéadas , V.7.1). Plotino afirma el infinito del Uno, apeiria . Mientras que antes del infinito, apeiron , representa el grado inferior de existencia, o incluso un no-ser puro, para Plotino, la esencia de la materia permanece infinita en este sentido negativo, se convierte en un atributo positivo de las tres hipóstasis (el Uno, el Inteligencia, el Alma Universal). Enéadas II.4.15: "¿Cómo entonces puede existir lo ilimitado allá [en lo inteligible] y aquí [en la materia]? Es que hay dos ilimitados. ¿Y en qué se diferencian? Como un arquetipo y una imagen. Lo ilimitado aquí ¿Es, por tanto, menos ilimitado? Es más, porque cuanto más huye una imagen del ser y de la verdad, más ilimitada es .importante en lo menos definido, porque cuanto menos en el bien es más en el mal. lo que hay, porque es más ser, es ilimitado sólo como imagen, mientras que lo que está aquí, porque es menos ser, en la medida en que huye del ser y de la verdad, atraído como está hacia la naturaleza de la imagen, es verdaderamente ilimitado ".

Avicena

Avicena recaptura a Aristóteles

Avicenna (980 Afshéna, cerca de Bukhara, en la provincia de Grand Khorasan - 1037), para establecer su metafísica, retomó la establecida por Aristóteles , pero leyó a través de Al-Fârâbî y el neoplatonismo. Es decir, comprenderá las nociones aristotélicas, pero en un contexto teológico. Así, retoma la idea del mundo eterno, pero en una metafísica creacionista. En el contexto del infinito, es obvio que la existencia de un Dios dará un nuevo significado a la metafísica de Aristóteles porque Dios trae nociones de infinito que no están presentes en Aristóteles. Antes de continuar, se deben definir algunos conceptos para mostrar cómo los usa Avicenna.

La distinción entre acto y potencia

El poder se define como ser: "toda disposición que se encuentra en una cosa y siendo un principio de cambio", mientras que el acto (o actualización) es este paso del estado de reposo al estado activo, una cosa que cambia de estado pasaría de potencia a acción. Podemos tomar, por ejemplo, la semilla que mantendría el poder del árbol y que se convertiría en un acto una vez que haya crecido. Sobre este tema, Aristóteles acepta el infinito en potencia (en forma de infinito por división y por adición), pero rechaza el infinito en acto. Avicenna agregará una subdivisión entre noticias fuertes / débiles y potencialidad fuerte / débil.

Infinito en el mundo supralunar

Observemos en primer lugar que Dios es por definición infinito y es el primer principio del que todo emana, pero Dios no es el único ser infinito; hay una dependencia ontológica de las inteligencias celestes (que son diez) del primer principio, dependencia expresada por el deseo de acercarse a la perfección de Dios. El deseo como principio de movimiento es el hecho de querer llegar a Dios, ser como él. Este deseo de perfección sería el principio de todo movimiento según Avicena. Así, las inteligencias celestes al desear el primer principio harían que las esferas correspondientes a ellas se movieran en un movimiento infinito.

Antes de continuar, cabe señalar que el movimiento en cuestión en el mundo supralunar es diferente al del mundo sublunar. En el primer caso, el movimiento es constante; todavía tiene la misma velocidad. Por eso podemos decir que hay una presuposición infinita para las inteligencias celestiales. Sin embargo, en el mundo sublunar, el movimiento está sujeto a desaceleración y aceleración.

Para concluir en este punto, debemos nombrar otra prueba abundante en el sentido de la presencia del infinito en las inteligencias celestes, es decir, el pasaje donde Avicena dice que incluso lo infinito (y necesario) requiere una causa. Finalmente, observemos que si Avicena habla del infinito en el mundo supralunar, no lo clasifica como lo haría para el presente infinito en el mundo sublunar. Probablemente porque el infinito metafísico no presenta a priori tantos problemas como el infinito en un mundo limitado (físico).

Infinito en el mundo sublunar

En primer lugar, el infinito en acción lo produce la teología; siendo las almas (de los hombres) inmortales, hay por tanto una infinidad de ellas en un mundo eterno. Esto es también lo que caracteriza al infinito en acto fuerte en el avicenismo.

El infinito en acto débil está por su parte definido por los acontecimientos y los años pasados. Para comprender plenamente este tipo de infinito, debemos centrarnos ahora en el concepto de causalidad. Porque, según Avicena, habría causas accidentales (o coadyuvantes) en infinito. En otras palabras, hay una sucesión interminable de causas preparatorias. Aquí entra en juego la distinción entre causas esenciales y causas coadyuvantes. Las causas esenciales (o verdaderas) están ligadas al movimiento, a lo continuo, porque permanecen con el efecto. Las verdaderas causas "impiden la inexistencia de la cosa". Las causas coadyuvantes son secundarias porque son anteriores a la cosa. Estos serían en número infinito según Avicena. Podemos pensar en la relación padre / hijo que iría de generación en generación para explicar este hecho. Porque, en el contexto de un mundo eterno, hay infinidad de relaciones filiales. En efecto, “[…] lo que va ad infinitum es un individuo que viene tras otro […]”.

Respecto al infinito en poder fuerte, es siempre lo mismo que el infinito en poder de Aristóteles, es decir, el infinito por división y por adición. Es por eso que no será más detallado en este artículo. De hecho, como en las paradojas de Zenón, uno puede imaginar fácilmente la división de una línea en cuatro partes, la división de cada una de estas partes en cuatro y así sucesivamente, ad infinitum.

Respecto al infinito en baja potencia, está en movimiento. Como se mencionó anteriormente, este movimiento no corresponde al de las esferas celestes. De hecho, éste no es realmente continuo y puede verse de diferentes maneras. Ya podemos verlo como el movimiento general de un cuerpo. Sin embargo, esta definición de movimiento no será la más importante en el caso del infinito en baja potencia; el impulso concreto de un cuerpo en un momento preciso es más bien la definición a retener. En otras palabras, el paso de un tiempo A a B sería un movimiento compuesto por un tiempo infinito. Podemos pensar en una suma infinita de puntos colocados de punta a punta para formar una línea. Esta línea, como el movimiento, parecería ser continua pero en realidad estaría formada por varios puntos intermedios.

Jean Duns Scot

Una contribución al infinito matemático

En una demostración del continuo movimiento de los ángeles en el Libro II de la Ordinatio , Scot (1266 Duns - 1308) plantea dos paradojas que pasarán a la posteridad. En su defensa, querrá refutar la tesis según la cual el continuo está formado por indivisibles. Con Aristóteles , en el Libro VI de Física , queda claro que “es imposible que un continuo esté formado por indivisibles, por ejemplo una recta que esté formada por puntos, si es cierto que la recta es continua y el punto un indivisible ”, pero esta prueba inspirada en la autoridad del Filósofo no le basta. Propondrá dos problemas geométricos del mismo espíritu mostrando todo lo contradictorio de tal teoría.

En uno de los dos, dibujamos dos círculos concéntricos partiendo de un centro a . El pequeño, que se denota D y el mayor, se señaló B . Scot va a decir que, puesto que, de acuerdo con esta teoría, la circunferencia del gran círculo está formada por puntos, es posible identificar dos de ellos, b y c . El punto está , dibujar una línea recta que une cada uno de estos dos puntos de manera que las dos líneas formadas intersecan el pequeño círculo D . La pregunta: ¿las líneas ab y ac intersecan D en un solo punto o en dos puntos distintos? Si es el mismo punto, una de las dos líneas ya no será recta (sino curva), lo que contradice el punto de partida. De lo contrario, B y D incluirían el mismo número de puntos, sin embargo, señala Scot , es imposible que dos círculos desiguales estén formados por un número igual de partes iguales . De ello se deduce que un continuo, aquí representado por la línea, no puede estar compuesto por varios puntos discretos.

Aunque el propio Scot no lo explicó en estos términos, para su posteridad se encontró ilustrando con la ayuda de estas figuras geométricas, en germen, algunos de los descubrimientos más importantes sobre las matemáticas infinitas que se encuentran entre otros en Georg Cantor . Los rayos que vienen del centro crean entre los puntos de los dos círculos una correspondencia uno a uno , la paradoja plantea la posibilidad de que dos conjuntos infinitos de indivisibles sean iguales a pesar de sus tamaños obviamente desiguales.

Además, en otra demostración, Duns Scotus se codeará con debates sobre la grandeza de los infinitos. Escoto en la pregunta 3 del libro II, distinción 1 de la Ordinatio refuta la objeción de que sería imposible que Dios produjera algo más que él mismo sin que esta producción tuviera un comienzo. Según esta objeción, si la creación es ab aeterno sine principio , el infinito que condujo hasta ayer equivale al infinito transcurrido hasta hoy, lo que contradice el axioma de Euclides de que la parte es siempre menor que el todo. A esto, en primer lugar, el Doctor responderá que estas dos últimas caracterizaciones solo son aplicables a cantidades finitas ya que las cosas se dividen en finitas e infinitas antes de que se apliquen “mayores” o “menores”. Sin embargo, sus oponentes plantean el problema de que una creación de toda la eternidad produciría una cantidad infinita de almas en acción, pero tal cosa es imposible según el Filósofo. Ante esta objeción, Escoto desarrolla más: “Todo lo que Dios no puede hacer en un día, porque“ implica contradicción ”, no podría, por la misma razón, hacerlo él durante un tiempo de duración infinita. "Llega a esta conclusión:" Por lo tanto, parece que los instantes de este día - incluso de esta hora - tienen un infinito igual al de los infinitos instantes de estos días infinitos. Esta intuición se verá, entre otros, confirmada por Richard Dedekind en su definición de un conjunto infinito que se caracteriza precisamente por la equivalencia entre dicho conjunto infinito y una de sus partes propias desde este punto de vista.

Del infinito matemático al infinito teológico

El hecho es que la base para la afirmación de Escoto de que hay algo así como un infinito en acción es teológica. Jean Duns Scotus rechaza que sea imposible que Dios cree espontáneamente un infinito en acción. De hecho, según Aristóteles, una magnitud solo puede tener un poder infinito. Ahora, queriendo construir intensamente la idea de una naturaleza infinita (según la calidad), Escoto da un paso obligatorio al demostrar una magnitud extensivamente (según la cantidad) infinita en acción. Según la definición de Aristóteles en el Libro III de Física , "el infinito es aquello que es tal que cuando se toma una cantidad, es decir, por grande que sea la cantidad que se toma, siempre hay algo que tomar", por lo tanto un Todo es solo una realidad potencial y, por eso, Scot concluye imperfectamente. Para remediar tal situación, el hombre medieval imaginó a partir de este potencial infinito lo que sería en acción:

Para nuestros propósitos, dice Duns Scotus, transformemos la noción de infinito potencial en cantidad en la noción de infinito en acto en cantidad, suponiendo que puede estar en acto en cantidad. Necesariamente, la cantidad siempre aumentaría, tomando una parte tras otra, pero si imaginamos que todas las partes que se pueden tomar sucesivamente son simultáneamente, entonces tendremos una cantidad infinita en acto, ya que también será grande en acto. está en potencial. Por tanto, si todas las partes fueran concebidas como presentes en acto simultáneamente, el infinito así imaginado sería verdaderamente un todo y sería verdaderamente perfecto, porque no habría nada fuera. Además, no se le podría agregar ninguna cantidad, porque entonces podría excederse. "

Con este pasaje, Jean Duns Scotus hace del infinito no lo que siempre deja algo atrás, sino lo que excede lo finito según una proporción determinada o determinable.

El paso del infinito en cantidad al infinito bajo la modalidad de la calidad tampoco se produce sin Aristóteles. Aunque en este último el infinito se aplica sólo a los tamaños, abre una puerta al libro V de su Metafísica admitiendo la transposición de nociones cuantitativas a otros objetos "por extensión". En la pregunta 6 del Quodlibet , Scot comenta este último pasaje y muestra que términos cuantitativos como pequeño, grande, menos, más, son aplicables a todos los seres, independientemente de su género. Por tanto, es posible la transposición de la física a la metafísica. Sin embargo, Scot querrá hacer del infinito no un accidente sino una cantidad de ser o una cantidad de perfección . Extrae del océano del ser infinito de la esencia divina de Juan de Damasco el concepto de infinito como modo intrínseco de ser de naturaleza infinita: "así como el océano no sería océano sin la inmensidad de su masa, así el la esencia divina no sería la esencia que es sin la magnitud que le es propia. »En la medida en que concebimos un ser infinito actual como una entidad, explica Scotus, debe pensarse en la modalidad de una cantidad infinita actual, es decir, que ningún otro podrá superarlo en entidad. En esto, "verdaderamente será un todo, y un todo perfecto".

El infinito en la metafísica y la teología de Escocia

En la metafísica de Jean Duns Scotus , el concepto de infinito se equipara con lo trascendental . Los trascendentales, además de ser, son atributos que pueden ser, en Doctor Subtle: atributos disyuntivos (infinito / finito, posible / necesario, en acto / en potencial, etc.); atributos convertibles (el uno, el verdadero, el bien…) que son directamente coextensivos con el ser; de perfectiones simpliciter (es decir, un predicado que no admite límite como inteligencia divina, por ejemplo).

El par de atributos disyuntivos infinito / finito permite establecer una medida del ser, no ya en el sentido estrictamente cuantitativo, sino en el sentido de un grado de excelencia del ser. Esta es una diferencia estrictamente modal, más que formal, entre los seres: Dios está en la modalidad del infinito, mientras que el hombre está en la modalidad de la finitud. Esta precisión, que no sólo está inscrita en la metafísica escocesa, sino también en el marco de un argumento teológico relativo a la existencia de Dios, infiere que la diferencia entre un ser finito y un ser infinito no es una diferencia. El razonamiento del Doctor Subtle, permite salvaguardar la divina sencillez.

En virtud de la teología natural escocesa y, más ampliamente, de su teoría cognitiva, es posible que el hombre sepa según el criterio de su experiencia sensible. Por lo tanto, si el conocimiento esencial de Dios no es accesible aquí abajo debido a la falta de poder experimentarlo, es posible, sin embargo, predicar a Dios atributos compartidos con él (como la inteligencia) en virtud de la teoría escocesa de la predicación inequívoca. . Por ejemplo, si es posible predicar la inteligencia a María, también podemos atribuir inteligencia a Dios, pero no de la misma manera que la criatura finita. Para Dios, será un simpliciter perfectiones. Es el mismo concepto de inteligencia, pero que no se da de la misma manera en la criatura finita y en Dios, ser infinito.

Además, la criatura finita también podrá llegar a la caracterización más perfecta y simple del Primer Principio. Como se vio anteriormente, precisamente esta caracterización positiva se logra con el concepto de infinito, subyacente a todos los atributos que se pueden predicar a Dios. Escoto aquí invierte el infinito como un concepto negativo para convertirlo en un concepto positivo. En efecto, se podría defender la negatividad del concepto de infinito a nivel etimológico por la presencia del prefijo en el que implica una negación. Considerado como tal, sería entonces contradictorio hablar del infinito como una caracterización positiva de Dios. Podemos analizar tal inversión desde un punto de vista lógico afirmando que, siendo la finitud en sí misma un concepto que implica un límite negativo, la adición del prefijo en , la doble negación da lugar (al menos en el nivel lógico y formal) una concepto positivo. Sin embargo, para Escoto , la naturaleza de la distinción de pares finito / infinito es metafísica y no formal o lingüística. Así, defender la positividad o negatividad del concepto desde el ámbito de la lógica o, más simplemente, desde la etimología es inútil en la perspectiva escocesa; más bien, su positividad debe admitirse como un presupuesto metafísico.

Thomas bradwardine

Bradwardine (c. 1300-1349) propuso la idea de un espacio infinito alrededor de la tierra (fuera del " firmamento "), en respuesta al imperativo de la Iglesia Católica de 1277 (en) , con el fin de resolver los conflictos de El pensamiento y la doctrina cristianos resultan de la comprensión de la filosofía y la teología aristotélicas, mediante la síntesis de la geometría euclidiana en la comprensión cristiana. Esto es lo que hizo específicamente para reconciliar a Aristóteles al conceptualizar el infinito con la noción cristiana de un "infinito de Dios" en posesión de un poder infinito.

Nicolás Oresme

Oresme (c.1320 Allemagnes (antiguo nombre de Fleury-sur-Orne) - 1382) comenzó a pensar infinitamente, en parte después de la escritura de Aristóteles y su trabajo físico . En Preguntas sobre la geometría de Eclid , Oresme demostró la posibilidad del concepto de "serie infinita", en su consideración, en la continuidad (y la trascendencia), de la idea de división infinita propuesta por Aristóteles ("en división en partes, la división es en sí misma divisible ").

Galileo

Galileo (1564 Pisa - 1642) advierte que existe una correspondencia uno a uno entre los números y sus cuadrados, de lo que deduce que la afirmación común "el todo es mayor que la parte" no es cierta cuando se habla de cantidades infinitas. . Sin embargo, lejos de encontrar en él una motivación para el estudio de los conjuntos infinitos, vio en él una prueba del carácter no operacional de tales conjuntos, posición aprobada más de dos siglos después por Cauchy . Así, hasta muy temprano en los tiempos modernos, los matemáticos se abstuvieron de usar conjuntos infinitos directamente y prefirieron razonar "en la comprensión" de las propiedades de sus elementos. Entonces quedaron satisfechos con la posibilidad de aumentar cualquier cantidad dada, o de disminuirla si es una cantidad continua.

Descartes

Infinito en el pensamiento metafísico de Descartes Dios como uno infinito

En el pensamiento metafísico de Descartes (1596 La Haye-en-Touraine - 1650), solo Dios puede ser calificado de infinito. La Meditación III proporciona una definición de este último: “En el nombre de Dios escucho una sustancia infinita, eterna, inmutable, independiente, toda sabia, todopoderosa, y que yo mismo y todas las demás cosas que han sido creadas y producidas. La noción de infinito real o en acto está estrictamente reservada para Dios; sólo Dios es infinito porque él mismo es el ser infinito. En Descartes, por tanto, se trata de un infinito de orden cualitativo; de una perfección infinita que existe sólo en el ser perfecto, en Dios - "no hay nada que yo nombre propiamente infinito, sino aquello en lo que por todos lados no encuentro límites, para lo que sólo Dios es infinito". "

La idea del infinito en el pensamiento humano

Sin embargo, la noción de infinito también tiene un lugar en el hombre, en su pensamiento. Está contenido en él como una idea que le es innata; el hombre tiene una idea del infinito, es capaz de concebir, a su manera limitada, el infinito. Es precisamente esta idea del infinito lo que Descartes asimila a la idea de Dios en el hombre; “La noción de infinito […] es decir de Dios. Se trata simplemente de nuestra concepción de un ser infinito y perfecto, es decir, de nuestra idea de la divinidad. Aunque no se trata del verdadero infinito, que sólo se encuentra en Dios mismo, la idea del infinito (o de Dios) que encontramos en el pensamiento del hombre ocupa un lugar importante en la metafísica cartesiana porque es que desde de la cual Descartes infiere la existencia efectiva y real de Dios (fuera del cogito ). Es la prueba de la existencia de Dios conocido como "por el infinito", que se encuentra en la Meditación III .

La prueba infinita de la Meditación III

La idea de infinito testimonia la finitud del yo cartesiano , del yo que piensa este infinito. El grado de perfección del contenido representado por esta idea es de tal magnitud que pone de manifiesto la finitud del yo en el que esta misma idea se aloja. En definitiva, Descartes quiere mostrar que es imposible que esta idea, cuyo contenido posee tal grado de perfección, pueda ser la creación del yo que piensa, pueda ser causada por ella de alguna manera. Siendo esto así, sólo puede "imprimirse" o encontrarse en este mismo yo en virtud de un ser externo a él, es decir distinto del yo , y que tiene formalmente o en acto suficiente de perfección en para poder ser el autor o la causa del contenido de nuestra idea del infinito. Para Descartes, sólo puede tratarse de Dios, de un ser que realmente posee en él la infinitud y la perfección que el ego apenas puede concebir y de manera muy limitada. Descartes dirá, de manera metafórica, que “uno no debe extrañar que Dios, al crearme, me haya puesto esta idea para ser como la marca del trabajador impresa en su obra. "

Por tanto, aunque el hombre es capaz de pensar infinitamente, sólo puede hacerlo con sus capacidades limitadas, las del ser finito que es. Aunque tiende a comprenderlo y le encanta contemplarlo, nunca podrá captar este infinito en su totalidad, en su perfección. De la idea del infinito que encuentra en sí mismo, el hombre debe, por tanto, contentarse con la simple certeza de que le permite adquirir de la existencia efectiva, fuera de su pensamiento, de ese infinito y que este último no es sólo la causa. de esta idea pero también de la existencia del hombre así como de todo lo que es . "Y toda la fuerza del argumento que he utilizado aquí consiste en reconocer que no sería posible que mi naturaleza fuera tal como es, es decir, que tuviera en mí la idea de un Dios, si Dios no existiera realmente; este mismo Dios, digo, de quien la idea está en mí, es decir, que posee todas estas elevadas perfecciones, de las cuales nuestra mente bien puede tener alguna idea sin comprenderlas todas, que no está sujeto a ninguna falta, y que no tiene ninguna de todas las cosas que carecen de alguna perfección. "

El infinito en el hombre, en forma de idea innata, permite por tanto saber que ese infinito existe actualmente fuera del hombre, pero que no puede, sin embargo, impulsar al hombre hacia el conocimiento absoluto de este infinito. Esto sería una contradicción con la noción misma de lo que significa el infinito en Descartes. De hecho, el infinito, por su naturaleza, nunca podría ser entendido por lo finito. Descartes dirá que “es de la naturaleza del infinito, que mi naturaleza, que es finita y limitada, no puede comprenderlo. El creador nunca sabrá ser entendido por su criatura.

Nuestra concepción del infinito, por tanto, nos permite no sólo observar nuestra propia finitud, sino también inferir con certeza que tal ser infinito debe existir necesariamente fuera de nosotros, aunque nunca podamos esperar comprenderlo completamente. Descartes nombra a este ser Dios .

Lo infinito y lo indefinido La distinción entre infinito e indefinido

Mientras que el infinito se dice de Dios , el indefinido se dice del mundo físico y las matemáticas . Lo indefinido designa lo que no podemos probar los límites. Su verdadera naturaleza es la indeterminación, ya que ni finita ni infinita. Todo lo que es ontológicamente secundario a Dios es solo indefinido, es decir, refleja el desconocimiento del sujeto. Sin embargo, Dios mismo escapa al hombre. La esencia del infinito desborda todo intento que se pueda decir. Hay un desajuste entre la idea del infinito en mí y el infinito, ya que querer decir infinito, escribirlo o definirlo siempre excede la comprensión que se puede tener de él. La idea de infinito se presenta como una paradoja: es al mismo tiempo la idea más clara y distinta, y la idea más incomprensible. Al afirmar que es incorrecto concebir el infinito mientras se niega lo finito, Descartes sugiere que uno debería contentarse con usar expresiones negativas mientras las rechaza en el plano del significado, no solo porque la esencia del infinito desborda cualquier intento de encerrarla en el lenguaje. , pero también que la medición en positividad es esencial para el infinito.

Descartes, ¿heredero de Aristóteles?

Más bien, la tradición ha interpretado el indefinido cartesiano como un infinito en expansión o un infinito espacial. Lo que se presupone en esta interpretación es que Descartes retoma la pareja infinita en acto y el potencial infinito de Aristóteles . Jean-Baptiste Jeangène Vilmer sugiere cuestionar esta interpretación y considerar en cambio una interpretación literal de la noción de indefinido en el pensamiento de Descartes; es decir, indefinido como indefinido o indefinido. Nótese que existen razones metafísicas para negarse a considerar que lo indefinido es un infinito en su género, del cual el género sería la extensión. Ontológicamente, la infinita positividad de Dios implica necesariamente la existencia de un solo infinito. Además, la extensión es la marca del cuerpo, esto constituye un defecto. Por tanto, no podemos predicarlo a Dios, que es perfección infinita. Finalmente, dado que el infinito de Descartes no es un infinito de cantidad, sino un infinito de cualidad, la perfección, debemos ver una diferencia de naturaleza y no de grado entre infinito e indefinido.

Metafísica y física

Esta distinción entre infinito e indefinido también se explica por la relación de subordinación que existe entre metafísica y física en Descartes . La metafísica es la ciencia de la ciencia, la que permite llegar a los principios básicos y explicar los fundamentos del conocimiento. Además, las evidencias de la ciencia deben estar garantizadas en última instancia por la existencia de Dios. La prueba de que Dios es el fundamento de la ontología, para Descartes "un ateo no puede ser un geómetra", asegura la validez de las verdades eternas.

Papel de la voluntad Voluntad como marca divina

Se ha observado que la idea de infinito se presenta como una paradoja. La claridad de la noción de infinito proviene de la idea innata de infinito. Habiendo Dios hecho al hombre a su propia imagen, necesariamente hay una semejanza entre los dos. Es la voluntad la que tiene para Descartes un papel de imagen o marca divina. Sólo podemos concebir esta semejanza por la misma facultad por la que nos concebimos a nosotros mismos. Esta facultad es la voluntad, es decir, el poder de afirmar o negar sin una fuerza externa que nos constriña, es decir, de emitir un juicio que une ideas entre sí. Nunca hablamos de su carácter infinito, sino solo de su infinitud porque se especifica solo similar.

El infinito de la voluntad

Esta infinitud es la meta, la aspiración natural o el deseo que el hombre tiene por el infinito. Para evitar que el infinito sea un objeto y, por tanto, contradiga la idea del infinito, es necesario que el infinito sea el origen y la meta del hombre. Así, el infinito es origen ya que el hombre está marcado por él al tener la idea innata del infinito. Y lo infinito es aspiración natural, ya que es la manifestación del rechazo de lo finito. La idea de infinito que hay en mí, es decir como idea innata, es el punto de partida para ir más allá del solipsismo y demostrar la existencia del infinito. Debemos notar entonces que en la concepción de la voluntad de Descartes, voluntad y libertad están vinculadas, incluso confusas. Define la libertad como la amplitud de nuestra voluntad. Entonces, decir que la voluntad es infinita es decir que su amplitud es infinita y, por tanto, el hombre tiene libertad infinita. Si podemos afirmar su infinitud es porque la voluntad lleva los signos del infinito: es decir, positividad e incomprensibilidad. La positividad de la voluntad se expresa en la evidencia del libre albedrío, mientras que su incomprensibilidad radica en la paradoja de la finitud de mi entendimiento y de la voluntad infinita.

La infinitud como causa del error

También podemos ver la causa del error en la infinidad de la voluntad ; el error es una imperfección de la que Dios no puede ser responsable, siendo infinitamente bueno y perfecto. La causa, por tanto, está necesariamente al nivel de la mente humana, en el uso de sus facultades. El espíritu humano se define como aquello que piensa, compuesto por el entendimiento y la voluntad . En primer lugar, la comprensión es una facultad pasiva que recibe ideas. Si bien el entendimiento humano es finito, no puede ser causa de error ya que una idea no puede ser más o menos verdadera, solo más o menos clara y distinta. Entonces la facultad de la voluntad está activa. Vincula ideas para formar juicios. Las relaciones no pueden ser incorrectas per se. Por tanto, no puede ser la única causa del error. Descartes muestra que el error ocurre cuando la voluntad va más allá de los límites del entendimiento y plantea relaciones entre ideas que no son claras y distintas. Tal es el efecto de la infinitud de la voluntad.

Buenaventura Cavalieri

En 1635 Cavalieri (1598 Milán - 1647) propuso una nueva idea de geometría en la que los cuerpos se componen de superficies infinitas y las superficies de cuerpos de líneas infinitas. Él llama a su idea de lo infinitamente pequeño en geometría los indivisibles . El método de los indivisibles se publica en Geometria indivisilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635). Cavalieri concibió esta idea por primera vez en 1629.

Blaise Pascal

Pascal (1623 Clermont (ahora Clermont-Ferrand) - 1662) conoció el infinito como un hecho de la realidad existente en todas las ciencias, que pensó que era cierto debido al hecho de que la naturaleza era en realidad "un doble infinito". Considerando cómo es imposible que los individuos comprendan el infinito a través de la contemplación, Pascal mostró cómo esta imposibilidad impulsa enormemente a los individuos a buscar la verdad en la naturaleza como parte de una investigación científica, pero no tiene capacidad en los humanos para conocer el infinito, y por lo tanto no tiene capacidad infinita. (como la hay en la naturaleza) en el ser humano, siendo necesaria esta segunda capacidad de infinito para un correcto conocimiento de la naturaleza (sinónimo de investigación científica).

John Locke

Locke (agosto de 1632 Wrington (Somerset) - octubre de 1704) consideró que en consideraciones sobre el tema de la eternidad, que clasificó como infinita, los humanos son susceptibles de equivocarse. En Ensayo sobre la comprensión humana , observó cómo las discusiones sobre el tema del infinito parecen posibles para los individuos, debido a la posibilidad de usar palabras para expresar cantidades de espacio, duración o divisibilidad, pero la idea de infinito es de hecho incomprensible (parte 21). Locke creía que el infinito era un atributo de Dios del cristianismo (parte 1), pero no podía comprender la naturaleza de un ser sin comienzo y, por lo tanto, no podía completar su propia idea de un "ser eterno" (parte 17).). Pensó que comprender lo infinitamente pequeño era más fácil que lo infinitamente grande (parte 18).

Leibniz y el infinito

Infinito en acción

Es con Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 Leipzig - 1716) que la actualidad del infinito será por primera vez objeto de un análisis real, dado que esta actualidad se afirma positivamente. El infinito juega un papel fundamental en el sistema leibniziano con respecto a la existencia de todas las cosas. Esta afirmación se opone directamente al pensamiento aristotélico de que el concepto de infinito solo puede pensarse como posible. Según Leibniz, el infinito en acción es la condición de posibilidad de cualquier operación de adición y división, en la medida en que su realidad siempre está ya presupuesta.

Los cinco contextos del infinito Dios

Según Leibniz, sólo Dios y sus atributos pueden verdaderamente decirse que son "infinitos". En este sentido, todos los demás contextos donde encontramos el infinito son solo expresiones más o menos perfectas del infinito de Dios. Este infinito absoluto se explica por la premisa según la cual Dios es perfecto, entendiendo aquí la perfección como "la grandeza de la realidad positiva tomada precisamente, poniendo límites y límites a las cosas que la tienen". Dios no puede ser limitado, es su misma perfección la que es infinita. En virtud de su infinitud, Dios es, además, el fin último de la serie infinita de hechos contingentes del mundo, como razón final suficiente.

Las ideas de dios

Es en las ideas de Dios donde encontramos una infinidad de mundos posibles. Por lo tanto, el infinito es primero posible allí, luego real. El paso de lo posible a lo real se rige por el principio de determinar lo mejor. De hecho, la creación del mejor mundo posible por Dios se lleva a cabo según un cálculo que tiene en cuenta la infinidad de posibilidades. A través de la combinatoria , Dios primero compara la infinidad de posibilidades, luego también la infinidad de sistemas posibles, para finalmente determinar el sistema con el mayor grado de perfección. Por tanto, en las ideas de Dios hay infinidad de infinitos.

Mónadas

El infinito también se encuentra en las realidades individuales (mónadas). Las mónadas son naturalmente perceptivas y apetitivas, reúnen multitud de percepciones en su unidad sustancial. Su capacidad de representación, por tanto, no se limita a un aspecto parcial de las cosas, sino a la multitud de cosas del universo, lo que lleva a Leibniz a afirmar "que todas van confusamente al infinito, al todo" (Monadología párr. 60). Sin embargo, uno no debe confundirse con la naturaleza bien y verdaderamente acabada de la mónada. Este tipo de realidad es cerrada, "sin puerta ni ventana", pero tiene acceso a través de estos estados a la multitud de cosas del universo. La mónada es, pues, una realidad finita cuya capacidad representativa es infinita. La diferencia entre el infinito de Dios y el infinito de la mónada es, por tanto, una diferencia en la forma de ser infinito.

Universo

El universo también accede al infinito, pero en una dirección completamente diferente. El universo no es un todo, ni una sola y simple realidad. Más bien, es un "grupo de un número infinito de sustancias". Por tanto, el mundo creado, por la infinidad de sustancias y la infinita división de la materia, no se puede unificar. Se trata, pues, aquí de un agregado de un número infinito de realidades a las que no se les puede asignar ningún límite.

La divisibilidad de la materia

La naturaleza es para Leibniz una estructura de cuerpos extendidos, estos cuerpos son infinitamente divisibles. Leibniz también compara la naturaleza con un estanque habitado por una multitud de criaturas, donde cada parte del estanque contiene en sí una infinidad de estanques. Por lo tanto, la división de la materia debe entenderse no solo como una primera división hasta el infinito, sino también según una multitud de divisiones en las que cada parte actualmente dividida se divide en sí misma hasta el infinito y, por lo tanto, hasta el infinito. Esta división, además, la imagina Leibniz según se trate de "pliegues" que continúan hasta el infinito. La divisibilidad de los cuerpos hasta el infinito debe representarse no como un número infinito de granos de arena, sino como los pliegues infinitos de una hoja de papel, donde no se puede llegar al pliegue final.

Infinito cuantitativo en el cálculo infinitesimal

Conceptualmente, la presencia de la noción de infinito en el cálculo infinitesimal es problemática. El uso de las expresiones "dx" y "dy", que parecen referirse a una cantidad infinitamente pequeña de tiempo o espacio, puede resultar confuso. Leibniz menciona al respecto que el cálculo infinitesimal es operativamente autónomo con respecto a su metafísica, y que la escritura infinitesimal tiene un valor estrictamente instrumental. Por tanto, se puede decir que el cálculo infinitesimal es independiente de la metafísica leibniziana desde el punto de vista de su funcionamiento. El infinito matemático, como infinito cuantitativo, es más parecido a un "falso infinito", o simplemente a un infinito posible; los diferenciales son cantidades que no existen antes de ser planteadas instrumentalmente.

El infinito como objeto de la ciencia Infinito matemático

Tanto el infinito real como el posible infinito pueden ser objetos de una ciencia. En cuanto al infinito matemático, aunque se considera un "falso infinito" (potencialidad), Leibniz tiene claro que es posible conocer la ley de una progresión interminable de cantidades. En este sentido, la razón suficiente de esta progresión es accesible; por lo que tenemos conocimiento de ello.

Infinito físico y metafísico

El concepto de infinito en acción es una idea innata. En este sentido, la idea de infinito es evidente por sí misma y, por lo tanto, está sujeta únicamente al principio de no contradicción , que la hace racional. Il est également possible d'avoir une idée adéquate de l'infini métaphysique ou véritable, c'est-à-dire qu'il est possible d'en avoir une connaissance ou d'en présenter une définition dont l'on connait distinctement tous los términos. Dios, por sus atributos infinitos, es decir, la eternidad y la inmensidad, puede entonces ser conocido. Ahora bien, las mónadas son realidades finitas que pueden percibir el infinito solo desde el punto de vista en el que se colocan. Por tanto, sólo en Dios es posible la perfecta comprensión del infinito.

Kant

La primera de las cuatro antinomias de Kant (1724-1804) se expresa de la siguiente manera en la Crítica de la razón pura :

tesis “El mundo tiene un comienzo en el tiempo [...], relativamente en el espacio, contenido dentro de ciertos límites. " De hecho, sería absurdo admitir una serie infinita y realizada a la vez. La totalidad de los seres o fenómenos forma un número que supera nuestra imaginación, pero que es un número real, y el infinito supera a todos los números. El pasado contiene una serie de seres y fenómenos a los que se suma cada momento. Es contradictorio nombrar infinito lo que aumenta o puede aumentar. El mismo razonamiento refuta la eternidad del pasado: la eternidad es infinita, inagotable y cada momento aumenta el pasado. antítesis “El mundo no tiene principio ni límites espaciales pero es infinito [..] en el espacio sólo en relación al tiempo. " Si el mundo no fuera eterno y sin medida, estaría envuelto en un tiempo y un espacio vacíos. Pero el tiempo vacío no contiene causa, condición, posibilidad de comienzo, y nada podría haber comenzado. Limitar el mundo en el tiempo es aniquilarlo. Y el espacio vacío no es nada. Decir que un espacio vacío limita el mundo, decir que el mundo está limitado por nada, es decir todos juntos que el mundo es limitado y que no está limitado.

Hegel

Un cualitativo infinito

El proyecto del sistema hegeliano de la dialéctica y el infinito apunta a superar las oposiciones filosóficas del infinito de la sustancia objetiva en Spinoza y la finitud del entendimiento humano en Kant . Es a partir de la primera antinomia cosmológica de lo finito y lo infinito en la Crítica de la razón pura que Hegel (1770-1831) forma su concepción del verdadero infinito. Para Kant, tratemos de recordar que el absoluto nunca se da en la intuición, sino que la mente lo forja desde cero como concepto simple, como idea trascendente. Esta idea del infinito juega el papel de pura ficción para el hombre, una ficción útil como lo declara Leibniz , mientras que se convierte en una idea límite, una proyección trans-empírica, tal vez necesaria como herramienta para el desarrollo del conocimiento, pero probablemente no teniendo realidad ontológica. Según Hegel, el error de Kant habrá sido concebir sólo un infinito cuantitativo, ya que el concepto de eternidad, como progreso temporal interminable, sólo se configura al concebir una línea interminable o incluso una serie infinita de números naturales. Lo mismo ocurre con el infinito espacial, que presupone necesariamente una magnitud inagotable en la que vendría a hundirse la finitud; de nuevo, el argumento es circular. Las categorías a priori de la sensibilidad que son tiempo y espacio en Kant constituyen la solución trascendental al problema de la primera antinomia, pero no pueden explicar a Hegel la dialéctica interna de la mente por sí sola capaz de subsumir los antagonismos que lleva consigo. . Si se dice que el infinito hegeliano es cualitativo, es precisamente porque no se resume en la enumeración o la iteración de series de números o en la suma de estas series, sino porque reside en la relación que mantienen juntos.

Un método analítico y sintético

Para Hegel, las matemáticas tienen un carácter esencialmente analítico; El valor de verdad de las ecuaciones matemáticas no sólo no deriva de la experiencia sensible, sino que siempre deriva de alguna manera de su conformidad con un paradigma dentro del cual se presuponen leyes y definiciones a priori (en el sentido kantiano). En este sentido, para Hegel, el proceso analítico representa, a diferencia de Kant, "la pura inmanencia de las determinaciones a la totalidad original presente bajo la modalidad del en-sí" . En otras palabras, no es el número como objeto el que despliega desde su esencia las leyes y los mecanismos que caracterizan su interioridad pura, sino que son insertadas desde fuera por la mente y se convierten así en el espejo del funcionamiento del espíritu humano y de su interior. organización interna. En definitiva, “el objeto, el número, es sólo pensamiento, y el pensamiento abstracto de la exterioridad misma […] Por esta exterioridad pura y esta ausencia de determinación propia, el pensar tiene en el número una materia infinitamente determinable que no opone resistencia. " . La verdad para Hegel, o mejor dicho, el desarrollo del conocimiento es siempre un proceso objetivo y subjetivo, un método tanto analítico como sintético. El conocimiento matemático por lo tanto comparte este carácter analítico con el conocimiento conceptual, sin embargo, se diferencia de este último por ser solo analítico, mientras que el conocimiento conceptual es también un proceso sintético. Para Hegel, el verdadero infinito está en la relación cualitativa que se establece en la relación entre dos magnitudes cuantitativas. Como Leibniz había notado antes que él, no son las cantidades infinitamente pequeñas o infinitamente grandes las que son importantes, sino su diferencia la que es infinitesimal. El paso de la cantidad a la calidad se produce a través de una relación dinámica generada por la razón que da como resultado una medida, una proporción, que para Hegel significa la asimilación mutua de lo determinante (calidad) y lo determinado (cantidad).

Una relación dinámica entre finito e infinito

La concepción del infinito elaborada en Hegel no tenía a primera vista pretensiones matemáticas o prácticas, sino esencialmente metafísicas y es precisamente en este sentido que su visión del infinito se convierte en la de la dinámica del concepto absoluto. Por lo tanto, también es necesario tener en cuenta que para Hegel - axioma fundamental de todo su sistema que toma prestado de Spinoza - toda determinación es al mismo tiempo una negación y, en consecuencia, la negación de la negación refleja el auto-movimiento de lo absoluto. concepto. Como resultado, la finitud y el infinito no están vinculados externamente en oposición entre sí, sino que mantienen una relación dinámica internalizada, el infinito absorbe la finitud en sí mismo como uno de los momentos de su desenvolvimiento perpetuo. “Para Hegel, este devenir procesual es un infinito dinámico o cualitativo, y su figura es la del círculo sin punto inicial y sin punto final, y no la imagen de la línea infinita o de la serie ilimitada de números naturales. " . Según Hegel, la historia del ser es un perpetuo devenir, “cualquier forma dada es empujada a superarse a sí misma, según la necesidad de un empujón, una pulsión, inmanente, constitutiva de la necesidad de su trascendencia. " . El mecanismo inherente a este movimiento universal es la dialéctica, "la ley del pensamiento y de la realidad que, progresando por sucesivas negaciones, resuelve las contradicciones accediendo a síntesis siempre parciales y llamadas a superar" . Una concepción particular es siempre en sí misma un sistema positivo y coherente y en este sentido contiene en sí un fragmento del concepto absoluto que representa de manera incompleta. Una idea caducada nunca desaparece del todo, sino que se sumerge en un nuevo sistema dentro del cual se ratifica e incorpora el fragmento de su absolutismo. La negatividad que está en el corazón de la dialéctica se lleva a cabo siempre en una relación de la que es principio mediador. En otras palabras, es lo negativo lo que incide en la relación estructural entre una interioridad ideal y una exterioridad manifiesta. En este sentido, lo negativo se relaciona con la esencia de la cosa, el empuje rector, el motor ontológico del ser. Esta obra de lo negativo, inscrita en el corazón mismo del devenir, anima para Hegel cualquier historia particular. Este movimiento es para Hegel un infinito abstracto, un mecanismo universal que actúa en todas las cosas positivas.

Finalmente, lo finito, por definición siempre en transición, está siempre en formación, siempre llamado a ser trascendido, superado hacia el infinito. El absoluto, por tanto, contiene en sí todos los momentos de finitud, el absoluto se aliena de sí mismo para finalmente exteriorizarse como espíritu. El infinito en Hegel es, por tanto, espíritu absoluto, idea absoluta o concepto absoluto, sinónimos de la totalidad del sistema filosófico. Si en Hegel se dice que el espíritu o la idea es infinito, es porque el infinito es el ser de aquello que se superpone y sólo se superpone.

Cantor

Georg Cantor (1845 Saint-Pétersbourg - 1918) - matemático de formación - señala, en el curso de su trabajo, que el análisis matemático es insuficiente para captar completamente la esencia del infinito. De hecho, examina la cuestión a través de conjuntos cuyas propiedades no habían sido claramente aclaradas antes que él. Estos parecían triviales para los conjuntos finitos, mientras que los de los conjuntos infinitos estaban más preocupados por la filosofía. Cantor se convierte así en el fundador de la teoría de conjuntos , un método "más cercano a la filosofía general" y cuyo desarrollo constituirá una "culminación con mayores consecuencias en la historia de las matemáticas". La teoría de conjuntos, más precisamente la teoría de los números transfinitos , que constituye su núcleo, servirá de base para una reflexión sobre una gama de infinitos diferentes. Cantor, por tanto, distinguirá tres nociones diferentes de infinito: la infinitamente grande, que analiza y clasifica y por la que es reconocido (secciones 1 a 4); los infinitesimales, que niega y rechaza (sección 5); finalmente, el infinito absoluto, en el que basa su metafísica del infinito (sección 6).

Así, el aparato conceptual desplegado por Cantor se basa en distinciones matemáticas completamente nuevas, que hacen que lo infinitamente grande sea un objeto aparte, no obstante analizable, pero que contradice la intuición. Cantor cree que la aritmetización del infinito es posible, es decir, piensa que lo infinitamente grande es una cantidad a la que se le debe asignar un número, un número al que se deben aplicar las operaciones ordinarias. Llegó a pensar así después de su trabajo en aritmética y trigonometría; por tanto , no presupone que el infinito tiene valores diferentes, lo descubre . Como "las propiedades finitas no se pueden predecir para todos los casos de infinito", tenemos que encontrar las propiedades del infinito. Posteriormente, estas propiedades se desarrollarán en su teoría de conjuntos de números transfinitos.

Infinito en conjuntos

El pensamiento de Cantor lo llevó a basar las matemáticas en la teoría de conjuntos más que en la aritmética. Por lo tanto, se inspira en el enfoque de Bolzano y su método de correspondencia uno a uno, o biyección. Cantor, por tanto, considera los conjuntos como objetos que tienen "una existencia en sí misma independiente de nuestros medios para alcanzarlos" y sólo definidos por su contenido. Cantor trabajará principalmente con los siguientes conjuntos infinitos:

El conjunto de números naturales N = {0, 1, 2, 3, ...}.
El conjunto de los números racionales Q : fracciones, incluyendo elementos del N .
El conjunto de números reales R : Q , así como números con una infinidad de decimales irregulares como la raíz cuadrada de 2, π o e.

Los números reales serán de particular interés para Cantor, ya que le permiten ubicar cualquier punto en una línea, en un plano o en el espacio.

Enumeración de conjuntos: cardinalidad

Dado que un conjunto se define por sus elementos, debe encontrar una manera de contarlos para poder compararlos. Aquí es donde entra la noción de cardinalidad : el número cardinal de un conjunto es el número de elementos contenidos en este conjunto; esto "ignorar la naturaleza de los elementos del todo". Así, en el conjunto {2, ..., 101}, la cardinalidad es 100. En el caso de números infinitos, será necesario encontrar la manera de contarlos y asignarles una cardinalidad. Esto será posible comparándolos entre sí.

Por tanto, podemos buscar comparar la cardinalidad de un conjunto con la de su conjunto de partes : es el conjunto de conjuntos posibles, dentro de un conjunto. Por ejemplo, si la cardinalidad de A = {1, 2, 3} es 3, la de su conjunto de partes es 2 3 = 8, porque podemos formar 8 conjuntos a partir de A: {1}, {2}, {3 }, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}, ∅.

Comparación de conjuntos: correspondencia uno a uno En conjuntos finitos

Para comparar los conjuntos finitos se trata de contarlos, que no es otra cosa que asociarlos uno a uno con el conjunto M de los números {1, 2, 3,…, n} donde n es el número de elementos en el conjunto, en otras palabras, el número cardinal. Se busca establecer entre ellos una correspondencia o biyección única , es decir una combinación de todos los elementos de un conjunto con los de otro, "sin repetición ni omisión"; si tal correspondencia es posible, diremos que los dos conjuntos tienen el mismo "poder", son equipotentes . En términos más precisos, asociar elementos del conjunto D con los del conjunto E, sin repetición (para cada elemento de D, solo hay un elemento de E asociado), es una simple inyección , mientras que asociarlos, sin olvidar elementos de D, es una sobreyección . Una biyección es solo una relación de dos conjuntos que es tanto inyectiva como sobreyectiva.

En infinitos conjuntos

Esta correspondencia se puede aplicar a conjuntos infinitos. Por lo tanto, el conjunto de todos los números naturales pares puede asociarse con el conjunto de todos los números naturales mediante la función y = 2 x , donde x es un elemento entre el conjunto N de todos los números naturales ey un elemento entre el conjunto N ′ de todos los números pares. La cardinalidad de N y N ′ es, por tanto, la misma, por contradictoria que parezca.

Entonces, a primera vista, parece haber más real que racional y más racional que natural; Sin embargo, Cantor muestra que los racionales Q y los naturales N se pueden poner en correspondencia uno a uno, y por lo tanto tienen el mismo número de elementos. De hecho, esto permitirá organizar los números racionales (considerados como fracciones) de la siguiente manera: Q + = {1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 3/2, 2 / 3, 4/1, 1/4, ...} (las fracciones negativas no se incluyen aquí para facilitar la comprensión). Se observará que, a continuación, se han eliminado las fracciones reducibles, y por tanto repetitivas (2/4 = 1/2, por ejemplo). Como los números racionales están colocados en un orden que los unirá a todos sin excepción, podemos decir que son contables , es decir que podemos asociar un número n a cada uno de ellos. De manera más general, vemos que cualquier conjunto infinito contable tiene la misma cardinalidad y, por lo tanto, el mismo número de elementos que los naturales.

Las comparaciones entre N y N ′ o entre Q y N se reducen a considerar una parte tan grande como el todo; lo cual va en contra de lo que los filósofos siempre han considerado una regla fundamental. Esta aparente transgresión en Cantor se convierte en última instancia en la definición de un conjunto infinito: la cardinalidad de un conjunto es infinita si y solo si una o más de sus partes es igual a su todo.

Sin embargo, no todos los conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad que muestra el argumento de la diagonal, demostración de la imposibilidad de trazar una biyección entre N y R , y por tanto que , es decir, que la cardinalidad de los números reales es estrictamente mayor que el de los números naturales. De hecho, el conjunto R de números reales no es contable, y Cantor nombrará su cardinalidad: poder del continuo . El conjunto de números reales es un conjunto continuo (a diferencia de discreto) ya que agrupa todos los puntos de una línea, un plano o un gráfico, sin “huecos”. ${\ aleph _ {0}} <2 ^ {{\ aleph _ {0}}}$

Números transfinitos Aleph 0 y su aritmetización

Los " números transfinitos " es el nombre que Cantor da a los números infinitos correspondientes a las diferentes cardinalidades de los conjuntos infinitos por la connotación negativa ligada al concepto de infinito, como si fuera un "incompleto" o un "indefinido". ". Los transfinitos cantorianos son objetos matemáticos reales, están "en acción", dado que los conjuntos, por infinitos que sean, son muy reales. Por convención, la cardinalidad de N (que es también la de Z y Q ) se llama Aleph 0 ,, y constituye la cantidad infinita más pequeña. “Aleph”, que equivale a la letra “a” en hebreo, fue sin duda elegida porque, para Cantor, los infinitos son precisamente entidades reales con las que podemos desarrollar una nueva aritmética. Pero, ¿cómo hacer cálculos aritméticos a partir de ? Cantor muestra que, para el conjunto , “ ”, que “ ” y que “ ”. ${\ aleph _ {0}}$ ${\ aleph _ {0}}$ ${\ Displaystyle {n}}$ ${\ Displaystyle {\ aleph _ {0} + n = \ aleph _ {0}}}$ ${\ Displaystyle {\ aleph _ {0} + \ aleph _ {0} = \ aleph _ {0}}}$ ${\ Displaystyle {\ aleph _ {0} \ times \ aleph _ {0} = \ aleph _ {0}}}$

Este último resultado ya es asombroso, porque implica la afirmación de que el conjunto de fracciones y el de enteros tienen la misma cardinalidad. Este es también el caso de todos los puntos de una recta y todos los puntos de un plano, que tienen la misma cardinalidad, que es esta vez la del continuo. De hecho, no importa cuántas dimensiones tenga el “área de trabajo”, el número de puntos que contiene es el mismo. Por tanto, tenemos c × c = c donde c es la cardinalidad de un conjunto transfinito. Por lo tanto, "los espacios de un número arbitrario de dimensiones solo pueden mapearse en la línea unidimensional de reales". En su correspondencia con Dedekind, Cantor dirá sobre este descubrimiento "Lo veo, pero no lo creo".

Cardenal de todas las partes de Aleph 0

Uno podría creer, a partir de los resultados anteriores, que solo habría una cardinalidad infinita. Pero Cantor demuestra (véase el teorema de Cantor para un análisis detallado) que no hay sobreyección - y por lo tanto no hay biyección - entre un conjunto B y su conjunto de partes ( P (B)). Esto es bastante obvio para conjuntos finitos, por otro lado, para infinitos, es necesario operar una reducción ad absurdum y una construcción (no realizada aquí). El resultado al que llega Cantor es que, la cardinalidad de N <la cardinalidad de P ( N ) <la de P ( P ( N )) ... la cardinalidad de N es , mientras que la de su conjunto de partes es etc. Entonces, ${\ aleph _ {0}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {0} <2 ^ {\ aleph _ {0}} <2 ^ {2 ^ {\ aleph _ {0}}} \ ldots}$

Sin embargo, Cantor quiere hacer algo mejor que trazar tal jerarquía: quiere construir el conjunto de alephs donde cada nuevo aleph sea el sucesor inmediato del anterior. Para hacer esto, necesitará los ordinales.

La secuencia de alephs gracias a los ordinales

Cantor deberá apelar a la teoría de los ordinales , es decir, de los conjuntos en la medida en que están ordenados (donde, a diferencia de los cardinales, la posición de los términos es esencial). La ordinalidad solo se puede aplicar a conjuntos bien ordenados (que tienen buen orden ). Cantor consigue así obtener, gracias a los ordinales, un lenguaje más preciso, que le permitirá tener una aritmética de infinitos más sutil. Por tanto, la suma no es conmutativa con ordinales, por ejemplo ( correspondiente a la ordinalidad de ). La ordinalidad también compara conjuntos con mayor precisión que simplemente comparando cardinalidad. $\ omega +1 \ neq 1+ \ omega$ $\omega$ $\ mathbb {N}$

Gracias a la noción de ordinales, Cantor logra definir alephs: es la cardinalidad del conjunto - infinito - de todos los ordinales finitos, mientras que es la de todos los ordinales contables. Y al continuar, le resulta posible construir la secuencia (indexada a sí misma por los ordinales): ${\ aleph _ {0}}$ ${\ aleph _ {1}}$

{\ displaystyle {\ aleph _ {0}} <{\ aleph _ {1}} <{\ aleph _ {2}} <{\ aleph _ {3}} <\ ldots <{\ aleph _ {\ omega} } <\ ldots}

. La hipótesis del continuo

El cardinal del conjunto de conjuntos de enteros naturales es el del conjunto de reales, y Cantor hace la hipótesis de que este cardinal es : es la hipótesis del continuo (el continuo es el conjunto de reales , que no tiene "huecos" ). Esto último equivale, por tanto, a sostener que = , es decir, que la cardinalidad de los reales es la sucesora de la del conjunto de los enteros naturales, es decir, la "cantidad infinita" inmediatamente superior. ${\ aleph _ {1}}$ ${\ aleph _ {1}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$

El rechazo de los infinitesimales

A pesar de su concesión por la utilidad de lo infinitamente pequeño en el cálculo infinitesimal, Cantor opone lo infinitamente pequeño al ser un verdadero infinito (en acto), es decir, ser un objeto matemático por derecho propio, y lo definirá más bien como un "modo de variabilidad" o simplemente un infinito potencial. Dirá que es un infinito "incorrectamente", cuyo tamaño es variable, decreciente a voluntad, pero siempre finito como cualquier número irracional (no es porque un número en particular tenga un número infinito de lugares decimales sin una regla que es en sí mismo infinito). En la Mitteilungen , Cantor desea mostrar formalmente la contradicción intrínseca de los infinitesimales, pero al final solo reitera el axioma de Arquímedes (de ayb donde a <b, donde a y b son números reales positivos, y donde hay ac tales que a × c> b). Por lo tanto, Cantor rechazará las teorías de Du Bois-Reymond y Thomae Stolz, así como la de Veronese, porque siempre fallan en mostrar a qué conjunto pueden referirse los infinitesimales (o de qué conjuntos se obtienen). Si los infinitesimales fueran números, deberían ser constitutivos de un conjunto, y este último sería más continuo que el conjunto de los reales (en sí mismo, el “poder de lo continuo”).

Infinito absoluto: un fundamento teológico

Abordada en Mitteilungen , la cuestión del infinito absoluto de Dios es para Cantor de capital importancia. Incluso si se refiere más directamente a la teología especulativa, todavía sirve como base para la teoría de los transfinitos. Es una especie de revelación mística para Cantor: "Le agradó que llegué a las revelaciones más asombrosas e inesperadas de la teoría de conjuntos", escribe sobre lo que considera un verdadero infinito, como un máximo absoluto. Los números transfinitos son accesibles al hombre, pero su conjunto, es decir, el sistema de todos los números “Ω”, es incomprensible.

¿Cómo conciliar la diversidad matemática de los infinitos (aleph 0, 1, el poder de lo continuo, etc.) con la unicidad de la infinitud absoluta de Dios? Para Cantor, son estos últimos los que garantizan la existencia de los transfinitos, porque a priori , normalmente deberían derivar de la naturaleza infinita de Dios, y que a posteriori , permiten una explicación de una gama más amplia de fenómenos. A pesar de todo, parece que la teoría cantoriana de los transfinitos puede prescindir de la hipótesis de Dios.

Russell

El infinito se convierte en un problema para el propio Russell (1872 Trellech (Monmouthshire, Gales) - 1970) durante su investigación con Whitehead sobre la reducción lógica de las matemáticas en Principia Mathematica de 1910 a 1913. Ofrece poco tiempo después de una aplicación del método analítico-lógico al problema tradicional del infinito en filosofía para derivar una teoría positiva de él en El método científico en filosofía en 1914.

El proyecto logicista

El proyecto logicista consiste en demostrar lógicamente los conceptos y las proposiciones matemáticas. En 1889, Peano desarrolló un axiomático de la teoría de números reduciendo así las matemáticas a la aritmética. Para que Russell pueda demostrar la reducibilidad de las matemáticas a la lógica pura, todo lo que tiene que hacer, por lo tanto, es reducir los axiomas de Peano a la lógica. Para ello, moviliza las herramientas conceptuales de Cantor en matemáticas y Frege en lógica. Sin embargo, este proyecto resulta un fracaso porque Russell no puede demostrar lógicamente la existencia de una clase infinita de objetos y, por tanto, se ve obligado a postular la infinidad de objetos que lo hace posible.

La definición de número

Russell trabaja con la definición frégeana de número avanzada en Los fundamentos de la aritmética : "la clase de todas las clases similar a la clase dada". Esta definición de número le permite a Russell proporcionar una prueba lógica de cuatro de los cinco axiomas de la aritmética de Peano. Sólo el axioma que consiste en postular que "si dos números tienen el mismo sucesor, estos dos números son idénticos" es problemático. El problema proviene, entre otras cosas, de la definición lógica de número dada por Frege.

La definición lógica del número lo considera propiedad de un término general o de una descripción general. Según Russell, en el caso del número, es posible reemplazar la noción de término general por la de clase sin causar un problema lógico. Entonces, cualquier número, como predicado de un término general que denota algo que no existe, tiene la clase cero como cardinalidad , porque el número no denota nada. Por ejemplo, cero es un predicado que se aplica al término general "unicornio" porque no existe ningún unicornio. Dada esta característica del número, necesariamente debe haber una clase infinita para que sea posible probar lógicamente el axioma de Peano. De lo contrario, cualquier número que exceda el último número que denota la cantidad de todo lo que existe tiene la misma cardinalidad que su sucesor, es decir, la clase nula. Por tanto, estos números son idénticos. Si n es el número de cosas que existen, su sucesor n + 1 tiene una cardinalidad de 0, al igual que n + 2. n + 1 por lo tanto tiene n + 2 como sucesor mientras es idéntico a él, lo cual es una contradicción con el axioma de Peano. Para que no haya contradicción y para que se demuestre este axioma, necesariamente debe haber una clase infinita. Russell, por tanto, considera tres posibilidades de probar la existencia de una clase infinita.

Las demostraciones de la clase infinita

La primera de las clases infinitas se deriva de un argumento inspirado por Parménides , considerando el ser. La segunda clase infinita se deriva de un argumento que tiene en cuenta el número y su idea. Estas dos demostraciones son inválidas por su carácter psicológico y por el hecho de que el ser y la idea de número no pueden constituir premisas matemáticamente demostrables. La última prueba, a diferencia de las otras dos, se deriva de un argumento lógico. El argumento muestra que es posible construir una clase infinita a partir de la clase nula. 0 existe debido a la clase nula. 1 es el número de la clase de la que solo es miembro la clase nula; 2 es el número de la clase formada por 1 y 0, y así sucesivamente. Siguiendo este principio, se construye la clase específica para cada número. El número de 0 an es n + 1 y este último es un número finito. Debido a la característica hereditaria de los números, la existencia es una propiedad de todos los enteros finitos. Por tanto, todos los números enteros existen y la cardinalidad de la secuencia de números finitos es infinita. Sin embargo, según este razonamiento, cada número será de un tipo diferente al de su sucesor. Dado que esta prueba no sigue la teoría de tipos, no es válida. Al no demostrar la existencia de una clase infinita, Russell se ve obligado a postular el infinito como axioma.

El axioma del infinito

Este axioma asume la infinidad del universo del discurso, pues sólo entonces puede haber una clase infinita y una infinidad de números. Sin embargo, el hecho de que este axioma establezca un predicado de existencia significa que no puede pertenecer a la lógica pura. A pesar de que no se puede demostrar lógicamente, Russell sostiene que solo el axioma del infinito puede asegurar la aplicabilidad de la lógica pura al mundo empírico. Como tal, dado que la lógica es aplicable al mundo, el axioma del infinito constituye una hipótesis empíricamente verificable. Además, el axioma del infinito parece problemático en la medida en que se postula ad hoc en la demostración de Russell. Dado que este último tiene fe en la verificación empírica del axioma, la presupone en la aplicación de su método analítico-lógico en filosofía.

La base filosófica del infinito matemático

Zenón afirma que el espacio y el tiempo son indivisibles en puntos e instantes en contextos finitos e infinitos. Según Russell, si el espacio y el tiempo consisten en un número finito de puntos e instantes, entonces los argumentos de Zenón contra la tesis de que el espacio y el tiempo se componen de puntos e instantes son bastante válidos. En matemáticas, el cálculo es la herramienta fundamental para el estudio de los cuerpos en movimiento en el espacio en función del tiempo. Ahora bien, el cálculo presupone que el espacio y el tiempo tienen una estructura en puntos e instantes. En el sentido de Zenón, el cálculo infinitesimal es, por tanto, lógicamente infundado. Ahora, Russell muestra que si el espacio y el tiempo consisten en un número infinito de puntos e instantes, entonces las paradojas de Zenón ya no sacuden las matemáticas en este sentido. La presuposición esencial del cálculo infinitesimal conserva así su legitimidad filosófica. Russell señala, sin embargo, que la tradición ha descuidado durante mucho tiempo la tesis de que el mundo está compuesto por un número infinito de puntos y momentos debido a las contradicciones involucradas en una noción ingenua del infinito.

La crítica de la noción kantiana de infinito

Para ilustrar los efectos de una concepción errónea del infinito, Russell analiza las dos primeras antinomias de la razón pura de Kant sobre la idea reguladora del mundo.

El problema de la sucesiva síntesis del infinito

Kant caracteriza una serie infinita por el hecho de que nunca se puede sintetizar sucesivamente en su totalidad. Por extensión, es afirmar que la serie de números naturales, es decir, la suma de los términos de la sucesión de enteros positivos a partir de cero, es infinita porque no puede ser completada en un tiempo finito por el hombre, que está terminada. Ahora, Russell sostiene que la noción de infinito "es ante todo una propiedad de las clases, y sólo se aplica de forma secundaria a las series". Esto se debe a que una serie, por definición, tiene en cuenta el orden sucesivo de los elementos que la constituyen, de modo que siempre hay al menos un elemento que se le escapa cuando es infinito. Por el contrario, como concepto, una clase se refiere a cada uno de sus elementos constitutivos, lo que permite capturar el infinito matemático sin haberlo sintetizado. De ese modo, Russell saca a relucir el error de comprender el infinito a partir de nuestra propia finitud en lugar de considerarlo como el carácter propio del número como objeto lógico-matemático.

El problema de constituir el espacio en puntos

Kant argumenta a favor de la imposibilidad de un espacio compuesto por puntos debido al absurdo que implica la división al infinito. De hecho, Kant supone que para obtener un punto sería necesario llegar al final de una operación de cortes sucesivos, cada vez en dos, del espacio que por definición es infinito. Sin embargo, para evitar este problema, Russell concibe, siguiendo el ejemplo de Frege y Cantor, que “así como una clase infinita puede ser dada completamente por el concepto que la define, […] igualmente un grupo infinito de puntos puede darse completamente como formando una línea, un área o un volumen, aunque nunca podrán ser alcanzados por sucesivas divisiones ”.

El rechazo de los infinitesimales

Como sugiere Leibniz , un infinitesimal sería una cantidad de espacio o tiempo tan pequeña que no habría una menor, por lo que sería imposible dividirla en dos cantidades finitas. Ahora, Russell rechaza la posibilidad en matemáticas de manipular cantidades infinitesimales, es decir, cantidades tales que "cualquier distancia finita sea mayor que ella". Según Russell, el error de la imaginación que lleva a la creencia de infinitesimales consiste en pensar que, al final de la operación de cortar el espacio y el tiempo en dos, las distancias y los períodos ya no son divisibles en cantidades. A partir de ahí, existirían cantidades infinitamente pequeñas manipuladas en matemáticas. Ahora, Russell recuerda que la divisibilidad infinita no nos permite concluir que hay un último término en una operación que por definición es interminable.

Russell explica en este sentido el error lógico que consiste en interpretar el enunciado verdadero "para cualquier distancia finita, hay una distancia menor" mediante el enunciado falso "hay una distancia tal que, sea cual sea la distancia finita que podamos elegir, la distancia en cuestión es menos ". Desde el punto de vista de la lógica formal, se trata de una inversión de los cuantificadores universales y existenciales que operan en la proposición. De hecho, la proposición falsa significa "existe una distancia menor que cualquier distancia finita", la infinitesimal, mientras que la proposición verdadera significa "para todas las distancias, existe una distancia finita menor", lo que implica la imposibilidad de lo infinitesimal. Por lo tanto, mediante el método analítico-lógico, Russell logra poner orden en la comprensión de los infinitesimales para rechazar su necesidad de operacionalizar el cálculo infinitesimal.

Infinito en XXI ° siglo

En matemáticas

Para la gran mayoría de los matemáticos del XXI ° siglo , el infinito (en todos sus sentidos) es un concepto matemático como los demás, con una definición explícita, y en principio, podría ser reducido a los objetos primitivos del lenguaje utilizado (con mayor frecuencia que de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ). Así, por ejemplo, un conjunto es infinito (en el sentido de Dedekind) si se puede poner en biyección con uno de sus subconjuntos estrictos; el punto en el infinito de un espacio es un objeto formal agregado a este espacio siguiendo reglas precisas, etc. Las siguientes secciones detallan los diferentes usos de esta noción y especifican los posibles puntos de desacuerdo.

Teoría de conjuntos

Uno de los objetivos de la teoría de Cantor es dar un significado preciso a la frase "todo E contiene un número infinito de elementos", y en particular diferenciar varios infinitos diferentes ( infinito contable , infinito continuo , etc.). Como se explicó en la parte histórica, las concepciones de Cantor tropezaron, por un lado, con las objeciones de ciertos matemáticos, en particular Kronecker , que rechazan el "infinito actual", por otro lado las contradicciones muy reales creadas por una visión demasiado ingenua. de la teoría, en particular por el "conjunto de todos los conjuntos". La solución a estas antinomias , y a la crisis de los fundamentos que de ellas resultaron, la proporcionaron varios axiomas (la mayoría de las veces equivalentes entre sí), el más utilizado de los cuales es el de Zermelo-Fraenkel, conocido como ZF . Para estos axiomas, obviamente (en el sentido intuitivo) hay infinitas “colecciones de objetos” (por ejemplo, la colección de todos los enteros); el axioma del infinito afirma entonces que al menos una de estas colecciones es un conjunto (y, por tanto, un objeto legal de la teoría, a diferencia de la colección de todos los conjuntos), lo que equivale a afirmar la existencia del infinito actual. La jerarquía de infinitos descubierta por Cantor se convierte entonces en una simple consecuencia de la teoría, y la existencia de cardenales distintos ya no presenta ninguna dificultad en principio; sin embargo, la cuestión de su tamaño exacto ha sido objeto de una intensa investigación desde ese momento, centrándose en particular en la hipótesis del continuo y las consecuencias de la existencia de ciertos grandes cardenales . La definición precisa de un "conjunto de tamaño infinito" resulta, sin embargo, depender del axioma de elección : en su presencia (es decir, en la teoría ZFC ), todas estas definiciones son equivalentes, pero por lo demás, es para ejemplo posible para construir conjuntos infinitos que no contienen una secuencia contable de objetos distintos (los llamados conjuntos finitos en el sentido de Dedekind ). Finalmente, esta teoría permite un verdadero "cálculo con infinito", ya sea con los números cardinales midiendo el tamaño de los conjuntos, o con los números ordinales , más precisos, y describiendo, en cierto sentido, una forma de "contar". »Los elementos de los conjuntos estudiados.

Análisis

El significado hasta el infinito (infinitamente grande o infinitamente pequeño) por el análisis llevado a las disputas filosóficas del XVII ° siglo , y después de unos impresionantes éxitos iniciales, a dificultades matemáticas graves, especialmente en relación con la imposibilidad de construir un sistema riguroso de los infinitesimales . La revisión del trabajo de Cauchy y Weierstrass en la primera mitad del XIX ° siglo era traer para reemplazar todas partes frases tales como "la derivada de f cero es infinitamente cercana al cociente donde h es infinitamente pequeño" por la noción de limitación de recibir en sí una definición perfectamente rigurosa, y solo involucra números ordinarios; en este contexto, el símbolo en notaciones como es solo una abreviatura. Con esta elección, los infinitos que aparecen en el análisis son solo infinitos potenciales, lo que se muestra claramente en las definiciones clásicas de Weierstrass, con lo que la fórmula anterior dice "la expresión se puede hacer tan cerca como queramos a 2 tomando x lo suficientemente grande" . ${\ Displaystyle f (h) -f (0) \ over h}$ ${\ Displaystyle f '(0) = \ lim _ {h \ to 0} {f (h) -f (0) \ over h}}$ $\ infty$ ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {4x ^ {2} + x \ over 2x ^ {2} -1} = 2}$ ${\ Displaystyle {4x ^ {2} + x \ over 2x ^ {2} -1}}$

Un punto de vista más moderno (pero matemáticamente estrictamente equivalente) consiste en agregar a los conjuntos de números estudiados nuevos elementos (como para la construcción de números complejos), obteniendo por ejemplo la línea real completa ℝ ; nuevos objetos y están provistos de reglas de cálculo, tales como , que reflejan el cálculo elemental en los límites. ${\ Displaystyle = [- \ infty, + \ infty]}$ $- \ infty$ $+ \ infty$ ${\ displaystyle + \ infty / 2 = + \ infty}$

Los intentos de dar sentido a los infinitesimales ya diferentes “órdenes de infinitos” (para poder, por ejemplo, expresar que el cuadrado del infinito es mucho mayor que el infinito) fueron realizados por du Bois-Reymond , Hardy y Landau ; Consisten en introducir funciones de referencia (las escalas de comparación ) y en decir, por ejemplo, que una cantidad varía bajo ciertas condiciones como un infinitamente pequeño de tal o cual orden si es equivalente a una de las funciones de la escala, incluso muy pequeño en las mismas condiciones. Pero estas definiciones, aunque útiles en la práctica, adolecen de cierta arbitrariedad y, además, son necesariamente incompletas (siempre hay funciones situadas fuera de una escala determinada).

Análisis no estándar y números surrealistas.

Los avances en la lógica matemática en la primera mitad del XX ° siglo trajeron varios teóricos ( Hewitt , Robinson y Nelson en particular) a considerar la reconstrucción de una teoría rigurosa de infinitesimal en base a la teoría de modelos . En este enfoque, construimos, por ejemplo, un modelo de números reales "no estándar", que contiene todos los reales ordinarios (como o ) pero también números nuevos, necesariamente "infinitamente grandes" o "infinitamente cercanos" a los antiguos; los resultados de la teoría de asegurar que estos nuevos reales tienen todas las propiedades de las viejas (las paradojas aparentes, como el conjunto más pequeño no estándar, lo que condujo al abandono de estos diseños en XIX ° siglo , siendo resueltos por la imposibilidad de expresar ciertas propiedades en el lenguaje exacto utilizado). $\ Pi$ ${\ sqrt {2}}$

El principal interés del análisis no estándar es dar un significado preciso a muchas formulaciones antiguas de los conceptos de cálculo infinitesimal (derivadas, integrales, sumas de series, productos infinitos, etc.), que son más intuitivos que el enfoque moderno por cálculo. de límites, pero cayó en desgracia porque se utilizan nociones indefinidas de infinito: así, la definición de la integral de Riemann simplemente se convierte en "el estándar real más cercano a una suma de Riemann que tiene un paso infinitamente pequeño".

Un enfoque completamente diferente utiliza los números surrealistas descubiertos por John Horton Conway : esta es una vasta extensión de números reales usando una aplicación ingeniosa del método de cortes de Dedekind , introduciendo números infinitos como ordinales (con sus notaciones, tenemos ) y luego permitiendo calcular con estos números como con reales ordinarios, definiendo así infinitamente pequeños como , pero también objetos mucho más sorprendentes como , que es infinitamente grande, pero mucho más pequeño que , por ejemplo. Sin embargo, no parece que esta extensión, a pesar de su riqueza, permita abordar cuestiones de análisis no elementales. $\ omega = \ left \ {\ left \ {0,1,2,3, \ cdots \ right \} | \ right \} = \ left \ {{\ mathbb N} | \ right \}$ ${\ Displaystyle \ epsilon = \ left \ {0 | \ left \ {1, {1 \ over 2}, {1 \ over 3}, \ cdots \ right \} \ right \} = 1 / \ omega}$ $\ omega ^ {{1 / \ omega}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ omega}}}$

La noción de punto en el infinito , que apareció con el desarrollo de la geometría proyectiva (desarrollada a su vez en relación con la invención de la perspectiva geométrica ), y cuyo objetivo era modelar la conocida frase según la cual "los paralelos se intersecan ad infinitum", se ha convertido en formalizado en geometría mediante la construcción de espacios proyectivos .

En física

A principios del XX ° siglo, la física fue incapaz de explicar varios fenómenos, incluyendo el hecho de que un cuerpo negro en equilibrio termodinámico se supone que debe irradiar una corriente sin fin (véase la catástrofe ultravioleta ). Este problema se resolvió con la introducción de los cuantos por Planck, que forma la base de la física cuántica .

En el contexto de la relatividad general , el Big Bang conduce, en su interpretación ingenua, a la aparición de valores infinitos (también hablamos de singularidades ) en el origen del tiempo, lo que demuestra que nuestro conocimiento físico actual no es capaz de describir este tiempo lejano en la historia del Universo.

En varias ramas de la física, como la teoría cuántica de campos o la física estadística , los investigadores han podido eliminar divergencias no deseadas en la teoría utilizando técnicas de renormalización matemática . Estas técnicas aún no se han aplicado a la teoría de la gravedad.

En cosmología

Notaciones

Atribuimos, en el estado de conocimiento, el primer uso del símbolo , que vuelve frecuentemente en el análisis, a John Wallis , en su obra De sectionibus conicis de 1655, luego poco después en la Arithmetica Infinitorum : $\ infin$

" Esto enim ∞ nota numeri infiniti "

Existen tres hipótesis sobre el origen de esta elección.

La más comúnmente aceptada es que es una evolución del número que designa '1000' en la numeración romana : sucesivamente Ⓧ, luego ↀ (también representado por los símbolos CIƆ), antes de convertirse en M. La evolución gráfica del segundo símbolo habría dado . Al mismo tiempo, notamos el uso de la palabra latina mil en plural para designar un número arbitrariamente grande y desconocido . Tenga en cuenta la expresión francesa que todavía se usa hoy en día "des mille et des cents", recordando este uso. Por lo tanto, el símbolo actual sería simplemente la evolución de la pequeña ligadura cıɔ en la escritura uncial. $\ infin$
Una hipótesis que compiten es que el símbolo se deriva de la letra griega ω , la última letra del alfabeto griego y la metáfora común para el extremo final (como en, el alfa y omega ). Desde Georg Cantor, además, se han utilizado letras griegas para designar infinitos números ordinales . El ordinal infinito más pequeño , que corresponde al buen orden habitual de los números naturales , se anota ω.
Finalmente, Georges Ifrah , en su enciclopedia "La Historia Universal de las Figuras", explica que la ortografía del infinito se remonta a la civilización india, y más particularmente a la mitología india. El Ananta (término sánscrito que significa infinito), la "serpiente infinita" del dios Vishnu , se representa enrollada sobre sí misma como un "ocho invertido".

Tenga en cuenta que podemos obtener una copia muy hermosa trazando la Lemniscate de Bernoulli , una curva elegante y simple con múltiples propiedades, incluida la de estar infinitamente atravesada.

Notas y referencias

Notas

Phusis se presenta como la constitución interna de las cosas y por tanto se revela como un principio (arche). Cabe señalar aquí que el término arche era ambiguo en el lenguaje cotidiano de los antiguos porque podía significar igualmente "gobierno" que "comienzo". Debe entenderse que al identificar la naturaleza como principio, el phusikoi pretendía buscar no solo el origen del mundo sino también lo que lo sigue manejando. El arco es, por tanto, un punto de partida y lo que determina el desarrollo de la cosa a la que está adherido.
propio Aristóteles no apoya realmente este punto, parece que es simplemente una observación que surge de las propiedades enunciadas anteriormente.
Esta definición, debida a Richard Dedekind , coincide con la definición actual solo bajo el supuesto del axioma de elección - ver el artículo Conjunto infinito .
De hecho, aquí, por "distancia finita" nos referimos a un real estrictamente positivo.

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