En matemáticas , un corte Dedekind de un conjunto totalmente ordenado E es un par ( A , B ) de subconjuntos de E , que juntas forman una partición de E , y donde cualquier elemento de A es menor que cualquier elemento de B .
De alguna manera, un corte tales conceptualiza algo que sería "entre" A y B , pero eso no es necesariamente un elemento E .
Los cortes de Dedekind fueron introducidos por Richard Dedekind como un medio para construir el conjunto de números reales (presentando formalmente lo que está "entre" los números racionales ).
Un corte de Dedekind de un conjunto E totalmente ordenado se define por un par ( A , B ) de subconjuntos de E tales que:
Los puntos 1, 2 y 3 implican que A y B realizan una partición de E . Por tanto, los datos de uno determinan por completo el otro.
El punto 3 establece la división de los elementos de E en estas dos partes. Es posible demostrar que este punto es equivalente a:
Punto 4 puede demostrar que la aplicación que a cada elemento x de E combina el punto de corte es una biyección entre E y todos sus cortes de Dedekind ( A , B ) de tal manera que B tiene un límite inferior en E .
Si E es el conjunto ℚ de números racionales , podemos considerar el siguiente corte:
Este corte permite representar el número irracional √ 2 que aquí se define tanto por el conjunto de números racionales que le son inferiores como por el de los números racionales que le son superiores.
Teniendo en cuenta todos los cortes de Dedekind en ℚ permite una construcción del conjunto ℝ de números reales .
Una reformulación de esta construcción es mantener solo el componente A de los pares ( A , B ) anteriores, es decir, llamar "cortes de Dedekind" a todas las partes propias no vacías de ℚ, estable bajando y sin tener un elemento mayor . Entonces, una x real está representada por el conjunto A de todos los racionales estrictamente menores que x .
Definimos un orden en el conjunto de cortes de Dedekind de E estableciendo, para todos los cortes de Dedekind ( A , B ) y ( C , D ) de E :
Es posible mostrar que el conjunto de cortes de Dedekind de E provisto con este orden tiene la propiedad del límite superior , incluso si E no la tiene. Al sumergir E en este conjunto, lo ampliamos a un conjunto del cual cualquier parte no vacía y aumentada tiene un límite superior.