Poder continuo

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En matemáticas , más precisamente en la teoría de conjuntos , decimos que un conjunto E tiene la potencia del continuo (oa veces el cardinal del continuo ) si es equipotente al conjunto ℝ de números reales , es decir, digamos si hay una biyección de E a ℝ.

El cardinal de ℝ a veces se indica , con referencia al continuo (en) , nombre que se le da al conjunto ordenado (ℝ, ≤). Este orden (y a fortiori el cardinal del conjunto subyacente) está completamente determinado (hasta el isomorfismo ) por algunas propiedades clásicas. ${\ mathfrak {c}}$

También se denota comúnmente 2 ℵ₀ , porque ℝ es equipotente al conjunto P (ℕ) de las partes del conjunto ℕ de enteros naturales , cuya cardinalidad (el contable ) se denota ℵ₀, y que para cualquier conjunto E , Cardinal es donde denota el cardenal de E . ${\ mathcal {P}} (E)$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ mathrm {Tarjeta} \ E}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Tarjeta} \ E}$

Historia

Debemos esta noción a Georg Cantor quien demostró, en un artículo publicado en 1874, que el continuo no era equipotente al contable, y por lo tanto la existencia de varios "infinitos".

Cantor intentó en vano demostrar que cualquier subconjunto de los reales era contable o del poder del continuo. Esta hipótesis, conocida como hipótesis del continuo , no se puede confirmar ni invalidar en la teoría de conjuntos ZFC, que se cree que es una formalización bastante fiel de la teoría de Cantor.

El poder del continuo es la cardinalidad de todas las partes de ℕ

Se reduce a lo mismo , identificando cada parte de ℕ con su función característica , afirmar que ot es equipotente al conjunto {0, 1} ℕ de secuencias de ceros y unos. La idea principal para demostrarlo es considerar tal sucesión ( k 0 , k 1 ,…) como la expansión 0, k 0 k 1 … en base n de un real entre 0 y 1.

En base n > 2, el mapa que a cualquier secuencia de ceros y unos asocia el real que representa es una inyección de {0, 1} ℕ en [0, 1 [luego en ℝ, por lo que la tarjeta ( P (ℕ) ) ≤ tarjeta (ℝ). Además, el mapa que a cualquier real x asocia el conjunto de racionales estrictamente menores que x también es inyectivo y, por lo tanto, tarjeta (ℝ) ≤ tarjeta ( P (ℚ)) = tarjeta ( P (ℕ)). El teorema de Cantor-Bernstein nos permite concluir.
La base 2 requiere precaución, debido a las posibilidades de "desarrollo inadecuado" (p. Ej. = 0.0111 ... 0.1000 ...), pero puede dar evidencia de que no se basa en el teorema de Cantor-Bernstein.

Ejemplos de ensamblajes que tienen el poder de DC

Para cualquier conjunto infinito numerable D , el conjunto P ( D ) de las partes de D tiene la potencia del continuo;
Si dos conjuntos tienen la potencia del continuo, entonces su producto cartesiano también, ya que es equipotente a P ( A ) × P ( B ) con A y B contables, por lo tanto a P ( C ), donde C denota la unión disjunta (contable ) de A y B .
Por lo tanto, el conjunto ℝ n tiene la potencia del continuo no solo para n = 1, sino para cualquier número entero n ≥ 1.
El espacio euclidiano ℝ n : hay tantos puntos en un segmento de recta, como en una recta, tanto como en un plano y tanto como en el espacio en su conjunto, independientemente de su tamaño.
Incluso el conjunto ℝ ℕ de secuencias reales tiene “solo” el poder de lo continuo .
A fortiori , el conjunto ℕ ℕ de secuencias de números naturales también. Un argumento más explícito es utilizar las fracciones continuas para poner este conjunto en biyección con los irracionales entre 0 y 1. Además, este método permitió a Cantor , en 1878, demostrar que [0, 1] n tiene la potencia de , pasando por alto el argumento anterior. Una variación más directa es usar fracciones "negativamente regulares" .
Para cualquier conjunto infinito E , existe un conjunto, que tiene la potencia del continuo, de infinitas partes de E cuyas intersecciones de dos por dos son finitas.

Indecidibilidad de la cardinalidad de la potencia CC

La cardinalidad de ℝ es 2 ℵ₀ . La afirmación de que es ℵ 1 se llama hipótesis del continuo . Es indecidible en la teoría de conjuntos habitual .

Notas y referencias

Notas

Una variante es considerar, para n = 3, el conjunto de Cantor .
Identificando una parte fija contable de E al conjunto de sucesiones finitas de 0 y 1 y seleccionando, para cada sucesión infinita de 0 y 1, la parte de E formada por sus segmentos iniciales.

Referencias

Ver, por ejemplo, "Conjuntos incontables" en Wikiversity .
(en) Fernando Q. Gouvêa, " ¿Se sorprendió Cantor? " , American Mathematical Monthly ,2011( leer en línea )
(en) Julian F. Fleron, " Una nota sobre la historia del conjunto de Cantor y la función de Cantor " , Revista de matemáticas , vol. 67,1994, p. 136-140 ( leer en línea ).