En matemáticas , y más precisamente en análisis , el análisis no estándar es un conjunto de herramientas desarrolladas desde 1960 para tratar con rigor la noción de infinitamente pequeño . Para ello, se introduce una nueva noción, la de objeto estándar (opuesto a la de objeto no estándar), o más generalmente de modelo estándar o modelo no estándar . Esto presentará los principales resultados del análisis de una manera más intuitiva que tradicionalmente se expone desde el XIX ° siglo .
El nacimiento de cálculo e infinitesimal en el XVII ° siglo conducido a la introducción y utilización de cantidades infinitamente pequeñas . Leibniz , Euler y Cauchy hicieron un gran uso de él. Sin embargo, no pudieron iluminar completamente la naturaleza misma de estos infinitamente pequeños. Su uso desapareció en el XIX ° siglo con el desarrollo de rigor en el análisis de Weierstrass y Dedekind .
No fue hasta la segunda mitad del XX ° siglo se propone una introducción rigurosa de lo infinitamente pequeño. Después de un acercamiento de Abraham Robinson en 1961, resultado del trabajo de la lógica matemática y utilizando la noción de modelo , Wilhelmus Luxemburg (en) popularizó en 1962 una construcción (ya descubierta por Edwin Hewitt en 1948) de lo infinitamente pequeño (y otros). hiperreal ) por un ultra-poder de , dando así nacimiento a una nueva teoría, análisis no estándar . En 1977, Edward Nelson proporcionó otra presentación de análisis no estándar, denominada IST ( teoría de conjuntos internos ), basada en la axiomática de Zermelo-Frankel a la que se agrega un nuevo predicado: el predicado estándar. El comportamiento de este nuevo predicado se basa en tres nuevos axiomas:
El significado del calificador estándar dado por estos axiomas es el de un objeto que pertenece al horizonte perceptible, no estándar por estar más allá del horizonte perceptible. Por lo tanto, un conjunto puede ser estándar o no estándar (también decimos encantado), no puede ser ambos. Los objetos habituales de la matemática clásica serán estándar (1, 2, …). Lo infinitamente pequeño o infinitamente grande introducido no será estándar.
Hay dos tipos de aplicaciones:
Sea R (x, y) sea un “clásico” relación . Por relación clásica, nos referimos a una relación que no incluye el nuevo predicado " estándar " en su enunciado. Por tanto, es una relación habitual de nuestras matemáticas cotidianas.
El axioma de idealización establece que las siguientes dos proposiciones son equivalentes:
El axioma significa que, para encontrar una x que satisfaga una propiedad relativa a todos los y estándar, basta con que uno pueda encontrar dicha x en relación con los elementos y de cualquier conjunto estándar finito.
Ejemplo 1: hay un número entero mayor que todos los números enteros estándarQueremos mostrar que: existe x entero, tal que, para cualquier entero estándar y, x> y. Entonces, dejemos que R (x, y) se defina por: x es un número entero e y es un número entero y x> y. La proposición 1 del axioma de idealización está bien verificada: si F es finito, de hecho hay un entero x mayor que los elementos enteros y de F. En consecuencia, el axioma de idealización establece que la proposición 2 también se verifica y esto corresponde a nuestro enunciado.
Entonces, hay un número entero x mayor que todos los números enteros estándar. Por lo tanto, este número entero no será estándar, de lo contrario, sería mayor que él mismo. Por lo tanto, acabamos de demostrar que existe al menos un número entero no estándar.
Los enteros mayores que x son a fortiori no estándar, de lo contrario x sería mayor que ellos. Por esta razón, en el conjunto de números enteros, los números enteros no estándar también se denominan inaccesibles, ilimitados o infinitamente grandes. Dado que el término "ilimitado" no es adecuado, preferimos el término inaccesible o infinitamente grande. Los números enteros no estándar también se denominan hipernaturales.
Ejemplo 2: cada conjunto infinito tiene un elemento no estándarConsidere la relación x diferente de y en un conjunto infinito E. Para cada parte finita estándar F, existe un elemento x que pertenece a E tal que x es diferente de y para todo y que pertenece a F, ya que E es infinito.
El axioma de idealización proporciona entonces la existencia de un elemento x perteneciente a E y diferente de todos los elementos estándar y pertenecientes a E; x es obviamente no estándar.
Deducimos la siguiente propiedad:
En cualquier conjunto infinito, hay al menos un elemento no estándar.y por contraposición :
Si todos los elementos de un conjunto son estándar, este conjunto E es finito. Ejemplo 3: teorema de NelsonEste teorema establece que, si E es un conjunto, existe un subconjunto finito X de E que contiene todos los elementos estándar de E. Sin embargo, no se puede concluir que los elementos estándar de cualquier conjunto tengan cardinalidad finita, ya que los elementos estándar no tienen constituyen un conjunto. Para ello, definimos la siguiente relación R (X, y): X está incluido en E, X es finito y si y es un elemento de E, entonces y es un elemento de X.
La proposición 1 del axioma de idealización se verifica para cualquier subconjunto finito F (estándar o no, además) tomando para X la intersección de F y E. En consecuencia, la proposición 2 del axioma de idealización valida el teorema de Nelson.
La parte X dada por el axioma es una parte interna o clásica. No se limita necesariamente a los únicos elementos estándar de E, porque, a priori, la colección de elementos estándar, definida a partir de la relación no clásica "ser estándar" es un objeto externo, es decir, ajeno a las matemáticas habituales. . De hecho, la relación "ser estándar" no es parte de las relaciones a las que se aplican los axiomas de ZFC, lo que significa que no existe un conjunto que contenga solo los números enteros estándar. Así, en enteros, un conjunto X que contiene todos los enteros estándar tiene la forma {0, 1, 2,…, n } con n no estándar, y este conjunto también contiene enteros no estándar.
Tan pronto como todos los parámetros de una fórmula clásica F tengan valores estándar:
Para todo estándar x, F (x ,, …, ) si y solo si para todo x, F (x ,, …, )En otras palabras, para verificar que una fórmula habitual que depende de parámetros estándar es verdadera para todo x, basta con verificarlo para todo x estándar. Intuitivamente, solo podemos acceder a elementos estándar, y son los que nos permitirán verificar una fórmula clásica. Este axioma también se puede expresar (por negación):
Existe el estándar x, F (x ,, ..., ) si y solo si existe x, F (x ,, ..., )Si una propiedad clásica es verdadera para una x, entonces es verdadera para una x estándar. A continuación se muestran algunas consecuencias. Lo más importante es el hecho de que si un objeto matemático se define de forma clásica y única a partir de objetos estándar, es necesariamente estándar. Por tanto, este es el caso del estándar n . Asimismo, si E y F son conjuntos estándar, es el mismo para su intersección, su unión, su producto, el conjunto de asignaciones de E a F, y el conjunto de partes de E. Si un y b son dos números estándar, también lo son ab , a + b , a - b , a / b , etc. Si n es estándar, también lo es n +1 o I n = {1, ..., n }. Si A es una parte estándar de acotada, Sup A e Inf A son estándar. Si f es una función estándar (es decir, definida en conjuntos de gráficos estándar y estándar), entonces la imagen de un elemento estándar es estándar.
Finalmente, este axioma permite mostrar que, para ver que dos conjuntos estándar son iguales, basta con verificar que tienen los mismos elementos estándar. Por lo tanto, la única parte estándar de contener todos los enteros estándar es él mismo. Por otro lado, hay partes no estándar que contienen todos los enteros estándar, es decir, las partes {0, 1, 2, ..., n } con n no estándar.
Sea E un conjunto estándar, o P cualquier propiedad, ya sea que implique o no el postulado " estándar ". Entonces :
Existe un conjunto estándar A tal que para cualquier estándar x, x pertenece a A si y solo si x pertenece a E y satisface P (x)Este axioma es de interés sólo si la propiedad P no es clásica (utiliza el postulado " estándar "). El conjunto A es simplemente un conjunto estándar cuyos elementos estándar son los elementos estándar de E verificando la propiedad P. Es posible que A tenga otros elementos, pero no serán estándar. Además, dado que un conjunto estándar está definido de forma única por sus elementos estándar, se deduce que A es único. Se llama estandarizado de la colección { x elemento de E | P ( x )} que, a priori, no es un conjunto en el sentido de ZFC. La interpretación intuitiva que se puede dar a este axioma es la siguiente: la colección { x elemento de E | P ( x )} no es directamente accesible para nosotros. Solo podemos diseñar su sonido estandarizado. Insistimos en el hecho de que, si la propiedad P utiliza el postulado “ estándar ”, esta propiedad es ajena al axiomático de Zermelo-Fraenkel (ya que la palabra “ estándar ” no forma parte de este axiomático), y por tanto que la colección { x elemento de E | P ( x )} no es un conjunto en el sentido de Zermelo-Fraenkel, por lo que lo calificamos como una colección (más técnicamente, la propiedad P no es necesariamente colectivizante, y la notación { x elemento de E | P ( x ) } es formalmente tan ilegal como lo sería, por ejemplo, { x | x = x } para denotar el conjunto de todos los conjuntos).
Por ejemplo, considere E = y P ( x ) la propiedad x es estándar. La colección { x elemento de E | P ( x )} es la colección de elementos estándar. Su estandarizado es un conjunto estándar que contiene todos los elementos estándar de . Ya hemos visto que se trataba de él mismo.
Ahora considere E = , y P ( x ) la propiedad x no es estándar. La colección { x elemento de E | P ( x )} es la colección de elementos no estándar. Su estandarizado es el conjunto vacío.
Recordemos que calificamos como internas o clásicas las propiedades o los conjuntos que no utilizan la palabra “ estándar ”. Llamamos propiedades externas o no clásicas usando esta palabra. Todas las propiedades clásicas conocidas siguen siendo válidas en Análisis no estándar. Por tanto, satisface el axioma de inducción, siempre que este axioma se aplique a una propiedad clásica.
Por otro lado, como el predicado estándar no es clásico, el axioma de recurrencia no se aplica a él. Entonces, 0 es estándar; si n es estándar, n + 1 también. Sin embargo, hay números enteros no estándar mayores que todos los números enteros estándar. Estos números enteros no estándar se denominan infinitamente grandes.
Cualquier número entero estándar es menor que cualquier número entero no estándar. Si n no es estándar, lo mismo se aplica a elementos mayores que n y n - 1. Podemos ver lo siguiente:
0 1 2 3. . . . . . . . . n -1 n n +1. . . números enteros estándar seguidos de números enteros no estándarNo podemos hablar del entero no estándar más pequeño, como tampoco del entero estándar mayor, porque estas propiedades no son clásicas, ni siquiera definen conjuntos, que por lo tanto no tienen, y con razón, las características habituales de los subconjuntos de .
Sin embargo, si P es cualquier propiedad, mostramos que el siguiente principio de inducción restringido satisface:
si P (0) es verdadero, y si para todo n estándar, P ( n ) implica P ( n +1), entonces para todo n estándar, P ( n ) se cumple.Mostramos que podemos dividir el conjunto de reales en:
Lo apreciable y lo infinitesimal constituyen los reales limitados.
Por ejemplo: 0.000 ... 01 es infinitamente pequeño si el número 0 es un entero infinitamente grande. Este número es entonces infinitamente cercano a 0.
Si n es un número entero infinitamente grande, entonces 1 / n es infinitamente pequeño.
También mostramos que, para cada x real limitado , existe un ° x real estándar único tal que la diferencia x - ° x es infinitesimal. ° x se denomina parte estándar (o sombra) de x , a la que x es igual .
Por ejemplo, 0.3333 ..... 333 (donde el número 3 es un entero infinitamente grande) es un decimal real limitado e incluso no estándar, cuya parte estándar es 1/3.
Cualquier real limitado se descompone de forma única en la forma estándar + infinitesimal.
Realidades infinitamente cercanas a un real dado constituyen el halo de este real.
Daremos propiedades no clásicas de las suites, que, en el caso de las suites estándar, coincidirán con las propiedades habituales.
Para una suite estándar , existe una equivalencia entre:
De hecho, si es estándar y converge a l , su límite es estándar (por transferencia) y satisface:
para todo ε> 0, existe N tal que, para todo n > N, | - l | <εPor transferencia, tenemos:
para todo estándar ε> 0, existe N estándar tal que, para todo n > N, | - l | <εSi tomamos n infinitamente grande, entonces n es mayor que N entonces | - l | <ε, y esta desigualdad se verifica para cualquier estándar ε, tenemos ≈ l
Por el contrario, si, para cualquier n infinitamente grande, ≈ l con l estándar, entonces:
para todo estándar ε> 0, existe N tal que, para todo n > N, | - l | <εDe hecho, basta con tomar N infinitamente grande.
y por transferencia:
para todo ε> 0, existe N tal que, para todo n > N, | - l | <εque es la definición de convergencia.
Se recuerda que la equivalencia declarada solo es válida para secuencias estándar. Si de hecho definimos con α infinitamente pequeño, entonces ≈ 0 para todo n y, sin embargo, la secuencia no converge (basta con tomar ε = ). De hecho, el axioma de transferencia no se aplica porque la fórmula “para todo n > N, | - l | <ε ”incluye elementos que no son estándar.
Para una suite estándar, existe una equivalencia entre:
De hecho, si l es el límite de una subsecuencia de , entonces l es estándar por transferencia, y para todo ε> 0, existe una infinidad de n tal que | - l | <ε. Por lo tanto, esta propiedad es cierta para ε infinitamente pequeño, y dado que se verifica mediante un infinito de n y solo existe un número finito de enteros estándar, por lo tanto existe n infinitamente grande tal que | - l | <ε. Pero como ε es infinitamente pequeño, esto significa que ≈ l .
Por el contrario, si existe un n ilimitado tal que ≈ l , entonces:
para cualquier estándar ε> 0, para cualquier estándar N, existe n> N, | - l | <εy por transferencia:
para todo ε> 0, para todo N, existe n> N, | - l | <εlo que expresa que l es el valor de adherencia de la secuencia y, en este caso, existe una subsecuencia de la cual converge.
De esto deducimos el teorema de Bolzano-Weierstrass , que expresa que, de cualquier secuencia real acotada, podemos extraer una subsecuencia convergente. Por transferencia, basta con mostrar este teorema en sucesiones estándar. Sea, por tanto, una secuencia estándar acotada. Todos sus plazos son limitados porque, mediante transferencia, podemos tomar un estándar superior e inferior . Entonces toma n ilimitada l = ° parte estándar de . Luego aplicamos la equivalencia mostrada anteriormente, verificándose la propiedad 2.
Para una suite estándar, existe una equivalencia entre:
La demostración sigue un enfoque comparable a los de los párrafos anteriores.
Demostremos que, en , toda secuencia de Cauchy converge. Por transferencia, solo muestre esta propiedad en suites estándar. O tal secuencia. Es acotado: de hecho, solo hay un número finito de enteros estándar, y todos los con n ilimitada están en el mismo halo de uno de ellos. Mediante transferencia, el terminal se puede elegir de serie. Por lo tanto, todos los términos a continuación son limitados. Luego toma la parte estándar = ° con p ilimitado. Entonces, para cualquier n ilimitado, ≈ ≈ l , entonces la secuencia converge a l .
La continuidad de una función en se define de manera más simple con análisis no estándar. Para una función estándar, existe una equivalencia entre
El teorema del valor intermedio se muestra a continuación. Deje que f sea continua en un segmento [ a , b ] con f ( a ) <0 y f ( b )> 0. Entonces existe c entre una y b tal que f ( c allí) = 0. De hecho, por transferencia, es suficiente para mostrar este teorema para el estándar f , una y b . Sea N un número entero ilimitado y para k entre 0 y N. Si K es el primer k para el cual entonces tomaremos para c la parte estándar de . De hecho, tenemos c infinitamente cerca ay para , de modo que f ( c ) estará infinitamente cerca del real positivo o cero e infinitamente cerca del real negativo . Siendo estándar, f ( c ) es cero.
Mostramos de manera comparable que f admite un máximo y un mínimo.
Para una función estándar, existe una equivalencia entre
Por ejemplo, la función que asocia x con x 2 es continua, ya que, si x es estándar ey infinitamente pequeña, tenemos:
( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 ≈ x 2 dado que x es limitado, xy es infinitamente pequeño, así como y 2Por otro lado, esta función no es uniformemente continua ya que, si x es infinitamente grande y si y = 1 / x , entonces ( x + y ) 2 = x 2 + 2 + y 2 que no está infinitamente cerca de x 2 .
En un segmento [ a , b ], cualquier función continua f es uniformemente continua. Por transferencia, es suficiente para mostrar esta propiedad para el estándar f , una y b . Entonces, los elementos del segmento están todos limitados, por lo que todos admiten una pieza estándar. Si x es un elemento de [ a , b ], ° x su parte estándar ey infinitamente pequeño, tenemos:
f ( x + y ) = f (° x + z ) con z = y + x - ° x infinitamente pequeño por lo tanto f ( x + y ) ≈ f (° x ) ≈ f ( x ) por la continuidad de f en ° xPara una función estándar definida en un intervalo estándar de , y para el estándar x 0 , existe una equivalencia entre:
Para una función estándar f en [ a , b ] = I estándar, hay equivalencia entre
Damos a continuación ejemplos de equivalentes en análisis no estándar de nociones de análisis clásico, cuando se aplican a objetos estándar. Estos están destinados a mostrar la extensión de las áreas a explorar.
F. Diener, G. Reeb , Análisis no estándar , Hermann, 1989 ( ISBN 9782705661090 )