Relatividad general

La relatividad general es una teoría de la relatividad de la gravitación , es decir, describe la influencia de la presencia de material y más en general energía, el movimiento de las estrellas teniendo en cuenta los principios de la relatividad especial . La relatividad general abarca y reemplaza la teoría de la gravitación universal de Isaac Newton, quien representa el límite a velocidades bajas (en comparación con la velocidad de la luz ) y campos gravitacionales débiles.

Es principalmente obra de Albert Einstein , quien la desarrolló entre 1907 y 1915 y se considera su mayor logro. La25 de noviembre de 1915, envía su manuscrito de la teoría de la relatividad general a la sección de matemáticas y física de la Real Academia de Ciencias de Prusia , que lo publica en2 de diciembre.

También se le asocian los nombres de Marcel Grossmann y David Hilbert , habiendo ayudado el primero a Einstein a familiarizarse con las herramientas matemáticas necesarias para la comprensión de la teoría ( geometría diferencial ), habiendo tomado el segundo junto con Einstein las últimas etapas que conducen a la comprensión de la teoría. la finalización de la teoría después de que este último le hubiera presentado las ideas generales en el curso del año 1915.

La relatividad general se basa en conceptos radicalmente diferentes a los de la gravitación newtoniana. Se afirma en particular que la gravitación no es una fuerza, pero la manifestación de la curvatura del espacio (de hecho de espacio-tiempo ), la curvatura en sí producida por la distribución de energía , en forma de masa o energía cinética , que difiere de acuerdo a el marco de referencia del observador. Esta teoría relativista de la gravedad predice efectos ausentes de la teoría newtoniana pero verificados, como la expansión del Universo , las ondas gravitacionales y los agujeros negros . No permite determinar ciertas constantes o ciertos aspectos del universo (en particular su evolución, si es finito o no, etc.): las observaciones son necesarias para especificar parámetros o para elegir entre varias posibilidades dejadas por la teoría. .

Ninguna de las muchas pruebas experimentales realizadas pudo fallar. Sin embargo, quedan preguntas sin respuesta: principalmente a nivel teórico, cómo la relatividad general y la física cuántica pueden unirse para producir una teoría completa y coherente de la gravedad cuántica  ; y en cuanto a observaciones astronómicas o cosmológicas, cómo conciliar determinadas medidas con las predicciones de la teoría ( materia oscura , energía oscura ).

Popularización

Una analogía que permite visualizar la relatividad consiste en representar el espacio-tiempo en tres dimensiones como una sábana estirada que se deforma bajo el peso de los objetos que allí se ponen. Si el mantel está bien estirado y sin cuerpo encima, una bola ligera que se rueda sobre él pasa en línea recta. Si colocamos una bola pesada en el centro, la red se deforma y la bola ligera ya no va en línea recta, pudiendo incluso caer hacia la bola pesada dando la ilusión de que la bola ligera es atraída por la bola pesada mientras esta atracción es el resultado indirecto de la forma de la "hoja" que se aplica a las masas en todas partes.

Esta analogía parece suponer una fuente externa de gravitación (que daría peso a la bola deformando el mantel), pero debemos considerar más bien que es la gravitación ejercida por la propia bola la que deforma el espacio-tiempo que la rodea. , o incluso transmitirle parte de su dinámica (velocidad de movimiento, rotación sobre sí misma).

El espacio-tiempo no es tridimensional sino cuatro (tres del espacio y uno del tiempo ) y los cuatro están distorsionados por la presencia de una masa.

Histórico

General

Necesidad de una teoría relativista de la gravedad

La teoría de la gravitación universal por propuesta Newton a finales del XVII °  siglo se basa en el concepto de fuerza en la acción a distancia, es decir el hecho de que la fuerza ejercida por un cuerpo (por ejemplo, el Sol ) en otro (la Tierra ) está determinada por su posición relativa en un momento dado, y esta sea cual sea la distancia entre ellos, y esta fuerza se ejerce de forma instantánea. Esta instantánea es incompatible con los principios de la relatividad especial según los cuales ninguna información puede propagarse más rápido que la velocidad de la luz en el vacío. Esto lleva a Einstein desde 1907 a pensar en una teoría de la gravedad que sea compatible con la relatividad especial. El resultado de su búsqueda es la teoría de la relatividad general.

De la relatividad de Galileo a la relatividad especial

En el XVI °  siglo, Galileo dice (incluyendo discutiendo sobre el movimiento de embarcaciones) que las leyes de la física son las mismas en los repositorios de traducción rectilíneo y uniforme entre sí. Este es el principio de la relatividad galileana .

También utilizará la aditividad de velocidades, una consecuencia de la cual es que se puede alcanzar cualquier velocidad, siendo todo sólo una cuestión de medios. Si una pelota viaja a 10  km / h en un tren (y en la dirección de viaje) que a su vez va a 100  km / h sobre el suelo, entonces la bala viaja a 110  km / h sobre el suelo.

En su mecánica , Isaac Newton presuponía que los cuerpos estaban dotados de velocidad absoluta, en otras palabras, que estaban "realmente" en reposo o "realmente" en movimiento. También notó que estas velocidades absolutas no se podían medir más que en relación con las velocidades de otros cuerpos (de la misma manera, la posición de un cuerpo solo se podía medir en relación con la de otro cuerpo, etc.). En consecuencia, todas las leyes de la mecánica newtoniana tenían que operar de manera idéntica cualquiera que sea el cuerpo que considere y su movimiento.

Sin embargo, Newton creía que su teoría no podría tener sentido sin la existencia de un marco de referencia fijo absoluto en el que se pudiera medir la velocidad de cualquier cuerpo, incluso si no se pudiera detectar.

De hecho, en la práctica es posible construir una mecánica newtoniana sin este supuesto: la teoría resultante (también llamada relatividad galileana ) no tiene ningún interés operacional particular y no debe confundirse con la relatividad de Einstein que implica una mayor consistencia de la velocidad de la luz en todos los repositorios y menos la hipótesis de Galileo de que se suman las velocidades relativas (estos dos postulados son efecto mutuamente incompatibles).

En XIX XX  siglo, el físico escocés James Clerk Maxwell formuló un conjunto de ecuaciones, las ecuaciones del campo electromagnético , lo que lleva a predecir la velocidad de propagación electromagnética de onda en un entorno electrostático de constante y constante magnetostático . Esta velocidad extraordinariamente alta, incluso en un medio enrarecido como el aire, tenía el mismo valor que la velocidad de propagación de la luz. Propuso que la luz no debería ser más que una onda electromagnética. vs=1ε0μ0{\ Displaystyle c = {\ frac {1} {\ sqrt {\ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}}}}ε0{\ Displaystyle \ varepsilon _ {0}}μ0{\ Displaystyle \ mu _ {0}}

Las teorías corpusculares de la luz parecían compatibles con el principio de relatividad de Galileo, así como con la teoría de Maxwell, que favorecía la existencia de un éter luminífero imaginado por Huygens . La medición de la velocidad del sistema solar con respecto a este medio elástico fue objeto de los experimentos de interferometría llevados a cabo por Michelson y Morley . Sus experimentos mostraron que el viento de éter aparente era cero, independientemente de la época del año. Suponer que el éter estaba constantemente unido a la Tierra habría sido un cuestionamiento demasiado serio del principio de relatividad de Galileo . Por otro lado, el éter tenía el inconveniente de ser intangible y muy rígido, ya que podía propagar ondas a una velocidad fenomenal.

No fue hasta que Albert Einstein en 1905 cuestionó radicalmente la noción de éter, para llevar el principio de relatividad de Galileo al más alto nivel postulando que las ecuaciones de Maxwell obedecían a este principio, y para sacar las consecuencias revolucionarias de él en un artículo que se ha mantenido famoso: Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento .

Este es el nacimiento de la relatividad especial  :

• Se mantiene el principio de relatividad de Galileo;
• la invariancia de las ecuaciones de Maxwell (por cambio del marco de referencia inercial ) conduce inmediatamente a la constancia de la velocidad de la luz en todos los marcos de referencia galileanos: la aditividad de las velocidades ya no es cierta y la velocidad de la luz es inalcanzable (excepto por luz, tanto si se considera onda como si está formada por fotones, partículas de masa cero);vs{\ Displaystyle c}
• las medidas de longitud, intervalo de tiempo (y velocidad) no son las mismas según el marco de referencia del observador: medir la longitud, por ejemplo, de un vagón que se mueve a una velocidad relativista (es decir, cerca de la de la luz) da resultados diferentes dependiendo de si está dentro o si está inmóvil en el suelo (pero este no es el caso de la anchura del vagón, longitud perpendicular a la velocidad); lo mismo ocurre con la medición del tiempo; el campo eléctrico se vuelve magnético y viceversa. Todas estas transformaciones de los sistemas de coordenadas del continuo espacio-tiempo y del campo electromagnético son formalizadas por las transformaciones de Lorentz (paradójicamente desarrolladas por Lorentz y Henri Poincaré para defender la existencia del éter );
• la noción de tiempo absoluto desaparece: dos relojes idénticos ubicados en dos marcos de referencia galileanos diferentes no laten al mismo ritmo (más precisamente, no es posible mantenerlos sincronizados).

Al escribir la expresión de la energía cinética de un cuerpo de masa de la forma más sencilla respetando el principio de relatividad, Einstein reveló una energía en reposo: E (0) = m (0) .c 2 que se medirá posteriormente en los fenómenos de fusión nuclear y fisión (pero que también se manifiesta en reacciones químicas, así como en cualquier intercambio de energía, incluso si todavía no es directamente detectable). metro{\ Displaystyle m}

De la relatividad especial a la relatividad general

La Teoría Especial de la Relatividad ( 1905 ) modificó las ecuaciones utilizadas para comparar las medidas de longitud y duración realizadas en diferentes marcos de referencia que se mueven entre sí. Como resultado, la física ya no podía tratar el tiempo y el espacio por separado, sino solo como un espacio de cuatro dimensiones, llamado espacio-tiempo de Minkowski .

De hecho, durante los movimientos a velocidades no despreciables en el frente (velocidad de la luz en el vacío), el tiempo y el espacio se alteran de manera relacionada, un poco como dos coordenadas de un punto en geometría analítica se alteran de manera relacionada. se rotan los ejes del sistema de coordenadas. vs{\ Displaystyle c}

Por ejemplo, en la geometría euclidiana habitual la distancia entre dos puntos de coordenadas y verifica (con , etc.), pero en el espacio de Minkowski dos puntos están marcados por las coordenadas y , donde y son las coordenadas de tiempo, y la "distancia" luego se anota entre estos puntos satisface: . Este cálculo da una "distancia" cero entre dos puntos en la trayectoria de un rayo de luz. También da todas las medidas de longitudes materiales, intervalos de tiempo, velocidades en relatividad especial , que siempre despiertan asombro.  Δl{\ Displaystyle \ \ Delta l} (X,y,z){\ Displaystyle \ (x, y, z)} (X′,y′,z′){\ Displaystyle \ (x ', y', z ')} (Δl)2=(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2{\ Displaystyle \ (\ Delta l) ^ {2} = (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} ΔX=X′-X{\ Displaystyle \ \ Delta x = x'-x} (t,X,y,z){\ Displaystyle \ (t, x, y, z)} (t′,X′,y′,z′){\ Displaystyle \ (t ', x', y ', z')} t{\ Displaystyle \ t} t′{\ Displaystyle \ t '} Δs{\ Displaystyle \ \ Delta s} (Δs)2=-(vs.Δt)2+(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2{\ Displaystyle \ (\ Delta s) ^ {2} = - (c. \ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}}

Dado que el espacio-tiempo de Minkowski es, no obstante, de curvatura cero (es decir, plano), se le llama espacio pseudoeuclidiano .

Tal iba a ser, para Einstein, espacio sin gravitación (y sin aceleración para el observador). La gravitación newtoniana, que se propaga instantáneamente, no es compatible con la existencia de una velocidad límite: Einstein, por tanto, se puso en marcha en busca de una nueva teoría de la gravitación .

Admitió la igualdad entre la masa gravitacional y la masa inercial como suposición, la famosa fórmula que entonces autorizaba a utilizar la energía total de un cuerpo en lugar de su masa. Esto se hará usando la herramienta matemática llamada tensor de energía. mi=metrovs2{\ Displaystyle E = mc ^ {2}}

Experto en experimentos mentales , imaginó un disco giratorio. Desde Huygens sabemos que esto implica que existe una fuerza centrífuga a nivel del perímetro, percibida como una fuerza gravitacional (porque la masa gravitacional y la masa inerte son iguales por supuesto). Además, al querer permanecer en el marco de la relatividad especial, concluye que un observador en el perímetro y unido al disco nota un aumento en el perímetro del disco pero no en su radio (contracción de la medida paralela al movimiento, pero no la perpendicular): esto no es posible en un espacio plano. Conclusión: la gravitación obliga a utilizar una geometría no euclidiana .

Einstein imaginó a un experimentador encerrado en un ascensor de paredes opacas, experimentando un aumento de aceleración constante: el ascensor de Einstein en el que es imposible para una persona saber si hay una aceleración constante o una atracción gravitacional constante (porque la masa de gravedad y la masa inerte son iguales en suposición). Conclusión: equivalencia local entre movimiento acelerado y gravitación, que debe encontrarse en las ecuaciones diferenciales de la nueva teoría. Este es su principio de equivalencia .

Finalmente, Einstein quiso encontrar una expresión de las leyes de la naturaleza (en ese momento: dinámica, gravitación y electromagnetismo) que no cambia independientemente del marco de referencia (acelerado o galileo, etc.): es la relatividad galileana generalizada a todos los puntos de referencia (esto se llama covarianza ).

La gran dificultad de poner estos principios en forma matemática, los discutió con David Hilbert quien, al principio dudoso, casi le robó el espectáculo al encontrar la teoría al mismo tiempo que él (ver: Controversia sobre la autoría de la relatividad ). .

La relatividad general agregó a la relatividad especial que la presencia de materia podría deformar localmente el propio espacio-tiempo (y no solo los caminos), de modo que las llamadas trayectorias geodésicas , es decir, intuitivamente de longitud mínima, a través del espacio-tiempo tienen propiedades de curvatura en el espacio y el tiempo. El cálculo de la "distancia" en este espacio-tiempo curvo es más complicado que en la relatividad especial, de hecho la fórmula de la "distancia" se crea mediante la fórmula de la curvatura, y viceversa.

Las geodésicas son las trayectorias que verifican el principio de mínima acción , seguidas de las partículas de prueba (es decir, cuya influencia sobre el campo gravitacional en el que se mueven es insignificante, como es el caso, por ejemplo, de 'un satélite artificial alrededor de la Tierra o un fotón que pasa junto al Sol, pero sin una estrella orbitando a otra en un sistema binario que oscila rápidamente), por lo que son de gran importancia práctica para la comprensión intuitiva de un espacio curvo.

Consecuencias teóricas y observaciones

Varios fenómenos

• Einstein calculó inmediatamente (1915) la desviación de las posiciones aparentes de las estrellas por el Sol: la29 de mayo de 1919, las mediciones fueron realizadas por Arthur Eddington durante un eclipse solar y, a pesar de algunas inexactitudes de medición, esta fue una primera confirmación de la teoría.
• Esta teoría predice una lenta rotación de la elipse de revolución de Mercurio que concuerda perfectamente con las observaciones.
• La gravitación debe ralentizar el tiempo medido a distancia, modificando así las frecuencias y longitudes de onda de la radiación recibida y emitida a distancia: podemos citar por ejemplo el experimento de Pound-Rebka en la Universidad de Harvard ( 1959 ), que detectó un cambio en la longitud de onda de una fuente monocromática de cobalto causada por el campo gravitacional de la tierra a una altitud de 22,5 metros. Una consecuencia práctica es que los relojes atómicos en órbita alrededor de la Tierra 's sistema de posicionamiento GPS ( Sistema de Posicionamiento Global ) requieren una corrección para compensar el efecto de la gravedad.
• El tiempo natural pasa tanto más lentamente cuanto más intenso es el campo gravitacional . Los relojes atómicos se volvieron tan precisos que se está preparando para usarlos como altímetro tardío .

Lente gravitacional

La luz sigue las geodésicas (líneas espacio-temporales) que se deforman en las afueras de un cuerpo masivo por efecto de la gravedad. En consecuencia, y contrariamente a los pronósticos newtonianos, la trayectoria de la luz puede sufrir una fuerte inflexión en presencia de un cuerpo masivo (por ejemplo, un planeta particularmente masivo). Dos rayos provenientes del mismo cuerpo presentes en un lado de una estrella masiva, y dirigidos en diferentes direcciones, pueden encontrarse en el lado opuesto de la estrella y crear una imagen dividida, una especie de espejismo de origen gravitacional.

Tales fenómenos se han observado durante muchos años y podrían usarse para detectar materia oscura en el universo .

Agujero negro

Tras el descubrimiento de la métrica de Schwarzschild (1916), apareció en las ecuaciones que para cualquier masa esférica hay una distancia al centro (el radio de Schwarzschild ) donde ocurren fenómenos particulares, si la masa es un rayo inferior: para un observador un poco distantes, los cuerpos que se acercan a este rayo parecen inmovilizados, sus relojes se detienen y esto por la eternidad; además, aparte de los fenómenos gravitacionales, ninguna información parece poder provenir de esta masa central, ni siquiera la luz, y la propia masa central es detectable sólo por sus efectos gravitacionales.

Sin embargo, este rayo de Schwarzschild apareció por primera vez solo como una posible singularidad topológica del espacio-tiempo , un absurdo que marcó un límite de la teoría, que no satisfizo a Einstein. Entre 1938 ( Georges Lemaître ) y 1939 ( Robert Oppenheimer ) se plantea la hipótesis de que se trataba de un fenómeno realista, denominado colapso gravitacional . En la década de 1960 se aclaró la naturaleza de este fenómeno: se entendió que el radio de Schwarzschild no es una singularidad del espacio-tiempo, sino solo una singularidad de la métrica utilizada debido a la curvatura del 'espacio mientras que la métrica se construye como si el espacio fuera plano. Los fenómenos descritos por la métrica de Schwarzschild siguen siendo válidos para el observador distante, la métrica de Kruskal-Szekeres (1960) permitió comprender cómo se produce el paso del rayo de Schwarzschild para el viajero.

Desde entonces, se han identificado diferentes tipos de agujeros negros (con o sin carga o momento angular ), su dinámica han sido estudiados en detalle, la hipótesis de su evaporación se ha formulado con precisión, y la noción, muy hipotética, de gusano agujero tiene avanzado. La observación y detección de agujeros negros sigue siendo objeto de un intenso trabajo, pero se han detectado muchos agujeros negros ( estelares , intermedios y supermasivos ) más allá de toda duda razonable. En 2019 se publicó la primera foto real de un agujero negro.

Ondas gravitacionales

La detección de ondas gravitacionales, emitidas por (grandes) masas en movimiento acelerado, es objeto de intensa investigación internacional, sin embargo, la pequeñez de las energías involucradas hace que sean difíciles de percibir. Las primeras detecciones fueron indirectas: en 1974, se observó una pérdida de energía en un púlsar binario ( PSR 1913 + 16 ) y se interpretó como debida a la emisión de ondas gravitacionales; posteriormente, muchas observaciones más precisas sólo confirmaron el modelo teórico; se puede encontrar una discusión más detallada de estas observaciones en la sección correspondiente del artículo de Binary Pulsar .

La 14 de septiembre de 2015, Los investigadores de LIGO detectaron ondas gravitacionales del evento GW150914  : la coalescencia de dos agujeros negros . Fue anunciado el11 de febrero de 2016en una conferencia de la National Science Foundation en Washington. El resultado se publica el mismo día en la revista Physical Review Letters . También sería "la primera prueba directa de la existencia de agujeros negros" , afirma Thibault Damour , físico teórico francés.

La física cuántica permite plantear la hipótesis de que esta onda tiene asociada una partícula responsable de la interacción gravitacional: el gravitón , de masa cero porque se mueve a la velocidad de la luz en el vacío.

Detalles matemáticos

Teniendo en cuenta un campo gravitatorio bajo, el métricas poco se desvía de la métrica del espacio de Minkowski  : . Con la condición de pequeñez de y agregando una condición de calibre, el tensor de Ricci puede tomar la forma simple , donde es el d'Alembertian .  gramoIj{\ Displaystyle \ g_ {ij}} ηIj{\ Displaystyle \ \ eta _ {ij}} gramoIj=ηIj+hIj{\ Displaystyle \ g_ {ij} = \ eta _ {ij} + h_ {ij}} hIj{\ Displaystyle \ h_ {ij}} RIj=12◻hIj{\ Displaystyle \ R_ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ square h_ {ij}} ◻{\ Displaystyle \ \ cuadrado}

En el vacío, se escribe la ecuación de Einstein , que es una ecuación de onda . Por tanto, la gravedad puede, en esas circunstancias, considerarse una onda.  ◻hIj=0{\ Displaystyle \ \ square h_ {ij} = 0}

También podemos considerar la gravitación como una perturbación de la onda con respecto a cualquier métrica no perturbada , es decir en un espacio-tiempo curvo y estacionario, y también podemos considerar ondas gravitacionales de fuerte intensidad , y estudiar la radiación energética de estas ondas (utilizando el tensor de energía-momento ).

Modelos de Universo

El supuesto de homogeneidad e isotropía, que constituye el principio cosmológico y que está de acuerdo con las observaciones a gran escala, implica que se puede elegir un tiempo universal tal que la métrica del espacio sea la par en todo momento, para todos los puntos y en todas las direcciones, lo que es compatible con la teoría del Big Bang que prevalece actualmente.

A partir de las ecuaciones de Einstein, son posibles varios modelos del Universo . En 1915, Einstein concibió el Universo como estacionario , lo que las observaciones cosmológicas han contradicho. Posteriormente, Alexandre Friedmann y Georges Lemaître propusieron modelos no estacionarios: la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker muestra que son posibles tres modelos homogéneos e isotrópicos del Universo dependiendo del valor de un parámetro en la métrica: espacio plano (en promedio) , con curvatura positiva (el llamado universo cerrado  : de volumen finito), o con curvatura negativa (dicho universo abierto  : de volumen infinito). Otros modelos cosmológicos más exóticos son compatibles con las ecuaciones de la relatividad general. Por ejemplo: el Universo de de Sitter correspondiente en física a un universo homogéneo, isótropo, vacío de materia y con constante cosmológica positiva; el universo mixmaster que es un universo vacío de materia, homogéneo pero anisotrópico, cuya velocidad de expansión difiere en las tres direcciones del espacio; el Universo de Gödel que no respeta el principio de causalidad .

Prueba espacial del principio de equivalencia

El microsatélite Microscope , con un peso de 300 kg, lanzado enabril de 2016, lleva dos masas en platino y titanio que lograron el equivalente a una caída de 85 millones de kilómetros. La misión, prevista hasta finales de 2018, se confirma ennoviembre de 2017la validez del principio de equivalencia .

Comportamientos de objetos densos en caída libre

En 2018, la observación de la trayectoria de un púlsar y una enana blanca , de muy distintas densidades, orbitando una tercera enana blanca a 4.200 años luz de la Tierra; la diferencia relativa entre las aceleraciones sufridas por los dos cuerpos se ha medido menos de , lo que está de acuerdo con la relatividad general que predice, como teorías anteriores, que la aceleración sufrida por un objeto no depende de su densidad. 2,6⋅10-6{\ Displaystyle 2,6 \ cdot 10 ^ {- 6}}

Resumen de la teoría

El movimiento de una masa de prueba (muy pequeña) sometida solo a la gravitación de las masas circundantes es de hecho un movimiento inercial en un espacio-tiempo curvado por estas masas (la curvatura observada también depende del marco de referencia del observador). La línea del universo dibujada en este espacio-tiempo curvo es una geodésica para una métrica que obedece a las ecuaciones no lineales de Einstein que conectan la curvatura del espacio-tiempo (visto desde el marco de referencia elegido) y la presencia de masas.

Repositorios y sincronización de reloj

La idea central de la relatividad es que no podemos hablar de cantidades como velocidad o aceleración sin haber elegido previamente un marco de referencia, un marco de referencia . Cualquier movimiento, cualquier evento se describe entonces en relación con el marco de referencia de este observador .

La relatividad especial postula que este marco de referencia debe ser inercial y puede extenderse indefinidamente en el espacio y el tiempo.

Para no favorecer ningún tipo de marco de referencia en particular en la redacción de las leyes de la naturaleza ( principio de covarianza general ), la relatividad general también se ocupa de marcos de referencia no inerciales, es decir, en los que un cuerpo libre de cualquier la restricción no sigue un movimiento rectilíneo y uniforme . Por tanto, cualquier sistema de coordenadas es admisible a priori y, en general, sus límites se revelan con el uso.

En la física clásica , un ejemplo de marco de referencia no inercial es el de un vehículo en el que se coloca y que sigue una curva: la fuerza centrífuga que se siente frustra el movimiento inercial de los cuerpos en relación con el vehículo. Otro ejemplo es el marco de referencia ligado a la tierra, que, debido a la rotación de la tierra, ve manifestada la fuerza de Coriolis , bien resaltada por el péndulo de Foucault . Se dice que una fuerza centrífuga es ficticia porque es solo una manifestación de inercia (primer principio de Newton) y no debido a la aplicación de una fuerza .

En la relatividad general, se acepta que solo podemos definir un marco de referencia localmente y durante un período finito. Esta limitación es una necesidad porque es necesaria en varios casos:

• El caso más simple: un marco de referencia cartesiano del espacio en tres dimensiones que gira sobre sí mismo alrededor de un eje. El uso de la relatividad especial impone una contracción del perímetro del círculo de rotación que da como resultado un perímetro cero a una cierta distancia del eje de rotación. A esta distancia, este marco de referencia ya no se puede utilizar.
• Al ser curvado el espacio , en relatividad general, el uso de un marco de referencia derecho (utilizado para un espacio euclidiano o pseudoeuclidiano, como el espacio de Minkowski ) equivale a proyectar este espacio en un espacio euclidiano , que solo puede ser local y temporalmente. Es posible, de la misma manera, que debido a la curvatura de la superficie terrestre, solo se pueda dibujar un mapa plano sin distorsión sobre una región limitada. Un ejemplo famoso es la métrica de Schwarzschild que corresponde a un marco de referencia esférico pseudoeuclidiano de cuatro dimensiones (aplicable sin limitación al espacio de Minkowski), y que ya no es válido al acercarse al radio de Schwarzschild .
• La sincronización de los relojes tropieza con dificultades insuperables: en muchos casos no es posible sincronizar perfectamente los relojes ubicados en un circuito cerrado, o incluso en otro tipo de ejes de coordenadas porque las propiedades de como el espacio evoluciona con el sistema observado, inicialmente los relojes sincronizados se desincronizan. Sin embargo, podemos lograr esta sincronización colocando al observador en un marco de referencia sincrónico (es decir en caída libre en el campo gravitacional ) donde se eligen como ejes de las geodésicas del espacio-tiempo, evolucionando durante el tiempo de este repositorio. .

Principio de equivalencia

Debido a que nunca ha sido posible demostrar ninguna diferencia entre la masa de inercia (resistencia de la aceleración de un cuerpo) y la masa pesada (que determina su peso en un campo de gravedad), el principio de equivalencia en la relatividad general postula que no hay necesidad de distinguir localmente un movimiento de caída libre en un campo gravitacional constante, de un movimiento uniformemente acelerado en ausencia de un campo gravitacional: la gravitación es (localmente) equivalente a la elección de un marco de referencia acelerado para el observador ( aceleración constante o variable) con respecto a un marco de referencia inercial  ; es, por tanto, localmente sólo un efecto relativista.

Este resultado es solo local , es decir, válido para un espacio restringido, “pequeño”. En un volumen mayor y con acelerómetros sensibles, por el contrario distinguiremos muy claramente un campo de gravedad (fuerzas concurrentes), una aceleración simple (fuerzas paralelas) y un efecto centrífugo (fuerzas divergentes). Pero en un volumen casi puntual, ninguna medida puede hacer la distinción.

Esta equivalencia se utiliza en el marco del entrenamiento de los astronautas  : suben en aviones realizando un vuelo parabólico , simulando así en poco más de quince segundos la "caída libre" de un cuerpo en órbita (pero para estos últimos la caída libre puede durar indefinidamente, ya que su trayectoria es un bucle).

Existencia de un marco de referencia inercial en cada punto.

En cada punto del espacio-tiempo hay un marco de referencia localmente inercial: un marco en caída libre (en el campo gravitacional, si lo hay) en el que todos los cuerpos caen simultáneamente al marco de referencia, de modo que no parecen sufrir alguna gravitación con respecto a este marco de referencia. Por hipótesis, tal marco de referencia describe un espacio de Minkowski , localmente. Así, la elección de un marco de referencia elimina, localmente, los efectos de la gravitación, o los crea; pero estos efectos son solo locales.

La gravedad está determinada por la métrica

En cada punto del espacio-tiempo, la gravitación puede describirse como la elección del observador de un marco de referencia no inercial en un espacio plano. La métrica en este marco de referencia es la métrica en un marco de referencia inercial en el mismo punto pero expresada con las coordenadas del marco de referencia no inercial (que puede dar fórmulas laboriosas). Los coeficientes de esta expresión cuantifican la diferencia entre un marco de referencia inercial y el marco de referencia del observador: contienen toda la información necesaria para pasar de un marco de referencia a otro, por lo que la gravedad solo depende de la métrica del marco de referencia. del observador. gramoIj{\ Displaystyle g ^ {ij}}

El tiempo adecuado del marco de referencia inercial (Minkowskien) da su métrica y verifica dónde están las coordenadas en el marco de referencia del observador y las coordenadas en un marco de referencia inercial en el mismo punto. Posando , con la convención de Einstein , podemos escribir .  τ{\ Displaystyle \ \ tau} vs2.Dτ2=DXI.DXI=gramoIj.DXI.DXj{\ Displaystyle \ c ^ {2} .d \ tau ^ {2} = dX_ {i} .dX ^ {i} = g ^ {ij} .dx_ {i} .dx_ {j}}(XI){\ Displaystyle (x_ {i})}(XI){\ Displaystyle \ left (X_ {i} \ right)} DXI=gramoIj.DXj{\ Displaystyle \ dx ^ {i} = g ^ {ij} .dx_ {j}} DXI.DXI=vs2.Dτ2{\ Displaystyle \ dx ^ {i} .dx_ {i} = c ^ {2} .d \ tau ^ {2}}

Geodésicas

El principio de equivalencia permite afirmar que localmente el campo gravitacional es equivalente a una elección de marco de referencia, y que se pueden cancelar (siempre local y momentáneamente) los efectos de la gravitación eligiendo un marco de referencia inercial . La geodésica seguida por un cuerpo es particularmente simple en esta teoría: es la curva que sigue este cuerpo cuando se mueve en la línea recta de tal marco de referencia inercial, pero visto desde el marco de referencia del observador . En general, en cada momento de movimiento hay que redefinir el marco de referencia inercial local y, por tanto, las geodésicas también, existe la complejidad: las geodésicas son soluciones de ecuaciones diferenciales definidas en el marco de referencia del observador.

Como en el caso de un espacio plano donde el marco de referencia del observador gira alrededor de un eje, con respecto a un marco de referencia inercial, el observador percibe como curvas los movimientos rectilíneos uniformes del marco de referencia inercial.

Hay que tener cuidado con el hecho de que en cualquier momento se puede utilizar un nuevo marco de referencia inercial y que es raro que uno solo acompañe al móvil en el marco del observador: esto solo se encuentra para situaciones puramente académico. Incluso en tal caso, no debería creerse que si dos móviles siguen la misma línea recta en un marco de referencia inercial, parecerán seguirse en un marco de referencia no inercial: si el marco de referencia del observador es no inerciales, dos cuerpos con diferentes velocidades iniciales se mueven sobre diferentes geodésicas.

Derivado covariante

Siendo la derivada covariante la derivada a lo largo de las geodésicas, consideradas como tangentes a la trayectoria, entendemos que aquí es independiente del marco de referencia del observador, y que sus cálculos son un poco laboriosos porque incluyen un cambio de marco de referencia para mover desde el del observador a un marco de referencia inercial, diferente en cada momento porque un marco de referencia es sólo local y temporalmente inercial. La derivada covariante de un cuadri-vector es la derivada a lo largo de la geodésica que conecta dos posiciones sucesivas (e infinitamente cercanas) de este vector.

Se anota la derivada covariante de un vector cuádruple en cualquier marco de referencia , donde es el tiempo natural relacionado con el vector cuádruple. El principio de correspondencia consiste entonces en considerar que donde hay una igualdad de tipo , en la física clásica o en la relatividad especial , se puede escribir en relatividad general, siempre que el lado derecho de la igualdad también tenga su equivalente en esta. teoría. Esto es posible porque, en última instancia, es lo mismo expresado de diferentes maneras: derivaciones a lo largo de ejes rectilíneos de marcos de referencia inerciales. ∇tuIDτ{\ Displaystyle {\ frac {\ nabla u ^ {i}} {d \ tau}}}τ{\ Displaystyle \ tau}metro.DV→Dt=...{\ Displaystyle m. {\ frac {d {\ vec {V}}} {dt}} = \ dots}metro.DVIDτ=...{\ Displaystyle m. {\ frac {dV ^ {i}} {d \ tau}} = \ dots}metro.∇vIDτ=...{\ Displaystyle m. {\ frac {\ nabla v ^ {i}} {d \ tau}} = \ dots}

En el caso en que, en comparación con el marco de referencia inercial, el cuadrivector sea constante durante el tiempo adecuado ( movimiento inercial ), tenemos .  τ{\ Displaystyle \ \ tau}∇tuIDτ=0{\ Displaystyle {\ frac {\ nabla u ^ {i}} {d \ tau}} = 0}

Dinámica

Supongamos que en cualquier marco de referencia se ejerce una fuerza relativista, en forma de cuadrivector , sobre el cuerpo observado. Por cambio de marco de referencia, se puede considerar esta fuerza en un marco de referencia local de inercia por un cuadrivector .  (FI)I=0;1;2;3{\ Displaystyle \ \ left (f ^ {i} \ right) _ {i = 0; 1; 2; 3}} (FI)I=0;1;2;3{\ Displaystyle \ \ left (F ^ {i} \ right) _ {i = 0; 1; 2; 3}}

Del principio fundamental de la dinámica , en la física clásica, extraemos el principio de correspondencia en la relatividad especial, y finalmente , la ecuación de la dinámica relativista en presencia de un campo gravitacional. metro.DV→Dt=F→{\ Displaystyle m. {\ frac {d {\ vec {V}}} {dt}} = {\ vec {F}}} metro.DVIDτ=FI{\ Displaystyle m. {\ frac {dV ^ {i}} {d \ tau}} = F ^ {i}}metro.∇vIDτ=FI{\ Displaystyle m. {\ frac {\ nabla v ^ {i}} {d \ tau}} = f ^ {i}}

Ecuación de Einstein

La ecuación de Einstein es la expresión matemática de la relatividad general y, en general, de toda la física de la gravedad . Ésta es una fórmula fundamental, que no puede derivarse de una teoría subyacente.

Su forma general significa:

(Una medida de la curvatura media del espacio-tiempo.)=(Una medida de densidad de energía){\ displaystyle {\ left ({\ text {Una medida de la curvatura media del espacio-tiempo}} \ right) = \ left ({\ text {Una medida de la densidad de energía}} \ right)}}

Esta ecuación expresa y concentra las principales ideas de Einstein que rigen la relatividad general: el principio de equivalencia nos lleva a afirmar que la gravitación no es una fuerza real . Si no hay fuerza para desviar o acelerar la trayectoria de los objetos, es porque es el propio espacio-tiempo el que se deforma y la teoría de la gravedad debe manifestarse en forma de una curvatura del espacio-tiempo. Los objetos siguen las geodésicas , que se pueden considerar como el equivalente de líneas rectas para este espacio-tiempo curvo. El uso del formalismo tensorial hace que la expresión de esta ley sea independiente de los marcos de referencia y, por tanto, se ajusta al principio de relatividad .

Esta ecuación es local: indica la forma en que el espacio-tiempo se curva en un punto del espacio-tiempo en función de la densidad de la materia en el mismo y, a la inversa, la disposición o evolución de la materia en un punto en función de la curvatura. en ese punto. El espacio-tiempo actúa sobre la materia, que a su vez actúa sobre el espacio-tiempo. Esta retroalimentación da como resultado una no linealidad de las ecuaciones de Einstein, que por lo tanto son extremadamente difíciles de resolver con exactitud. Le caractère local de l'équation a pour conséquence que selon la relativité générale, il n'existe pas d'action instantanée à distance : la matière courbe localement l'espace-temps, ce qui perturbe l'espace-temps un peu plus loin y así enseguida. Las perturbaciones gravitacionales se propagan así a la velocidad de la luz .

Esta ecuación da como resultado un conjunto complejo de ecuaciones diferenciales de un tensor métrico . Sin embargo, la expresión de esta ecuación sigue siendo concisa y elegante, y muchos físicos la consideran una de las fórmulas más importantes y hermosas de la física. gramoIj{\ Displaystyle g_ {ij}}

Sus soluciones, que son métricas espacio-temporales, permiten definir modelos cosmológicos que formalizan la evolución a gran escala del universo, modelar las propiedades de objetos astronómicos como los agujeros negros , o predecir la existencia de ondas gravitacionales . Naturalmente, incorpora la ley universal de la gravedad de Newton como una aproximación en el caso de un campo gravitacional débil.

Más precisamente, la ecuación de Einstein se expresa en la siguiente forma global:

GRAMOIj=χ TIj{\ Displaystyle G_ {ij} = \ chi \ T_ {ij}}

con quién está el tensor de Einstein que representa la curvatura del espacio-tiempo en un punto, y que es el tensor de energía-momento que representa la contribución de toda la materia (y energía) a la densidad de energía en este punto del campo gravitacional. Pero este tensor no tiene en cuenta la energía posiblemente presente en el propio campo gravitacional. GRAMOIj{\ Displaystyle G_ {ij}}TIj{\ Displaystyle T_ {ij}}

χ{\ Displaystyle \ chi}es un factor dimensional simple, que permite expresar la ecuación en las unidades habituales y hacer que la ecuación corresponda a la realidad física y al valor observado de la constante gravitacional .

La forma más natural de representar la curvatura mediante un tensor sería utilizar un tensor de Riemann , que es la forma más común de expresar la curvatura de las variedades riemannianas , estando el espacio-tiempo perfectamente representado por una pseudomultiplejía riemanniana . Pero este tensor es de orden 4 (con 4 índices), mientras que el tensor de energía-momento es de orden 2: 2 índices son de hecho suficientes para describir todas las propiedades dinámicas de la energía y la materia, y para construir un tensor de energía-momento de cuarto orden. no tendría ningún significado físico.

Por tanto, es necesario construir un tensor especial que represente la curvatura, que tenga un significado físico y que pueda identificarse con el tensor energía-momento. Este es todo el trabajo que hizo Einstein entre 1913 y 1915, para llegar al tensor de Einstein y la formulación exacta de la ecuación de Einstein.

Tensor de energía-impulso

El tensor de energía-momento representa la contribución de toda la materia (y todos los campos no gravitacionales ) a la densidad de energía en un punto.

El tensor de energía-momento tiene una derivada covariante cero, y una derivada covariante es una "derivada a lo largo de las geodésicas", esto significa que un objeto que sigue a una geodésica conserva su energía.

Sin embargo, la derivada covariante cero del tensor energía-momento no refleja la conservación de la energía-momento del cuerpo en presencia de gravitación, ni "la conservación de nada", lo que se entiende al señalar que en un marco de referencia no inercial un cuerpo inicialmente en reposo puede adquirir velocidad sin cambiar de masa , lo que corresponde a una adquisición de energía cinética  : la ley de conservación de la energía de un cuerpo sigue siendo válida sólo en marcos de referencia inerciales .

Este tensor no tiene en cuenta la energía posiblemente presente en el propio campo gravitacional, cuando este último es dinámico (presencia de ondas gravitacionales por ejemplo), esta expresión no representa la conservación global de energía. La conservación de la energía en presencia de un campo gravitacional dinámico es un tema delicado y aún no completamente resuelto en la relatividad general.

Tensor de Einstein

El tensor de Einstein es, por tanto, un tensor que, en la ecuación de Einstein, representa la curvatura y tiene un significado físico, es decir de orden 2, simétrico, que posee una derivada covariante cero, y que permite encontrar la ley de gravitación de Newton como una aproximación. con campos gravitacionales débiles y velocidades en juego mucho más bajas que la de la luz.

Hay una forma de construir un tensor de orden 2 a partir de un tensor de orden 4: realizar una contracción del tensor según dos índices. Tal contracción del tensor de Riemann da un tensor conocido como tensor de Ricci , señaló . RIj{\ Displaystyle R_ {ij}}

Para construir una ecuación física, el tensor de Ricci tiene una propiedad interesante: permite encontrar la aceleración desde el estado de reposo de una esfera de partículas que rodean una masa puntual. En mecánica newtoniana, esta misma aceleración se calcula a partir de la ecuación de Poisson , siendo el potencial gravitacional y la densidad de masa. El tensor de Ricci y el término izquierdo de la ecuación de Poisson poseen segundas derivadas de la métrica y tienen el mismo significado físico, sería natural plantear: ∇2Φ=4πGRAMOρ{\ Displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ Phi = 4 \ pi G \ rho}Φ{\ Displaystyle \ Phi}ρ{\ Displaystyle \ rho}RIj{\ Displaystyle R_ {ij}}

GRAMOIj=RIj=4πGRAMOTIj{\ Displaystyle G_ {ij} = R_ {ij} = 4 \ pi GT_ {ij}}

TIj{\ Displaystyle T_ {ij}}siendo el tensor que representa la densidad de masa, y esta ecuación fue propuesta en 1913 por Einstein. De hecho, este tensor es de orden 2 y simétrico, pero resulta que su derivada covariante no es cero. De hecho, al usar las identidades de Bianchi en el tensor de Riemann, encontramos que es el tensor el que tiene una derivada covariante cero. Einstein no conocía las identidades de Bianchi, y encuentra el tensor de Einstein, después de dos años de intensos esfuerzos, ayudado por el matemático Marcel Grossmann  : RIj - 12gramoIjR{\ Displaystyle R_ {ij} \ - \ {\ frac {1} {2}} \, g_ {ij} \, R}

GRAMOIj=RIj - 12gramoIjR{\ Displaystyle G_ {ij} = R_ {ij} \ - \ {\ frac {1} {2}} \, g_ {ij} \, R}

R{\ Displaystyle R}es la curvatura escalar , que es en sí misma una contracción del tensor de Ricci, y es el tensor métrico , solución de las ecuaciones de Einstein. Si el tensor de Riemann da la curvatura de una variedad en un punto, a lo largo de un plano definido por un par de vectores, el tensor de Ricci representa el promedio de las curvaturas a lo largo de todos los planos que contienen un vector dado, mientras que el tensor de Einstein representa el promedio de las curvaturas según todos los planos ortogonales a este vector. gramoIj{\ Displaystyle g_ {ij}}

Se ha demostrado que el tensor de Einstein es el único tensor que se puede construir matemáticamente que tiene todas las propiedades deseadas: orden 2, que tiene segundas derivadas de la métrica, con derivada covariante cero y que se desvanece en el espacio plano (permitiendo encontrar a Newton)

David Hilbert también justificó esta ecuación por el principio de acción mínima ya en 1915.

Expresión completa de la ecuación de Einstein

Dado el tensor de Einstein, la formulación completa y exacta de la ecuación de Einstein sigue directamente:

 RIj-12gramoIj.R=χ TIj{\ Displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} .R = \ chi \ T_ {ij}}

con , y (i, j) pasando de 1 a 4 (para las 4 dimensiones del espacio-tiempo). χ=8πGRAMOvs4{\ Displaystyle \ chi = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}}

Desglosada en ecuaciones diferenciales , esta expresión tensorial da como resultado diez ecuaciones diferenciales parciales no lineales . De estas diez ecuaciones, cuatro dependen de la elección del marco de referencia, lo que deja seis ecuaciones por resolver para determinar la métrica.

Constante cosmológica

Es importante señalar que agregar una "constante" al tensor de Einstein no cambia sus características físicas: su derivada covariante permanece cero y las leyes de Newton siempre se encuentran en los límites. Por lo tanto, la ecuación de campo puede contener un parámetro "adicional" llamado la constante cosmológica que fue originalmente introducida por Einstein para un universo estático (es decir, un universo que no se expande ni se contrae) es la solución de su ecuación.  Λ{\ Displaystyle \ \ Lambda}

Luego se escriben las ecuaciones de Einstein:

 RIj-12gramoIj.R+gramoIj.Λ=χTIj{\ Displaystyle \ R_ {ij} - {\ frac {1} {2}} g_ {ij} .R + g_ {ij}. \ Lambda = \ chi T_ {ij}}

Este esfuerzo fracasó por dos razones: desde un punto de vista teórico, el universo estático descrito por esta teoría es inestable; y, además, las observaciones del astrónomo Edwin Hubble diez años más tarde mostraron que el Universo se estaba expandiendo de hecho. Así fue abandonado, pero recientemente, las técnicas astronómicas han demostrado que un valor distinto de cero de este parámetro puede explicar ciertas observaciones, en particular la energía oscura . (Fue el astrofísico Jim Peebles en la década de 1980 quien reintroducirá la constante cosmológica).  Λ{\ Displaystyle \ \ Lambda}

Ecuación de Einstein en el vacío. Tensor de Weyl

Es posible reformular las ecuaciones de Einstein de una manera rigurosamente equivalente para aislar el tensor de Ricci:

RIj=χ (TIj+12gramoIj.T)-gramoIj.Λ{\ Displaystyle R_ {ij} = \ chi \ \ left (T_ {ij} + {\ frac {1} {2}} g_ {ij} .T \ right) -g_ {ij}. \ Lambda}

En el vacío donde no hay energía ni materia . Entonces se hace evidente que la ecuación de Einstein se reduce a: TIj=0{\ Displaystyle T_ {ij} = 0}

RIj=0{\ Displaystyle R_ {ij} = 0}

cuando la constante cosmológica es cero. Un espacio vacío cuyo tensor de Ricci desaparece se denomina espacio “Ricci-flat”. Esto no significa que el espacio-tiempo sea plano en ausencia de materia o energía  : la curvatura del espacio está representada por el tensor de Riemann, no por el tensor de Ricci.

El hecho de que el tensor de Ricci represente una curvatura promedio implica que, en un vacío (en el punto donde se realiza la medición: ausencia de energía que dobla el espacio), el espacio es en promedio plano (curvatura promedio cero), pero curvado en cada dirección, debido a que más o menos lejos, las presencias de energías (masas en movimiento) doblan el espacio poniéndolo en tensión, un poco como un mantel tirado de sus esquinas. Además, la forma general del universo impone curvaturas en diferentes direcciones, aunque en el vacío la curvatura promedio sigue siendo cero: son posibles varias formas del universo , ninguna es segura hasta el día de hoy.

Si consideramos el tensor de Ricci como la fuente del campo gravitacional, el campo gravitacional en sí está representado por el tensor de Riemann, del cual restamos el tensor de Ricci para dejar solo los grados de libertad que no provienen de la fuente en sí. El tensor obtenido es el tensor de Weyl , que tiene las mismas propiedades que el tensor de Riemann, pero que en realidad representa el campo gravitatorio  : . Es la cancelación de este tensor la condición para la planitud conforme del espacio-tiempo. VSIjkl{\ Displaystyle C_ {ijkl}}WEYL=RIEMANN-RICCI{\ displaystyle {\ text {WEYL}} = {\ text {RIEMANN}} - {\ text {RICCI}}}

El tensor de Weyl representa las fuerzas de marea debidas a la gravedad. Una esfera de partículas sometidas al tensor de Weyl, por la influencia de una masa fuera de la esfera, sufre una deformación que no cambia su volumen , a diferencia de la influencia del tensor de Ricci. Las ondas gravitacionales se describen, en el vacío, mediante el tensor Weyl.

La masa gravitacional activa

El tensor de densidad-momento conduce a definir el concepto de masa en la relatividad general de una manera ligeramente diferente en comparación con el caso de las leyes de Newton. Tomando la expresión de la ecuación de Einstein que aísla el tensor de Ricci:, e identificándola con la aceleración inicial, y con la ecuación de Poisson, encontramos una masa gravitacional activa equivalente: RIj=χ(TIj+12gramoIj.T)-gramoIj.Λ{\ Displaystyle R_ {ij} = \ chi \ left (T_ {ij} + {\ frac {1} {2}} g_ {ij} .T \ right) -g_ {ij}. \ Lambda}

ρGRAMO=ρ+PAG1+PAG2+PAG3-Λ4πGRAMO{\ Displaystyle \ rho _ {G} = \ rho + P_ {1} + P_ {2} + P_ {3} - {\ frac {\ Lambda} {4 \ pi G}}}

en lugar de en el caso newtoniano. Los valores son los valores de la presión sobre los tres ejes espaciales ortogonales, y la constante gravitacional contribuye a la masa gravitacional activa. ρGRAMO=ρ{\ Displaystyle \ rho _ {G} = \ rho}PAGI{\ Displaystyle P_ {i}}

En condiciones normales, la contribución de la presión a la masa gravitacional activa es muy pequeña y la constante cosmológica insignificante. Pero la presión puede desempeñar un papel considerable en condiciones extremas, especialmente durante el colapso gravitacional de estrellas masivas, donde la presión, en lugar de oponerse al colapso gravitacional como cabría esperar, aumenta la tendencia a colapsar aumentando la masa gravitacional activa.

Conservación de energía y energía del campo gravitacional.

Hay situaciones físicas en las que se puede intercambiar energía entre sistemas gravitacionales y no gravitacionales. Por ejemplo, cuando un cuerpo masivo orbita a otro cuerpo masivo, hay emisión de ondas gravitacionales que transportan algo de energía del sistema. Esta pérdida es absolutamente insignificante en los órdenes de magnitud clásicos (por ejemplo, la energía liberada por unidad de tiempo en forma de ondas gravitacionales por la órbita de Júpiter alrededor del sol corresponde a 40 vatios). Pero en circunstancias donde los órdenes de magnitud son muy altos, como para el púlsar binario PSR B1913 + 16 , la energía transportada tiene efectos importantes y medibles, que también permiten validar con éxito la teoría de la relatividad general.

La teoría de la relatividad general no ofrece una representación inmediata y obvia de este fenómeno. El tensor de energía-momento solo da la energía de un cuerpo o un campo no gravitacional en un punto, sin tener en cuenta la energía del campo gravitacional en ese punto. Por tanto, la energía de las ondas gravitacionales no está representada por este tensor, y su derivada covariante nula no representa la conservación global de energía. Para representar una energía conservadora del sistema de "campo de cuerpo gravitacional", Einstein expresó la energía del campo mediante un "  pseudo-tensor  (in)  " que se cancela para una elección de marco en caída libre (inercial) en el punto considerado : la energía del campo gravitacional solo existe en función del marco de referencia elegido. Este “pseudo-tensor”, tomado del tensor de Ricci, también expresa la autocorrelación del campo sobre sí mismo, lo que explica su formulación bastante complicada. En particular, la energía emitida en forma de ondas gravitacionales se expresa utilizando este "pseudo-tensor".

Estos intercambios también han sido estudiados y modelados por Hermann Bondi y Rainer Sachs para un tipo particular de espacio-tiempo, el espacio-tiempo asintóticamente plano  (in) , que representa sistemas gravitacionales considerados aislados del resto del universo, que es aproximadamente cierto para sistemas como púlsares binarios.

Pero la comprensión de la conservación global de la energía en presencia de un campo gravitacional dinámico sigue siendo un tema delicado y aún no completamente resuelto en la relatividad general.

Aplicaciones

Geolocalización por satélite

La consideración de la relatividad general es necesaria para la precisión de la geolocalización por satélite .

Medición del campo de gravedad

La relatividad general permite medir la gravedad , y por lo tanto la altitud, con un reloj atómico suficientemente preciso.

Notas y referencias

Notas

1. Dependiendo del marco de referencia del observador, la energía cinética de un cuerpo puede ser cero, muy alta, constante, variable, etc. : estas diferencias se encuentran en las diferencias de curvatura del espacio-tiempo, curvatura debida a este cuerpo, tal como las observan los distintos observadores desde su respectivo marco de referencia, y por tanto se encuentran en las diferencias entre los efectos gravitacionales medidos por los diversos observadores.
2. Hasta alrededor de 2012, se preveía que la anomalía Pioneer era un primer indicio de una brecha entre los fenómenos observados y la relatividad general, pero esta anomalía ahora parece explicarse por un reflejo en la antena de las sondas Pioneer.
3. Por tanto, una teoría coherente que unificara la relatividad general y la física cuántica quizás proporcionaría respuestas al problema de la planitud del universo.
4. La pseudo-métrica , indicada , se define por o de acuerdo con la convención de signos o elegida; la convención , usada aquí, corresponde a la elección hecha en los textos anglosajones; la convención corresponde a la elección hecha en los famosos textos pedagógicos de Lev Landau , por ejemplo. Roger Penrose considera esta última opción "más física" porque la métrica es positiva para las líneas del universo de tipo tiempo, que son las únicas admitidas para las partículas masivas. Excepto por el signo, esta definición hace que la pseudo-métrica sea idéntica al intervalo espacio-temporal que es el invariante relativista por cambio del marco de referencia galileano . Δs{\ Displaystyle \ \ Delta s} Δs2=-vs2(Δt)2+(ΔX)2+(Δy)2+(Δz)2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = - c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} + (\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}} Δs2=vs2(Δt)2-(ΔX)2-(Δy)2-(Δz)2{\ Displaystyle \ \ Delta s ^ {2} = c ^ {2} (\ Delta t) ^ {2} - (\ Delta x) ^ {2} - (\ Delta y) ^ {2} - (\ Delta z) ^ {2}}(-;+;+;+){\ Displaystyle (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ Displaystyle \ (+; -; - ;-)} (-;+;+;+){\ Displaystyle \ (-; +; +; +)} (+;-;-;-){\ Displaystyle \ (+; -; - ;-)}
5. En el mismo punto en el espacio-tiempo, hay una infinidad de marcos de referencia inerciales, pero todos difieren solo por la elección de sus sistemas de coordenadas: todos tienen las mismas líneas.
6. De hecho, una constante real multiplicada por el tensor métrico, porque agregar una constante a un tensor (2,0) no tendría sentido.

Referencias

1. Jean-Jacques Samueli y Jean-Claude Boudenot ( pref.  Édouard Brézin), 30 obras de matemáticas que cambiaron el mundo , París, Elipses ,2006, 413  p. ( ISBN  978-2-7298-2788-5 y 2-729-82788-9 , aviso BnF n o  FRBNF40212298 ) , p.  384.
2. Wolfgang Pauli; Teoría de la relatividad , Dover Publications, Inc. (1981), ( ISBN  0-486-64152-X ) (página 62).
3. Albert Einstein , El significado de la relatividad: cuatro conferencias dictadas en la Universidad de Princeton, mayo de 1921 , Princeton: Princeton University Press,1923( leer en línea ) , pág.  66
4. "  The Rigid Rotating Disk in Relativity  " , en math.ucr.edu (consultado el 17 de enero de 2019 )
5. (en) Holanda den Hond, "  Einstein dice: Son 309,7 metros en punto  " , Eos , vol.  100, n o  10,octubre de 2019( leer en línea ).
6. Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física Teórica , t.  2: Teoría de campos [ detalle de ediciones ], §102 a §104.
7. "  Aquí está la primera imagen (real) de un agujero negro  " , en Sciences et Avenir (consultado el 8 de abril de 2020 )
8. Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física Teórica , t.  2: Teoría de campos [ detalle de ediciones ], §107 a §110.
9. Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física teórica , t.  2: Teoría de campos [ detalle de ediciones ], §111.
10. AFP, "  La teoría de Einstein se sostiene contra el satélite Microscope  ", Le Point ,4 de diciembre de 2017( leer en línea , consultado el 4 de diciembre de 2017 ).
11. (en) Anne Archibald et al. , "  Universalidad de la caída libre del movimiento orbital de un púlsar en un sistema triple estelar  " , Nature ,5 de julio de 2018( leer en línea ).
12. Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física teórica , t.  2: Teoría de campos [ detalle de ediciones ], §84 y §97.
13. Fred Cooperstock General Relativistic Dynamics World Scientific, 2009 p. 60.
14. Gron, Teoría de Naess Einstein - Una introducción rigurosa para Springer sin entrenamiento matemático , 2011. p. 211.
15. Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física Teórica , t.  2: Teoría de campos [ detalle de ediciones ] §96.
16. Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física teórica , t.  1: Mecánica [ detalle de ediciones ] §3 y §6.
17. R. Penrose Enciclopedia de Física Matemática - Descripción general de la relatividad , Elsevier, 2006 p. 493.
18. Lee C. Loveridge Interpretaciones físicas y geométricas del tensor de Riemann, el tensor de Ricci y la curvatura escalar arXiv : gr-qc / 0401099
19. Espacio-tiempo de R. Ferraro Einstein: una introducción a la relatividad general y especial Springer 2007 p. 235.
20. Jean-Claude Boudenot data de 1916, página 162 de su libro Électromagnétisme et gravitation relativistes , ellipse (1989), ( ISBN  2-7298-8936-1 ) ; en Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física teórica , t.  2: Teoría de campos [ detalle de ediciones ], §93 nota al pie al comienzo del párrafo, se dice que este método fue sugerido por Hilbert ya en 1915, lo que confirma Jean-Paul Auffray p247 (párrafo Hilbert va a pescar ) de su libro Einstein y Poincaré , edición Le Pommier , 1999, ( ISBN  2 746 50015 9 ) .
21. Roger Penrose El descubrimiento de las leyes del universo , Odile Jacob, 2007 p. 449
22. JH Taylor y JM Weisberg , "  Una nueva prueba de relatividad general - La radiación gravitacional y el púlsar binario PSR 1913 + 16  ", The Astrophysical Journal , vol.  253,1 st 02 1982, p.  908-920 ( ISSN  0004-637X , DOI  10.1086 / 159690 , leído en línea , consultado el 12 de noviembre de 2015 )
23. Pankaj Sharan Spacetime, Geometry and Gravitation Birkhäuser Basel, 2009 p. 211.
24. https://www.maxisciences.com/gravite/des-scientistiques-ont-reussi-a-mesurer-la-gravite-terrestre-avec-une-horloge-et-voici-comment_art40313.html

Apéndices

Artículos relacionados

Teorías

• Gravitación
• Historia de la gravitación
• Historia de la relatividad general
• Principio de relatividad
• Relatividad

Pruebas y observaciones

• Lente gravitacional
• Pruebas experimentales de relatividad general
• Agujero negro

Matemáticas

• Matemáticas de la relatividad general
• Acción de Einstein-Hilbert
• Curvatura
• Covarianza
• Geometría en el espacio
• Geometría diferencial
• Geometría no euclidiana
• Línea del universo
• Parametrización post-newtoniana
• Variedad riemanniana
• Variedad lorentziana

Astronomía

• Cosmología

Instituciones

• Sociedad Italiana de Relatividad General y Gravitación

enlaces externos

• Registros de autoridad  :
  • Biblioteca Nacional de Francia ( datos )
  • Biblioteca del Congreso
  • Gemeinsame Normdatei
• Avisos en diccionarios generales o enciclopedias  : Encyclopædia Britannica  • Encyclopædia Universalis

Curso por Internet

• Laurent Baulieu, Introducción a la relatividad general , curso introductorio impartido en la École Polytechnique por un investigador del Laboratorio de Física Teórica de Altas Energías de la Universidad de París 6 (archivo pdf - 53 páginas).
• Eric Gourgoulhon, relatividad general , curso de maestría 2 °  año, Observatorio de París y las universidades de París 6, París 7 y París 11 (archivo PDF - 188 páginas)
• (en) Sean Carroll , Lecture notes on general relativity , curso en profundidad impartido en 1997 por un miembro del Instituto de Física Teórica de la Universidad de California en Santa Bárbara (EE. UU.) (Postscript y archivos pdf - 238 páginas)

Otras lecturas

• (es) Living Reviews in Relativity  : los artículos en línea publicados en este sitio, gestionado por el Instituto Max-Planck de Gravitación en Potsdam (FRG), son actualizados periódicamente por sus autores, todos ellos especialistas en su campo de contribución.
• (en) John C. Baez y Emory F. Bunn, "El significado de las ecuaciones de Einstein", en American Journal of Physics , vol. 73, 2005, pág.  644-652 . Notable artículo educativo escrito en 2001 por un miembro del Departamento de Matemáticas de la Universidad de California en Riverside (EE. UU.). Dé una interpretación geométrica simple de las ecuaciones de campo de Einstein. Una versión más completa está disponible en ArXiv:gr-qc / 0103044
• (en) Lee C. Loveridge, Interpretaciones físicas y geométricas del tensor de Riemann, tensor de Ricci y curvatura escalar , notable artículo educativo escrito en 2004 (18 páginas).
• (en) R. Arnowitt, Stanley Deser y Charles W. Misner, The dynamics of general relativity , un artículo escrito en 1962 sobre la formulación canónica hamiltoniana de la relatividad general, formulación transmitida a la posteridad con el nombre de "formulación ADM" (30 páginas).
• (en) Joel M. Weisberg y Joseph H. Taylor, Puslar binario relativista B1913 + 16: treinta años de observaciones y análisis , un artículo de revisión escrito en 2004 sobre las mediciones realizadas en el púlsar binario descubierto en 1974 por Russel Hulse y Joseph Taylor , Premio Nobel 1993 (7 páginas).
• ( fr ) Thomas B. Bahder, Sincronización del reloj y navegación en la cercanía de la Tierra , artículo de revista escrito en 2004 sobre el problema de la "sincronización del reloj" en la relatividad general, con aplicación al GPS (49 páginas).
• (en) Norbert Straumann, La historia del problema de la constante cosmológica , artículo de revista sobre la constante cosmológica escrito en 2002 por un miembro del Departamento de Física Teórica de la Universidad de Zurich (Suiza) (12 páginas).
• (en) Jacob D. Beckenstein, Agujeros negros: física y astrofísica , artículo de revisión sobre agujeros negros, escrito por un especialista en 2004. Según cursos impartidos en el instituto de estudios avanzados de la OTAN Neutrinos y eventos explosivos en el universo , Erice (2 -13 de julio de 2004) (26 páginas).
• B. Kouznetsov, Einstein: su vida, su pensamiento, sus teorías , Universidad Marabout, 1967 (343 páginas).

Diverso

• Relatividad general: cómo el espacio-tiempo se volvió dinámico , Futura-Sciences
• Curso de relatividad general - CNRS, Observatorio de París, Universidad Paris Diderot

Bibliografía

Popularización

• Nathalie Deruelle, De Pythagore a Einstein, todo es número: Relatividad general, 25 siglos de historia , Belin , 2015.
• Emmanuel Humbert, Michel Vaugon, Relatividad general explicada a matemáticos , Elipses , 2014.
• Stéphane Durand , Relatividad animada, Entender a Einstein animando el espacio-tiempo uno mismo , Belin - Pour la science , 96 páginas.
• Albert Einstein , La Relativity , Gauthier-Villars, 1956 . Reimpreso por Payot, 1990 ( ISBN  2228882542 ) . En formato de bolsillo, una presentación elemental de los principios de las teorías de la relatividad especial y la relatividad general.
• Banesh Hoffmann , Historia de una gran idea: relatividad , Éditions Pour La Science, 1985 , Difusión de Belin ( ISBN  2-9029-1844-5 ) . Una charla de un ex colaborador de Einstein en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.
• Thibault Damour , Si Einstein m'ait conté , París, Éditions du Cherche-midi, 2005 ( ISBN  2-74910-390-8 ) . El especialista francés en las teorías de la relatividad entrega "su" Einstein sin ecuaciones. Thibault Damour es profesor permanente en el Instituto de Estudios Científicos Avanzados de Bures-sur-Yvette; durante mucho tiempo enseñó relatividad general en la DEA en física teórica en la rue d'Ulm.
• Albert Einstein y Leopold Infeld , La evolución de las ideas en física , Colección Champs, Flammarion, 1993 ( ISBN  2080811193 ) . En formato de bolsillo, una historia de la física, desde la mecánica de Newton hasta las teorías modernas (relatividad, cuantos ), escrita en 1936 por el propio Einstein y uno de sus discípulos en Princeton, para financiar la estancia de este último. Accesible desde el último año de ciencia, una obra que invita a la reflexión y que hace que la gente ame la física viva y accesible.
• (en) John Wheeler , Un viaje a la gravedad y el espacio-tiempo , Freeman, 1999 ( ISBN  0-7167-6034-7 ) . Relatividad general popularizada por un experto mundial.
• ( fr ) Herman Bondi, Relatividad y sentido común , Heinemann, 1964. Una introducción accesible a todos por un científico de renombre.

Libros de iniciación

Accesible a nivel de pregrado.

• Dennis Sciama , Los fundamentos físicos de la relatividad general , Doubleday, 1969 ( ISBN  0-385-02199-2 ) . Nacido en 1926 en Inglaterra, el autor es un astrofísico que fue desde finales de la década de 1950 uno de los grandes teóricos de los agujeros negros. Jugó un papel decisivo en el estímulo de la investigación en este campo; en particular, tuvo a Stephen Hawking y Martin Rees como estudiantes en la Universidad de Cambridge. Anteriormente había una traducción al francés del libro: Las bases físicas de la relatividad general , Dunod, 1971, lamentablemente no se volvió a publicar.
• Thibault Damour y Stanley Deser, "Relatividad", en Encyclopeadia Universalis , vol. 19, 1995), pág.  739-748 . Una presentación no técnica de un especialista de renombre mundial: Thibault Damour es profesor permanente en el IHES en Bures-sur-Yvette; durante mucho tiempo enseñó relatividad general en la DEA en física teórica en la rue d'Ulm.
• Max Born , teoría de la relatividad de Einstein y sus bases físicas , Gauthier-Villars, 1923. Reimpreso por Jacques Gabay, 2003 ( ISBN  2-87647-230-9 ) . Una obra clara, escrita por un gran teórico alemán que ganó el Premio Nobel de 1954. El lugar que ocupa el aspecto matemático es sumamente limitado.
• (en) Wolfgang Rindler, Relativity: Special, General and cosmological , Oxford University Press, 3 e ed., 2001 ( ISBN  0-19-850836-0 ) . Una introducción a todos los aspectos de la relatividad, a cargo de un profesor de la Universidad de Dallas (Texas), especialista en la materia.
• (en) James B. Hartle, Gravity - Una introducción a la relatividad general de Einstein , Addison-Wesley (2003), ( ISBN  0-8053-8662-9 ) . Kip Thorne escribió sobre este libro: "¡la mejor introducción a la relatividad general jamás escrita"! El autor es profesor de física teórica en la Universidad de Santa Bárbara.

Obras tecnicas

• Lev Landau y Evgueni Lifchits , Física teórica , t.  2: Teoría de campos [ detalle de ediciones ] : segundo volumen del famoso curso escrito por Landau , teórico soviético ganador del Premio Nobel de Física 1962. Este volumen comienza con una introducción a la teoría de la relatividad especial, continúa con la teoría de Maxwell del campo electromagnético y expone en la última parte los aspectos generales teoría de la relatividad. El nivel sigue siendo alto (segundo ciclo universitario).
• (en) Steven Weinberg , Gravitation & Cosmology , Nueva York, Wiley, 1972 ( ISBN  0-471-92567-5 ) . Una obra de referencia. Nivel universitario mínimo de segundo ciclo.
• (en) Charles W. Misner , Kip Thorne y John Wheeler , Gravitation , San Francisco, Freeman, 1973 ( ISBN  0-7167-0344-0 ) . Otra obra de referencia, que desarrolla aspectos geométricos modernos, nivel mínimo de segundo ciclo universitario.
• (en) Robert M. Wald , Relatividad General , University of Chicago Press ,1984, 498  p. ( ISBN  0226870332 ). Más nuevo que las dos Biblias anteriores, aquí hay un libro introductorio a la teoría en una exposición moderna, que también contiene desarrollos recientes (teoremas de singularidad), incluidos ciertos efectos cuánticos en la gravedad (evaporación de los agujeros negros de Hawking). La primera parte de este libro es accesible desde un segundo ciclo universitario.
• (en) Sean Carroll , Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity , Addison Wesley, 2003 ( ISBN  0-8053-8732-3 ) . Una introducción moderna; un borrador del texto está disponible en ArXiv: gr-qc / 9712019 .
• (en) Hermann Weyl , espacio, tiempo, materia , Dover ( 4 ª edición, 1952) ( ISBN  0-486-60267-2 ) . Un clásico de la física teórica, escrito por un matemático. Nivel universitario de segundo ciclo. (Solía ​​haber una traducción al francés de este trabajo).
• Denis Gialis y François-Xavier Désert, Relatividad general y astrofísica , Ciencias EDP (2015) ( ISBN  978-2-7598-1749-8 ) . Aprender cálculo en relatividad general y saber demostrar los resultados fundamentales. Del segundo ciclo universitario.

Aspectos historicos

• Jean Eisenstaedt, Einstein y la relatividad general: los caminos del espacio-tiempo , ediciones del CNRS, 2002 ( ISBN  2-271-05880-5 ) . Una historia de la teoría de Einstein escrita por el especialista francés en el campo.
• (en) W. Perret y GB Jeffrey, trad., The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity , Nueva York, Dover, 1923.
• (en) Wolfgang Pauli , Teoría de la relatividad , Dover, 1981 ( ISBN  0-486-64152-X ) . Este libro es una gran cantidad de información. Esta es la reedición en inglés de un artículo de revista escrito en alemán en 1921 para la Enzyklopädie der mathischen Wissenschaften por un joven teórico austriaco, entonces de 21 años, que estudiaba en Gotinga con Max Born . Esto es lo que dijo Einstein en una carta a Born fechada30 de diciembre de 1921 : “Pauli es un tipo increíble para sus 21 años; puede estar orgulloso de su artículo para la Enciclopedia. "
• (en) Max Jammer , conceptos de espacio - La historia de las teorías de espacio en Física , Dover ( 3 ª edición, 1993) ( ISBN  0-486-27119-6 ) . Una historia aprendida del concepto de espacio, desde la Antigüedad hasta nuestros días.