En matemáticas , el teorema fundamental del álgebra , también llamado teorema de d'Alembert-Gauss y teorema de d'Alembert , indica que cualquier polinomio no constante , con coeficientes complejos , admite al menos una raíz . En consecuencia, cualquier polinomio con coeficientes enteros , racionales o incluso reales admite al menos una raíz compleja, porque estos números también son complejos. Una vez que se ha establecido este resultado, resulta sencillo mostrar que en ℂ, el campo de números complejos, cualquier polinomio P se divide , es decir, constante o producto de polinomios de grado 1.
El tiempo ha hecho que la expresión del teorema fundamental del álgebra sea algo paradójica. De hecho, no existe una prueba puramente algebraica de este teorema. Es necesario hacer uso de resultados topológicos o analíticos para su demostración. La expresión proviene de una época en la que el álgebra se identificaba esencialmente con la teoría de ecuaciones , es decir, la resolución de ecuaciones polinómicas. Los límites del álgebra ahora han cambiado, pero el nombre del teorema se ha quedado.
Las consecuencias del teorema son numerosas; en álgebra lineal este resultado es esencial para la reducción del endomorfismo ; en el análisis , interviene en la descomposición en elementos simples de funciones racionales utilizadas para encontrar una primitiva . También se encuentran en la teoría algebraica de números , en un resultado básico que indica que cualquier extensión algebraica del campo de los fundamentos se puede considerar como un subcampo del de los complejos.
La historia de los espectáculos teorema de la importancia de los resultados a los ojos de los matemáticos de la XVIII ª siglo . Los grandes nombres, como los de d'Alembert , Euler , Lagrange o Gauss , han iniciado su demostración, con distinta suerte. La variedad y riqueza de los métodos diseñados para este propósito fue un poderoso motor para el desarrollo de la investigación en matemáticas y particularmente para una mejor comprensión de los números complejos.
El teorema fundamental del álgebra admite varios enunciados equivalentes.
Teorema de D'Alembert-Gauss : cualquier polinomio no constante, con coeficientes complejos, admite al menos una raíz compleja.Por ejemplo, 1 + i es una raíz del polinomio X 4 + 4. En esta forma, el teorema afirma la existencia de una raíz del polinomio P ( X ) pero no explica cómo encontrar esta raíz explícitamente. Esta declaración existencial describe más una propiedad del campo de los números complejos. Se dice que un campo está algebraicamente cerrado si cualquier polinomio de grado estrictamente positivo y con coeficientes en este campo admite al menos una raíz en este campo. Por tanto, el teorema se puede reformular de la siguiente manera:
(i) El campo ℂ está algebraicamente cerrado.Este resultado también se puede reformular en términos de factorización de polinomios con coeficientes complejos:
(ii) Se divide cualquier polinomio con coeficientes complejos .Estos resultados indican que un polinomio con coeficientes complejos de grado n , que se puede escribir como n X n +… + a 1 X + a 0 también se escribe como n ( X - α 1 )… ( X - α n ). Aquí, la familia (α k ), para k que varía de 1 an , es la de las raíces. Algunos números α k pueden ser iguales; luego hablamos de raíces múltiples .
El teorema fundamental del álgebra es equivalente a cada uno de los siguientes enunciados:
(iii) Cualquier polinomio no constante con coeficientes reales tiene al menos una raíz compleja. (iv) Los polinomios irreducibles con coeficientes reales son exactamente los polinomios de grado 1, y los polinomios de grado 2 con discriminante estrictamente negativo (escrito aX 2 + bx + c, con un no-cero y b 2 - 4 ac <0) . (v) Cualquier polinomio no constante con coeficientes reales se escribe como un producto de polinomios con coeficientes reales de grados 1 o 2. Demostración de equivalencias(i) ⇒ (ii): Demostremos (ii) por inducción en n , el grado de un polinomio, de (i). Si n es igual a 0, no hay nada que probar. Supongamos que el conjunto de resultados para cualquier polinomio de grado n y dejar que P un polinomio de grado n + 1. (i) implica la existencia de una raíz α P . Entonces, el polinomio se escribe P ( X ) = ( X - α) Q ( X ) con Q de grado n, por lo tanto, se divide por hipótesis de inducción, de modo que P también se divide, por lo tanto (ii) se demuestra.
(ii) ⇒ (v): Por (ii), cualquier polinomio P con coeficientes reales se divide entre ℂ. Si α es una raíz compleja (no real) de P ( X ), también lo es su conjugado α , con el mismo orden de multiplicidad , y ( X - α) ( X - α ) tiene coeficientes reales. Por lo tanto, obtenemos (v) agrupando los términos para cada raíz compleja.
(v) ⇒ (iv): De acuerdo con (v), si P es irreductible, solo puede ser de grado 1 o 2. Si es de grado 1, efectivamente es irreducible. Si es de grado 2, es irreductible (sobre ℝ) si y solo si su discriminante es estrictamente negativo.
(iv) ⇒ (iii): Un polinomio P no constante con coeficientes reales admite al menos un divisor R irreducible en ℝ. Tal R es, de acuerdo con (iv) de grado 1 o 2, y por lo tanto tiene un complejo de raíz, que es entonces también la raíz de P .
(iii) ⇒ (i): Sea P ( X ) un polinomio con coeficientes complejos, y P * ( X ) el polinomio obtenido al reemplazar cada coeficiente de P ( X ) por su conjugado. Entonces P ( X ) P * ( X ) = R ( X ) tiene coeficientes reales. Por (iii), R ( X ) admite una raíz compleja α, por lo que P (α) P * (α) = 0. Entonces, si α no es una raíz de P , entonces P * (α) = 0, lo que da P ( α ) = P * (α) = 0 = 0. Entonces, α o su conjugado es una raíz de P , lo que demuestra (i).
A veces parece necesario calcular una antiderivada de una función racional , es decir, de una función cociente de dos funciones polinomiales. Podemos considerar la función f definida por:
Un corolario del teorema fundamental indica que el denominador se factoriza en elementos de primer grado; aquí encontramos:
Una descomposición en elementos simples de los de función muestra la existencia de tres valores de un , b y c de tal manera que:
Un cálculo rápido muestra que a = 3/2, b = 1 yc = 5/2; el cálculo de la antiderivada se vuelve entonces fácilmente alcanzable.
La reducción del endomorfismo utiliza polinomios. Podemos elegir como caso especial un endomorfismo autoadjunto a de un espacio euclidiano E para ilustrar el uso del teorema. Su matriz en una base ortonormal es, por tanto, simétrica y todos sus valores propios son reales. El polinomio característico de a admite, según el teorema fundamental del álgebra, una raíz λ. Es un valor propio de a . Al observar que el espacio ortogonal F al autoespacio del autovalor λ es estable por a , entendemos que el endomorfismo es diagonalizable . De hecho, ahora basta con aplicar la misma reducción a la restricción de a a F , que también es autounida. Así, paso a paso, se diagonaliza el endomorfismo a .
Este ejemplo se elige entre muchos otros. La diagonalización de un endomorfismo aparece a menudo como consecuencia de la existencia de una raíz del polinomio característico o mínimo .
Uno de los objetos de la teoría de números algebraica tradicional es el estudio de los campos numéricos , es decir, extensiones finitas del campo ℚ de los números racionales. Todos estos campos son algebraicos en ℚ por lo que están inmersos en su cierre algebraico , el campo ℚ de los números algebraicos . Según el teorema fundamental del álgebra, ℚ se sumerge en ℂ.
La prueba presentada aquí detalla la de Cauchy .
Consideramos un polinomio de grado n > 0 con coeficientes complejos, P ( X ) = a 0 + a 1 X +… + a n X n .
Primero, se establece la existencia de un mínimo global para la función en z combina la unidad de P ( z ) . Para ello, notamos que si el módulo de z es suficientemente grande, el módulo de P ( z ) también es grande y por lo tanto el conjunto de z para el cual | P ( z ) | no es demasiado grande está necesariamente acotado. Entonces, usamos el hecho de que cualquier cerrado acotado de ℂ es compacto y que una función continua de un compacto en ℝ tiene una imagen en sí misma compacta, por lo tanto cerrada y acotada , lo que implica que la función alcanza su límite inferior , en un cierto punto z 0 .
Finalmente, razonamos por el absurdo: suponemos que la imagen de z 0 por P no es cero. Encontramos una "dirección" c (un número complejo distinto de cero) tal que la función de ℝ en ℝ que asocia con t el módulo de P ( z 0 + tc ) es, para cualquier t > 0 bastante pequeña, estrictamente menor que su valor en 0 . Esta contradicción nos permite concluir.
Por lo tanto, esta prueba se basa esencialmente en el hecho de que ℝ tiene la propiedad del límite superior .
Demostración detalladaEn primer lugar, mostremos un lema , que corresponde a un caso muy particular de una ecuación polinomial.
Estudiemos ahora el caso general.
Por tanto, existe un complejo z 0 tal que | P ( z 0 ) | = m . Denote por Q ( X ) el polinomio P ( z 0 + X ) . Es un polinomio del mismo grado que P , y cuyo módulo toma en el punto 0 su valor mínimo m . Introducimos notaciones para sus coeficientes:
.Aquí, k denota el índice estrictamente positivo más pequeño, tal que el coeficiente b k no es cero. Este índice existe porque el polinomio no es constante.
El lema nos permite establecer la siguiente proposición, que concluye la demostración.
Una demostración muy concisa se basa en el teorema de Liouville en análisis complejo . Para ello, consideramos un polinomio P con coeficientes complejos, de grado al menos igual a 1. Suponemos que no tiene raíz: por tanto, la función racional 1 / P es entera y acotada (porque tiende de 0 a infinito, según la demostración anterior); el teorema de Liouville, deducimos que es constante, lo que contradice el supuesto del grado, y así demostrar por contradicción que existe por lo menos una raíz de P .
Otra prueba concisa se basa en el teorema de Rouché en análisis complejo . Consideramos el polinomio p con valores en ℂ definidos por:
suponiendo que el coeficiente de un n no es cero. Basta entonces comparar este polinomio con un n z n en un círculo lo suficientemente grande para deducir, aplicando el teorema de Rouché, que p tiene tantos ceros (con multiplicidades) como un n z n , es decir, digamos n .
Una tercera demostración concisa se basa en el teorema integral de Cauchy en análisis complejo . Por lo absurdo, suponga que para todo z ∈ ℂ , P ( z ) ≠ 0 y considere la siguiente funciónP ' ( z )P ( z )que es holomórfico en ℂ . Según el teorema de la integral de Cauchy , tenemos
,Sin embargo, al realizar la división polinomial de P ' ( z )P ( z ), obtenemos después de la inversión de la suma y la integral en la serie absolutamente convergente que
Por tanto, existe una contradicción y el polinomio P tiene al menos una raíz.
Dado que P es continuo y el mapa P es propio, su imagen Im ( P ) está cerrada, entonces donc \ Im ( P ) está abierta . Además, de acuerdo con el teorema de inversión local ,
P ({ z ∈ ℂ | P ' ( z ) ≠ 0}) está abierto; su intersección con el conjunto R : = ℂ \ P ({ z ∈ ℂ | P ' ( z ) = 0}) de valores que no son alcanzados por P , o alcanzados pero no críticos , es por lo tanto una apertura de R , complementario en R del anterior abierto.
Ahora (dado que P ' tiene solo un número finito de raíces) R está terminado y por lo tanto conectado . Por tanto, uno de sus dos abiertos está vacío. No puede ser el segundo, porque es igual a Im ( P ) \ P ({ z ∈ ℂ | P ' ( z ) = 0}) .
Por lo tanto, ℂ \ Im ( P ) = ∅ , lo que implica Im ( P ) = ℂ . Por lo tanto, tenemos 0 ∈ Im ( P ) y, por lo tanto, existe un número z ∈ ℂ tal que P ( z ) = 0 .
Una homotopía entre dos bucles es una deformación continua que permite pasar del primer cordón al segundo. El artículo detallado muestra que si P es un polinomio de grado n y si ρ es un número real suficientemente grande, la guiñada α definida en el círculo unitario por:
dar la vuelta al círculo n veces. Si el polinomio P no tuviera raíz, este cordón sería homotópico en un punto. Esta contradicción es la base de la demostración propuesta en el artículo detallado.
No existe una prueba puramente algebraica del “teorema fundamental del álgebra” porque, en un lugar u otro, intervienen necesariamente consideraciones de continuidad. Este punto no fue completamente aclarado hasta 1927, por Emil Artin y Otto Schreier , con la teoría de los cuerpos ordenados y los cuerpos reales cerrados . Estos autores llevaron al siguiente teorema del álgebra , "atribuido" por N. Bourbaki a Euler y Lagrange :
Teorema : para cualquier campo conmutativo K , las siguientes dos propiedades son equivalentes:
Entonces decimos que K es un "cuerpo ordenado máximo", o incluso un "cuerpo real cerrado".
Prueba de 1 ⇒ 2Tenga en cuenta primero que para cualquier campo K completamente ordenable, –1 no es una suma de cuadrados en K (en particular, K tiene la característica 0 y, por lo tanto, infinito ). Queda por demostrar si K incluso satisface (1.a) y (1.b), entonces K ( i ) es algebraicamente cerrado.
Para el campo ℝ se cumplen las condiciones (1.a) y (1.b), según dos teoremas de análisis deducidos del teorema de valores intermedios . En consecuencia, el campo ℂ de los complejos, obtenido al agregarle i = √ –1 , es algebraicamente cerrado.
ObservacionesEn tiempos de François Viète ( 1540 - 1603 ) , este matemático acababa de descubrir el cálculo literal y las relaciones entre coeficientes y raíces . También se da cuenta de que siempre es posible construir una ecuación que tenga exactamente n raíces dadas. En 1608, Peter Roth afirmó que el número de raíces de una ecuación polinomial está limitado por su grado ( Remmert 1998 ) . Por "raíz" no se refería necesariamente a las raíces de la forma a + i b . Una primera afirmación correcta la da Albert Girard ( 1595 - 1632 ) , quien, en 1629 , en su tratado titulado Inventions nouvelles en l'Algebre ( Dahan y Peiffer 1986 , p. 248). , anuncia que:
“ Todas las ecuaciones de álgebra tienen tantas soluciones como demuestra la denominación de la mayor cantidad. "
Esta idea se retoma en la Geometría de René Descartes ( 1596 - 1650 ) , que utiliza por primera vez el término imaginario , para calificar raíces: "... a veces solo imaginario, es decir que siempre se puede imaginar tanto como dije en cada ecuación, pero que a veces no hay cantidad que corresponda a lo que uno imagina… ” . Albert Girard , por su parte, los llamó inexplicables. Su comprensión aún es insuficiente para dar sentido a la idea de una demostración. Un número imaginario es aquí un número ficticio que, para polinomios de grados superiores, jugaría el mismo papel que el símbolo √-1 formalizado por Bombelli para ecuaciones de pequeño grado.
En ese momento y durante más de un siglo, este tipo de conversación no estaba sujeto a demostración, y para probar una definición, o peor aún, una imaginación , no tenía el más mínimo sentido ( Dahan y Peiffer 1986 , p. 248-249). .
Se tarda más de un siglo para pasar de los imaginarios , ficticios o imposibles números de Girard y Descartes, de los números complejos que conocemos, es decir de la forma de un + i b , donde un y b son números reales. Gradualmente, los matemáticos dominan los números complejos. El uso de un desarrollo en serie , Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 - 1716 ) da un significado inequívoco a la igualdad de Bombelli ( Dahan y Peiffer 1986 , p. 253) :
El uso de la unidad imaginaria i es cada vez más frecuente, y esto en contextos muy diferentes al de la teoría de ecuaciones. El matemático Abraham de Moivre demuestra la fórmula que lleva su nombre y arroja luz sobre la relación entre trigonometría y números complejos. Finalmente, la famosa fórmula de Euler e iπ + 1 = 0, publicada en 1748 , logra convencer a los más escépticos.
En 1746 , Jean le Rond D'Alembert expresó la necesidad de demostrar el teorema fundamental del álgebra . Su motivación no es en modo alguno algebraica, desea demostrar la existencia de una descomposición en elementos simples de cualquier función racional, con el fin de obtener primitivas. Si el mundo matemático acepta inmediatamente la validez de la necesidad de una demostración, el enfoque de D'Alembert no es atractivo. Su proceso se basa en las convergencias de secuencias y familias de curvas, un enfoque puramente analítico. También es incompleto, y supone sin pruebas que una función continua sobre un compacto y con valores reales alcanza su mínimo. También supone probado un resultado de la convergencia de series, ahora conocido con el nombre de teorema de Puiseux . Los grandes nombres de su época querían una demostración algebraica, de la misma naturaleza que el teorema.
La demostración de D'Alembert fue revisada por Argand en 1814. Este último reemplazó el teorema de Puiseux con una desigualdad simple, conocida hoy como desigualdad de Argand . Pero la evidencia permanece incompleta hasta mediados del XIX ° siglo.
Dos intentos de prueba son obra de Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) y Joseph-Louis Lagrange ( 1736 - 1813 ) . Se suceden y que luego Lagrange pretende llenar ciertos huecos que dejó Euler.
Las demostraciones utilizan el hecho de que si el grado n de un polinomio con coeficientes reales es impar, es "obvio" que el polinomio admite una raíz real, porque si una cantidad es suficientemente grande, la imagen por el polinomio de esta cantidad y su opuestos son de signos opuestos. Tendremos que esperar al trabajo de Bernard Bolzano en 1816 para obtener una demostración del riguroso teorema del valor intermedio y para que este resultado ya no sea “obvio”.
Si n ya no es impar sino de la forma 2 p q con q impar, el objetivo de Euler y Lagrange es mostrar, por inducción sobre p (cf. arriba, § Campo real cerrado ), que todas las raíces imaginarias , en el En el sentido de Girard o Descartes, son complejas en el sentido de que son combinaciones lineales con coeficientes reales de 1 e i . La demostración de Euler es rigurosa para el grado 4, pero apenas esbozada en el caso general, la de Lagrange se basa en funciones racionales invariantes por lo que ahora se llama un grupo de permutaciones de las raíces ( Dahan y Peiffer 1986 , p. 250) . Otros intentos de la misma naturaleza son el trabajo de Foncenex y Laplace .
Carl Friedrich Gauss escribió su tesis doctoral sobre el tema en 1799 . Critica un enfoque laxo por parte de sus predecesores, con la excepción de d'Alembert que utiliza un razonamiento analítico de diferente naturaleza (pero también con lagunas). Todos asumen la existencia de n raíces y muestran que estas raíces son números complejos. El significado que se le da a estas n raíces deja perplejo a Gauss, se expresa así: “La hipótesis básica de la prueba, el axioma, es que toda ecuación tiene en realidad n raíces posibles o imposibles. Si entendemos por posibilidades reales y por imposibles, complejos , este axioma es inadmisible ya que eso es precisamente lo que se trata de demostrar. Pero si entendemos por posibles cantidades reales y complejas y por imposible todo lo que falta para tener exactamente n raíces, este axioma es aceptable. Imposible entonces significa cantidad que no existe en todo el dominio de las magnitudes ( Dahan y Peiffer 1986 , p. 252) . “ La debilidad es que, si no existen, y que todo el campo de cantidades, ¿es razonable calcularlo como lo hacen Euler y Lagrange?
La primera prueba de Gauss, presentada en 1799 y basada en el esquema de d'Alembert, permanece incompleta. En ese momento, no se demostró la existencia de un mínimo alcanzado por una función continua definida en un compacto. En 1814 , un aficionado suizo llamado Jean-Robert Argand presentó pruebas sólidas y simples, basadas en el esquema de d'Alembert. La prueba de Cauchy en su Análisis de Cours (en) se inspira, al menos indirectamente, en la de Argand.
Según Remmert ( Remmert 1998 ) , esta primera prueba de Gauss es una hermosa prueba geométrica, pero aún permanece incompleta. Los ceros se interpretan como las intersecciones de las dos curvas algebraicas reales Re P = 0 e Im P = 0. En el infinito, estas curvas tienen 2 n ramas que se alternan (parte fácil de la demostración). Desafortunadamente, deducir la existencia de n puntos de intersección contados con multiplicidad no es una aplicación directa del teorema del valor intermedio. No se dará hasta 1920, por Ostrowski .
La segunda prueba de Gauss, en 1815, apela al enfoque de Euler y Lagrange. Esta vez, reemplaza las raíces por otras indeterminadas , lo que da como resultado una prueba rigurosa, pero posterior a la de Argand. Las únicas dos suposiciones hechas por Gauss son (i) toda ecuación algebraica de grado impar tiene una raíz real; (ii) cualquier ecuación cuadrática con coeficientes complejos tiene dos raíces complejas.
La tercera demostración de Gauss data de 1816. En realidad, es un resultado de la localización de los ceros de las funciones polinomiales, cuya generalización (en 1862) a las funciones holomorfas es el teorema de Rouché .
La cuarta prueba de Gauss data de 1849. Se trata de una variante de la primera prueba, donde Gauss considera esta vez polinomios con coeficientes complejos.
La historia acaba llenando el vacío en la demostración de Lagrange. Evariste Galois ( 1811 - 1832 ) vuelve a utilizar las ideas de Lagrange desde un ángulo más innovadora que prefigura álgebra moderna. Estas ideas, retomadas por Ernst Kummer y Leopold Kronecker , conducen a la existencia de un campo que contiene todas las raíces del polinomio, y esto independientemente de cualquier construcción sobre números complejos. A este cuerpo se le llama cuerpo de descomposición , su uso permite retomar las ideas de Lagrange, de una manera completamente rigurosa ( Dahan y Peiffer 1986 , p. 252) .
Remmert ( Remmert 1998 , p. 100) atribuye esta actualización de la prueba de Lagrange a Adolf Kneser . Una versión moderna de Artin , usando la teoría de Galois y el primer teorema de Sylow , demuestra que las únicas extensiones finitas de ℝ son ℝ y ℂ.
Incluso completada y corregida, la demostración de D'Alembert y d'Argand no es constructiva: utiliza el hecho de que el módulo de un polinomio alcanza su mínimo, sin especificar en qué punto. Sin embargo, sería deseable poder aproximarse a las raíces de los polinomios, por ejemplo, teniendo una prueba que explique una forma de exhibir una raíz, o una secuencia de números complejos que converja hacia una raíz. Los teoremas de localización sobre los ceros de funciones holomórficas se pueden deducir del teorema del residuo debido a Cauchy, pero no son realmente efectivos: es difícil implementar un algoritmo de aproximación basado en estos (y son inutilizables en la práctica sin computadoras potentes); un análisis más preciso de estos métodos se puede encontrar en esta sección del artículo Hipótesis de Riemann , porque son los únicos que se pueden utilizar para localizar los ceros de la función .
Según Remmert, el primer intento significativo fue propuesto por Weierstrass en 1859. Aunque el método propuesto no funciona bien, la idea es interesante: es iterar la función.
.Esto resulta en una secuencia que, si converge, converge a cero P . Esta idea se explota para mostrar el teorema del punto fijo para contraer funciones, por ejemplo. Sin embargo, aquí la convergencia no es automática: el conjunto de valores de x para el cual la secuencia iterada está acotada no es ℂ en general; incluso limitándose a un dominio limitado, a menudo sucede que la secuencia diverge para casi cualquier punto de partida; aquellos para los que permanece limitado, además, forman uno de los " fractales " más conocidos: el conjunto de Julia (relleno) asociado con P , y que a menudo es un polvo de Cantor , de dimensión cero de Hausdorff ; este es por ejemplo el caso del polinomio P ( X ) = - X 2 + X - 1.
Desde un punto de vista práctico, otra secuencia que converge más a menudo viene dada por el método de Müller ; pide en cada paso el cálculo de una raíz cuadrada (compleja).
Si las raíces del polinomio estudiado P son simples (que es una condición genérica ), se puede aplicar el método de Newton . Consiste en iterar la función
que con x asocia el “punto de anulación de la tangente de P en x ”. De nuevo, si las converge resultado, el límite es un cero de P , y esta vez, la convergencia está asegurada si se elige el valor inicial a ser lo suficientemente cerca de una raíz de P .
Morris Hirsch y Stephen Smale realizaron una importante corrección en 1979. Consiste en iterar la función
donde la función H se define como una función del polinomio P por la fórmula
Los a i son los coeficientes de P , y C es una función racional de una variable real. Hirsch y Smale demostraron que la secuencia obtenida z k siempre converge a un cero del polinomio P , cualquiera que sea el valor inicial z 0 .
Weierstrass también propuso en 1891 un método iterativo, actualmente conocido como el método Durand-Kerner (en) , que es más poderoso y que converge (en buenas condiciones) no hacia una raíz única sino hacia el conjunto de n raíces simples : que está cerca cuya iteración tiene las raíces como punto fijo.