Cierre algebraico

En matemáticas , una clausura algebraica de un campo conmutativa K es una extensión algebraica L de K que se algebraicamente cerrado , es decir, tal que cualquier polinomio de mayor grado que o igual a uno, con coeficientes en L , admite a menos una raíz en L .

Un cierre algebraica de un cuerpo K puede ser visto como una extensión máxima algebraica de K . De hecho, basta con señalar que si L es una extensión algebraica de K , a continuación, un cierre algebraica de L es también un cierre algebraica de K , por lo que L está contenido en una clausura algebraica de K .

Un cierre algebraica de K es también un campo algebraicamente cerrado mínimo (para la inclusión) que contiene K , ya que si M es un campo que contiene algebraicamente cerrado K entonces, entre los elementos de M , los que son algebraico sobre K forman un cierre algebraica de K .

Un cierre algebraico de un campo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito; es contable si K es finito.

Aparte del caso en el que K es cerrado separablemente (por lo tanto, algebraicamente cerrado en característica cero ), entre dos cierres algebraicos de K no hay unicidad de isomorfismos. Por tanto, es mejor evitar la expresión "el cierre algebraico" y privilegiar el artículo indefinido "a" (otra forma de verlo es que no hay ningún functor de la categoría de campos en sí mismo que envíe cualquier campo K en un cierre algebraico de K ).

La existencia de un cierre algebraico para cualquier campo requiere el axioma de elección .

Ejemplos de

Según el teorema fundamental del álgebra , el campo de los números complejos es un cierre algebraico del campo de los números reales .
El campo de los números algebraicos es un cierre algebraico del campo de los números racionales .
Un cierre algebraico de un campo finito de primer orden p es un campo contable. Para cualquier número natural n distinto de cero, contiene uno y solo un subcampo F p n de orden p n , y es igual a la unión de todos estos subcampos (o más inteligentemente: su límite inductivo , con F p d ⊂ F p n si d es un divisor de n ).
Hay campos contables cerrados algebraicamente incluidos en el campo de los números complejos, que contienen (estrictamente) el campo de los números algebraicos; son los cierres algebraicos de las extensiones trascendentes del campo de los racionales, como el de la extensión ℚ (π).

Teorema de steinitz

Cada campo K tiene un cierre algebraico.
Dos cierres algebraicos de K siempre están conectados por un isomorfismo de campos que dejan los elementos de K invariantes .

La prueba se puede hacer usando el lema de Zorn .

Demostración

Existencia Sea K un cuerpo. Elegimos un conjunto Ω que es infinito no contable si K es finito, y que es estrictamente mayor que el de K si este último es infinito. Consideremos el conjunto de tripletes ( L , +, x) con L un subconjunto de Ω que contiene K , y + x maquillaje L una extensión algebraica de K .

Definimos una relación de orden ( L , +, x) ( F , +, x) donde L está contenido en F y si la estructura del cuerpo en L es inducida por la de F . Esto claramente hace que el conjunto de tripletes esté por encima de un conjunto ordenado inductivo. De ello se deduce a partir lema de Zorn que tiene un elemento maximal M . Queda por demostrar que F es un cierre algebraica de K . $\ leq$

Deje E una extensión algebraica de F . Primero notamos que dado que F es algebraico sobre K , es el mismo cardinal que K o (cuando K es finito) es como mucho contable. Es lo mismo para E . Entonces, el complemento de F en E es cardinal menor que el de Ω \ F (que tiene la misma cardinalidad que Ω). Por tanto, existe una asignación de E en Ω que es la identidad de F . Equipamos la imagen de la estructura del cuerpo inducida por la E , y no se obtiene entonces una extensión algebraica de F . Por maximalidad de F , esta imagen es igual a F . Entonces E es igual a F y este último es algebraicamente cerrado.

Singularidad de isomorfismo: Que dos cierres algebraicas de K . Consideramos los pares donde L es una sub- extensión de K y donde es un homomorfismo de campo K. El conjunto de estos pares no está vacío y está ordenado (naturalmente) inductivo. Sea un elemento máximo. Si una es un elemento de , teniendo en cuenta su polinomio mínimo sobre L . Entonces el polinomio admite una raíz b en . Existe un homorfismo K que es válido en L y que envía a a b . Por maximalidad de , tenemos , por lo tanto . Dado que está algebraicamente cerrado, tenemos . También lo es un isomorfismo K de on . $F_ {1}, F_ {2}$ $(L, \ rho)$ $F_1$ $\ rho: L \ a F_ {2}$ $(L, \ rho)$ $F_1$ $P (x) \ en L [x]$ $\ rho (P (x)) \ in \ rho (L) [x]$ $F_2$ $L [a] \ a F_ {2}$ $\ rho$ $(L, \ rho)$ $L [a] = L$ $L = F_ {1}$ $\ rho (F_ {1}) \ subseteq F_ {2}$ $\ rho (F_ {1}) = F_ {2}$ $\ rho$ $F_1$ $F_2$

También podemos usar el método de Artin basado en el teorema de Krull de la existencia de ideales máximos, o dar una demostración constructiva por inducción transfinita , proporcionando el conjunto de polinomios con coeficientes en K con un buen orden, y usando el hecho de que para cualquier polinomio irreducible P con coeficientes en un cuerpo de M , M (X) / (P) es un campo de ruptura de P .

Teorema de Artin-Schreier

El cierre algebraico de ℝ es una extensión finita de ℝ. Podemos preguntarnos de manera más general cuáles son los cuerpos que poseen esta propiedad.

Teorema ( Artin - Schreier ) - Si K es un campo de índice finito estrictamente mayor que 1 en su cierre algebraico, entonces K es un campo real cerrado . En particular, K [ $\sqrt -1$ ] es algebraicamente cerrado.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Cierre algebraico " ( ver la lista de autores ) .

(en) Serge Lang , Algebra , 2002 [ ediciones detalladas ] , cap. VI, cuerno. 9.3