Aplicación limpia

En matemáticas , se dice que una aplicación está limpia si satisface una determinada propiedad topológica . La definición más común, válida para un mapeo continuo de un espacio separado en un espacio localmente compacto , es que la aplicación es limpia si la imagen inversa de cualquier parte compacta del espacio de llegada es compacta. Esta definición es equivalente, en este contexto, a la definición general: una aplicación (no necesariamente continua y entre cualquier espacio topológico ) es apropiada si es " universalmente cerrado  ”.

Definición general

Sean X e Y dos espacios topológicos . Se dice que un mapa f  : X → Y es apropiado si para cualquier espacio topológico Z , el mapa f × id Z  : X × Z → Y × Z está cerrado .

Caracterizaciones comunes

Teorema  -  Si X está separado e Y localmente compacto y si f  : X → Y es continuo , entonces las siguientes propiedades son equivalentes:

1. f es apropiado;
2. f está cerrado y la imagen inversa por f de cualquier singleton es compacta  ;
3. la imagen recíproca por f de cualquier compacto es compacta.

Mas presisamente :

• sin supuestos sobre f (ni sobre X e Y ):
  • si f es apropiado, entonces está trivialmente cerrado;
  • si f es propia, entonces la imagen recíproca por f de cualquier cuasi-compacto (en particular: de cualquier singleton) es cuasi-compacto;
• si f es continua y cerrada y si la imagen recíproca por f de cualquier singleton es cuasi-compacta, entonces f es propia;
• si X es separada, Y localmente compacta yf continua, y si la imagen inversa de f de cualquier compacto es compacta, entonces f es apropiada y X es localmente compacta.

Cuando X e Y son localmente compactos, considerando su Alexandrov compacto , la condición 3 se reformula como: cuando x tiende a infinito, f ( x ) tiende a infinito.

Propiedades

La noción de aplicación adecuada tiene las siguientes propiedades:

• cualquier compuesto de aplicaciones adecuadas está limpio;
• cualquier producto f × g  : X 1 × X 2 → Y 1 × Y 2 de los mapas adecuados es apropiado;
• si f  : X → Y es propia, entonces su restricción-corestricción , de f -1 ( T ) en T , también es adecuada , para cualquier parte T de Y  ;
• si f  : X → Y es adecuada, entonces su restricción F → Y a cualquier F cerrada de X también es adecuada ;
• cualquier inyección continua y cerrada esté limpia;
• si g ◦ f es propia y si f es sobreyectiva y continua, entonces g es propia;
• si g ◦ f es propio y si g es inyectivo y continuo, entonces f es propio;
• si f  : X → Y y g  : Y → Z son continuas y g ◦ f adecuada y Y separar, entonces f es adecuada;
• si X es cuasi-compacto, entonces, para cualquier espacio Z , la proyección X × Z → Z es apropiada;
• si el mapa de X en el espacio reducido a un punto es apropiado, entonces X es casi compacto;
• cualquier aplicación continua desde un espacio casi compacto a un espacio separado está limpia.

Para cualquier grupo topológico G que actúe de forma continua y adecuada sobre un espacio topológico X , el cociente X / G está separado.

Notas y referencias

1. J. Lafontaine, Prerrequisitos en topología ( suplemento web de: Jacques Lafontaine, Introducción a las variedades diferenciales [ detalle de las ediciones ]).
2. N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas , topología general , cap. I 10.
3. N. Bourbaki, op. cit. , Cap. III, § 2.

Ver también

Artículos relacionados

• Topología de cociente
• Aplicación perfecta  (en)
• Teorema de ehresmann
• Teorema de Hadamard-Lévy

Enlace externo

Curso de topología algebraica elemental , Frédéric Paulin, École normale supérieure , 2009-2010, p. 221-222 y p. 29