Arco tangente

Función arco tangente Representación gráfica de la función arco tangente.

Clasificación	${\ Displaystyle \ arctan (x)}$
Recíproco	${\ Displaystyle \ tan (x)}$ sobre ${\ Displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}$
Derivado	${\ Displaystyle {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$
Primitivas	${\ Displaystyle x \, \ arctan x - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + x ^ {2} \ right) + C}$

Características principales

Conjunto de definiciones	$\ mathbb {R}$
Conjunto de imágenes	${\ Displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}$
Paridad	impar

Valores especiales

Valor cero	0
Límite en + ∞	${\ frac \ pi 2}$
Límite en −∞	${\ Displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$

Particularidades

Asíntotas	${\ Displaystyle y = {\ frac {\ pi} {2}}}$ en en $+ \ infty$ ${\ Displaystyle y = - {\ frac {\ pi} {2}}}$ $- \ infty$

En matemáticas , el arco tangente de un número real es el valor de un ángulo orientado cuya tangente es igual a ese número.

La función que asocia el valor de su arco tangente en radianes con cualquier número real es el recíproco de la restricción de la función trigonométrica tangente al intervalo . La notación es arctan o Arctan (también encontramos Atan, arctg en notación francesa; atan o tan −1 , en notación anglosajona, pudiendo confundirse esta última con la notación del reverso ( $1 / tan$ )). $\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [$

Para todo $x$ real :

{\ Displaystyle y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {y}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2 }} \ derecho [}

En un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal al plano, la curva representativa de la función arco tangente se obtiene a partir de la curva representativa de la restricción de la función tangente al intervalo por una reflexión del eje la recta de ecuación $y = x$ . $\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [$

Paridad

La función arctan es impar , es decir (para todo $x$ real ) ${\ Displaystyle \ arctan (-x) = - \ arctan x}$ .

Derivado

Como derivada de una función recíproca , $arctan$ es diferenciable y satisface: ${\ Displaystyle \ arctan '(x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$ .

Desarrollo en serie de Taylor

La expansión de la serie de Taylor de la función arco tangente es:

{\ Displaystyle \ forall x \ in [-1,1] \ quad \ arctan x = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = x - {\ frac {1} {3}} x ^ {3} + {\ frac {1} {5}} x ^ {5} - {\ frac {1} {7}} x ^ {7} + \ cdots}

Toda esta serie converge a $arctan$ cuando $| x | \leq 1$ y $x \neq \pm i$ . Sin embargo, la función de arco tangente se define en todo ℝ (e incluso - cf. § “Función recíproca” - en un dominio del plano complejo que contiene al mismo tiempo ℝ y el disco unitario cerrado privado de los dos puntos $\pm i$ ).

Ver también Función hipergeométrica # Casos especiales .

Demostración

Toda la serie

\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}}

es cero en 0, su radio de convergencia vale 1 y su derivada (en el disco de la unidad abierta ) es igual a la serie geométrica

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- x ^ {2}) ^ {k} = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} = \ arctan '( X)}

Por tanto, coincide en este disco con la función $arctan$ . Además, de acuerdo con la prueba de la prueba de Dirichlet ( sumando partes ), toda esta serie converge uniformemente en el disco unitario cerrado privado de una vecindad arbitrariamente pequeña de $\pm i$ . En $\pm i$ , diverge como la serie armónica .

La función $arctan$ se puede utilizar para calcular aproximaciones de $π$ ; la fórmula más simple, llamada fórmula de Leibniz , es el caso $x = 1$ de la expansión de la serie anterior:

{\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ ldots}

Ecuación funcional

Podemos deducir $arctan (1 / x )$ de $arctan x$ y viceversa, mediante las siguientes ecuaciones funcionales :

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x = {\ frac {\ pi} {2} }}

;

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} \ quad \ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x = - {\ frac {\ pi} {2 }}}

. Demostraciones

Probemos la primera ecuación (la segunda se deduce de ella por imparidad , o se prueba de la misma manera).

Un primer método es verificar que la derivada sea cero.

De hecho tenemos:

{\ Displaystyle \ arctan 'x = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

{\ Displaystyle \ left (\ arctan {\ frac {1} {x}} \ right) '= {\ frac {-1} {x ^ {2}}} ~ {\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {x ^ {2}}}}} = {\ frac {-1} {1 + x ^ {2}}}}

Entonces

{\ Displaystyle \ left (\ arctan {\ frac {1} {x}} + \ arctan x \ right) '= 0}

Deducimos que $arctan (1 / x ) + arctan x$ es constante en $] 0, + \infty [$ , y encontramos fácilmente el valor de esta constante calculando, por ejemplo, el valor tomado en $x = 1$ .

Un segundo método es notar que para todo $x > 0$ , si $θ$ denota el arcotangente de $x$ entonces

{\ frac {1} {x}} = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) \ qquad { \ text {et}} \ qquad 0 <{\ frac {\ pi} {2}} - \ theta <{\ frac {\ pi} {2}}, \ quad {\ text {por lo tanto}}

{\ Displaystyle \ arctan {\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan x}

Un tercer método consiste en deducir esta fórmula de la siguiente fórmula notable haciendo que $y$ tienda a $1 / x$ en valores más bajos.

Función recíproca

Por definición, la función arco tangente es la función inversa de la restricción de la función tangente al intervalo : $\ left] - {\ frac {\ pi} 2}, {\ frac {\ pi} 2} \ right [$ ${\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {y}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2 }}, {\ frac {\ pi} {2}} \ derecha [}$ .

Por lo tanto, para todo $x$ real , $tan (arctan x ) = x$ . Pero la ecuación $arctan (tan y ) = y$ se comprueba sólo para $allí$ entre y . ${\ Displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac \ pi 2}$

En el plano complejo, la función tangente es biyectiva de $] -π / 2, π / 2 [+ i$ ℝ en ℂ privado de las dos medias líneas $] -\infty, -1] i$ y $[1, + \infty [i$ de l 'eje imaginario puro , según su vínculo con la función tangente hiperbólica y las propiedades de esta última. Por lo tanto, la definición anterior de arctan se extiende a: ${\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {C} \ setminus {\ big (} {\ rm {i}} \ left (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ right) {\ big)} \ quad y = \ arctan x \ iff \ tan y = x {\ text {et}} y \ in \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [+ {\ rm {i}} ~ \ mathbb {R}}$ .

Logaritmo complejo

Por construcción, la función arcotangente está relacionada con la función del argumento tangente hiperbólica y, por lo tanto, se expresa, al igual que ella, mediante un logaritmo complejo :

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ left ({\ rm {i}} \ left (] - \ infty, -1] \ cup [1, + \ infty [\ right) \ right ) \ quad \ arctan x = {\ frac {1} {\ rm {i}}} \ operatorname {artanh} ({\ rm {i}} x) = {\ frac {1} {2 {\ rm {i }}}} \ ln {\ frac {1 + {\ rm {i}} x} {1 - {\ rm {i}} x}} = {\ frac {\ ln (1 + {\ rm {i}) } x) - \ ln (1 - {\ rm {i}} x)} {2 {\ rm {i}}}}}

Integración

Primitivo

La antiderivada de la función arco tangente que desaparece en 0 se obtiene gracias a una integración por partes :

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {x} \ arctan t \; \ mathrm {d} t = x \, \ arctan x - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + x ^ {2} \ right)}

Usando la función arco tangente

La función de arco tangente juega un papel importante en la integración de expresiones de la forma

{\ frac {1} {ax ^ {2} + bx + c}}

Si el discriminante $D = b 2 - 4 ac$ es positivo o cero, la integración es posible volviendo a una fracción parcial . Si el discriminante es estrictamente negativo, podemos sustituirlo por

u = {\ frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}

que da para que la expresión integre

{\ frac {4a} {| D |}} ~ {\ frac {1} {1 + u ^ {2}}}.

La integral es entonces

{\ Displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {| D |}}} \ arctan {\ frac {2ax + b} {\ sqrt {| D |}}}}

Fórmula notable

Si $xy \neq 1$ , entonces:

{\ Displaystyle \ arctan x + \ arctan y = \ arctan {\ frac {x + y} {1-xy}} + k \ pi}

{\ displaystyle k = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} xy <1, \\ 1 & {\ text {si}} xy> 1 {\ text {with}} x {\ text { (y}} y {\ text {)}}> 0, \\ - 1 & {\ text {si}} xy> 1 {\ text {with}} x {\ text {(y}} y {\ text {)}} <0. \ End {cases}}}

Notas y referencias

(de) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en alemán titulado “ Arkustangens und Arkuskotangens ” ( ver lista de autores ) .

Extractos de la norma ISO 31-11 para uso de los CPGE , p. 6 .
Programa Nacional de Educación Oficial ( MPSI , 2013), p. 6 .
Para una demostración, véase por ejemplo el capítulo "Función Arctan" en la Wikiversidad .
Se sabe que el Inglés como "Serie Gregory " que había en realidad ya se ha descubierto por el indio matemático Madhava el XIV ° siglo . Consulte la serie de artículos Madhava (en) para obtener más detalles.

Ver también

Enlace externo

(en) Eric W. Weisstein , " Inverse Tangent " , en MathWorld