Polinomio simétrico

En matemáticas , un polinomio simétrico es un polinomio en varios indeterminados , invariante por permutación de sus indeterminados. Desempeñan un papel en particular en las relaciones entre coeficientes y raíces .

Definición

Sea A un anillo conmutativo unificado . Un polinomio Q ( T 1 ,…, T n ) en n indeterminado con coeficientes en A se dice que es simétrico si para cualquier permutación s del conjunto de índices {1,…, n }, se cumple la siguiente igualdad:

{\ Displaystyle Q (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = Q (T_ {s (1)}, \ dots, T_ {s (n)}).}

Ejemplos de

Para n = 1, cualquier polinomio es simétrico.
Para n = 2, el polinomio T 1 + T 2 es simétrico mientras que el polinomio T 1 + T 2 2 no lo es.
Para n = 3, el polinomio ( T 1 - T 2 ) 2 ( T 1 - T 3 ) 2 ( T 2 - T 3 ) 2 es simétrico;
Una clase importante de polinomios simétricos está constituida por las sumas de Newton , definidas por p k ( T 1 ,…, T n ) = T i k . ${\ Displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {n}}$

Polinomios simétricos elementales

Los polinomios simétricos forman un sub A - unital de álgebra asociativa de A [ T 1 , ..., T n ]. Una familia generadora viene dada por los polinomios simétricos elementales como veremos a continuación.

Definición

Para 0 ≤ k ≤ n , el k -ésimo polinomio simétrico elemental en n variables, σ n , k ( T 1 ,…, T n ), que denotaremos más simplemente σ k ( T 1 ,…, T n ) es la suma de todos los productos de k de estas variables, es decir, observando el conjunto de combinaciones de k números tomados del conjunto {1, 2,…, n }: ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ dots, n \})}$

{\ Displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {I \ in {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ dots, n \})} \ prod _ {i \ in I} T_ {i} = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} T_ {i_ {1}} T_ {i_ {2}} \ cdots T_ {i_ {k}}.}

Este polinomio es de hecho simétrico, ya que una permutación del grupo simétrico S n envía biyectivamente tal combinación a otra.

Ejemplos de

${\ Displaystyle \ sigma _ {0} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = 1}$ ;
${\ Displaystyle \ sigma _ {n} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = T_ {1} \ cdots T_ {n}}$ ;
${\ Displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = 0}$ si ; $k> n$
${\ Displaystyle \ sigma _ {1} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = T_ {1} + \ cdots + T_ {n} = \ sum _ {1 \ leq i \ leq n} T_ {I}}$ ;
σ2(T1,...,Tno)=∑1≤I<j≤noTITj{\ Displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}} ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}}$ ,
- Si n = 3 , ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {2} T_ { 3}}$
- Caso n = 4 :; ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {1} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} + T_ {2} T_ {4} + T_ {3} T_ {4}}$
σ3(T1,...,Tno)=∑1≤I<j<l≤noTITjTl{\ Displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { l}} ${\ Displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { l}}$ ,
- Si n = 4: . ${\ Displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} T_ {3} + T_ {1} T_ { 2} T_ {4} + T_ {1} T_ {3} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} T_ {4}}$

Una definición equivalente de polinomios simétricos elementales es:

{\ Displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + T_ {i}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ dots , T_ {n}) X ^ {nk}.}

Ejemplos de

n = 1 :; ${\ Displaystyle X + T = X + \ underbrace {T} _ {\ sigma _ {1} (T)}}$
n = 2 :; ${\ Displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) = X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2})} _ {\ sigma _ {1} ( T_ {1}, T_ {2})} X + \ brazalete {T_ {1} T_ {2}} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2})}}$
n = 3 . ${\ Displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) (X + T_ {3}) = X ^ {3} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2} + T_ { 3})} _ {\ sigma _ {1} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} T_ {2} + T_ { 1} T_ {3} + T_ {2} T_ {3})} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X + \ underbrace {T_ {1 } T_ {2} T_ {3}} _ {\ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})}}$

Según esta definición, si un polinomio unitario R ( X ) de grado n en un indeterminado admite una factorización

{\ Displaystyle R (X) = X ^ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {nk} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X -z_ {i})}

en factores de grado 1, entonces los coeficientes del polinomio R se dan como funciones simétricas de las raíces z i , es decir:

{\ Displaystyle a_ {k} = (- 1) ^ {k} \ sigma _ {k} (z_ {1}, \ dots, z_ {n}).}

Teorema

Para cualquier polinomio simétrico Q ( T 1 ,…, T n ) con coeficientes en A , existe un polinomio único P en n indeterminado con coeficientes en A tales que

{\ Displaystyle Q (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}) = P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {n } (T_ {1}, \ ldots, T_ {n})).}

Más formalmente: el morfismo de las álgebras

{\ Displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] \ to A [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}

{\ Displaystyle P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ mapsto P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ { n} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}))}

es inyectiva y tiene por imagen la subálgebra de polinomios simétricos.

O, los signos de los polinomios simétricos elementales> 0 engendran unital subálgebra de polinomios simétricos, y son algebraicamente independientes sobre una . Este resultado a veces se denomina teorema fundamental de polinomios simétricos .

Otro famoso sistema generador, relacionado con el anterior, consiste en las sumas de Newton si A contiene el campo de los números racionales.

Referencia

Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ], capítulo V, § 9

Artículo relacionado

Polinomio alternado ( pulg )