Cuerpo izquierdo

En matemáticas , un campo izquierdo o anillo de división (a veces llamado simplemente campo , ver más abajo) es una de las estructuras algebraicas utilizadas en el álgebra general . Es un conjunto provisto de dos operaciones binarias que posibilitan ciertos tipos de suma, resta, multiplicación y división. Más precisamente, un campo de la izquierda es un anillo en el que el conjunto de elementos distintos de cero es un grupo para la multiplicación.

Según la definición elegida de un campo que difiere según los autores (no siempre se impone la conmutatividad de la multiplicación), la noción de campo izquierdo es estrictamente equivalente a la de campo (si no se impone la conmutatividad de la multiplicación) o constituye una generalización de la noción de cuerpo (si se impone). Nos referimos al artículo Cuerpo (matemáticas) para más detalles.

Definición

Un campo de la izquierda es un anillo (unitario), no reducido a un elemento, en el que cualquier elemento distinto de cero tiene un inverso para la multiplicación. En otras palabras, es un anillo unitario no reducido a un elemento y en el que el conjunto de elementos distintos de cero es un grupo para la multiplicación.

Ejemplos de

• Cualquier campo conmutativo es un campo izquierdo.
• El ejemplo más famoso de campo izquierdo no conmutativo es el de los cuaterniones , descubierto por William Rowan Hamilton en 1843 .
• Sea un automorfismo de cuerpos. Considere el anillo de la serie formal de Laurent con coeficientes complejos con la ley multiplicativa definida como sigue: en lugar de simplemente permitir que los coeficientes cambien con lo indeterminado , posamos para . Si es un automorfismo no trivial del campo de complejos (por ejemplo, la conjugación ), entonces el anillo de la correspondiente serie formal de Laurent es un campo izquierdo no conmutativo.σ:VS→VS{\ Displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}VS((z,σ)){\ Displaystyle \ mathbb {C} ((z, \ sigma))}z{\ Displaystyle z}α∈VS{\ Displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}zIα: =σI(α)zI{\ Displaystyle z ^ {i} \ alpha: = \ sigma ^ {i} (\ alpha) z ^ {i}}I∈Z{\ Displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}σ{\ Displaystyle \ sigma}

Resultados

• Un teorema de Wedderburn asegura que cualquier campo izquierdo finito es conmutativo.
• Dado un módulo simple en un anillo (unitario) R , el anillo de endomorfismos de este módulo es un campo izquierdo, a priori no conmutativo incluso si R lo es. Es una de las muchas formas del lema de Schur .
• El centro de un cuerpo izquierdo K es, por definición, el conjunto Z ( K ) = { x ∈ K | ∀ y ∈ K , xy = yx }. Es un campo conmutativo. Como resultado, un campo izquierdo está naturalmente dotado de una estructura de álgebra asociativa sobre un campo conmutativo, este es un caso particular de álgebra de división . Cuando la dimensión de K en su centro es finita, mostramos que es un cuadrado .

Notas y referencias

1. André Blanchard, Campos no conmutativos , PUF,1972, p.  43
2. André Blanchard, op. cit. , pag. 66

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