Característica de un anillo

En álgebra , la característica de un anillo (unitario) A es, por definición, el orden de la ley aditiva del elemento neutral de la ley multiplicativa si este orden es finito; si este orden es infinito, la característica del anillo es por definición cero .

Denotamos, para un anillo unitario ( A , +, ×), 0 A el elemento neutro de "+" y 1 A el de "×".

La característica de un anillo A es, por tanto, el número entero más pequeño n > 0 tal que

{\ Displaystyle {\ n.1_ {A} ~ = ~ \ underbrace {1_ {A} + 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A}} _ {n \; {\ text {terms}}} ~ = ~ 0_ {A}} ~}

si existe tal número entero. De lo contrario (en otras palabras, si 1 A es de orden infinito), la característica es cero.

Nota. Esta definición es consistente con la literatura en el XXI ° siglo . Bourbaki dice explícitamente definir la característica de un anillo solo si este anillo contiene un cuerpo. Lang considera el ideal de Z formado por n tal que n .1 A = 0; si este ideal es primo, es decir de la forma a Z donde a es cero o un número primo , define la característica de A como el número a . No lo define de otra manera.

El homomorfismo de Z en A

Existe un morfismo único de anillos unitarios de en A (de hecho, es un objeto inicial de la categoría de anillos). Por definición, si n es un número entero estrictamente positivo, tenemos: $F$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Z}$

f (n) = 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A} \,

donde 1 A se repite n veces. Dado que es un anillo euclidiano , el núcleo de es un ideal principal y, por definición, la característica de A es su generador positivo. Más explícitamente, es el número natural único c tal que el núcleo de es el ideal . $\ mathbb {Z}$ $F$ $F$ ${\ Displaystyle c \ mathbb {Z}}$

Propiedades en anillos

La característica A es el número entero único c no negativo como ya sea una unitario sub-anillo A . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}$

Esto se sigue de la definición anterior y del teorema de factorización . Deducimos en particular:

Si B es un subanillo unitario de A , entonces A y B tienen la misma característica.
Los anillos de característica cero son aquellos de los que es un subanillo unitario. Por tanto, son infinitos. $\ mathbb {Z}$

Este es el caso del campo de números complejos y todos sus subanillos unitarios, como el campo de números reales o el campo de números racionales .

\ mathbb {C}

\ mathbb {R}

\ mathbb {Q}

Cualquier anillo totalmente ordenado tiene característica cero.

De hecho, el homomorfismo está aumentando. Cualquier entero estrictamente positivo se envía a un elemento estrictamente positivo del anillo, a fortiori distinto de 0.

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ to A}

Este es, por ejemplo, el caso de (y sus subanillos de unidad).

\ mathbb {R}

El único anillo cuya característica es igual a 1 es el anillo nulo .
La característica de un anillo integral es cero o un número primo.

De hecho, si es un subanillo unitario de un anillo integral, entonces él mismo es integral, por lo tanto, c es cero o primo.

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

Para la unidad morfismo anillos g : A → B , la característica B divisiones que de A .

De hecho, el homomorfismo de anillos unitarios es el homomorfismo compuesto g ∘ f . Si p y q son las características respectivas de A y B , el núcleo de g ∘ f es por lo tanto , o g ( f ( p )) = g (0 A ) = 0 B , de modo que contiene p , en otras palabras q divide p . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ to B}$ ${\ Displaystyle q \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle q \ mathbb {Z}}$

Si A es un anillo conmutativo , y si su característica es un número primo p , entonces para todos los elementos x, y en A , tenemos ( x + y ) p = x p + y p . La aplicación ax asocia x p es un anillo de endomorfismo llamado endomorfismo de Frobenius .

El resultado se deriva inmediatamente de la fórmula binomial de Newton y del hecho de que p divide los coeficientes binomiales que aparecen en la expansión.

Propiedades de los cuerpos

Como para cualquier anillo integral, la característica de un campo K es 0 o un número primo p . Además, en el segundo caso, como para cualquier anillo de característica p distinta de cero, K contiene una copia del cual (ya que aquí p es primo) es un campo: es el campo finito único F p con p elementos. $\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}$

Cualquier campo con característica nula contiene una copia de . $\ mathbb {Q}$

De hecho, dicho campo K ya contiene (como cualquier anillo con característica cero) una copia de . Como K es un campo, contiene el campo de las fracciones de , es decir, el campo de las personas racionales. Todo cuerpo tiene, por tanto, un subcuerpo mínimo, su cuerpo principal , isomorfo (según su característica) a un campo finito F p o al cuerpo . $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {Q}$

Cualquier campo finito tiene por característica un número primo y por cardinal una potencia de este número.

Si K es un campo finito, tiene, como cualquier anillo finito, una característica distinta de cero. Por lo anterior, su característica, por lo tanto es un número primo p y K contiene una copia del campo F p . De hecho, K es un espacio vectorial en F p . Por tanto, su cardinalidad es p elevado a la potencia de su dimensión (que, por tanto, es necesariamente finita, es decir, K es una extensión finita de F p ).

Para cualquier número primo p , existen infinitos campos de característica p :

por ejemplo, el campo de fracciones racionales en F p o el cierre algebraico de F p .

Notas y referencias

Por ejemplo (en) Joseph Gallian , Contemporary Abstract Albegra , Cengage Learning,2010, 656 p. ( ISBN 978-0-547-16509-7 , leer en línea ) , pág. 252-253.
N. Bourbaki, Álgebra, capítulos 4 a 7 , Masson ,1981, p. V.2.
Serge Lang, Álgebra , Dunod ,2004, p. 97.