Polinomio constante

En matemáticas , un polinomio constante es un polinomio cuyos coeficientes son cero con la posible excepción del coeficiente constante .

Un polinomio cero es un polinomio cuyos coeficientes son cero, incluido el coeficiente constante.

Propiedades

• La función polinomial asociada con un polinomio constante (resp. Nulo) es una función constante (resp. Una función nula ).
  • Lo contrario es cierto cuando la función se define en un conjunto infinito y el anillo de coeficientes es integral (por ejemplo, el campo de racionales, reales o complejos). Incluso mostramos - por inducción sobre n - que para que un polinomio en n indeterminado en un anillo integrador A sea ​​cero (resp. Constante), es suficiente que la función asociada sea cero (resp. Constante) en un producto de n partes sin fin de A .
  • Lo contrario es falso si el anillo no es integral o si el conjunto sobre el cual la función es constante es finito. Por ejemplo, para cualquier subconjunto finito no
  vacío { a 1 , ..., a n } de un anillo conmutativo, existe un polinomio no constante con coeficientes en este anillo y que, sin embargo, toma el mismo valor (cero) en todo a k  : el polinomio produce X - a k .

El grado de un polinomio constante distinto de cero es 0. Atribuimos (por convención) al polinomio cero el grado –∞ . Esta convención permite, por ejemplo, que tengamos deg ( PQ ) = deg ( P ) + deg ( Q ) para todos los polinomios P y Q , incluso si P o Q es cero.

En análisis real o complejo , los polinomios constantes son los únicos polinomios acotados .