Jerarquía borel
La jerarquía de Borel significa una descripción de la tribu de Borel de un espacio topológico X como una unión creciente de conjuntos de partes X , indexadas por el primer ordinal no contable .
Notaciones preliminares
Es un conjunto de subconjuntos de un conjunto X . Apuntamos :
mi{\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}
-
miσ{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ sigma}}el conjunto de uniones contables de elementos de :mi{\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}miσ={∪no∈NOAno | (Ano)no∈NO⊂mi}{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ sigma} = \ left \ {\ left. \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n} ~ \ right | ~ (A_ {n} ) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subconjunto {\ mathcal {E}} \ right \}}
-
miδ{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ delta}}el conjunto de intersecciones contables de elementos de :mi{\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}miδ={∩no∈NOAno | (Ano)no∈NO⊂mi}.{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ delta} = \ left \ {\ left. \ cap _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n} ~ \ right | ~ (A_ {n} ) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subconjunto {\ mathcal {E}} \ right \}.}
Las letras griegas σ y δ representan respectivamente las palabras alemanas para reunión ( Summe ) e intersección ( Durchschnitt ).
También denotamos por ω 1 el primer ordinal incontable , es decir, el conjunto de ordinales contables.
Definición de la jerarquía de Borel
Sea X un espacio topológico metrizable , G el conjunto de sus aberturas y F el conjunto de sus cerrados ( F es la inicial de “cerrado” y G la de “ Gebiet ”: “ domaine (en) ” en alemán).
Inicializamos una inducción transfinita en el ordinal α ∈ ω 1 observando:
Σ10=GRAMOmitΠ10=F.{\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {1} ^ {0} = G \ quad {\ rm {et}} \ quad \ mathbf {\ Pi} _ {1} ^ {0} = F.}Luego, definimos por inducción transfinita dos familias de conjuntos:
Σα0=(⋃β<αΠβ0)σmitΠα0=(⋃β<αΣβ0)δ.{\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alpha} ^ {0} = \ left (\ bigcup _ {\ beta <\ alpha} \ mathbf {\ Pi} _ {\ beta} ^ {0} \ right) _ {\ sigma} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0} = \ left (\ bigcup _ {\ beta <\ alpha} \ mathbf {\ Sigma } _ {\ beta} ^ {0} \ right) _ {\ delta}.}Finalmente, para cada α ordinal contable , observamos:
Δα0=Σα0∩Πα0.{\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ alpha} ^ {0} = \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alpha} ^ {0} \ cap \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0 }.}Por ejemplo :
-
Δ0
1es el conjunto de partes de X que están abiertas y cerradas;
-
Σ0
2, también denotado por F σ , es el conjunto de uniones contables de cerradas;
-
Π0
2, también denotado por G δ , es el conjunto de intersecciones contables de aberturas;
-
Σ0
3, también denotado por G δσ , es el conjunto de uniones contables de elementos de Π0
2= G \ delta ;
-
Π0
3, también denotado por F σδ , es el conjunto de intersecciones contables de elementos de Σ0
2= F σ .
Los conjuntos Σ0
α, Π0
αy Δ0
αse denominan respectivamente clases aditivas , multiplicativas y ambiguas . La familia ordenada por inclusión formada por la totalidad de estas clases (para α ∈ ω 1 ) se denomina jerarquía de Borel .
Propiedades elementales
- Las clases aditivas están cerradas por uniones contables y las clases multiplicativas están cerradas por intersecciones contables.
- Para cada α ordinal contable , los elementos de Σ0
αson los complementos de los elementos de Π0
α.
- Para cualquier α ordinal contable , Δ0
αes un álgebra de conjuntos .
- Las clases de la jerarquía de Borel están anidadas entre sí como se muestra en el diagrama a continuación, las flechas simbolizan la inclusión:
Σ10Σ20⋯↗↘↗Δ10Δ20⋯↘↗↘Π10Π20⋯Σα0⋯↗↘Δα0Δα+10⋯↘↗Πα0⋯{\ displaystyle {\ begin {matrix} && \ mathbf {\ Sigma} _ {1} ^ {0} &&&& \ mathbf {\ Sigma} _ {2} ^ {0} && \ cdots \\ & \ nearrow && \ seekrow && \ nearrow \\\ mathbf {\ Delta} _ {1} ^ {0} &&&& \ mathbf {\ Delta} _ {2} ^ {0} &&&& \ cdots \\ & \ Searrow && \ nearrow && \ Searrow \\ && \ mathbf {\ Pi} _ {1} ^ {0} &&&& \ mathbf {\ Pi} _ {2} ^ {0} && \ cdots \ end {matrix}} {\ begin {matrix} && \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alpha} ^ {0} &&& \ cdots \\ & \ nearrow && \ seekrow \\\ quad \ mathbf {\ Delta} _ {\ alpha} ^ {0} &&&& \ mathbf {\ Delta} _ { \ alpha +1} ^ {0} & \ cdots \\ & \ seekrow && \ nearrow \\ && \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0} &&& \ cdots \ end {matrix}}}
Agotamiento de la tribu Boreliana
Si denotamos la tribu Boreliana en X , podemos demostrar que:
B{\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}
B=⋃1≤α<ω1Σα0=⋃1≤α<ω1Πα0=⋃1≤α<ω1Δα0.{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} = \ bigcup _ {1 \ leq \ alpha <\ omega _ {1}} \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alpha} ^ {0} = \ bigcup _ {1 \ leq \ alpha <\ omega _ {1}} \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0} = \ bigcup _ {1 \ leq \ alpha <\ omega _ {1}} \ mathbf {\ Delta} _ {\ alpha} ^ {0}.}Clases de funciones Borel
Una función f : X → Y (siendo X e Y metrizables) se llama Borel- medible de clase α si para cualquier U abierta de Y , f −1 ( U ) pertenece a la clase aditiva Σ0
α+1 de X o de nuevo: para cualquier F cerradode Y , f −1 ( F ) pertenece a la clase multiplicativa Π0
α +1.
Las funciones de la clase de Borel 0 son, por tanto , funciones continuas , al igual que las funciones de la clase de Baire 0.
Cualquier función de Baire clase 1 es de Borel clase 1, en otras palabras: para cualquier función f : X → Y límite simple de una secuencia de funciones continuas y cualquier U abierta de Y , f −1 ( U ) es una F σ .
Demostración
Sea ( f m ) una secuencia de este tipo y F un punto cerrado de Y , demuestre que f −1 ( F ) es un G δ . Para cualquier punto x de f −1 ( F ) , d ( f m ( x ), F ) ≤ d ( f m ( x ), f ( x )) → 0 por lo tanto para cualquier número entero n > 0 , denotando S n el1/no-barrio abierto de F
Sno: ={y∈Y∣D(y,F)<1no},{\ Displaystyle S_ {n}: = \ left \ {y \ in Y \ mid d (y, F) <{\ tfrac {1} {n}} \ right \},}existe al menos un entero m ≥ n tal que f m ( x ) ∈ S n (de hecho: todos los enteros m de cierto rango), que se escribe:
F-1(F)⊂⋂no∈NO∗⋃metro≥noFmetro-1(Sno).{\ Displaystyle f ^ {- 1} (F) \ subconjunto \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} \ bigcup _ {m \ geq n} f_ {m} ^ {- 1} ( S_ {n}).}Por el contrario, si, para un punto x , existe una secuencia de enteros m n ≥ n tal que d ( f m n ( x ), F ) <1/no, A continuación, d ( f ( x ), F ) = 0 , es decir (ya que F está cerrado) f ( x ) ∈ F . La inclusión anterior es, por tanto, una igualdad, y f −1 ( F ) es de hecho una intersección contable de aberturas (en sí mismas reuniones contables de conjuntos de la forma f m −1 ( S n ) , que están abiertas por continuidad des f m ).
Demostramos exactamente de la misma manera que, de manera más general, cualquier límite simple de una secuencia de funciones de clase Borel α es de clase Borel α + 1 .
Podemos deducir fácilmente que cualquier función de clase de Baire α es de clase de Borel α si el ordinal α es finito y α + 1 si es infinito (escribiendo α = λ + n con n entero y λ cero o límite ordinal , y razonamiento por inducción e inducción ).
El recíproco es falso en general, pero verdadero si Y = [0, 1] κ con κ finito o contable: el teorema de Lebesgue - Hausdorff .
Notas y referencias
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Walter Rudin , real y análisis complejo [ detalle de las ediciones ], 1978, pág. 12 .
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Esta terminología es debido a Felix Hausdorff : cf. Rudin 1978 , pág. 12.
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Se dice que una propiedad satisfecha por todos los elementos de un G δ denso es genérica. Los elementos del conjunto en sí mismos a veces se denominan "genéricos".
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Casimir Kuratowski , Topología , vol. 1, Varsovia , PAN ,1958, 4 ª ed. ( 1 st ed. 1933 ), p. 293 (§ 27, VIII).
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(en) Gustave Choquet , Conferencias sobre análisis , vol. 1, WA Benjamin,1969, p. 135-136.
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Kuratowski 1958 , p. 299-300.
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Por ejemplo, para X = [0, 1] e Y = {0, 1}, la función característica de {1} es de clase 1 en el sentido de Borel (el singleton y su complemento son F σ ) pero no en el sentido por Baire.
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(in) RW Hansell, " We Borel mappings and Baire functions " , Trans. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol. 194,1974, p. 195-211 ( leer en línea ).
Ver también
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