Jerarquía borel

La jerarquía de Borel significa una descripción de la tribu de Borel de un espacio topológico X como una unión creciente de conjuntos de partes X , indexadas por el primer ordinal no contable .

Notaciones preliminares

Es un conjunto de subconjuntos de un conjunto X . Apuntamos :

Las letras griegas σ y δ representan respectivamente las palabras alemanas para reunión ( Summe ) e intersección ( Durchschnitt ).

También denotamos por ω 1 el primer ordinal incontable , es decir, el conjunto de ordinales contables.

Definición de la jerarquía de Borel

Sea X un espacio topológico metrizable , G el conjunto de sus aberturas y F el conjunto de sus cerrados ( F es la inicial de “cerrado” y G la de “  Gebiet  ”: “  domaine  (en)  ” en alemán).

Inicializamos una inducción transfinita en el ordinal α ∈ ω 1 observando:

Luego, definimos por inducción transfinita dos familias de conjuntos:

Finalmente, para cada α ordinal contable , observamos:

Por ejemplo :

Los conjuntos Σ0
α
, Π0
α
y Δ0
α
se denominan respectivamente clases aditivas , multiplicativas y ambiguas . La familia ordenada por inclusión formada por la totalidad de estas clases (para α ∈ ω 1 ) se denomina jerarquía de Borel .

Propiedades elementales

Agotamiento de la tribu Boreliana

Si denotamos la tribu Boreliana en X , podemos demostrar que:

Clases de funciones Borel

Una función f  : X → Y (siendo X e Y metrizables) se llama Borel- medible de clase α si para cualquier U abierta de Y , f −1 ( U ) pertenece a la clase aditiva Σ0
α
+1
de X o de nuevo: para cualquier F cerradode Y , f −1 ( F ) pertenece a la clase multiplicativa Π0
α +1
.

Las funciones de la clase de Borel 0 son, por tanto , funciones continuas , al igual que las funciones de la clase de Baire 0.

Cualquier función de Baire clase 1 es de Borel clase 1, en otras palabras: para cualquier función f  : X → Y límite simple de una secuencia de funciones continuas y cualquier U abierta de Y , f −1 ( U ) es una F σ .

Demostración

Sea ( f m ) una secuencia de este tipo y F un punto cerrado de Y , demuestre que f −1 ( F ) es un G δ . Para cualquier punto x de f −1 ( F ) , d ( f m ( x ), F ) ≤ d ( f m ( x ), f ( x )) → 0 por lo tanto para cualquier número entero n > 0 , denotando S n el1/no-barrio abierto de F

existe al menos un entero m ≥ n tal que f m ( x ) ∈ S n (de hecho: todos los enteros m de cierto rango), que se escribe:

Por el contrario, si, para un punto x , existe una secuencia de enteros m n ≥ n tal que d ( f m n ( x ), F ) <1/no, A continuación, d ( f ( x ), F ) = 0 , es decir (ya que F está cerrado) f ( x ) ∈ F . La inclusión anterior es, por tanto, una igualdad, y f −1 ( F ) es de hecho una intersección contable de aberturas (en sí mismas reuniones contables de conjuntos de la forma f m −1 ( S n ) , que están abiertas por continuidad des f m ).

Demostramos exactamente de la misma manera que, de manera más general, cualquier límite simple de una secuencia de funciones de clase Borel α es de clase Borel α + 1 .

Podemos deducir fácilmente que cualquier función de clase de Baire α es de clase de Borel α si el ordinal α es finito y α + 1 si es infinito (escribiendo α = λ + n con n entero y λ cero o límite ordinal , y razonamiento por inducción e inducción ).

El recíproco es falso en general, pero verdadero si Y = [0, 1] κ con κ finito o contable: el teorema de Lebesgue - Hausdorff .

Notas y referencias

  1. Walter Rudin , real y análisis complejo [ detalle de las ediciones ], 1978, pág.  12 .
  2. Esta terminología es debido a Felix Hausdorff  : cf. Rudin 1978 , pág.  12.
  3. Se dice que una propiedad satisfecha por todos los elementos de un G δ denso es genérica. Los elementos del conjunto en sí mismos a veces se denominan "genéricos".
  4. Casimir Kuratowski , Topología , vol.  1, Varsovia , PAN ,1958, 4 ª  ed. ( 1 st  ed. 1933 ), p.  293 (§ 27, VIII).
  5. (en) Gustave Choquet , Conferencias sobre análisis , vol.  1, WA Benjamin,1969, p.  135-136.
  6. Kuratowski 1958 , p.  299-300.
  7. Por ejemplo, para X = [0, 1] e Y = {0, 1}, la función característica de {1} es de clase 1 en el sentido de Borel (el singleton y su complemento son F σ ) pero no en el sentido por Baire.
  8. (in) RW Hansell, "  We Borel mappings and Baire functions  " , Trans. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol.  194,1974, p.  195-211 ( leer en línea ).

Ver también

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